Varetas, canudos, arestas e... Slidos geomtricosAna Maria Kaleff Dulce Monteiro Rei

Usando canudinhos coloridos e barbante possvel construir slidos geomtricos que levam alunos, desde a 6a srie, a visualizar propriedades, a se concentrar numa tarefa, a criar imagens e a intuir solues de problemas. A imagem concreta de slidos, polgonos e arestas facilita o entendimento e essencial para o estudo futuro da Geometria Plana e Espacial.

As dificuldades apresentadas pelos alunos navisualizao de slidos geomtricos e a desmotivao que muitos estudantes apresentam nas aulas de Geometria Espacial tm levado os educadores a buscarem meios para facilitar o ensino das propriedades geomtricas dos slidos e para tornar esse ensino mais atrativo e motivador. Na nossa prtica escolar temos utilizado materiais concretos para a construo de estruturas que representam esqueletos de slidos geomtricos construdos por meio de suas arestas. Os materiais de nossa preferncia para as construes so pedaos de canudos de plstico, unidos por meio de um fio de linha e varetas finas de madeira unidas por anis elsticos. Sugerimos a utilizao de canudos plsticos de refrigerantes, em trs cores (ou dimetros) diferentes, um carretel de linha um pouco mais grossa do que a linha usada para empinar pipas, palitos para churrasco, anis elsticos, e uma agulha grossa. Nos esquemas que seguem, indicaremos por o sentido em que a linha deve ser inserida num canudo vazio e indicaremos por o sentido em que ela dever ser inserida num canudo j ocupado por algum pedao de linha.

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Atividade 1 Construo de um tetraedro regular O material a ser utilizado na atividade a seguir um metro de linha, seis pedaos de canudo de mesma cor e comprimento (sugerimos 8 centmetros).

Figura 1

Tome o fio de linha, passe-o atravs de trs pedaos de canudo, construindo um tringulo e feche-o por meio de um n. Agora, passe o restante de linha por mais dois pedaos de canudo, juntando-o e formando mais um tringulo com um dos lados do primeiro tringulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse tringulo e pelo pedao que ainda resta, fechando a estrutura com um n. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular, e as etapas intermedirias de sua construo esto representadas na Figura 1. Temos observado que alguns mais habilidosos, ao fazerem essa construo, no do o n indicado para a obteno do primeiro tringulo, utilizando o pedao de linha sem interrupes para a construes do esqueleto do tetraedro. Isso demonstra que tais alunos perceberam que os ns, apesar de facilitarem a construo, podem ser evitados. Nas construes das estruturas importante observar que, para se dar firmeza aos vrtices de uma estrutura, necessrio refor-los, passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedao de canudo, ligando-o aos outros dois. O esquema apresentado na Figura 2 ilustra essa situao.

Figura 2

Atividade 2 Construo de um octaedro regular Para essa atividade, so necessrios dois metros de linha, doze pedaos de canudo de mesma cor e comprimento (novamente sugerimos a medida de 8 centmetros).

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Figura 3

Com pedaos de canudos e o fio de linha, construa quatro tringulos e os una, dois a dois, conforme o esquema apresentado na Figura 3.

Atividade 3 Construo de um icosaedro regular Para essa atividade, so necessrios trs metros de linha, trinta pedaos de canudo de mesma cor e comprimento (sugerimos a medida de 7 centmetros). Construa quatro tringulos, seguindo o esquema da figura 4 e os una obtendo uma pirmide regular de base pentagonal, como a desenhada na figura. Repita essa construo, obtendo mais uma pirmide. Una cada uma das pirmides atravs dos vrtices das bases, por meio de pedaos de canudos, de tal forma que em cada vrtice se encontrem cinco canudos.

Figura 4

Atividade 4 Construo de um cubo e de suas diagonais Sero necessrios doze pedaos de canudo da mesma cor e medindo 8 cm, seis canudos de outra cor ou de dimetro menor do que o anterior, e mais um canudo de cor diferente das demais.

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Com pedaos de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso, passe o fio atravs de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais trs canudos, construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam dois canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a complet-lo. Se voc no conseguir realizar essa tarefa, observe o esquema da Figura 5.

Figura 5

Os alunos observaro que a estrutura construda no tem rigidez prpria, pois os seus lados no ficam por si ss perpendiculares superfcie da mesa. Ento necessrio que os levemos a conjecturar em como tornar essa estrutura rgida. Nesse processo, notamos que os alunos observam que, se construirmos tringulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecer. Dando continuidade a esse raciocnio, sugerimos ao aluno a tarefa seguinte:

Figura 6

Figura 7

Agora, com pedaos de canudo de cor (ou dimetro) diferente da usada para representar as arestas do cubo, construa uma diagonal em cada face, de modo que em cada vrtice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Que estrutura voc construiu? Observe a Figura 6. Assim procedendo, o aluno construir um tetraedro formado por seis diagonais das faces do cubo.

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A seguir, com um pedao de canudo de cor diferente das anteriores, construa uma diagonal do cubo. Devemos levar o aluno a observar que essa diagonal formar com uma das arestas do cubo e com uma das diagonais da face, um tringulo retngulo. Essa construo muito til para ilustrar aplicaes do Teorema de Pitgoras, pois a maioria dos alunos tm problemas para visualizar situaes como essa. Temos verificado que os alunos percebem que, aps as atividades anteriores, j construram quatro dos cinco poliedros regulares de Plato (ver RPM 15, p. 42) e a questo se possvel construir o dodecaedro pode surgir naturalmente. Apesar de ser uma tarefa trabalhosa, os alunos se propem a construir essa estrutura, porm, preferencialmente, em grupo e no como uma tarefa individual.

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