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José Agüera Soriano 2011 1

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA


•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS

Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA


EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS

Las ecuaciones fundamentales de un flujo noson generalmente suficientes para una solucióncompleta del problema.

En Mecánica de fluidos que pueden intervenirhasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6;pero todavía es excesivo.


Mediante el análisis dimensional podemos formaragrupaciones adimensionales y trabajar con ellasen lugar de con las magnitudes físicas reales. Conello se reduce el número de variables a (n−m):

n = número de magnitudes físicas que intervienenm = número de magnitudes básicas que intervienen


Cuantas menos agrupaciones resulten, menosexperiencias hay que hacer: una agrupaciónrequeriría una experiencia; dos agrupacionesvarias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).

Una ventaja adicional que nos proporciona lateoría dimensional es la de predecir los resultadosde un proyecto, en base a los obtenidos ensayandocon un modelo a escala.


ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial.

),( FΣ),( iF

22212

23

)(

)()(

ultlltllamFF i

⋅⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅==Σ−

−

ρρ

ρ

Expresemos la resultante o fuerza deinercia que provoca la aceleración delflujo, en función de la velocidad u:


Fuerza de presión (p):

µ

Fuerza elástica (K):

)(σFuerza tensión superficial

Fuerza de gravedad (g):

Fuerza viscosa ( ):

Fp = l 2 · p

Fg = l 3 ·ρ ·g

Fr = l 2 ·τ = l · u · µ

Fσ = l · σ

FK = l 2 · K


Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:22232 ullKlulglpl ⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ ρσµρ

expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre confrecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.

Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:

en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugarde las 8 (dimensionales).

f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0

0 , , , , 2222 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅ uluK

ulugl

up

ρσ

ρρµ

ρϕ


Coeficiente de presión

Número de Froude gl

u⋅

=Fr

Número de Reynolds νµ

ρ ulul ⋅=

⋅⋅=Re

Número de Mach au

Ku

==ρ

Ma

Número de Weber l

u⋅

=ρσ

We

0 , , , ,2

2 =

⋅

⋅⋅ l

uKuul

glu

up

ρσρνρϕ

0 , , , , 2222 =

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ ulu

Kulu

glu

pρ

σρρ

µρ

ϕ

22up ρ

=


=22u

p ρ

Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:

En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuyaintervención sea nula o poco importante.

=22u

p ρ

f (Fr, Re, Ma, We)

f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)

0 , , , ,2

2 =

⋅

⋅⋅ l

uKuul

glu

up

ρσρνρϕ


Wiliam FroudeInglaterra (1810-1879)


Osborne ReynoldsBelfast (1842-1912)


Ernst MachAustria (1839-1916)


Moritz WeberAlemania (1871-1951)


Ensayos con modelos

No es necesario ensayar con el mismo fluidoque utilice el prototipo. El agua y el aire sonlos fluidos que generalmente se utilizan.

Los modelos se hacen de materiales diversosmadera, escayola, metales, hormigón, plásticoetc.


Los ensayos de canalizaciones, puertos,presas, aliviaderos, etc, se hacen en loslaboratorios de hidráulica.

Los ensayos de modelos de aviones, y engeneral de cuerpos sumergidos, se hacen entúneles de viento y en túneles de agua.

Los ensayos de barcos se hacen en los llamadoscanales hidrodinámicos.


Leyes de semejanzaDos corrientes fluidas son semejantes cuando laslíneas de flujo de una lo sean respecto a lashomólogas de la otra; diremos entonces que existesemejanza cinemática. Para ello es necesario,

33m

3p2

2m

2p

m

p ; ; λλλ ===l

l

l

lll

Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem

a) Semejanza geométrica

b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogoshan de ser semejantes:

siendo λ la escala.


a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude,

Frp = Frm

b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,

Rep = Rem

c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,

Map = Mam

d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,

Wep = Wem


mp FrFr =

mm

m

pp

p

glu

glu

⋅=

⋅m

p

m

p

gg

uu

⋅= λ

21

m

p λ=uu

Semejanza de Froude

y si gp = gm, como es lo habitual:

Por ejemplo, si λ = 25 , up /um = 5.

Relación de velocidades


)( uSQ ⋅=

m

p

m

p

m

p

uu

SS

QQ

⋅= 25

m

p λ=QQ

)( 3lF ⋅= γ

3

m

p

m

p λγγ

⋅=FF 3

m

p λ=FF

Relación de caudales

Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.

Fp/Fm = 15625.

Relación de fuerzas

Si γp = γm,

Para λ = 25,


)( uFP ⋅=

213

m

p

m

p

m

p λλ ⋅=⋅=uu

FF

PP

27

m

p λ=PP

Relación de potencias

Pp/Pm = 78125.

Si γp = γm,

Para λ = 25,


mp ReRe =

mpm

p

m

p

m

mm

p

pp 1 ;llu

uulul⋅=

⋅=

⋅

νν

νν

λνν 1

m

p

m

p ⋅=uu

Semejanza de Reynolds

up/um = 1/25.


Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y

Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,a menos que la escala sea la unidad.


)( uSQm ⋅⋅=⋅= ρρ&

λνν

λρρ

ρρ 1

m

p2

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p ⋅⋅⋅=⋅⋅=uu

SS

mm&

&

λµµ

λνν

ρρ

⋅=⋅⋅=m

p

m

p

m

p

m

p

mm&

&


Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo frecuente es que sólo intervenga una.


)( µ⋅⋅= ulF

mm

pp

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p 1ρνρν

λνν

λµµ

⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

uu

ll

FF

m

p2

m

p

m

p

ρρ

νν

⋅

=

FF


Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:

el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta sumenor superficie de rozamiento.


mp MaMa =

mm

m

pp

p

ρρ Ku

Ku

=

mm aa

uu pp =

)( SuQm ⋅⋅=⋅= ρρ&

m

p

m

p

m

p

m

p

SS

uu

mm

⋅⋅=ρρ

&

&

2

m

p

m

p

m

p λρρ

⋅⋅=aa

mm&

&

Semejanza de Mach




)( SKF ⋅=

ρλ Ka

KK

SS

KK

FF

=⋅=⋅= comoy ;2

m

p

m

p

m

p

m

p

22

m

p

m

p

m

p λρρ

⋅

⋅=

aa

FF


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