sistemas lineales
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Sistemas lineales El término sistema es utilizado en una gran diversidad de maneras, es difícil dar una definición que abarque todos los usos que se le da a este término y que a la vez sea suficientemente concisa para resultar útil. La siguiente pretende ser una definición de sistema que reúne estos requisitos
Un sistema es un conjunto de objetos que interactúan entre sí o que soninterdependientes entre sí.
El concepto de sistema permite plantear la comprensión de la realidad en dosgrandes etapas:
identificando sistemas físicosestableciendo las reglas o leyes que los describen
Esta descripción de los sistemas no es necesariamente completa ni precisa,sino adecuada a nuestra finalidad. A un sistema que hemos identificado parainterpretar parte de la realidad la llamamos modelo, de hecho, en ocasiones lostérminos modelo y sistema se usan indistintamente.
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este
principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de
dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas
individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se
calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio
permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a
partir de soluciones simples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales
la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el
sistema se considera lineal.
En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos analizar
Afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una clasificación
Esa clasificación es la de sistemas lineales
Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisis
Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar
Es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema lineal
Los requerimientos para que una sistema sea lineal son:
Homogeneidad Aditividad Invariabilidad en el tiempo
Homogeneidad
Decimos que un sistema es homogéneo cuando un cambio en la amplitud de la señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salida
Si una señal de entrada x[n] produce una señal de salida y[n], una señal de entrada kx[n] dara lugar a una señal ky[n]
Ejemplo: una resistencia es un sistema homogéneo con respecto a la corriente
Señal de entrada: voltaje aplicado Señal de salida: intensidad de corriente
Si duplicamos el voltaje entonces duplicamos también la corriente No es homogéneo con respecto a la potencia
Aditividad
Un sistema es aditivo cuando la señal a la salida es igual a la suma de las salidas generadas por las diferentes señales de entrada
Si X1 [n] produce Y1 [n] y X2 [n] produce Y2 [n] entonces X1 [n]+X2 [n] produce Y1 [n]+Y2 [n]
Ejemplo:
El teléfono es aditivo, porque si dos personas hablan, del otro extremo se puede distinguir las dos voces por separado
No es aditiva la radio, porque al mezclar la portadora con la señal que queremos transmitir, se funden de tal manera que queda solamente una señal
Invariabilidad en el tiempo
Significa que mover la señal de entrada en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salida
Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t]
Ejemplo:
Si decimos “hola” en el teléfono, la otra persona siempre escuchara “hola”, sin importar a que hora del día lo diga
PRUEBAS DE LINEALIDAD
Matemáticamente para probar que un sistema es lineal debemos asegurarnos de que:
Es homogéneo Es aditivo Es invariable en el tiempo
Pero en la práctica, es muy difícil probar en un sistema del cual no conocemos el funcionamiento
Por eso usamos otras pruebas Linealidad estática Fidelidad sinusoidal
LINEALIDAD ESTÁTICA
•La linealidad estática solo significa que la señal de salida no es más que la señal de entrada multiplicada por una constante
•Graficamos para varios valores de entrada los valores que obtenemos a la salida
•Ese gráfico debe ser una línea
FIDELIDAD SINUSOIDAL
•Si la entrada de un sistema lineal es una onda sinusoidal, la salida será también una onda sinusoidal con la misma frecuencia
•Pueden diferir en amplitud y fase
•Solo es válido para señales sinusoidales
PROPIEDADES ESPECIALES
La Linealidad es Conmutativa
• Si colocamos dos sistemas en cascada, si los dos sistemas son lineales, el sistema total será también lineal
• Podemos intercambiar el orden de los sistemas sin que esto afecte al sistema total
De tal manera un sistema continuará siendo lineal si todos sus componentes son lineales y las operaciones realizadas entre ellos son solamente de adición No importa que tan complejo sea el sistema ni cuantas entradas o salidas tenga
La multiplicación puede ser lineal o no, dependiendo que multipliquemos Señal * constante = lineal Señal * Señal = no lineal
SUPERPOSICIÓN
En un sistema lineal la única manera de combinar señales es escalándolas (multiplicar las señales por constantes) y después sumándolas
El proceso de combinar señales a través del escalado y la suma se conoce como Síntesis
La Descomposición es la operación inversa
Una señal se puede dividir en dos o mas componentes que la forman
Es más complejo que la síntesis porque hay muchas maneras de descomponer señales
síntesis
decomp
Superposición es la estrategia con que podemos analizar sistemas y señales
Si una señal de entrada x[n], que produce una señal de salida y[n] la descomponemos en señales más simples X0 [n], X1 [n], X2 [n],...
Y hacemos pasar cada una de estas componentes por el sistema obteniendo Y0 [n], Y1 [n], Y2 [n],...
Sintetizando estas señales obtenemos Y[n]
La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es igual a la obtenida pasando la señal de entrada original por el sistema
En vez de tratar de comprender como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos en señales sencillas y sumamos sus respuestas
DESCOMPOSICIÓN
Ha varios métodos para realizar la descomposición
En impulsos En pasos Par/Impar Entrelazada Fourier
En impulsos:
Divide la señal de N muestras en igual número de señales, cada una con una muestra diferente Es examinar la señal una muestra por vez Si sabemos como el sistema responde a un impulso, podemos calcular como responde para cualquier señal
En pasos: Muy parecida a la por impulsos, pero descomponemos la señal en funciones escalera Estas funciones escaleras tiene un valor de cambio de x[k] - x[k-1] Sirve para describir como cambia una señal
Par/Impar
Dividimos una señal en sus muestras en dos componentes, una con simetría impar y otra con simetría par
Entrelazada
Aquí simplemente dividimos la señal en dos componentes, uno con las muestras pares y otro con las impares Puede parecer sencillo pero es el fundamente del cálculo de la FFT Cada componente tendra N/2 muestras
Fourier
Una señal de N muestras puede ser descompuesta en N+2 señales, la mitad cosenos y la mitad senos. La componente n completa n ciclos en N muestras Es la base para la transformada de Fourier Muy importante por la fidelidad sinusoidal