1

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE YORUMLAMA SÜRECİ

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARI

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE YORUMLAMA SÜRECİ

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME

DAĞILIMLARI

•TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ•ÖRNEKLEME DAĞILIMI •NOKTA TAHMİNİ VE GÜVEN ARALIKLARI

2

İstatistiksel metotlar

İstatistiksel metotlar

Tanımlayıcı istatistikler

Yorumlayıcı istatistikler

Tahminleme Hipotez Testi

3

Yorumlayıcı İstatistikler

• Aralık tahminleme ve hipotez testlerini içerir.

• Amacı populasyon karakteristikleri hakkında karar vermektir.

Populasyon?

4

Tahmin süreci

Ortalama, , bilinmiyor

Populasyon Şans örneği%95 eminim ki, 0 ile 60

arasındadır. Ortalama

= 50X

5

Bilinmeyen populasyon parametreleri tahminlenir

Populasyon parametresini

Örnek istatistiğiyleTahminle!

Ortalama

Oran P p

Varyans s2

Farklar 12 1 2

X

X X

2

Tahminleyicilerin Özellikleri

Sapmasız Sapmalı

BAX

)(XP 1. Sapmasızlık

N birimlik aynı anakütleden farklı sayıda örneklem seçilebileceği için tahmin edicinin değeri de seçilen örnekleme göre değişmektedir. Bu durumda örneklem sayısı kadar elde edilen tahmin edici, bir rassal değişken olup, ortalaması ve varyansı olan bir olasılık dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değerinin anakütle parametresine eşit olmasına, diğer bir ifadeyle bir istatistiğin beklenen değeri ile bilinmeyen anakütle parametresi arasındaki farkın sıfıra eşit olmasına “sapmasızlık” denir.

E(X) E(X) 0

Tahminleyicilerin Özellikleri 2. Tutarlılık (Kararlılık)

Küçük örnek hacmi

Büyük örnek hacmi

A

B

)X(P

X

Örneklemdeki birim sayısı sonsuza doğru arttırıldığında, tahmin edicinin değerinin anakütle değerine yaklaşması ve n=N olması durumunda aralarındaki farkın sıfıra inmesi özelliğine “tutarlılık” denir.

nlim P 1

,’nın tutarlı tahmincisidir.

Tahminleyicilerin Özellikleri 3. Etkinlik

A

B

X

)X(P

Birden fazla sapmasız ve tutarlı tahminci olması durumunda, bir tahmincinin varyansının, aynı anakütle parametresinin başka bir tahmincisinin varyansından daha küçük olması durumunda elde edilen tahmincilere “etkin” tahminci adı verilmektedir.

Etkin Tahminci

9

ÖRNEKLEME DAĞILIMI

ORTALAMALARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Ortalamaların örnekleme dağılımı anakütle ortalamasının iyi bir tahmincisidir.

Her biri n hacimli çok sayıda örneğe ait ortalamaların gösterdiği dağımın değişkenliği tek örneğin değişkenliğinden daha azdır.

Standart sapma bir örneğin değişkenliği hakkında bilgi verirken ,

Ortalamaların örnekleme dağılımının değişkenliği standart hatayla gösterilir.

10

Aşırı değerlerin etkisinin önemli ölçüde yok edilmesi, ortalamaların örnekleme dağılımının değişkenliğini azaltıcı bir faktördür.

Ana kütle standart sapması bilindiğinde standart hata

xx n

eşitliğiyle hesaplanır. Standart z değerleri

XZx

formülüyle hesaplanır. Ortalamaların örnekleme dağılımında

XX xx xx yerini alır.

11

XZx

xXZ

x

Herhangi bir değerinin standart Z değerine dönüştürmesinde X

eşitliği kullanılır.

Z = 0

z= 1

Z

Örnekleme dağılımı Standart normal dağılım

X

X

X

12

Normal populasyondan örnekleme

•Merkezi eğilim

•Yayılım

– yerine koyarak örnekleme

Populasyon dağılımı

Örnekleme dağılımın =16X = 2.5

n = 4X = 5

= 10

X

nX

X

50X

50 X

13

Alıştırma

• Türk telekomda çalışan bir operatörsünüz. Uzun mesafeli telefon görüşmeleri = 8 dk. & = 2 dk. İle normal dağılmakta. Eğer 25 aramalık örnekler seçerseniz örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk. arasında olacaktır?

14

Çözüm

Örnekleme dağılımı

.3830

.1915.1915

Standart normal dağılım

ZX

n

ZX

n

7 8 82 25

50

8 2 82 25

50

..

..

8

X = .4

7.8 8.2 0

Z = 1

-.50 Z.50X

15

ORANLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMIOranların örnek dağılımının ortalaması anakütle oranına eşittir.

P

P 1 Pn

p PZ

P 1 Pn

ÖRNEK: Büyük bir alışveriş merkezinde 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan müşterilerin %30’unun kredi kartı kullandığı tespit edilmiştir. 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan 100 müşteri için oranların örneklem dağılımının standart hatası nedir?

P

P 1 P 0.30 1 0.300.0458

n 100

16

ORANLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMIAynı örnek için 15000 YTL’den fazla alışveriş yapan 100 müşteriden %20 ile %25’inin kredi kartı kullanması ihtimalini hesaplayınız.

1

1p P 0.20 0.30Z 2.18

0.30(1 0.30)P 1 P100n

2

2p P 0.25 0.30Z 1.09

0.30(1 0.30)P 1 P100n

P(0.20 P 0.25) P( 2.18 Z 1.09) 0.4854 0.3621P(0.20 P 0.25) 0.1233

-2.18 -1.09

0.4854

0.36210.1233

17

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Ortalamalar arası farkın örnek dağılımının ortalaması μ1 – μ2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

2 21 2

X X1 2n n

1 2 1 2

2 21 2

1 2

X XZ

n n

18

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un paketleri test edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04kg; ikinci fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart sapması 0.05 kg bulunmuştur. Anakütle standart sapmaları bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle ortalamalar arası farkın standart hatası,

1 2

2 2 2 21 2 1 2

X X1 2 1 2

2 2

s sn n n n

(0.04) (0.05) =100 120

= 0.006

19

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Oranlar arası farkın örnek dağılımının ortalaması P1 –P2 ve standart hatası da 1 - 2 ile gösterilir.

1 2

1 1 2 2P P

1 2

P 1 P P 1 Pn n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

p p P PZ

P 1 P P 1 Pn n

20

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI

Örnek: Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir. Tesadüfi olarak birinci fabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150 mamul seçilmiş ve birinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.09, ikinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarak gözlenmiştir. Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatası:

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2P P

1 2

P P

P P

P 1 P P 1 Pn n

0.08 0.92 0.05 0.95100 150

0.0324

21

İstatistiksel Tahminleme

Nokta Tahmini Aralık Tahmini

Pp

σsμ

X

.035P0.253.4σ2.5

60μ202

Populasyon parametresinin tek bir tahmin değerini verir

Populasyon parametresinin tahmin aralığını verir. Nokta

tahmini kullanılarak hesaplanır.

22

Örneğin yeterince büyük olmaması veya bir örnekten elde

edilen istatistiğin bir başka örnekten sağlanan istatistikle

aynı olmayışı yüzünden anakütle parametresini bir noktada

tahmin etmek yanlış sonuçlar doğurabilir.

Bu yüzden anakütle parametresi belirli bir hata seviyesi göz

önüne alınarak belirli bir aralıkta aranır. Hata terimini ile

gösterirsek, 1- güven seviyesinde aralık tahmini

yapabiliriz.

Hata terimi normal eğrinin her iki ucunda eşit olarak yer alır.

23

Bu /2 lik hata terimine karşılık gelen ± Z değerleri

belirlenerek örnek dağılımının standart hatası ile

çarpıldığında hata payı elde edilir.

Hata payının örnek istatistiğine eklenip çıkarılması ile aralık

tahmini yapılır. Bu şekilde, anakütle parametresinin belirli

aralıkta yer aldığını, 1- güven seviyesinde söyleyebiliriz.

Güven sınırlarından küçük olanına alt güven sınırı, büyüğüne

ise üst güven sınırı denir.

Hata terimi küçüldükçe güven aralığı genişler. Güven

sınırlarının belirleneceği olasılık seviyesine göre Z değeri

değişir.

2424

Güven Aralığı Tahmininin Elemanları

Güven aralığı Örnek istatistiği

Alt güven sınırı Üst güven sınırı

Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin olasılığı

Güven Aralığı Tahmini Bir değer aralığı verir. Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi

verir. Olasılık terimleriyle ifade edilir.

25

Güven Aralığı Tahminleri

Ortalama

Güven Aralıkları

Oran

bilinmiyor biliniyor

Varyans

n<30n30

t dağılımıZ dağılımı

26

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Bir örnekden elde edilen istatistiği anakütle ortalaması

x in nokta tahminidir.

Gerçek anakütle ortalaması, 1- güven seviyesinde

X

X X2 X 2P X z X z 1

n n

aralığında yer alır.

27

Örneklerin 90%

Örneklerin 95%

Örneklerin 99%

x_

X Z X Z nX

X2.58 1.645 1.645 2.58X X X X

X X X X

1.96 1.96X XX X

28

Aralıklar ve güven seviyesi

Ortalamanın örnekleme dağılımı

Çok sayıda aralık

aralık Aralıkların %(1 - ) ‘ı ’yü kapsar. ‘sı kapsamaz.

x =

1 - /2/2

X_

x_

uzanirkadaraX

ZX

danX

ZX

'

'

29

• Bilinmeyen populasyon parametresinin aralık içine düşme olasılığıdır.

• %(1 - güven seviyesi

Parametrenin aralık içinde olmaması olasılığıdır.

• Tipik değerler %99, %95, %90

Güven Seviyesi

30

%95 güven sınırları belirlenirken hatası 1-0.95=0.05 dir. Bu

hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

/2 =0.05/2=0.025 dur.

Bu alanları belirleyen biri negatif, diğeri pozitif iki Z değeri

vardır.

Normal eğri alanları tablosunda

0.50-0.025=0.4750 değerini gösteren Z= ±1.96 değerleri

aradığımız Z değerleridir.

31

%99 güven sınırları belirlenirken

hatası 1-0.99=0.01 dir.

Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında

/2=0.01/2=0.005 bulunur.

Normal eğri alanları tablosunda

0.5-0.005=0.4950 değerini gösteren Z= ±2.58 değerleri aradığımız

Z değerleridir.

32

Aralık genişliğini etkileyen faktörler

• Verilerin yayılımı (• Örnek hacmi• Güven seviyesi (1 - )

Aralık

uzanir.ya'

dan'X

ZXX

ZX

xx n

33

Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 ürünün ortalama ağırlığı

1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat

prosesinde üretilen ürünlerin ortalama ağırlığı %95 güvenle

hangi aralıktadır?

Z = 0 z=1.96

/2=0.05/2=0.025

%95 için z değeri ± 1.96 0.475

z=-1.96

34

X X2 X 2P X z X z 1

n n

X25 25P 1040 1.96 1040 1.96 0.95100 100

XP 1035.1 1044.9 0.95

35

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde ve nn 30 30 olduğunda ortalama için güven aralığı1. Varsayımlar:

Popülasyonun standart sapması bilinmiyorPopulasyon normal dağılımlı.

2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı kullanılır.

3. Güven aralığı tahmini:Örneğin standart sapması

α1)n

SZXμn

SZXP( xα/2

xα/2

36

Örnek

•Bir ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya sürüyor. Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak seçiliyor ve bunların standart sapması 140 saat, kulanım süreleri de ortalama olarak 1280 saat bulunuyor. =0.05 için populasyon ortalamasının güven aralığını bulunuz.

10014096.11280

10014096.11280

95.0)44.130756.1252(P

α1)n

SZXμn

SZXP( xα/2

xα/2

Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95 olasılıkla 1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.

P( )=0.95

37

Bir Oranın Güven Aralığı

1. Varsayımları– İki kategorik çıktı vardır.– Populasyon binom dağılımı gösterir.

2. Güven aralığı tahmini:

α/2 p α/2 pP(p Z .S P p Z .S ) 1 α

.p

p qSn

xpn

Örnek hacmi

Özellikli birim sayısı

Örnek oranı p anakütle oranı P nin nokta tahminidir.

38

•400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci üniversite sınavını kazanmıştır. Üniversite öğrencilerinin sınavı kazanma

oranı için %95’lik güven aralığını bulunuz.

α/2 p α/2 pP(p Z .S P p Z .S ) 1 α

32 0.08400

p

ÖRNEK:

0.08 1 0.08 0.08 1 0.08P 0.08 1.96 P 0.08 1.96 0.95

400 400

P 0.053 P 0.107 0.95

39

İki Ortalamanın Farkı İçin Güven Aralığı

Örnek ortalamalarından büyük olan ile gösterilirse örnek

ortalamaları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları

arasındaki farkın güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

1X

Populasyon Varyansları Biliniyorsa:

1

nnZXX

nnZXXP

2

22

1

21

2/21212

22

1

21

2/21

α1nS

nSZXXμμ

nS

nSZXXP

2

22

1

21

α/2,21212

22

1

21

α/2,21

Populasyon Varyansları Bilinmiyor fakat n > 30 olduğunda:

40

Örnek

Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B

sınıfında klasik yöntemlerle eğitim verilmektedir. Kursun

başlangıcından 6 hafta sonra her iki sınıfa da aynı test

uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A sınıfından rassal

olarak seçilen 40 öğrencinin test sonucunda elde ettiği ortalama

başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rassal

olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve

standart sapması 14’tür. Her iki sınıftaki öğrencilerin ortalama

başarı notları arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla

belirleyiniz.

41

1 1 1

2 2 2

X 86 S 12 n 40

X 72 S 14 n 35

2 2 2 21 2 1 2

1 2 α/2 1 2 1 2 α/21 2 1 2

S S S SP X X μ μ X X 1 αn n n n

Z Z

99.035

1440

1258.22768μμ35

1440

1258.27268P22

21

22

99.082.21μμ18.6P 21

Örnek

İstanbul’daki üniversite öğrencilerinden rastsal olarak seçilen bir grup öğrenci ile Ankara’daki üniversite öğrencilerinden rastsal olarak seçilen bir grup öğrencinin aylık harcamaları TL olarak aşağıdaki gibidir:

İstanbul X1 25 40 30 40 50 30 60 45Ankara X2 45 20 15 30 35 25 40

İki örneğin ortalaması sırasıyla 40 ve 30TL ve varyansları da 144 ve 121 olarak bulunmuştur. Anakütle varyanslarının bilinmediği ve eşit olduğu varyasımı altında iki ildeki öğrencilerin aylık harcamalarının farkının %95 güven aralığını hesaplayınız.

Ortalamalar arası Farkların Güven Aralığı(Varyansların Eşit Olması)

Ortalamalar arası Farkların Güven Aralığı(Varyansların Eşit Olması)

1 2

2 22 1 1 2 2X X

1 2

( 1) ( 1)S2

s n s n

n n

1 2 1 2X X X X1 2 1 2

1 2 α/2,n 2 1 2 1 2 α/2,n 21 2 1 2

1 1 1 1P X X μ μ X X 1 α

n nt S t S

n n n n

1 2

2X X

144(8 1) 121(7 1)S 133.388 7 2

1 21 1 1 1P 40 30 (2.16) (11.55) μ μ 40 30 (2.16)(11.55) 0.958 7 8 7

1 2P 2.59 μ μ 22.59 0.95

Ortalamalar arası Farkların Güven Aralığı(Varyansların Eşit Olması)

45

İki Oran Farkının Güven Aralığı1. Varsayımları

İki kategorik çıktı vardır.Populasyonlar binom dağılımı gösterir.

2. Güven aralığı tahmini:

1 2 1 21 2 α/2 p p 1 2 1 2 α/2 p pPr p p Z S P P p p Z S 1

İki oran farkının standart sapması

1 2

1 1 2 2

1 2

. .p p

p q p qSn n

Örnek oranlarından büyük olan p1 ile gösterilirse örnek oranları

arasındaki farktan hareketle anakütle oranları arasındaki farkın

güven sınırları aşağıdaki gibi olur.

46

İki Oran Farkının Güven Aralığına Örnek

İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup

olmadığı kontrol edilmek istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet

hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi sonunda A ve B

ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği

gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının

farkının %95’lik güven aralığını bulunuz.

n1 = 1000, n2 = 1000 1 2825 7600.825 0.760

1000 1000p p

1 2

1 1 2 2

1 2

. . 0.825.(1 0.825) 0.760.(1 0.760)1000 1000

0.018

p pp q p qSn n

47

95.0018.096.1760.082.0PP018.096.1760.082.0Pr 21

1 21 2ˆ ˆ1 2 α/2 1 2 1 2 α/2 p pp pPr p p Z S P P p p Z S 1

95.010.0PP029.0Pr 21

48

Student t Dağılımı

• Küçük örneklerden (n<30) elde edilen istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uyar.

• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri gibi simetriktir.Normal eğriye göre daha basık ve yaygın bir şekil alır. Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük bir alan oluşur.

• Küçük örnekler için z cetveli yerine,çeşitli örnek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.

49

zt

0

t (sd = 5)

Standart Normal

t (sd = 13)

Çan şekilli simetrik,

‘Tombul’ kuyruklar

50

Üst kuyruk alanı

sd .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t0

Student t Tablosun = 3sd = n - 1 = 2 = .10/2 =.05

Olsun:

2.920t değerleri

.05

51

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde ve n< 30n< 30 olduğunda ortalama için güven aralığı

1. Varsayımlar:Popülasyonun standart sapması bilinmiyorPopulasyon normal dağılımlıdır.

2. Student’ın t Dağılımı kullanılır.

3. Güven aralığı tahmini:

Örneğin standart sapması

x xv;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

52

ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI

Populasyonun standart sapması X bilinmediğinde ve populasyonun

normal dağıldığı varsayımı altında güven aralığı tahmini:

/2 /21 -

11,2 n

stX n 11,2 n

stX n

2t 2t

s

x xv;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

53

ÖRNEK•Bir fabrikada rasgele üretilen 25 ürünün ortalama ağırlığı 1040 gr

standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle bu imalat

prosesinde üretilen ürünlerin ortalama ağırlığı hangi aralıkta yer alır?

12525064.21040

12525064.21040

53.105047.1029

x xv;α/2 v;α/2

s sX t X t

n-1 n-1

54

Ortalamalar arası Farkların Güven Aralığı

İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen ve hacimlerindeki iki küçük örnekten hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırları belirlenebilir.

Birinci örneğin serbestlik derecesi n1 -1 ve ikinci örneğin serbestlik

derecesi n2 – 1 dir ve toplam serbestli derecesi

Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı belirlenirken serbestlik derecesineve hata payına göre t tablo değerleri bulunur.

1n 2n

221 nnv2

221 nnv olur.

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 α/2,n n 2 1 2 1 2 α/2,n n 21 2 1 2

s s s sPr X X t μ μ X X t 1 αn 1 n 1 n 1 n 1

55

ÖRNEK13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml fazla benzin ölçümü yaparken standart sapma 17 ml olmuştur.Bir başka benzin pompası ise 10 deneme sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin ölçümü yapılmış ve standart sapması 19 ml bulunmuştur. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99 güven sınırlarını bulunuz.

2121013 v 831.2tabt

11019

11317831.2)110125(

22

1 27.68 37.68

Pompaların fazla ölçümleri arasındaki fark %99 güvenle -7.68 ml ile 37.68 ml arasındadır.

α11n

s1n

stXXμμ1n

s1n

stXXPr2

22

1

21

2nnα/2,21212

22

1

21

2nnα/2,21 2121

56

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

1. İki ilişkili populasyonun ortalamasını test eder.

– Çift ya da eşleştirilmiş

– Tekrarlı gözlemler (önce/sonra)

2. Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır.

Varsayımları

– İki populasyon da normal dağılımlıdır.– Eğer normal değilse normale yaklaşmaktadır.

(n1 30 & n2 30 )

Aynı veya benzer denekler üzerinde birbirinden farklı iki işlemin

uygulanması sonucu elde edilen verilere eşleştirilmiş örnekler

denir.

57

İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test etmek için 12 ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat vermeleri isteniyor. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.İki komisyoncunun fiyat ortalamaları arasındaki farka ilişkin güven aralığını hesaplayınız.

Eşleştirilmiş Örnek t Testi

Komisyoncular

Evler A B D D2

1 181.0 182.0 -1.0 1.00

2 179.9 180.0 -0.1 0.01

3 163.0 161.5 1.5 2.25

4 218.0 215.0 3.0 9.00

5 213.0 216.5 -3.5 12.25

6 175.0 175.0 0.0 0.00

7 217.9 219.5 -1.6 2.56

8 151.0 150.0 1.0 1.00

9 164.9 165.5 -0.6 0.36

10 192.5 195.0 -2.5 6.25

11 225.0 222.7 2.3 5.29

12 177.5 178.0 -0.5 0.25

Toplam -2.0 40.22

58

D 2D 0.167n 12

2 22

D

D 2D 40.22

n 12s 1.904n 1 12 1

ttab : t11,0.05 = ± 2.2011 12 1 11 . .v n s d

, 1 , 12 2D D Dn n

D t s D t s

)904.1(201.2167.0)904.1(201.2167.0 D

023.4357.4 D

BİR POPULASYON VARYANSI İÇİN GÜVEN ARALIKLARI

Bir anakütle varyansı için de güven aralığı bulmak gerekir.

Bu tahminler örneklem varyansına dayanır.

Varyansı olan bir normal anakütleden n gözlemli rassal

bir örneklem seçilsin. Örneklem varyansı da s2 ile gösterilsin.

2

22

1 2

( 1) xn

n S

Rassal değişkeni, (n-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uymaktadır. Bu bulgu, normal bir dağılımdan örneklem alındığında anakütle varyansı için güven aralıklarının türetilmesinin temelini oluşturur.

Örneklem varyansının gözlenen belli değeri ise, anakütle varyansının güven aralığı aşağıdaki gibidir:

2xs

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n S n SP

n n

Red BölgesiRed

Bölgesi 1-

Örneğin =0.05 n=10 olsun

20.975;9 2

0.025;9

61

ÖrnekBir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların sağlamlığının incelenmesi amacıyla 10 beton örneği alınmış ve bu örneklerin sağlamlılıkları saptanmıştır. Bu örneklerin

ortalama ve varyansı olarak bulunmuştur. Fabrikanın ürettiği tüm betonların varyansına ilişkin güven aralığını hesaplayınız.

2312 195x S

1 0.90

n n

Red BölgesiRed

Bölgesi

20.95;9 3.33 2

0.05;9 16.92

=0.10

62

1 0.90

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

1 11

n n

n S n SP

22 20.05;9 0.95;9

9 195 9 1950.90P

29 195 9 1950.90

16.92 3.33P

2103.72 527.02 0.90P

3.33 16.92

103.72 527.02S2

n

1-

2312 195x S 0.10

ÖRNEKDenenen bir motorun 16 deneme sürüşündeki yakıt tüketimlerinin standart

sapması 2.2 golondur. Motorun yakıt tüketiminin gerçek değişkenliğini ölçen

anakütle varyansının % 99 güven aralığını hesaplayınız. n=16 s=2.2

n n

Red BölgesiRed

Bölgesi

1)1()1(2

1,2

1

22

2

1,2

2

nn

snsnP

01.080.322

15,005.0

60.4215,995.0

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1) 1n n

n S n SP

99.060.4

)2.2(1580.32

)2.2(15 22

2

P

99.078.1521.2 2 P

n=16 S=2.2

65

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Normal dağılımlı iki populasyonun varyanslarının oranı F dağılımına

uymaktadır. F dağılışı simetrik olmayan bir dağılıştır. Bu nedenle

güven aralığının hesaplanmasında her iki F değeri için F tablosuna

bakmak gerekmektedir.

1 2

2121

n 1,n 1 2222

s

Fs

1

1//

1,1;2

22

21

22

21

1,1;2

122

21

1,1;2

22

22

21

21

1,1;2

1

2121

2121

nnnn

nnnn

FssF

ssP

FssFP

66

1 2

2 1

1 ; 1, 12 ; 1, 1

2

1

n n

n n

FF

11

1

1,1;2

22

21

22

21

1,1;2

22

21

1,1;2

22

21

22

21

1,1;2

122

21

21

12

2121

nnnn

nnnn

Fss

FssP

FssF

ssP

67

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Normal dağılımlı iki populasyonun varyanslarının oranına ilişkin güven

aralığı :

F 0

1 2α / 2;n 1,n 1,F 1 21-α / 2;n 1,n 1,F

111,1;

222

21

22

21

1,1;2

22

21

21

12

nnnn

Fss

FssP

68

İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Aşağıda verilen bilgiler yardımıyla pazara sunulan iki ayrı bağımsız hisse

senedinin değişkenliklerinin oranına ilişkin çift yönlü güven aralığını bulunuz.

21 123.38s 2

2 8.02s 02.0

0.99;16,100.01;10,16

1 1 0.2713.69

FF

1 2

2 1

1 ; 1, 12 ; 1, 1

2

1

n n

n n

FF

2 11n1 17n

111,1;

222

21

22

21

1,1;2

22

21

21

12

nnnn

Fss

FssP

56.410.16,01.01,1;2 21

FFnn

69

21 123.38S 2

2 8.02S 2 11n 1 17n

156.4

02.838.123

69.31

02.838.123

22

21P

11

10,16;01.022

21

22

21

16,10;01.022

21 F

ss

FssP

98.067.69168.4

98.0)56.4(38.15)271.0(38.15

22

21

22

21

P

P

85.2

49.2

10,16,05.0

16,10,05.0

F

F

ÖRNEKÖRNEKPazara yeni sürülmüş on yedi AAA dereceli sınai tahvilden oluşan rassal Pazara yeni sürülmüş on yedi AAA dereceli sınai tahvilden oluşan rassal bir örneklemde vadelerin varyansı 123.35’dir. Onbir yeni CCC dereceli bir örneklemde vadelerin varyansı 123.35’dir. Onbir yeni CCC dereceli sınai tahvilden oluşan bağımsız bir rassal örneklemde vadelerin varyansı sınai tahvilden oluşan bağımsız bir rassal örneklemde vadelerin varyansı 8.02’dir. Bu iki tahvilin değişkenliklerinin %90 güven aralığını bulunuz.8.02’dir. Bu iki tahvilin değişkenliklerinin %90 güven aralığını bulunuz.

n1=17 s12=123.35 s2

2=8.02 n1-1=16 n2-1=10 sd.n2=11

111,1;

222

21

22

21

1,1;2

22

21

21

12

nnnn

Fss

FssP

38.1502.835.123

22

21 ss

71

90.0)85.2(38.15)49.21(38.15 2

2

21

P

90.083.4318.6 22

21

P

90.0)85.2(38.15)402.0(38.15 22

21

P