LICEO DE APLICACIONPro. Dixon Luis Vásquez Prieto

G U I A D E T R I A N G U L O S N°2

ELEMENTOS SECUNDARIOS

- Altura : ha , hb , hc  - Simetral : Sa , Sb , Sc  - Mediana : ma , mb , mc  - Bisectriz : ba , bb , bc  - Transversal de gravedad : ta , tb , tc

ALTURAS (h)La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.  Un triángulo posee tres alturas ha , hb , hc.  Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H)

Ejercicio propuestoTraza y determina el ortocentro’ en un triangulo rectángulo, triangulo isósceles, triangulo equilátero y en un triangulo obtusángulo. Discute tus resultados con algún compañero.

TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto.  Concurren a un mismo punto, denominado centro de gravedad baricentro del triángulo (T) . T se ubica siempre dentro del triángulo. 

En la transversal de gravedad se cumple:  2 =

Bisectriz (b)

Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad.  Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita.  Este punto se denomina inscentro. (P)

ba bb bc = P

Simetral (S)Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.  Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro. 

D,E y F puntos medios

Mediana   Las medianas unen los puntos medios de los lados.  Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas,

son iguales y cuatro veces menor que el área del  ABC. 

Área( AFD= FBE= DFE= DEC)

   Cada mediana es paralela al lado opuesto.  Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que su mediana paralela. 

a) DE // AB b) FE // AC c) DF // BC1) 2 DE = AB    2) 2 FE = AC 3) 2DF = BC

AB = 2 DE

OBSERVACION

a) En un triangulo equilátero todos los elementos secundarios coinciden en el punto medio de un lado del triangulo.(excepto la mediana )

b) En un triangulo isósceles , la altura ,la simetral, la bisectriz ,la transversal de gravedad coinciden en la base del triangulo

∆ABC Equilátero F,D y E puntos medios bd , td , Sd coinciden en D, lo mismo ocurre en los puntos E y F

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE

1) El ABC de la figura , BD y AE son bisectrices de los _CAB y _ABC, respectivamente. Si <ACB = , entonces el <AFB es igual a

A) 90° – B) 180° – 2C) 90° –2D) 90° +2E) 90° – 2

2) En el ABC rectángulo en C , CD es transversal de gravedad y <CDB = 106°. La medida del <CAD es

A) 45ºB) 53ºC) 74ºD) 90ºE) no se puede calcular.

3) En la figura, el PQT es isósceles de base PT , QR es transversal de gravedad y MN es mediana. Si <PQR = 25°, entonces la medida del <MNR es

A) 25°B) 40°C) 45°D) 65°E) 75°

4) En el ABC, isósceles de base AB , BD es bisectriz del _ABC. Si <CAB = 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 40ºB) 60ºC) 75ºD) 90ºE) 105º

5) En el triángulo SRT , TH es altura, α = 110º y β = 140º. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A) 20ºB) 30ºC) 50ºD) 60ºE) 70º

6) En el ΔABC , AD transversal gravedad y < CAD = <BAD. Entonces, la medida del ángulo ADB es

A) 110ºB) 100ºC) 90ºD) 80ºE) 60º

7) En el triángulo ABC rectángulo en C , CD es altura. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A) 100ºB) 105ºC) 115ºD) 125ºE) 135º

8) El PQR de la figura , es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si <QRP = 70°, ¿cuál es la medida del <EDP?

A) 70ºB) 50ºC) 30ºD) 20ºE) 10º

9)Si en el triángulo DEF , MN es mediana, entonces el ángulo NMD mideA) 40ºB) 100ºC) 120ºD) 130ºE) 140º

10) El ABC es rectángulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de gravedad CE, entonces el _DCE mide

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 50ºE) no se puede determinar.

11) En el triángulo ABC , AC es perpendicular a BC , _BAC = 2_ABC y_ACD =_BCD. ¿Cuánto mide el ángulo CDB?

A) 95ºB) 105ºC) 115ºD) 120ºE) 125º

12) En la figura, el MNP es isósceles de base MP, NQ es bisectriz del _MNP y MP = MR . Si _MPN = 4_PNM, ¿cuánto mide el <MSQ?

A) 70ºB) 55ºC) 50ºD) 40ºE) 30º

13) En el ΔABC de la figura , CE transversal de Gravedad. La medida del ángulo x esA) 15ºB) 20ºC) 25ºD) 30ºE) 35º

.

14) En el triangulo ABC se trazan las alturas CM y AN. Si AB es el doble de BN , entonces el <X mide?

A) 60°B) 30°C) 45°D) 15°E) 22,5°

15) En el triangulo ABC escaleno , H es ortocentro. Si la m<ABC mide 55°, entonces el <x=?

A) 15°B) 25°C )35°D) 55°E) 70°

16) O es el circuncentro del ΔABC . Si R OAB = 20º y R COB = 80º. La medida del < x es

A) 10ºB) 20ºC) 50ºD) 80ºE) Otro valor

17) En el ABC , AD y BD son bisectrices . Si m<ACB = 70°, entonces m<x=?

A) 150°B) 140°C) 110°D) 100°E) 125°

18) ¿Cuánto mide la mediana DE de triangulo ABC?

A) 6B) 9C) 3D) 12E) N.A.

19) ¿Cuánto mide el ángulo x , si IG es bisectriz del <FGH?

A) 45°B) 90°C) 35°D) 20°E) N.A.

20) mediana . ¿Cuánto mide el angulo CEB?

A) 28°B) 40°C) 68°D) 58°E) N.A.

21) Si es altura del ABC, entonces el <x=?

A) 20°B) 45°C) 70°D) 30°E) 35°

22)En el triángulo MNT , MP = 8 cm, QN = 12 cm y PQ es mediana. Entonces, MN - MT esA) 2 cmB) 4 cmC) 6 cmD) 8 cmE) 10 cm

23) En el triángulo PQR , < PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide R x?

A) 35ºB) 45ºC) 50ºD) 55ºE) 60º

24) En el triángulo ABC , AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente. Entonces, el ángulo x mide

A) 146°B) 158°C) 168°D) 68°E) 36°

25) En el triángulo ABC, es rectángulo en C, CD ⊥ AB y AE es bisectriz. Si <AFD = 57º, entonces la medida del < ABC esA) 24ºB) 26ºC) 28ºD) 34ºE) 57º

DA B

C

26) Sea el ABC isósceles en C. E: centro de gravedad, DE = 2 cm entonces la medida de AE es:

A) 2 cmB) 3 cmC) 4 cm D) 5 cmE) No se puede calcular

27) En el triangulo ABC se tiene que < ACB = 90º , N punto medio de AB , entonces < x =? (<A=50°)

A) 120ºB) 105ºC) 145º D) 100 E) 130º

28) En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura , I es el incentro. Si R AIB = 100º,¿cuánto mide el R ACB?A) Faltan datos para determinarloB) 20ºC) 40ºD) 50ºE) 80º

29) El triangulo ABC es rectangulo en B. EF es simetral e BC y triangulo CEF es isósceles . entonces <x + < y =?A) 70º B) 75º C) 85ºD) 90ºE) 95º

30) En el triángulo rectángulo de la figura, D es punto medio de y : = 5 : 1. ¿Cuánto mide + ?

A) 180ºB) 165ºC) 150ºD) 135º E) 120º

A B

C

ED

31) El triángulo DEF de la figura es isósceles de base DF . R es punto medio de DF y < DFE= 50º. ¿Cuánto mide el ángulo REF?

A) 25ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 80º

32) Triangulo ABC recto en A, D punto medio de BC, entonces <x =?

A) 15ºB) 30ºC) 45º D) 60º E) 75º

33) En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB y BD es bisectrizdel ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de < x + < y?

A) 150ºB) 120ºC) 90ºD) 60ºE) 30º

34) En la figura, ABC es isósceles de base es transversal de gravedad, es mediana del ABC. Si MCB = 25º, entonces =?A)25ºB)40ºC) 45ºD) 65º E)75º

35) En la figura, en el triángulo ABC altura = 25°, entonces el ángulo mide :

A) 35B) 40C) 45D) 50 E) 60

A B

C

D E

M

A

B

C

D

A B

C

E D

36) El triángulo ABC es equilátero es H es el ortocentro. Entonces el x mide:

A) 45°B) 60°C) 80°D) 115°E) 120°

37) Sea el triángulo ABC equilátero , y alturas determinar

A) 30°B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°

38) Los ángulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. CF, AG y BE son alturas y bisectrices cada una de ellas. Entonces, x mide:

A) 30°B) 45°C) 60° D) 90°E) Falta información

39) En e triangulo ABC , H es ortocentro . Si <ABC = 55º , entonces <X =?

A) 15ºB) 25ºC) 35D) 55º E) 70º

40) AE, BF Y CD son bisectrices de los ángulos interiores. Si <ABC = 60º y < ACB = 72º , entonces el <x mide:

A) 54º B) 60ºC) 84ºD) 96ºE) 132º

E

A D B

C

Hx

A F B

C

E G1

23

x

41) Triangulo ABC equilátero .DE mediana BF II AC ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?I) AE EF II) AE transversal de gravedad III) AFB es isósceles

A) Solo I y IIB) Solo II y IIIC) Solo IIID) Solo IIE) Todas *

42) En el triángulo de la figura D, E y F son puntos medios de sus respectivos lados. El ángulo x mide:

A) B) C) D) + E) +