Taller de Enseñanza de Física Año 2011

Apuntes de Dinámica de Fluidos Ideales Presentación y Análisis de la Ecuación de Continuidad y del Teorema de Bernoulli

Estas líneas pretenden ayudar a comprender Fluidodinámica. Introducirán primero la Ecuación de Continuidad, luego el Teorema de Bernoulli estableciendo su deducción y por último algunos comentarios sobre su significado. Aclaración: los vectores están escritos en negrita. Ecuación de Continuidad

Pensemos en la circulación de un fluido que en el diagrama se indica mediante las líneas de corriente. Para el estudio elijamos un Marco de Referencia Inercial y asociémosle un Sistema de Coordenadas. Tomemos como objeto de estudio un elemento de volumen V que se encuentra en el seno del fluido. Este elemento de volumen, en un instante de tiempo t está determinado por una pared que incluye a algunas líneas de corriente y los superficies que se encuentran en los puntos M y N. La líneas de corriente son perpendiculares a las áreas en M y N. Transcurrido un breve intervalo δt, el fluido se ha desplazado y sus nuevos límites están determinados por M + δr y N + δr’. El pequeño volumen que se ha desplazado el volumen V es δV = AM δr (donde AM es el área del elemento de volumen en el punto M) si miramos el extremo inferior, pero también es δV’ = AN δr’ si miramos el extremo superior (donde AN es el área del elemento de volumen en el punto N).

Si definimos el caudal Q como el cambio en la cantidad de volumen en un cierto intervalo de tiempo, tenemos que este cambio de volumen entre las fronteras imaginarias definidas por N y M es:

si miro el extremo inferior, y

si miro el extremo superior.

N

M M

N

N + δr

δr

δr'

Esquema de la circulación del fluido. Vemos el elemento de volumen seleccionado y comprendido entre M y N en un instante t y a la derecha el elemento de volumen en un instante posterior t + δt.

M + δr

X Y

Z

X Y

Z

Pero si el fluido es incompresible, el cambio de volumen en los extremos del tubo es el mismo: en definitiva estamos planteando que todo el fluido que entró por el área AM debe salir por el área AN. Si así no fuera significaría que el fluido se esté desintegrando o creando. Esto mismo lo expresamos como

Si tomamos el límite a 0 para el intervalo de tiempo, la expresión δr/δt se transforma

en dr/dt que no es más que la rapidez o módulo de la velocidad v. con lo cual la última expresión la escribimos como

que es la llamada Ecuación de Continuidad. Algunos comentarios acerca de la Ecuación de Continuidad

La elección de los puntos N y M es arbitraria. Esto significa que la ecuación de continuidad es válida entre dos puntos N y M cualesquiera de un fluido ideal cuyas áreas transversales estén delimitadas por las misma líneas de corriente.

Considerando un fluido determinado por ciertas líneas de corriente, lo que plantea la ecuación de continuidad es que el caudal Q se mantiene constante en todo punto de un fluido cuyas áreas transversales estén delimitadas por las misma líneas de corriente.

La ecuación de continuidad también representa uno de los teoremas de conservación estructural de la física: la conservación de la masa. Esto puede verse reescribiendo el caudal instantáneo como:

Donde hemos reemplazado el volumen V por su expresión en términos de la masa m y la densidad ρ. Aplicando las reglas de derivación tenemos

Si el fluido es homogéneo (característica del fluido ideal), la densidad es la misma en todos los lugares del fluidos en todo instante de tiempo, por lo que d(1/ρ)/dt es nulo. Reescribimos entonces lo anterior como

Como justamente la ecuación de continuidad plantea que el caudal es constante, tenemos

Podemos entonces interpretarla como “la cantidad de masa de fluido por unidad de tiempo que entra por el área AM de un volumen de muestra es la misma que escapa por el área AN”.

Deducción del Teorema de Bernoulli

1. Vamos a trabajar con fluidos, entonces abandonamos el modelo de partícula . Pero no del todo porque nuestro objetivo es estudiar la dinámica de los fluidos. Por las características de los fluidos, necesitamos “darle volumen a la partícula”. El nuevo modelo es el de elemento de volumen.

2. No vamos a estudiar cualquier fluido. Vamos a comenzar con el fluido ideal: incompresible (la densidad del fluido es constante, o sea el fluido se deforma pero su volumen y su masa no cambian) y no viscoso (no existen fuerzas de roce entre los distintos elementos de volumen).

Vamos a estudiar el movimiento de un fluido por un tubo. Veremos cómo aplicar el Teorema de Trabajo y Energía en este caso donde hemos cambiado el modelo. Primero, extendemos las herramientas metodológicas que aprendimos en Dinámica, al estudio de la Dinámica de fluidos.

3. Elegimos como Marco de Referencia al suelo del lugar donde se encuentra el tubo. Como el suelo está en reposo con respecto a la Tierra es un Marco de Referencia Inercial para este problema.

4. Establecemos un Sistema de Coordenadas con el eje Z en la dirección en que fluye el fluido.

5. Tomamos como objeto de estudio una parte del fluido muy pequeña que modelamos como elemento de volumen y llamaremos Vol 1. Nos interesa entonces su posición r(x,y,z) en el espacio, su velocidad v(vx,vy,vz), su densidad ρ y su volumen δV =A·δr (área A y espesor δr).

6. Identificamos los objetos que interactúan con el mismo: el Fluido y la Tierra. Esto implica que tenemos dos acciones sobre nuestro elemento de volumen, y tenemos que considerar el Trabajo realizado por ambas fuerzas.

Planteando el Teorema de Trabajo y Energía en el proceso que empieza en A y termina en B, tenemos:

Esquema de la circulación del fluido y el elemento de volumen de estudio. Se identifican también los objetos con los que interactúa el Vol 1: el resto del fluido y la Tierra.

Vol 1

B

A

X

Z

Y

Vol 1

Resto del Fluido

Planeta Tierra

donde en este caso el trabajo total o neto está compuesto por las contribuciones del Trabajo del Fluido ( ) y el de la Tierra ( ). Es decir

Veamos ahora qué valor tiene cada uno de los términos de esta expresión.

El Trabajo del Fluido sobre Vol 1: Calculamos el trabajo realizado por el resto del fluido sobre el elemento de volumen 1 en la trayectoria A-B, es decir estudiaremos el proceso que tiene estado inicial EA y final EB. Para eso tenemos en cuenta que:

I. Como el fluido se desplaza sólo en la dirección Z, podemos pensar a la fuerza neta que realiza el fluido como compuesta por las acciones de los elementos de fluido que se encuentran por encima y por debajo de nuestro objeto de estudio. Además en un fluido ideal las fuerzas entre los elementos de fluido no son constantes en el trayecto de A a B.

II. Las fuerzas debidas a los otros elementos de volumen que actúan sobre el elemento de volumen que elegimos estudiar son la fuerza que el elemento de volumen 0

realiza sobre el elemento de volumen 1 ( ya que es la fuerza cuando el elemento de volumen se encuentra en la posición A), y la fuerza que el elemento de volumen 2 realiza sobre el elemento de volumen 1 ( ). Las fuerzas sobre el siguiente elemento de volumen son y . Y así sucesivamente.

III. Como queremos calcular el Trabajo sobre el elemento 1 en el proceso que comienza en A y termina B, tenemos que conocer cuáles son los valores de las Fuerzas que actúan sobre el elemento 1 en los diferentes lugares del recorrido. Pero si hemos pensado en elementos de volumen de igual tamaño, cuando el elemento de volumen 1 llegue a la posición A+δr, las fuerzas que van a actuar sobre él serán las mismas que actúan sobre el elemento de volumen 2 cuando el elemento de volumen 1 se encuentra en A .

IV. Calculemos ahora sí el Trabajo. Para ello dividimos el trayecto A-B en n partes de longitud δr. Y si hemos tomado δr lo suficientemente pequeños, podemos aproximar

F21

Vol 1

F01

Vol 2

F32

F12

Vol M

FM+1 M

FM-1 M

Esquema de la circulación del fluido y diagrama de las acciones entre los elementos de fluido en un determinado instante de tiempo. El sistema coordenado XYZ se utiliza para la descripción del movimiento mientras que el sistema de coordenadas h se utiliza para la energía potencial gravitatoria.

A+δr

Vol 0

Vol 2

Vol 1

B

A

Vol M

X

Z

Y

h

Pero usando la tercera Ley de Newton, y a partir de identificar las acciones de cada elemento de volumen, vemos que , , , con lo cual se anulan la mayoría de los términos y sólo quedan y .

Por lo tanto el trabajo sobre el elemento de volumen debido a las fuerzas aplicadas por el resto del fluido será

Pero además sabemos que el modelo utilizado para describir a la fuerza que hace el fluido sobre los objetos con los que interactúa es

donde es la presión , y es el versor normal al área de contacto . Observemos además que la consideración del área en esta expresión es coherente con considerar el volumen – y consecuentemente el área - como parte del modelo del objeto de estudio al que justamente hemos llamado elemento de volumen.

Volviendo al cálculo del trabajo, con esta última consideración tenemos entonces

Pero el área del elemento de volumen es siempre la misma (y la llamaremos ), es decir , por lo que la expresión anterior queda

Y si consideramos que las dimensiones del elemento de volumen determina el volumen llegamos a

El Trabajo de la Tierra sobre Vol 1: Para calcular el Trabajo de la Tierra, apelamos a nuestros conocimientos previos: como la fuerza de la Tierra sobre todos los objetos que se encuentran en su superficie, la hemos modelizado como

Pero de acuerdo a lo que hemos aprendido, esta fuerza es una fuerza conservativa y como tal tiene asociada una función potencial que en este caso es la energía potencial gravitatoria dada por

correspondiente a un sistema de coordenadas con el eje en la dirección de la vertical del lugar y sentido positivo contrario al centro de la Tierra. Además el trabajo de las fuerzas conservativas depende de los valores de esa función en los extremos del proceso a estudiar, es decir

Volviendo a nuestro problema, tenemos entonces que el trabajo de la Tierra sobre el elemento de volumen de masa en el proceso de ir de A a B lo expresaremos en términos de la variación de energía potencial como

donde el eje se encuentra sobre la vertical del lugar.

La variación de Energía Cinética del Vol 1: Por último, el término que falta de la expresión (I) es el correspondiente a la variación de la energía cinética del elemento de volumen. Utilizando la definición, tenemos:

Solo nos queda ahora juntamos estos resultados ((A), (B) y (C)) en el Teorema del Trabajo y la Energía (I), para obtener

Si dividimos toda la expresión por ,

y usamos la definición de la densidad , de aquí podemos obtener la relación

Y si ordenamos todos los términos correspondientes a cada instante inicial y final, llegamos a Esta expresión es la que conocemos como Teorema de Bernoulli. Algunos comentarios sobre el Teorema de Bernoulli

Como la elección de los puntos A y B es arbitraria (es decir puedo elegir cualesquiera puntos A y B sobre el fluido), el resultado anterior lo que nos dice es que hay cierto número que se conserva sobre líneas de corriente. Miremos con atención ese número:

p + ρ g h+ ½ ρ v2 = Constante sobre línea de corriente (1)

Tomemos un elemento de volumen δV mientras se mueve con el fluido. Ese elemento tiene velocidad v y coordenada y. Si multiplicamos la cantidad (1) por δV (que es constante sobre líneas de corriente si el fluido es incompresible) nos queda

p δV + ρ δV g h+ ½ ρ δV v2 = Constante de movimiento

pero ρ δV = δm, por lo que (reemplazando en la expresión de arriba)

p δV + δm g h+ ½ δm v2 = Constante de movimiento p δV + ECin + EPot Grav = Constante de movimiento (2)

Esta última expresión es llamativa, es casi la expresión de la conservación de la energía mecánica. Como vimos antes, ∆ (p δV) es el trabajo que el fluido hace sobre el elemento de volumen, y vemos que este trabajo no depende de los detalles del proceso, sino sólo de los estados inicial y final. Por lo tanto, es tentador pensar en (p δV) como en el potencial asociado a la fuerza que el resto del fluido hace sobre el elemento de volumen, y entonces postulamos que (2) o sea el Teorema de Bernoulli expresa la conservación de la energía mecánica del elemento de volumen. Para que este postulado sea cierto, deberíamos responder la siguiente pregunta:

¿Es conservativa la fuerza que el fluido hace sobre un objeto sumergido en él? La respuesta más general a esta pregunta es un rotundo NO. Pero será un SÍ si nos restringimos a las siguientes hipótesis:

1) El objeto interactúa con el fluido sólo a través de la presión (no hay “rozamiento”, ni

fuerzas vinculadas a la existencia de una interfase, ni nada).

2) El objeto no cambia de volumen.

3) El objeto no modifica el estado del fluido circundante.

4) El fluido fluye en forma LAMINAR y ESTACIONARIA.

Si respondemos con un sí a la pregunta bajo las hipótesis enumeradas, entonces podremos encontrar un potencial para la fuerza que hace el fluido sobre un objeto sumergido. Ahora, para hallar Bernoulli, el objeto sumergido a estudiar será un elemento de fluido, pero sobre eso volveremos más adelante.

Para responder esto, deberemos repensar un poco la definición de “fuerza conservativa”. Ese es el principal beneficio de seguir esta línea: una vez comprendido el razonamiento tendremos una idea mucho más firme de lo que es la energía mecánica, la energía potencial y la fuerza conservativa.

Lo primero que tenemos que restringir es al objeto de estudio. La definición de fuerzas conservativas se aplica a partículas con masa. Es decir, el objeto deberá ser realmente muy pequeño, de modo que su posición sea algo bien definido en las “escalas naturales del problema”. Qué queremos decir con esto? Bueno, el fluido circundante está descripto por dos funciones, una escalar p(x,y,z) y otra vectorial v(x,y,z). Tanto p como v varían en el espacio, y esas variaciones son las únicas referencias legítimas de longitud. Esto es: un objeto es “grande” si p o v varía apreciablemente en su extensión. Es “chico” (una “partícula”) si p y v pueden tomarse como un único valor. Por ejemplo: ¿es posible considerar un submarino U-boat como una partícula? Cualquiera que haya estado en la sala de máquinas de un submarino probablemente va a decir que ni a palos, pero en ese caso la escala en que está midiendo al submarino es la de su propio cuerpo. A los efectos de estudiar el submarino en un problema de fluidos, si podemos o no considerarlo como una partícula va a depender del “mar” en que navegue; si la presión y la velocidad varían en una escala de kilómetros no habrá problema,

pero si el submarino está en un remolino de 10 metros de radio, seguro que no podremos pensarlo como partícula.

Ahora una frase que seguramente va a ameritar un “pero, me están jodiendo!”: lo dicho más arriba no significa que podemos ignorar las variaciones de p y v. Paciencia. Un ejemplo nos va a aclarar la cosa: recordemos la definición de velocidad de una partícula. La velocidad es “instantánea”, pero en un instante la partícula no se mueve en absoluto! La aparente contradicción la arreglamos mirando el movimiento en intervalos arbitrariamente chicos; haciendo el cociente δr / δt y haciendo tender δt a cero. El resultado es la “variación instantánea” de la posición. Acá ocurre exactamente lo mismo: si nuestro objeto de estudio puede ser considerado una partícula, entonces sólo puede ser sensible a cosas locales: los valores de p y v en el punto y los valores de las “variaciones locales” ∂p/∂x, ∂p/∂y, etc. También va a depender de “cuánto ocupa” δV pero no de detalles como si tiene forma de rosquilla o de papa. Esto es muy útil, porque nos permite elegir una forma arbitraria que resulte útil para hacer las cuentas. En particular, vamos a usar un cubito, pero ya sabiendo que un objeto con forma de perro salchicha con el mismo δV nos va a dar lo mismo. Por supuesto, reiteramos, esto es cierto siempre que podamos considerar al objeto como partícula, o sea si en la extensión del objeto ni p ni v varían apreciablemente. Empieza repaso de fuerzas conservativas

Si bien en la deducción del Teorema de Bernoulli utilizamos sus resultados, recordemos más exhaustivamente qué entendemos por fuerza conservativa F. Una fuerza en general puede hacer trabajo no nulo sobre una partícula, basta con que ésta se mueva más o menos en la dirección de la fuerza (o en contra). Pero por definición, lo usual es que ese trabajo dependa de los detalles de cómo movemos la partícula de un sitio a otro. Si no depende de esos detalles (y sólo depende de las posiciones inicial y final de la partícula) entonces el trabajo puede asignarse a una función de estado EPot F (x,y,z), y tenemos

L F r1 a r2 = - ( EPot F (x2, y2, z2)- EPot F (x1, y1, z1))

El punto importante acá es que si encontramos la función EPot F (x, y, z), para la fuerza conservativa F , podemos calcular fácilmente el trabajo de esa fuerza en términos de las posiciones inicial y final. Ya tenemos dos ejemplos de esas fuerzas:

la gravitatoria cerca de la superficie terrestre EPot Grav (x, y, z) = m g y

la de un resorte con posición de equilibrio x0, y0, z0 EPot Elast (x, y, z), = (k/2) [(x-x0)

2 + (y-y0)2 + (z-z0)

2] . Tenemos tres condiciones equivalentes que nos aseguran que la fuerza es

conservativa:

I. El trabajo de la fuerza sobre cualquier camino cerrado es cero.

II. El trabajo de la fuerza entre dos puntos es el mismo para cualquier camino.

III. Existe una función EPot F (x,y,z), para la que FX = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂x FY = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂y FZ = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂z

Si se cumple cualquiera de estas cosas, entonces la fuerza F es conservativa y existe EPot F . Aunque es una cuestión de gustos, opinamos que la opción I es la más abstracta (seguramente opinás que la III lo es mucho más, pero eso es sólo por la matemática involucrada). La II muestra mejor que debería existir la función EPot F , pero no nos dice cuál es. Lo que sí, se ve bastante fácil la equivalencia con I: basta con pensar en dos caminos conectando los puntos y usar ambos para hacer el camino cerrado. La tercera es la más directa, porque ya figuran allí todos los ingredientes involucrados: la fuerza F y su potencial asociado, EPot F (x, y, z). Pero es la más difícil de conectar con I y II. Los “creyentes” pueden saltear la pseudodemostración que sigue a continuación, que tiene un cierto parecido con la demostración de Bernoulli que ya hemos visto.

Pseudodemostración de la condición III

Supongamos que tenemos una función EPot F (x, y, z) tal que la fuerza es como en el ítem 3). La partícula va de la posición ri = (xi , yi , zi ) a la posición rf = (xf , yf , zf ) por algún camino, que lo vamos a pensar como una serie de desplazamientos muy chiquitos (lo bastante chicos como para que F sea constante en ellos)

rf = ri + ∆ r1 + ∆ r2 + ... + ∆ rN

El trabajo en ir de i a f es la suma de los trabajos en cada intervalo ∆ r. Y si la fuerza en cada intervalo es constante, el trabajo es

L Intervalo = F desp |∆ r| (3) donde F desp es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento ∆ r. Pero las componentes de F son “menos” las derivadas de EPot F en esa dirección y, son aproximables por el cociente incremental, así que la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento es:

F desp ≈ - (EPot F (r + ∆ r) - EPot F (r ) ) | ∆ r| de modo que el trabajo en el intervalo es (reemplazando la última línea en (3)

L Intervalo = EPot F (r ) - EPot F (r +∆ r) Al hacer la suma de todos estos trabajitos, vemos que se van cancelando los E intermedios y finalmente queda

L f = - (EPot F (rf ) - EPot F (ri ) ) Esta última expresión muestra que el trabajo no depende del camino, sólo de las posiciones inicial y final.

Estudiando Fuerzas Conservativas en Fluidos

Conclusión de la pseudodemostración: Entonces, cada vez que una fuerza F es conservativa, tendremos una función EPot F asociada con la que podemos calcular la fuerza en cualquier punto, o bien el trabajo en cualquier proceso. También podemos incluir EPot F en la llamada “energía mecánica”, y la variación de esa energía es el trabajo de todas las fuerzas cuyos potenciales no existan o no hayamos incluido en la energía mecánica.

Volvamos a los fluidos. Supongamos que sumergimos en un fluido un objeto de volumen δV, lo bastante chico para ser considerado una partícula (según el criterio explicado más arriba). Como se explicó, esa fuerza no puede depender de la forma del objeto, por lo que vamos a usar un cubito de tamaño dx dy dz, en la dirección de los ejes coordenados x, y, z. La fuerza que el fluido hace sobre el cubo es la suma de las fuerzas sobre cada una de las seis caras del cubo. Por cada eje habrá dos planos con fuerzas opuestas sobre cada eje. Por ejemplo, la fuerza sobre el eje x será

Ffluido cara x = p(x) δA – p(x+dx) δA = (p(x) – p(x+dx)) dy dz = - (∂p /∂x) dx dy dz = - ∂(p δV ) /∂x

Lo mismo puede hacerse para las componentes y,z. Se observa que el volumen puede

meterse adentro de la derivada siempre que éste se mantenga constante. Si comparamos este resultado con la condición (III) para fuerzas conservativas, esto significa que podemos pensar la función

EPot Fluido = δV p(x,y,z)

como la energía potencial asociada a la fuerza que el fluido hace sobre el objeto de volumen δV. Significa que el trabajo que el fluido hace sobre el objeto al ir de un punto con presión p1 a otro con presión p2 será - δV (p2 – p1 ), que es el resultado para un elemento de volumen que se encontró al principio de estas notas. Ahora reobtengamos Bernoulli. El objeto de estudio es ahora un elemento de volumen del propio fluido. Repasemos si estamos cumpliendo las tres condiciones para las que la fuerza del fluido es conservativa: III es automático (qué mejor objeto para no alterar al fluído que el propio fluido). Por otra parte, II es cierto siempre que el fluido sea incompresible. El elemento de fluido interactúa con la Tierra y con el resto del fluido, todas fuerzas conservativas. La energía mecánica de un elemento de fluido de volumen ρ δV se conserva:

EMec = ECin + EPot Grav + EPot Fluido = Constante para el elemento de fluido El elemento de fluido tiene masa δm = ρ δV, con lo que la expresión anterior puede escribirse

δV( ½ ρ v2 + ρ g h + p) = Constante elemento fluido (4) La energía mecánica es una cantidad extensiva: cuanto más volumen tomemos, mayor será la energía mecánica. Pero existe una cantidad “intensiva”, “local”, definida en cada punto, que es la energía mecánica por unidad de volumen EMec (δV), que es la densidad de energía. La densidad de energía mecánica se obtiene dividiendo la energía mecánica (4) por δV. Como el elemento de fluido se mueve, por definición, por líneas de corriente, de (4) llegamos a

½ ρ v2 + ρ g h + p = Constante sobre líneas de corriente que no es más que el ya visto Teorema de Bernoulli.