sistemas lineales acoplados

Sistema acoplado de tres grados de libertad

μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

Energía cinética:

Energía potencial:

Lagrange:

T=12

·m1 x12

12

·m2 x22

12

·m3 x32

V =12

· k1 x12

12

· k 2 x2−x12

12

· k3 x3−x22

L=T−V =12

m1 x12m2 x2

2m3 x3

2−k1 x1

2k 2 x2−x1

2k3 x3− x2

2

UNMdP – Fac. De Ingeniería Cátedra de Mecánica Racional

μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

ddt

∂L∂ q i

−∂L∂q i

=0

L=T−V=12

(m1 x 12+m2 x 2

2+m3 x 3

2−k 1x 1

2+k 2(x 2−x 1)

2+k 3(x 3−x 2)

2 )


x 1 :

x 2 :

x 3 :

m1 x 1+k 1 x 1−k 2(x 2−x 1)=0

m2 x 2+k 2(x 2−x 1)−k 3(x 3−x 2)=0

m3 x 3+k 3(x 3−x 2)=0

Ecuaciones de movimiento:

μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

Reagrupando:

x 1 :

x 3 :

x 3 :

m1 x 1+x 1(k 1+k 2)−k 2x 2=0 →

m2 x 2+x 2(k 2+k 3)−k 2x 1−k 3x 3=0 →

m3 x 3+k 3(x 3−x 2)=0 →

x 1+x 1 ( k 1+k 2

m1)−x 2 ( k 2

m1)=0

x 2+x 2 ( k 2+k 3

m2)−x 1 ( k 2

m2)−x 3 ( k 3

m2)=0

x 3+x 3 ( k 3

m3)−x 2 ( k 3

m3)=0


μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

La solución propuesta es de la forma:

x 1=A sen (ω t−δ1)

x 2=B sen (ω t−δ2)

x 3=C sen (ω t−δ3)

−Aω2sen (ω t )+A (K 1+k 2

m1)sen (ω t )−B ( k 2

m1)sen (ω t )=0

−A ( k 2

m2)sen (ω t )−Bω2sen (ω t )+B (K 2+k 3

m2)sen (ω t )−C ( k 3

m2)sen (ω t )=0

−C ω2sen (ω t )+C ( k 3

m3)sen (ω t )−B ( k 3

m3)sen (ω t )=0


μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

−Aω2sen (ωt )+A(K 1+k 2

m1)sen (ωt )−B ( k 2

m 1)sen (ωt )=0

−A( k 2

m 2)sen (ωt )−B ω2sen (ω t )+B (K 2+k 3

m2)sen(ω t )−C ( k 3

m2)sen (ωt )=0

−C ω2sen (ωt )+C ( k 3

m 3)sen (ωt )−B ( k 3

m3)sen (ω t )=0

En forma matricial:

[[(k1+k2

m1)−ω

2] −k2

m1

0

−k 2

m2 [( k2+k3

m2)−ω

2] −k3

m2

0−k3

m3 [( k3

m3)−ω

2]]⋅[A

B

C]=[

0

0

0]


μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

det∣[(k1+k2

m1)−ω2] −k2

m1

0

−k2

m2 [(k2+k3

m2)−ω2] −k3

m2

0−k3

m3 [( k3

m3)−ω2]∣=0

Las frecuencias naturales del sistema se calculan resolviendo el determinante de la matriz:

−ω6+[ k3

m3

+(k 1+k2)

m1

+( k2+k3 )

m2] ·ω4

−[ (k1 k 2+k1 k3+k 2 k3)

m1 m2

+k 2 k3

m2 m3

+( k1 k3+k 2 k3)

m1 m3]·ω2

+(k1 k 2 k3)

m1 m2 m3

=0


μ=0x2 x3

m2 m3m1

x1

k1 k2 k3

Asignando valores para las masas y los resortes se calculan las frecuencias naturales y las formas de los modos de oscilación:

[[(

k1+k

2m

1)−ω

2]−k

2m

10

−k 2m

2 [(k 2+k 3

m2 )−ω 2]

−k 3m

2

0−k

3m

3 [(k

3m

3)−ω 2]]⋅[A

B

C]=[

0

0

0]

m1=1Kg m2=1Kg m3=1Kg

k 1=50N /m k 2=50N /m k 3=50N /m

ω1=3.15 rad /s ω2=8.82 rad /s ω3=12.74 rad /s

Reemplazando cada valor de ωi, mi y ki en la matriz:

Resultan tres sistemas de ecuaciones:

[90.1 −50 0−50 90.1 −50

0 −50 40.1] · [ABC ]=[

000 ] [

22.25 −50 0−50 22.25 −50

0 −50 −27.75 ] · [ABC ]=[

000 ] [

−62.35 −50 0−50 −62.35 −50

0 −50 −112.35 ]· [ABC ]=[

000 ]

ω1 : ω2 : ω3 :

Las relaciones entre las amplitudes se calcuan asignándole un valor a una de ellas y resolviendo el sistema para las demás, por ejemplo: A = 0.2.


ω1 : ω2 : ω3 :A=0.2m ; B=0.36m ; C=0.45m A=0.2m ; B=0.09m ; C=−0.16m A=0.2m ; B=−0.25m ; C=0.11m

Reemplazando las amplitudes en el sistema y graficando las posiciones de las masas a lo largo del tiempo para el modo 1, ω1 = 3.141 rad/s:


Reemplazando las amplitudes en el sistema y graficando las posiciones de las masas a lo largo del tiempo para condiciones iniciales arbitrarias:


Autores:Gustavo Carr, PhD. Ing. Luciano Paolinelli, PhD. Ing.

Creado para la asignatura Mecánica Racional de la Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Mar del Plata:

Prof. Titular: Adrián Cisilino, PhD. Ing.Prof. Adjunto: Aníbal Márquez, Ing. Mec.

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Octubre de 2012


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