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MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (1)

TEMA 2MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS


INDICE TEMA 2

2. MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental

2.2 Magnitudes Cinemáticas

2.2.1 Campo de Velocidades

2.2.2 Velocidades de Deformación y Giro

2.3 Magnitudes Integrales

2.3.1 Flujos Convectivos a través de la Superficie de Control

2.3.2 Magnitudes Promedio

2.4 Teorema del Transporte de Reynolds y Derivada Material

2.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds

2.4.2 Derivada Material

2.5 Magnitudes Dinámicas

2.5.1 Fuerzas Volumétricas

2.5.2 Fuerzas de Superficie

2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano

2.6 Magnitudes Termodinámicas


2.1 MÉTODOS DIFERENCIAL, INTEGRAL Y EXPERIMENTAL


1er MÉTODO:

Fijado el V.C.

Adoptar como variables las magnitudes de las partículas que están ocupando en cada instante el V.C.:

Flujo Compresible (+ general): v(x,t), p(x,t), ρ(x,t) y T(x,t).

Flujo Incompresible (ρ=cte): v(x,t) y p(x,t).

Obtener ecuaciones que relacionen estas magnitudes. Formulación de las leyes fundamentales (Flujos incompresibles: Conservación de la masa y 2ª Ley de Newton).

Se resuelven las ecuaciones (EDDP) con unas condiciones de contorno e iniciales obteniéndose (v(x,t) y p(x,t) incompresible).

PREGUNTA: Adoptado el Enfoque Euleriano. ¿cómo se formula y resuelve el análisis de un flujo?.

METODO DIFERENCIAL

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (I)


VARIABLES: v(x) y p(x)

RESULTADO: v(x) y p(x)

+CONDICIONES DE CONTORNO

( )

Vp

div

fvvrv

v

+∇⋅+−∇=

⋅

∂

∂⋅

=

2

0

µρ

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (II)

METODO DIFERENCIAL

Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla


Matemáticas: Resolución de EDDP no lineales en geometrías normalmente complejas. Necesidad de Métodos Numéricos (C.F.D)

Fenómenos físicos: En el movimiento de los fluidos existe un fenómeno denominado turbulencia que complica aún más la resolución de las ecuaciones diferenciales (de por si matemáticamente muy complejas).

Prácticas: El método diferencial proporciona una información del flujo detallada (toda-¿demasiada?).

¿Está interesado el ingeniero directamente en esta información tan detallada?

¿Se centra su interés más en magnitudes integrales del flujo? (Fuerzas, Caudales, Flujos y Potencias).

AFIRMACIÓN: El Método Diferencial se encuentra con dificultades:

CONCLUSIÓN: Adoptar un método de análisis donde las incógnitas fueran magnitudes integrales en las que el ingeniero está interesado y matemáticamente más simple.

Los únicos flujos que se analizarán por el método diferencial serán flujos en Régimen Laminar (no turbulencia) y en Geometría muy simples (unidireccionales-unidimensionales)

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (III)


2o MÉTODO:

• Fijado el V.C.

• Adoptar como variables las Magnitudes Integrales.

• Obtener ecuaciones que relacionen estas incógnitas. Formulación de las leyes fundamentales para el sistema de fluido que en el instante t estáocupando el V.C. (Flujos incompresibles: Conservación de la masa, 2ª Ley de Newton y Ec. de la energía mecánica).

• Se resuelven las ecuaciones (EDO o Algebraicas)

A este método se le denomina INTEGRAL

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (IV)


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (V)

VARIABLES: pe, ps, q y FW

RESULTADO: Ejemplo (q y FW)

+CONDICIONES PROBLEMA (Ejemplo pe y ps)

METODO INTEGRAL

Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla

−⋅⋅+⋅−⋅=

⋅+=⋅−

⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VI)

−⋅⋅+⋅−⋅=

⋅+=⋅−

⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ

PREGUNTA: ¿Qué método parece más sencillo en su formulación y proporciona respuestas prácticas de forma más inmediata en su resolución?

( )

Vp

div

fvvrv

v

+∇⋅+−∇=

⋅

∂

∂⋅

=

2

0

µρ

+CONDICIONES DE CONTORNO

METODO DIFERENCIAL METODO INTEGRAL


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VII)

ANÁLISIS INTEGRAL

ANÁLISIS DIFERENCIAL EXPERIMENTACIÓN

CONCLUSIÓN: Se utilizará el Método Integral para analizar flujos completandolo cuando sea necesario con resultados obtenidos mediante Análisis Diferencial o Experimentación

−⋅⋅+⋅−⋅=

⋅+=⋅−

⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ

Experimentación o Análisis Diferencial (C.F.D)


2.2 MAGNITUDES CINEMÁTICAS


2.2 Magnitudes Cinemáticas

E (e)O (o)

N (n)

S (s)

EO

N

S

Y

X

Particula P enel instante t

Particula P enel instante t+ t

r=v· t

X

Y

Sirven para cuantificar el movimiento de una partícula de fluido:

Desplazamiento (Velocidad)Deformación (Velocidades de deformación)Giro (Velocidad angular)

Flujo bidimensional-bidireccional


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (I)

Velocidad: Rapidez del cambio en el tiempo de la posición (desplazamiento) de una partícula de fluido respecto de un sistema de referencia fijado.

δr=vP·δt= v(x,t)·δt

•Es la propiedad más importante en el análisis de los flujos:

Es la principal magnitud cinemática. Todas las demás mag. cinemáticas se definen a partir de ella.

En flujos incompresible si se conoce v(x,t) el flujo esta resuelto.

Matemáticamente v(x,t) (Campo de velocidades). Magnitud vectorial (3 componentes escalares)

v(x,t)=u(x,y,z,t)·i+ v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k(Coordenadas Cartesianas)

v(x,t)=ur(r,θ,z,t)·ir+uθ(r,θ,z,t)·iθ+w(r,θ,z,t)·k(Coordenadas Cilíndricas)

v(x,t)=ur(r,θ,ϕ,t)·ir+uθ(r,θ,ϕ,t)·iθ+uϕ(r,θ,ϕ,t)·i(Coordenadas Esféricas)


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (II)

El campo de velocidades suele utilizarse para clasificar los flujos

Direccionalidad

-Min.:1= unidireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i

-Max.:3= tridireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i+v(x,t)·j+w(x,t)·k

Dimensionalidad

-Min.:0= Flujo Uniforme. Ejemplo: v=u(t)·i

-Max.:3= Flujo Tridimensional. Ejemplo: v=u(x,y,z,t)·i+v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k

Estacionalidad

-Estacionario. v(x)

-No Estacionario. v(x,t)


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (III)

Flujo en un conducto recto de longitud L y sección circular de radio R. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.

( ) ( ) kkv ⋅

−⋅=⋅=

2

0 1RrUrur z


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (IV)

Flujo en un conducto recto de longitud L y sección triangular equilátera de lado a. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.

A B

0

.

( ) iiv ⋅

−

⋅⋅

−⋅⋅⋅=⋅=

22

32336,),(

az

ay

azUzyuzy m


Además de desplazarse la partícula de fluido en su movimiento se deforma y gira.

Velocidad de Deformación Longitudinal según X (dXX). Rapidez específica (por unidad de longitud) del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección X de la partícula de fluido.

( )

δXDtδXD

d XX =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutuδt

tδXδttδXDtδXD

OEδt−=

−+=

→0lim

( ) ( ) ( )2δX

xu,tu,tutu eE ⋅∂∂

+== xx

( ) ( ) ( )2δX

xu,tu,tutu oO ⋅∂∂

−== xx

xud XX ∂∂

=

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (I)


Velocidad de Deformación Longitudinal según Y (dYY). Rapidez específica del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección Y de la partícula de fluido.

( )

δYDtδYD

dYY =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtvδt

tδYδttδYDtδYD

SNδt−=

−+=

→0lim

( ) ( ) ( )2δY

yv,tv,tvtv nN ⋅∂∂

+== xx

( ) ( ) ( )2δY

yv,tv,tvtv sS ⋅∂∂

−== xx

yvdYY ∂∂

=

vN. t

vS. t

Y t

Y t t

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (II)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación longitudinal son tres (dXX, dYY y dZZ):

( ) ( ) ( )zwtd

yvtd

xutd ZZYYXX ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= , ; , ; , xxx

En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):

zu ; d

ru

θu

r ; d

rud z

zzrθ

θθr

rr ∂∂

=+∂∂⋅=

∂∂

=1

θϕθ

θϕϕϕ cot1 ; 1 ; ⋅++

∂

∂⋅

⋅=+

∂∂⋅=

∂∂

=r

ur

uusenr

dr

uθu

rd

rud rrθ

θθr

rr

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (III)


Velocidad de deformación angular y giro.

( )δX

δtvvδA OE ⋅−=

( )δY

δtuuδB SN ⋅−=

( )xv

δXvv

δtδA OE

EO ∂∂

=−

==Ω

( )yu

δYuu

δtδB SN

SN ∂∂

−=−

−=−=Ω

Definiciones previas

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IV)


D

D

R

R

( )δBδAδ R −⋅=21φ

( )δBδAδ D +⋅=21φ

( )

∂∂

−∂∂

⋅=+⋅=

−⋅==

yu

xv

δtδB

δtδA

δtδ

SNOER

Z 21

21

21 ΩΩφΩ

( )

∂∂

+∂∂

⋅=−⋅=

+⋅===

yu

xv

δtδB

δtδA

δtδdd SNOE

DYXXY 2

121

21 ΩΩφ

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (V)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación angular (dXY=dYX, dXZ=dZX y dYZ=dZY) son:

∂∂

+∂∂

⋅==

∂∂

+∂∂

⋅==

∂∂

+∂∂

⋅==zv

ywdd

zu

xwdd

yu

xvdd ZYYZZXXZYXXY 2

1 ; 21 ;

21

Todas las velocidades de deformación se agrupan en una sola magnitud (tensor o matriz)denominada matriz de velocidad de deformación. Para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas:

∂∂

∂∂

+∂∂

⋅∂∂

∂∂

+∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

⋅∂∂

≡

zwSIM

yw

zv

yv

xw

zu

xv

yu

xu

21

21

21

D

dXX dXYdXZ

dYY

dZZ

dZY

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VI)



∂∂

∂∂

+∂∂⋅⋅+

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

⋅

∂∂⋅+

∂∂

⋅⋅∂∂

≡

zuSIM

zu

θu

rru

θu

r

ru

zu

θu

rru

rr

ru

z

θzrθ

zrrθr

1211

211

21

D

⋅++∂

∂⋅

⋅

∂∂⋅

⋅+

∂∂

⋅⋅+∂∂⋅

∂∂

⋅+∂∂⋅

⋅⋅

∂∂⋅+

∂∂

⋅⋅∂∂

≡

cotθr

uruu

senθr1SIM

usenθr1

senθu

θrsenθ

21

ru

θu

r1

ru

rru

senθr1

21

θu

r1

ru

rr

21

ru

θr

θrθ

rrθr

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

D

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VII)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las componentes del vector velocidad de rotación (Ω):

∂∂

−∂∂

⋅=

∂∂

−∂∂

⋅=

∂∂

−∂∂

⋅=yu

xv ;

xw

zu ;

zv

yw

ZYX 21

21

21 ΩΩΩ

La velocidad de rotación se puede expresar de forma independiente al sistema de coordenadascomo:

( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩ ∧∇⋅≡⋅=21

21

En Mecánica de Fluidos, en lugar de la velocidad de rotación, suele utilizarse el vector vorticidad(ω) definido como:

( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩω ∧∇≡=⋅= 2

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VIII)


Una vez definidas las velocidades de deformación se desea obtener la expresión de la Velocidad de Deformación Volumétrica.

Velocidad de deformación Volumétrica: Rapidez del cambio en el tiempo del volumen de una partícula de fluido expresada por unidad de volumen.

( )DtδVD

δVV 1=&

En coordenadas cartesianas

rP(X0P,t)

Z

X

Y

V.C.

r(x)Partícula P

Sistema

Y

Z

X

S.C.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) δZδYδXdddDtδVD

DtδZDδYδXδZ

DtδYDδXδZδY

DtδXD

DtδZδYδXD

DtδVD

δZδYδXδV

ZZYYxx ⋅⋅⋅++=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅⋅=

( ) ( )DTrdddDtδVD

δVV ZZYYxx ≡++=⋅=

1&

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IX)


La velocidad de deformación volumétrica de una partícula de fluido es la traza de su matriz de velocidad de deformación, cumpliéndose que:

( ) ( )[ ] ( )[ ],tdiv,tTr,tV xvxDx ≡=&

En coordenadas cartesianas:

( )zw

yv

xutV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=,x&


( ) ( )zuu

rrur

rtV zr

∂∂

+∂∂⋅+

∂⋅∂

⋅=θθ1 1,x&

( ) ( ) ( )ϕϕ

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂⋅∂

⋅=u

senθrθsenθu

senθr

rur

r,tV θr 111 2

2x&

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (X)


2.3 MAGNITUDES INTEGRALES


Las Magnitudes Integrales son las variables utilizadas en el Análisis Integral de un flujo.

• Están relacionadas con magnitudes del sistema de fluido que en el instante t estáocupando el V.C. (Masa, Cant. Mov. y Energía almacenados en el V.C y Flujos que atraviesan la S.C.)

• Se definen como integrales (volumen en V.C. o de superficie en la S.C.) de las magnitudes de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. Y por tanto forman parte de dicho sistema de fluido.

( ) ( ) ( ) ( )tmdVtdVttm VCVCV

P ≡⋅=⋅= ∫∫ ,xρρΠ

Π

Pregunta: ¿cuál es la masa del sistema Πque el instante t está ocupando el V.C.:

Respuesta: A partir del campo ρ(x,t) como VΠ(t)=VVC(t) la magnitud buscada mΠ(t) vale:

mVC(t) se denomina masa contenida en el V.C.

2.3. Magnitudes Integrales (I)


Cualquier propiedad extensiva B (masa, cantidad de movimiento o energía) del sistema de fluido que en el instante t está ocupando el V.C. es igual en ese instante a la cantidad de esa propiedad contenida en el V.C.

Siendo β(x,t) y ρ(x,t) una propiedad extensiva (masa 1, cantidad de movimiento v o energía e) y la densidad respectivamente de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. como VΠ(t)=VVC(t):

( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC

≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ

Particularizando para las propiedades masa (m), cantidad de movimiento (M) y energía (E) se tiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tEdVtettE

tdVttt

tmdVttm

VCVC

VCVC

VCVC

≡⋅⋅=

≡⋅⋅=

≡⋅=

∫

∫

∫

,,

,,

,

xx

MxvxM

x

ρ

ρ

ρ

Π

Π

Π

2.3. Magnitudes Integrales (II)


Se considera una porción S de la S.C. que es atravesada por el fluido (entra o sale del V.C.). Este fluido posee unas propiedades extensivas (masa, cantidad de movimiento y energía) por lo que existe un flujo (convectivo) de estas propiedades a través de S.

PREGUNTA: ¿cómo se definen estos flujos?

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (I)


Flujo volumétrico, caudal o gasto de fluido en S: Volumen de fluido que atraviesa S en la unidad de tiempo

Tomando un δS de S orientado por su vector unitario normal n.

El volumen de fluido δV que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:

θδSδtvδV cos⋅⋅⋅=

Por lo que el caudal volumétrico δq en δS es:

θδSδtδVδq cos⋅⋅== v

El signo δq (definido por cosθ) indica si el volumen de fluido está entrando (-) ó saliendo (+) del V.C.Ambas posibilidades se contemplan utilizando:

Svnv δδSδtδVδq ⋅=⋅⋅==

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (II)


El caudal qS que atraviesa la superficie S es la integral de todos los δq:

∫∫∫ ⋅=⋅⋅==SS vS

s ddSdqqn

Svnv

Si la integral se realiza para toda la S.C. se obtiene el caudal neto que atraviesa S.C.

( )∫∫∫ ⋅=⋅⋅==SCSCSC

SC d,tdSdqq Sxvnv

Considerando únicamente las zonas de la S.C. donde el fluido está entrando (e) o saliendo (s) la expresión de qSC puede escribirse como:

∑∑∑ ∫∑ ∫ −=⋅+⋅=e

es

se SCs SC

SC qqddqes

SvSv

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (III)


Analogamente al caudal que atraviesa una superficie S es posible definir el flujo de una propiedad extensiva B (m, M ó E) a través de la superficie S.

Tomando un δS de S que está orientado por su vector unitario normal n.

La cantidad de propiedad B que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:

θδSδtβρδB cos⋅⋅⋅⋅⋅= v

Siendo β la propiedad extensiva expresada por unidad de masa (m~1, M~v y E~e).El flujo a través de δS se define como la cantidad de propiedad B que atraviesa δS en la unidad de tiempo por lo tanto:

Sv δβρδtδBBδ ⋅⋅⋅==&

( )( )( )( )

<⋅>>⋅<

<

<⋅<>⋅>

>

Salida

Entrada

Salida

Entrada

δβδβδβδβ

Bδ

0000

0

0000

0

SvSvSvSv

&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (IV)


El flujo convectivo de propiedad B que atraviesa la superficie S es:

∫∫ ⋅⋅⋅==SS

S dBdB Svβρ&&

El flujo neto de propiedad B que atraviesa la S.C. es:

∫ ⋅⋅⋅=SC

SC dB Svβρ&

( )∫ ⋅⋅=SC

SC dm Svρ&

( )∫ ⋅⋅⋅=SC

SC dρ SvvM&

( )∫ ⋅⋅⋅=SC

SC deE Svρ&

Particularizando B:

• masa (B=m y β=1):

• Cant. de Movimiento (B=M y β=v):

•Flujo de Energía (B=E y β=e):

rP(X0P,t)

Z

X YV.C.

e1

s1

w wm

s2

S.C.

1eB&

121 sseSC BBBB &&&& ++=

1sB&

2sB&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (V)


PREGUNTA: Si el V.C. se mueve o se deforma ¿Las expresiones que proporcionan los flujos varían?.RESPUESTA: SI. Supóngase que cada elemento δS de la S.C. posee una velocidad vSUP(x,t) las expresiones de los flujos se modifican de la siguiente manera:

( ) ∫∫∫ ⋅=⋅−==SC

RSSC

SUPSC

SC dddqq SvSvv

( )[ ] ( )∫∫ ⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅=SC

RSSC

SUPSC ddB SvSvv βρβρ&

En las expresiones de los flujos en lugar de la velocidad del fluido v(x,t) aparece la velocidad del fluido relativa a la superficie.

Si vSUP(x,t)=0 el V.C. Es fijo e indeformable y se obtienen las expresiones anteriores

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (VI)


Partiendo del flujo de una propiedad que atraviesa una porción S de la S.C. Se pueden definir Magnitudes Promedio en la superficie. Son de gran utilidad a la hora de analizar con el método integral un flujo (Tema 3).

• A partir del caudal qS que atraviesa la superficie S se define la Velocidad Media (escalar) en esa superficie vS , como:

S

SS A

qv =

El caudal neto que atraviesa la S.C. puede escribirse en función de las velocidades medias como:

( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=e

es

sSC AvAvq

• A partir del flujo másico y del caudal es posible definir en una superficie la Densidad Promedio como:

S

SS q

m&=ρ

De esta forma el flujo másico neto a través de la S.C. Es:

( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=e

es

sSC qqm ρρ ˆˆ&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (I)


Análogamente con las otras propiedades extensivas

• Flujo de Cant. de Mov.: Cantidad de Movimiento por unidad de masa promedio

S

SS m&

&Mv =ˆ

( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e

es

sSC qq ρρ ˆˆˆˆ vvM& ( ) ( )

⋅−⋅⋅= ∑∑

ee

ssSC qq vvM ˆˆρ&

• Flujo de Energía: Energía promedio por unidad de masa

S

SS m

Ee&

&=ˆ

Flujo Incompresible

( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e

es

sSC qeqeE ρρ ˆˆˆˆ& ( ) ( )

⋅−⋅⋅= ∑∑

ee

seSC qeqeE ˆˆρ&

Flujo Incompresible

En el caso que el flujo sea incompresible (ρ=cte) se puede escribir:

SCe

Is

OSC qqqm ⋅≡

−⋅= ∑∑ ρρ&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (II)


2.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS Y DERIVADA MATERIAL


AFIRMACIÓN: En un flujo el valor de cualquier propiedad extensiva B del sistema que en el instante t está ocupando el V.C. es igual a la cantidad de propiedad que hay en ese instante almacenada en el V.C.

( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC

≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ

PREGUNTA: ¿Qué expresión proporcionará en función de propiedades integrales la rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B del sistema?

RESPUESTA: La rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B de un sistema se define como:

( ) ( ) ( )δt

tBttBDt

tDBδt

ΠΠΠ δ −+=

→0lim

TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (I)


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δttBttBBBttBttB

tBtB

SCVCentrasaleVC

VC

⋅++=−++=+

=&δδδΠ

Π

Sustituyendo y haciendo el límite se obtiene la expresión del TTR para la propiedad B:

SCVCΠ B

dtdB

DtDB &+=

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (II)

Y

X S.C.

Sistema en tV (t)=VVC(t)

V.C.

1

2

1


Para una propiedad extensiva genérica B (m, M o E) el Teorema del Transporte de Reynoldsexpresa que:

( ) ( ) ( )tBdt

tdBDt

tDBSC

VC &+=Π

Particularizando para:

Masa:SC

VC mdt

dmDt

Dm &+=Π

SCVC

dt

d

Dt

D MMM &+=Π

SCVC E

dtdE

DtDE &+=Π

Cantidad de movimiento:

Energía:

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (III)

[ ] [ ] ( )SCzyxVCzyxzyx MMMMMM

dt

dMMMDt

D kjikjikji ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅Π

&&&


DERIVADA MATERIAL

AFIRMACIÓN: En un flujo v(x,t) expresa matemáticamente las velocidades de las partículas de fluido que en el instante t están ocupando el V.C.

PREGUNTA: ¿Como se opera con v(x,t) para obtener la expresión de la rapidez del cambio en el tiempo de la velocidad (aceleración) de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C., a(x,t)?

RESPUESTA: En el instante t nos fijaremos en una posición x del V.C. Que esta ocupada por una partícula P.

( ) ( )δt

tδttDt

D PPδt

PP

vvva −+==

→0lim

En general la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula de fluido se expresa como:

( ) ( )δt

tδttDt

D PPδt

P ααα −+=

→0lim

A la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula se le denomina Derivada material de la propiedad α.

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (I)


2.4 Derivada Material y T.T. de Reynolds/2.4.1 Derivada Material (II)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) δt,tδ

δδt,tδtt

δδt,tδtt,tt

δt,tP

P

P

⋅=

⋅∂∂

++=+

++=+

=

+

xvr

rrvxvv

vxvvxvv

x

Sustituyendo en el límite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t,tδt

,tδt,tDtD,t

δtxv

rxvxvxvvxa ⋅∂

∂+

−+

==→0

lim

( ) ( ) ( ) ( )44 344 2143421

CONVECTIVANACELERACIÓ

LOCALNACELERACIÓ

,t,tt,t

DtD,t xv

rxvxvvxa ⋅∂

∂+

∂∂

==

Aceleración=Derivada Material de la Velocidad

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (II)


Para cualquier propiedad (extensiva o intensiva) expresada en forma euleriana, α(x,t), la expresión euleriana de la rapidez del cambio en el tiempo de α es:

321

CONVECTIVADERIVADA

LOCALDERIVADA

tDtD v

r⋅

∂∂

+∂∂

=ααα

αα∇≡

∂∂

r

Magnitud escalar (temperatura, densidad o presión) ∂α/∂r es el gradiente de α(x,t).

Magnitud vectorial (velocidad) ∂α/∂r es una matriz.

Si el flujo es estacionario y los campos de propiedades no dependen del tiempo, α(x), la parte local de la derivada material es nula y sólo existe parte convectiva:

( ) ( )xvrx⋅

∂∂

=αα

DtD

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (III)


∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∂

∂

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

rv

∂

∂

∂

∂⋅

∂

∂∂

∂

+

∂

∂⋅

∂

∂∂

∂

−

∂

∂⋅

∂

∂

=∂

∂

zuu

rr

zu

ruu

rru

zu

ruu

rru

ZZ

r

rrr

θ

θ

θθθθ

θ

1

1

1

rv

⋅++

∂

∂⋅

⋅∂

∂⋅

∂

∂

⋅−

∂

∂⋅

⋅

+

∂

∂⋅

∂

∂

−

∂

∂⋅

⋅

−

∂

∂⋅

∂

∂

=∂

∂

θϕθθ

θϕθθ

ϕθθ

θϕϕϕ

ϕθθθ

ϕθ

cot11

cot11

11

ru

ruu

senru

rru

ruu

senrruu

rru

ruu

senrruu

rru

r

r

rrr

rv

Coordenadas Cartesianas:

Coordenadas Cilíndricas (Tablas Apuntes):

Coordenadas Esféricas (Tablas Apuntes):

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (IV)


2.5 MAGNITUDES DINÁMICAS


2.5 Magnitudes Dinámicas.2.5.1 Motivación

2ª Ley de Newton

extDtD FM

Σ=ΠextSC

VC

dtd FMM

Σ=+ &

Si Π está ocupando el VC en t

extpp m

DtD

Fv

δδ Σ=⋅Si p está ocupando la

posición x en t

( ) ( ) extVtxtx Fa δδ,, Σ=⋅⋅ ρ

( ) ( ) ( ) ( )txtxt

txtx ,,,, vr

vva ⋅∂

∂+

∂∂

=


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (I)

+ Fuerzas de Π sobre Entorno

+ Fuerzas de Entorno sobre Π


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (II)

Fuerzas sobre el fluido:

• Fuerzas VolumétricasDistribuidas en todo el volumen.Depende del volumen.No es necesario el contacto entre el sistema y el entorno.

• Fuerzas de SuperficieDistribuidas en la superficie.Dependen de la superficie. No del volumen.Son debidas al contacto entre el sistema y el entorno.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (I)

( ) ( ) ppVpV Vδ δ⋅= fF

Siendo fV la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre una partícula del sistema.

dVdV

VV

VV ⋅== ∫∫ΠΠ

fFF

Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema de fluido.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (II)

( ) ( ) ( ) VtVδ VpVpV δ,δ ⋅=⋅= xffF

( )∫ ⋅≡VC

VV dVt,xfF

Considerando el sistema Π que en el instante testá ocupando el V.C. En el instante t VΠ(t)=VVC(t).

Sobre una de sus partículas situada en x estáactuando una fuerza de volumen:

fV será función de (x,t) expresa la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre las partículas que en el instante testán ocupando el V.C.

Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema que en el instante t estáocupando el Volumen de Control.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (III)

( ) ( ) ggVG gtt eegxxf ⋅=⋅⋅=⋅= γρρ ,,

Las fuerzas de volumen son normalmente conocidas siendo la más habitual la debida a un campo gravitatorio:

γ=ρ·g es el peso específico del fluido. [γ]=F·L-3=M·L-2·T-2

Otras fuerzas que pueden aparecer también son:Fuerzas de inercia (Sistema de Referencia No Inercial):

( )carrVI aaf +⋅−= ρ


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (I)

( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅= Sδ SEδsup tF ( ) ( ) ( )EESE

Sδ δsup ⋅=→Π

tF

( ) ( )Π→→Π

−=EE

δδ supsup FF

( ) ( )ESS tt −=Πt es el vector tensión que expresa la fuerza por unidad de superficie.

ESS ≡Π

Z

X Y

( )S( )

sup E

S( )

( )


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (II)

),( nft punto=


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (III)

),( nft punto=

Hipótesis de Cauchy nTt ⋅=

( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅⋅= Sδ SSEδsup nTF

( ) ( ) ( )EESSESδ δsup ⋅⋅=

→ΠnTF

( ) ( )Π→→Π

−=EE

δδ supsup FFComo nS(Π)=-nS(E)

( ) ( )( )∫Π

ΠΠ→ ⋅⋅=S

SSES dSnTF

( ) ( )( )

( )( )∫∫Π

Π→Π ⋅⋅−=⋅⋅=S

SSES

ESSES dSdS nTnTF

Resultantes de las fuerzas de superficie que actúan sobre el sistema y sobre su entorno.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (IV)

Considerando el sistema Π que en el instante t estáocupando el V.C.VP(t)=VVC(t) y SΠ(t)= SE(t)=SSC(t).La matriz de tensiones T será función de x y de t

( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅⋅= scSCSCE

Stδ δ,sup nxTF

( ) ( ) ( ) ( )EscESCSCEStδ δ,sup ⋅⋅=

→ΠnxTF

( ) ( )∫ ⋅⋅≡Π→SC

ES dSt nxTF ,

( ) ( )∫ ⋅⋅−≡→ΠSC

ES dSt nxTF ,

Resultantes de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control y la que este sistema ejerce sobre el Entorno.

Como nSC(Π)=n=-nSC(E)


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (V)

( ) ( )∫ ⋅⋅≡Π→SC

ES dSt nxTF ,

( ) ( )

( )

( ) ( ) Π→→Π

Π→Π→

++Σ+ΣΠ→

−=

+++=

⋅⋅=⋅⋅≡

∑∑

∫∫

ESES

Eww

ee

ssES

wwSCES

m

mes

dSdSt

FF

FFFFF

nTnxTF ,

Resultante de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el Sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control


SSNNOOEES δSδSδSδSδ ⋅+⋅+⋅+⋅= ttttF

; ; ; SSSNNNOOOEE nTtnTtnTtnTt E ⋅=⋅=⋅=⋅=

; ; - ; jnjninin −==== SNOEδZδXδSδZ ; δSδYδSδS SNOE ⋅==⋅==

( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOES ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−= jTTiTTF

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VI)

Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.


( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOES ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−= jTTiTTF

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2,,

δYy

,t,t

δYy

,t,t

δXx

,t,t

Xx

tt

sS

nN

oO

e

⋅∂∂

−==

⋅∂∂

+==

⋅∂∂

−==

⋅∂∂

+==

TxTxTT

TxTxTT

TxTxTT

TxTxTTEδ

δVjy

tx

ty

tx

tδZδYδXy

ty

tx

tx

tδ yyyxxyxxyyxyyxxxS ⋅

⋅

∂

∂+

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂∂

=⋅⋅⋅

⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

⋅

∂

∂+⋅

∂∂

= ijijiF

( )[ ] δVtdivδ S ⋅= ,xTF

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VII)

Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.


( )[ ]

( )

( )

( )

∂∂

+∂∂⋅+

∂⋅∂

⋅

∂∂

+∂∂⋅+

∂⋅∂

⋅

−∂∂

+∂∂⋅+

∂⋅∂

⋅

=

ztt

rrtr

r

ztt

rrtr

r

rt

ztt

rrtr

r

tdiv

zzzzr

zr

rzrrr

θ

θ

θ

θ

θθθθ

θθθ

11

11

11

,2

2xT

( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅+

∂

∂⋅

⋅+

∂

⋅∂⋅

⋅+

∂

⋅∂⋅

⋅−

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂⋅∂

⋅

+−

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂⋅∂

⋅

=

rtt

senrsent

senrrtr

r

rtt

senrsent

senrrtr

r

rttt

senrsent

senrrtr

r

tdiv

r

r

rrrr

θϕθθ

θθ

θϕθθ

θθ

ϕθθθ

θ

ϕθϕϕϕθϕ

ϕϕθϕθθθ

ϕϕθθϕθ

cot111

cot111

111

,

3

3

3

3

2

2

xT


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VIII)

( )[ ] kjixT ⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

tyt

xt

zt

yt

xt

zt

yt

xt,tdiv zzzyzxyzyyyxxzxyxx


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (I)

2ª Ley de Newton

extDtD FM

Σ=ΠextSC

VC

dtd FMM

Σ=+ &

Si Π está ocupando el VC en t

extpp m

DtD

Fv

δδ Σ=⋅Si p está ocupando la

posición x en t

extV Fa δδ Σ=⋅⋅ ρ

( ) ∫ ∫∑ ⋅⋅+⋅≡+= Π→VC SC

VESVext dSdV nTfFFF

( )[ ] VdivVSVext δδδδ ⋅+=+=∑ TfFFF


AFIRMACIÓN: La fuerza total sobre una partícula de fluido es:

( )[ ] δVdivδ V ⋅+= TfF

Este término aparecerá en la ecuación de la 2ª ley de Newton.

( )[ ] δVdivδVDtD

V ⋅+=⋅⋅ Tfvρ

PREGUNTA: En un flujo incompresible las incógnitas eran p(x,t) y v(x,t)

• ¿Dónde aparece la presión?.

• Como se eliminan las tensiones (T)

RESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVARESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVA

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)


2.5 Propiedades Dinámicas/2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)

En general las relaciones constitutivas son expresiones entre las variables de un problema que permiten modelar el comportamiento del sistema estudiado. Se deducen de la experiencia no de las leyes fundamentales (sin violarlas).

0=−⋅ NAσ E⋅=εσ

AE

N⋅

=δ

Ejemplo: Viga sometida a esfuerzo axial se desea relacionar la deformación δ con la solicitación N:

Relación Constitutiva

Lδε =

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (III)


La ecuación constitutiva de un fluido relaciona su matriz de tensiones (T) con :

Presión (p)

Velocidad de deformación (D):

La matriz de tensiones se descompone en una Parte Hidrostática (TH) y en otra ParteDesviadora (TD). Cumpliéndose que tr(TD)=0.

DH TTT += ( )

ITTTT

ITT

⋅−=−=

⋅⋅=

ββ

HD

H tr434213

1

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (IV)


AFIRMACIÓN: Un sistema de fluido que en todos sus puntos tenga una matriz de tensiones hidrostática no está sometido a ninguna fuerza de cizalladura:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠΠΠΠΠ→ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= δSδSδSδ HESUP nnInTF ββ

1. En un fluido en reposo sólo existe parte hidrostática de la matriz de tensiones.

2. La parte desviadora estará asociada al movimiento y por tanto a la velocidad.

Evidencias experimentales establecen que:

• El valor β coincide con la presión termodinámica (β=-p).

• TD se relaciona con la matriz de velocidades de deformación D. La relación más sencilla es:

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (V)

( ) ( )

⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt

312, µ


Al coeficiente µ se le denomina viscosidad dinámica del fluido o simplemente viscosidad y es una propiedad termodinámica (depende de la presión y la temperatura).

Los fluidos que poseen la relación constitutiva se les denomina FLUIDOS NEWTONIANOS. Los fluidos más comunes son newtonianos (ejemplos: agua, aire, mercurio, aceites)

En ocasiones se trabaja con la denominada viscosidad cinemática ν=µ/ρ.

[µ]=M·L-1.T-1 en el S.I. sus unidades son kg/(m·s) ó N·s/m2.[ν]=L2·T-1 en el S.I. sus unidades son m2/s.

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VI)

( ) ( )

⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt

312, µ


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)

En el caso de un flujo incompresible (µ=cte) y tr(D)=div(v)=0. La relación constitutiva se reduce a:

( ) ( ) ( )ttpt ,2,, xDIxxT ⋅+⋅−= µ

Quedando la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula como:

( )[ ] ( ) VpVdivp δδ2δ 2S ⋅⋅∇⋅+∇−=⋅⋅+∇−= vDF µµ

Siendo:

kjiv ⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

( ) Vp Vext δδ 2 ⋅+⋅∇⋅+∇−=∑ fvF µ


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)

En un sistema de coordenadas cartesiano:

En los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico (Tablas Apuntes):

( )

∂∂⋅+−

∂∂

+∂∂⋅⋅

+∂∂⋅⋅+−

∂∂

+∂∂

⋅

∂∂⋅+

∂∂

⋅⋅∂∂⋅+−

≡

zupSIM

zuu

rruu

rp

ru

zuu

rru

rr

rup

tzr

z

zr

zrrr

µ

θµ

θµ

µθ

µµ

θ θθ

θ

2

112

12

,,,T

( )

⋅++

∂

∂⋅

⋅⋅+−

∂∂⋅

⋅+

∂∂

⋅

+∂∂⋅⋅+−

∂∂

⋅+∂∂⋅

⋅⋅

∂∂⋅+

∂∂

⋅⋅∂∂⋅+−

≡

θϕθ

µ

ϕθθθθµ

θµ

ϕθµ

θµµ

ϕθ

θϕ

θϕθ

ϕθ

cot12

112

112

,,,

ru

ruu

senrpSIM

usenrsen

ur

senr

uur

p

ru

rru

senru

rru

rr

rup

tr

r

r

rrr

T

( )

∂∂⋅+−

∂∂

+∂∂

⋅∂∂⋅+−

∂∂

+∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

⋅∂∂⋅+−

≡

zwpSIM

zv

yw

yvp

xw

zu

xv

yu

xup

tzyx

µ

µµ

µµµ

2

2

2

,,,T


2.6 MAGNITUDES TERMODINÁMICAS


Densidad (ρ) y Presión (p).

Densidad: [ρ]=M.L-3.En el S.I. sus unidades son kg/m3.

• En ciertas ocasiones la densidad de un fluido (a) (ρa) se expresa como un valor relativo(sa) a la de otro fluido de referencia (ρb).

babas ρρ=

• En Mecánica de Fluidos, sobre todo en Estática de Fluidos, suele emplearse mucho, el Peso Específico de un fluido (γ)

g⋅= ργ

[γ]=M.L-2.T-2=F.L-3 y sus unidades en el S.I. son kg/(m2.s2) ó N/m3

Así por ejemplo el mercurio (Hg) tiene una densidad relativa al agua swHg=13.6.

Los fluidos de referencia suelen ser fluidos comunes cuya densidad es bien conocida, como por ejemplo el agua en el caso de líquidos y el aire en el de gases.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (I)


• Presión absoluta (pabs). Valor siempre (+). Rango: 0<pabs<∞

• Presión Manométrica (pman=pabs-patm). Valor (+) ó (-). Rango: -patm<pman<∞

El valor de diseño de la presión atmosférica local es de 101.3 kPa=1003 mBar

¡OJO! EN RELACIONES TERMODINÁMICAS NO PUEDEN UTILIZARSE PRESIONES MANOMÉTRICAS

2.6 Magnitudes Termodinámicas (II)


Presión: Diferentes formas de expresar una presión (manométrica o absoluta).

[p]=F.L-2=M.L-1.T-2.

En el S.I. Sus unidades son el Pascal 1 Pa=1 N/m2. También es muy frecuente utilizar el Bar, 1 Bar=105 Pa.

Es posible expresar una presión como una altura de columna de un fluido. Si se elige un determinado fluido (a) que se encuentra a una presión p, dicha presión se puede expresar como una altura de ese mismo fluido ha así como de otro fluido (b), hb, cumpliéndose que:

bbaa hhp γγ ⋅=⋅=

Si se elige otro fluido (c) para expresar como una altura la presión p, las diferentes alturas que expresan la misma presión se relacionan mediante:

ccbbaa hhhp γγγ ⋅=⋅=⋅=

ac

ab s

a

cc

s

a

bba hhh

ρ

ρ

ρ

ρ⋅=⋅=

[ha]=L de a.

En el S.I. metros de columna de a.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (III)


aa hpp ⋅+= γ0

• pa>p0 ya que ha>0 Þ (ph)a>0• pb<p0 ya que hb<0 Þ (ph)b<0

( ) aaha hppp ⋅==− γ0

Fluido en reposo bajo la acción de la gravedad. Sólo existe presión y ésta varía únicamente en la dirección de la gravedad y de forma lineal.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (IV)

tema 2 magnitudes del anÁlisis de flujos de fluidos€¦ · mecÁnica de fluidos curso 2006-2007...

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