statika predavanja rijeka.pdf

8/18/2019 statika predavanja rijeka.pdf

1/33

GRAĐEVINSKA STATIKA 1

- Predavanja -

Šk. god. 2007/08

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić

Građevinski fakultetSveučilišta u Rijeci


2/33

Literatura

V. Simović: Gra

đevna statika I, Gra

đevinski institut, Zagreb, 1988.

I. P. Prokofjev:Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd, 1966.

I. P. Prokofjev:Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd, 1968.

V. Andrejev:Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973.

W. Wagner, G. Erlhof:Praktična građevinska statika I, 1979.

H. Werner: Tehnička mehanika, 1986.

M. Đurić: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979.

M. Đurić, P. Jovanović: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977.

J. C. McCormac:Structural Analysis, 1966.

S. P. Timoshenko, D. H. Young:Theory of structures, McGraw-Hill, New York, 1988.


3/33

ZADAĆA GRAĐEVINSKE STATIKE

Građevinska statika jedan je od kolegija mehanike konstrukcija.

Osnovni zadatak - projektiranje stabilnih građevina

nosivi sklop - konstrukcija• Pretpostavka da su vanjske i unutrašnje sile u ravnoteži na nedeformiranom nosaču ⇒

linearnost uvjeta ravnoteže

• Pretpostavka o malim pomacima⇒ linearnost veza deformacijskih veličina i pomaka

Postupci proračuna:

• analitički•

grafički• grafo-analitički

Konstrukcija: geometrija + opterećenja

- Proračunski modeli (sheme) konstrukcije

VRSTE KONSTRUKCIJA

(1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova:- Linijske (štapne) konstrukcije:

lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji- Plošne (površinske) konstrukcije:

stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije- Masivne konstrukcije


4/33

(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti:- Geometrijski promjenljivi sustavi- Geometrijski nepromjenljivi sustavi:

• Statički određene konstrukcije• Statički neodređene konstrukcije

Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže:0x =∑ ; 0y =∑ ; 0M =∑

Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe

(3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru:• ravninske konstrukcije • prostorne konstrukcije

VRSTE OPTEREĆENJA

1) Po promjenljivosti u vremenu:• statička opterećenja• dinamička opterećenja

2) Po načinu prijenosa na konstrukciju:• koncentrirano opterećenje• kontinuirano opterećenje

3) Statička opterećenja dijele se na:• Stalno opterećenje – mrtvi teret• Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na

željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.• Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje

skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.


5/33

STRUKTURA KONSTRUKCIJE

Konstrukcija = tijela + veze

Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijelaVanjske veze: veze tijela s podlogom

Unutrašnje veze

Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglobc) kruta veza – uklještenjed) kruta pomična veza – pomično uklještenje

a) štapna veza – štap- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode;

sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa,omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela

- statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)

I II I II

b) zglobna veza – zglob

Jednostruki zglob

I II

- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode;sprječava translacijske pomake dvaju tijela,omogućava samo rotaciju tijela

- statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile

A

B C

A

B D

C

E

materijalni zglob nematerijalni zglob


6/33


7/33

Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.


8/33

Vanjske veze

α

α

Valjci Valjkasti oslon sa zglobom

Glatkapovršina

Sila s poznatimpravcem djelovanja

Kratko uže Kratki štap Sila s poznatimpravcem djelovanja

Osovina bez trenja ili zglob

Hrapavapovršina

Sila s nepoznatimpravcem djelovanja

Nepomi č ni oslonac Sila i moment

Oslonac ili veza Reakcija Brojnepoznanica

ili

ili

1

1

2

3


9/33

Najčešći tipovi ležajnih veza:

F Pomi č ni zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnjaslobode, jedna sila veze

Fx

Fy Nepomi č ni zglobni ležaj - jedan stupanj slobode,dvije sile veze

M

FxFy

Upeti nepomi č ni ležaj - nema niti jedan stupanjslobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

Upeti pomi č ni ležaj - jedan stupanj slobode(translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)


10/33

KINEMATIČKA STABILNOST

Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno

Vezivanje materijalne to č ke

M

U ravnini

M

U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje to č ke u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: točka se mora vezati sa 2 štapadovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi ne smiju ležati na istom pravcu

A B

C

ispravno neispravnoA B

C

mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav

Vezivanje tijela

U ravnini U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogomdovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki

Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):


11/33

Geometrijski promjenljivi sistemi – mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bezdeformacija elemenata

Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacijeelemenata

Slučaj geometrijske promjenljivosti:

Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini

a) trima štapovima; b) kombinacijom štapa i zgloba; c) krutom vezom

I II

a)

I II

b)

c)

I II

Treba paziti na raspored veza!

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne vezedovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki

(ne smiju biti tri paralelne veze)

- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:

I II

I

II


12/33

Postupno spajanje diskova

III IVI II

Utvrđ ivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava

Da bi sustav međusobno vezanih tijelačinio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s

podlogom. jedno tijelo (disk)→ 3 stupnja slobode→ 3 veze s podlogom → geometrijskinepromjenljiv sustav

A

B

C

dva diska→ 2×3 = 6 stupnjeva slobode→ 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A iB) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob utočki C); ukupno 6 veza→ geometrijskinepromjenljiv sustav → statički određen

sustav

jedan disk→ 3 stupnja slobode→ 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu)→ geometrijski nepromjenljiv sustav→ jednaveza više od minimalno potrebnog broja→ statički neodređen sustav

A B

C

D E

I II

dva diska međusobno spojena zglobom C ištapom DE→ 3 stupnja slobode→ 3 veze s podlogom → geometrijskinepromjenljiv sustav → statički određensustav

F

I IIA B

C D

E

dva diska su međusobno spojena samo sa dvaštapa CD i EF⇒ geometrijski promjenljivsistem


13/33

Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule:

l nni2nn2n3s ziščd −∑−−+=

s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustavadn - broj diskova; čn - brojčvorova; šn - broj štapova; l n - broj ležajnih veza;

zin - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)

K+++=∑=

3z2z1zn

1izi n6n4n2ni2

0s = : sustav ima minimalno potreban broj veza→ statički određen sustav0s < : sustav ima suvišnih veza→ statički neodređen sustav0s > : sustav ima manjak veza→ geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam)

Napomena:

0s ≤ : ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan);treba provjeriti raspored veza

s = −1

geometrijski promjenljivi sustavi

(kinematič ki labilni)


14/33

Primjer 1:A B C

D E

F G

Analiza 1. broj diskova 2nd = brojčvorova 2nč = (točke F i G) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 1n 1z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 031252223s =−⋅−−⋅+⋅=

Analiza 2. broj diskova 7nd = brojčvorova 0nč = broj štapova 0nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke D i E) broj dvostrukih zglobova 2n 2z = (točke F i G) broj trostrukih zglobova 1n 3z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 0316242273s =−⋅−⋅−⋅−⋅=

Primjer 2:

A

B

CIII

I II

1 4

2

3

broj diskova 3nd =

brojčvorova 0nč = broj štapova 4nš =

broj jednostrukih zglobova 3n 1z = ( točke A, B, C) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 4332433s −=−⋅−−⋅= (sustav imačetiri suvišne veze)


15/33

Primjer 3:

A B C D

E

F

I II III

14

2

3

5

broj diskova 3nd = brojčvorova 2nč = (točke E i F) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke B i C) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 132252233s =−⋅−−⋅+⋅= (nedostaje jedna veza)

Primjer 4:

8nč = 13nš = 3n =l

031382s =−−⋅=

⇒=0s ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti

Statički postupak ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti sistema:

č vor i čvor k

P

V

V P=V

V 0=

Zaključak : Ako u nekom stati č kom sustavu s minimalnim brojem veza nije mogu ć e odreditivanjske i/ili unutrašnje sile pomo ć u jednadžbi ravnoteže, sustav je geometrijski

promjenljiv .

k

i

P


16/33

KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA

Statički određeni sustavi0s =

Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže

za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje silemogu se odrediti izuvjeta ravnoteže.

Prema strukturi elemenata mogu biti:• punostjeni: sastoje se odčvrstih tijela, greda, diskova• rešetkasti : sastoje se samo od štapova• kombinirani: grede (diskovi) + štapovi

Vrste stati č ki odre đ enih sustava

Konzola

Konzolna greda

Konzolnistup

Konzola proizvoljnog oblika

Prosta greda

Greda s prepustom

Greda s dva prepusta

Greda spojena s podlogom s tri štapa

Poluokviri


17/33


18/33

Okviri sazategama

Poduprte grede


19/33

Statički neodređeni sustavi0s <

Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanjuravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje silene mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.

Vrste stati č ki neodre đ enih sustava

Obostrano upeta greda

Obostrano upeti okvir

Obostrano upeti poluokvir

Obostrano kruto spojen luk, iliobostrano upeti luk, naziva se isamo: upeti luk

Kontinuirana greda

Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima

Kontinuirani okvir s upetim stupovima


20/33

Ojač ane grede

Okviri i lukovi sa zategama

Poduprte grede


21/33


22/33

SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA

Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile

q1

P1 q2 P2

P3

BH

A

B

C

BV

AV

AHP4

Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza

- unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku

A

B

C

P1

P2q

D

E

F

I

II

III

BH

BV

AV

AHP2

D

F

A

C

q

D

B

C

P1

E

DHDV

CH

CV

CVCH

S

S

DV

DH


23/33

Odre đ ivanje reaktivnih sila

F

L1L2

L3

BCA

F

BCA

F

B

CA FB

A

Sustav Štapni model

Grafič kouravnoteženje

Prosta greda

Zglobni ležaj(dvije veze)

Klizni ležaj(jedna veza)

Trokut sila

Analitičko rješenje

yyA

yyyyB

xxi

FLaB0FaBL:0M.3

FL bA0F bAL:0M.2

FA0X.1

⋅=→=⋅+⋅−=

⋅=→=⋅−⋅=

=→=

∑

∑

∑

----------------------------------------------------------------Kontrola: 0Yi =∑

B

Ax

Ay

Fx

Fy

a bL


24/33

Unutrašnje sile u presjecima

Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustavadjeluje na drugi.

F21

1Presjek

F1F3

F1

Trokut sila

F2

F3

F1

F2

F3

F1-1

M1-1

M1-1

F1-1

F1

F2

F3

T1-1

M1-1

M1-1 N1-1

T1-1

N1-1

Tri unutrašnje sile u presjeku: uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna silamoment savijanja (M)

Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava.

Definicije unutrašnjih sila u presjeku

Uzdužna sila u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedneili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka.

Popreč na s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedneili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka.

Moment savijanja u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.


25/33

Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija)

Klasi č na (na elementu):

Pozitivni smjerovi

M M

TT

N N

Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak.

Poprečna sila T je pozitivna ako dio sistema na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanjakazaljke na satu.

Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjimvlakancima elementa.

Suvremena (u presjeku):(kompjutorske metode)

u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava

Presjek

Os elementa

MT

N

Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi


26/33

Dijagrami unutrašnjih sila

To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava.

Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama.

F2

1

1

F1 F3

F1x

F1y

F3x

F3y

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

F3xF1x

Nx

−

F3y

Tx−

+F1y F2

Mx

+


27/33

OSNOVNE JEDNADŽBE GRAĐEVINSKE STATIKE

Za svaki presjek treba naći:tri unutrašnje sile – moment savijanja M, poprečnu silu T i uzdužnu silu Ntri deformacijske veli č ine – relativnu promjenu kuta odnosno zakrivljenostiκ, relativno

produljenjeε i relativno klizanje odnosno deformaciju uslijed posmikaγ tri pomaka – translatorni pomak uzduž osiu, poprečno na os elementav i kut zaokretaϕ

• jednadžbe ravnoteže• jednadžbe uzajamnosti deformacija i pomaka• fizikalne jednadžbe

Jednadžbe ravnoteže – sadržavaju statički dio zadaće građevinske statike - veze izmeđuunutrašnjih sila i opterećenja:

xx n

dxdN −= ; x

x pdxdT −= ; x

x Tdx

dM =

Jednadžbe uzajamnosti – geometrijske jednadžbe – veze između deformacijskih veličina i pomaka:

dxdu=ε ;

dxdv−ϕ=γ ;

dxdϕ=κ

Fizikalne jednadžbe – veze između sila i deformacijskih veličina:

EA N=ε ;

EIM=κ ; GA

Tk =γ

Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon.


28/33

Diferencijalne jednadžbe ravnoteže grede

Mi

R i

i

M j

R j

jq

m

dxds dy

q − kontinuirano opterećenje; m − kontinuirani momenti

R i, R j, Mi i M j − sile i momenti na krajevima promatranog dijela zakrivljene grede

Diferencijalno mali element grede duljine ds:

MT

N

d α

.

.

12

ρ

M+dM

T+dT

N+dNM

V

H

d α

.

.

12

ρ

M+dM

V+dV

H+dH

qn

m qtq x m

qy

dx

dy

1. 2.

Uvjeti ravnoteže postavljaju se na nedeformiranoj gredi uz zanemarivanje beskonačno malihveličina drugog reda.

1. Uvjeti ravnoteže 0x =∑ , 0y =∑ , 0M2 =∑ :

0x =∑ → 0dyqdH x =⋅+ 0y =∑ → 0dxqdV y =⋅+

0M2 =∑ → 0mdxVdyHdM =−⋅−⋅−

2. Iz sume projekcija sila na pravac sile dN N+ dobiva se:

0dsqdTdNddsin;1dcos

0)2d(cosdsqdsinTdcos NdN N

t

t

=⋅+α⋅−⇒α=α=α

=α⋅⋅+α⋅−α⋅−+

Iz sume projekcija sila na pravac sile dTT+ dobiva se:0dsqd NdT0)2d(cosdsqdsin NdcosTdTT nn =⋅+α⋅+⇒=α⋅⋅+α⋅+α⋅−+

Iz sume momenata na točku 2 dobiva se:

0dsmdsTdM0dsmdsTMdMM =⋅−⋅−⇒=⋅−⋅−−+


29/33

Ako se tri gornje jednadžbe podijele sads dobivaju se opće jednadžbe ravnoteže grede:

0mTdsdM

0q NdsdT

0qTdsdN

n

t

=−−

=+ρ

+

=+ρ

−

Veza između komponenata sila N i T i komponenata sila H i V:

MT N

T N

M α

M

M α

V

H

V

HT

N

H

VR

.

.α

α

α⋅+α⋅=α⋅−α⋅=

cosVsinHT

sinVcosH N ili

α−α⋅=α⋅+α⋅=

sin NcosTV

sinTcos NH

Jednadžbe ravnoteže elementa ravne grede

R i

i

R j

jdx1 2 1 2

pxmx

nx

Mx Nx

Tx Tx+dT x

Nx+dN xMx+dM x

dx

dxds ↔ ; xt nq ↔ ; xn pq ↔ ; ∞=ρ ⇒

0mTdx

dM0 pdx

dT0ndx

dNxx

xx

xx

x =−−=+=+

U slučaju da nema opterećenja mx:

Diferencijalna veza između poprečne sile i opterećenja: xx pdxdT −=

Diferencijalna veza između momenta savijanja i poprečne sile: xx TdxdM =

Diferencijalna veza između momenta savijanja i opterećenja: x2

x2

pdx

Md −=


30/33


31/33


32/33

Integralne veze između opterećenja i sila presjeka

1. ∫∫ −=−=−=→−= ===

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dx pTTTTdT pdxdT

43421

x

2

1

pdijagramaispod površina

x

xx12 dx pTT ∫−=

2. ∫∫ =−=−=→= ===

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dxTMMMMdMTdxdM

43421

x

2

1

Tdijagramaispod površina

x

xx12 dxTMM ∫+=

Različiti slučajevi opterećenja:

0 px = :

.konstTT 0x == − konstanta, funkcija 0. stupnja

xcMM 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

p px = (konstanta, funkcija 0. stupnja):

x bTT 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)2

210x xcxcMM ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

xa p p 0x += (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):

2210x x bx bTT ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

332210x xcxcxcMM +++= − funkcija 3. stupnja (kubna parabola)

xsin p p 0x α= (trigonometrijska funkcija):

xcos pTT 00x αα⋅+=

xsin pxTMM 2000x αα⋅++=


33/33

Primjer: Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje.

a b c d

d/2

A BC

D E−

+

MC

MD ME

MB−

M

T

TA TCl

TCd

TDl

TB− −

+

q PB

MB

PDPCPA

parabola 20

Prvo treba naći dijagram poprečnih sila.

-- na dijelu AC:a

MTT CCA −==l

-- na dijelu CD: b

MMTT DCDdC

+== l

-- na dijelu DE: 0TDE =

-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija:

dMM2

2dMMT , 0T BEBEBE

+−=+−==

Opterećenje grede:-- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile:

AA TP = ;dCCC TTP +=

l ; l DD TP = ; BB TP =

-- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q:

dTq B=

-- u točki B djeluje koncentrirani moment BMM =

statika predavanja rijeka.pdf

Documents