apuntes sistemas no lineales

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Universidad de Concepcin Facultad de Ingeniera Depto. de Ingeniera Elctrica

Apuntes Introduccin al Anlisis de Sistemas No-Lineales 543 703

9na edicin

Prof. Jos R. Espinoza C.

Agosto 2009

Apuntes: 543 703

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Tabla de contenidos. PRLOGO ..................................................................................................................................................III NOMENCLATURA ...................................................................................................................................... IV ABREVIACIONES ...................................................................................................................................... VII 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS NO-LINEALES. ...............................................................................1 1.1 Conceptos bsicos...................................................................................................................1 1.2 Ejemplos Clsicos de Sistemas No-Lineales...........................................................................4 1.3 Restricciones a los Sistemas a Estudiar..................................................................................7 1.4 Definiciones y Propiedades Preliminares...............................................................................8 1.5 Anlisis en el Plano de Fase .................................................................................................10 1.6 Alcances del Curso 543 703..................................................................................................16 FUNDAMENTOS DE LA TEORA DE LYAPUNOV. ................................................................................18 2.1 Conceptos de Estabilidad......................................................................................................18 2.2 Linealizacin y Estabilidad Local.........................................................................................19 2.3 Mtodo Directo de Lyapunov................................................................................................21 2.4 Anlisis de Sistemas Basados en el Mtodo Directo de Lyapunov.......................................27 2.5 Diseo de Sistemas Basado en Lyapunov. ............................................................................29 TEORA DE ESTABILIDAD AVANZADA. ............................................................................................32 3.1 Conceptos de Estabilidad......................................................................................................32 3.2 Anlisis de Sistemas Noautnomos.....................................................................................33 3.3 Teoremas para la Inestabilidad. ...........................................................................................38 3.4 Anlisis usando Lema de Barbalat .......................................................................................39 ANLISIS UTILIZANDO FUNCIONES DESCRIPTORAS.........................................................................42 4.1 Introduccin. .........................................................................................................................42 4.2 No-linealidades Comunes y sus Funciones Descriptoras.....................................................46 4.3 Anlisis de Sistemas utilizando Funciones Descriptoras......................................................49 CONTROL REALIMENTADO. .............................................................................................................54 5.1 Introduccin. .........................................................................................................................54 5.2 Diseo va Linealizacin.......................................................................................................55 5.3 Diseo Va Ganancia Programada.......................................................................................62 LINEALIZACIN EXACTA VA REALIMENTACIN. ...........................................................................68 6.1 Conceptos Bsicos. ...............................................................................................................68 6.2 Herramientas Matemticas...................................................................................................76 6.3 Linealizacin de los Estados de Entrada. .............................................................................78 6.4 Linealizacin de Entrada-Salida. .........................................................................................81 6.5 Sistemas MIMO.....................................................................................................................86

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BIBLIOGRAFA ...........................................................................................................................................88 NDICE ALFABTICO..................................................................................................................................89Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C.

Apuntes: 543 703

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Prlogo.

El curso "Introduccin al Anlisis de Sistemas No-lineales" es electivo de las carreras de Ingeniera Civil Elctrica y Electrnica y de los programas de Magster en Ciencias y Doctorado en Ingeniera, ambos con mencin en Ingeniera Elctrica de la Universidad de Concepcin. Este ramo pertenece al plan de asignaturas orientadas al rea de Control Automtico en el cual se entregan herramientas de anlisis para sistemas no-lineales, dinmicos, invariantes y variantes en el tiempo tipo SISO y MIMO y es la extensin natural del curso Sntesis de Sistemas de Control en el cual se revisan sistemas lineales tipo MIMO. Los tpicos revisados en este curso permiten analizar sistemas que se caracterizan por tener estructuras no-lineales y por lo tanto reflejan mejor la realidad fsica de los sistemas para lo cual se asume conocido su modelo. En particular, aqu se abordan temas como la teora de Lyapunov para sistemas invariantes y variantes en el tiempo, la Funcin Descriptora, diseo de controladores mediante tcnicas lineales, y diseo de controladores mediante tcnicas no-linelaes. El lector debe tener dominio de los temas entregados en los cursos de Sistemas Lineales Dinmicos, Sistemas de Control y Sntesis de Sistemas de Control para avanzar fluidamente en los tpicos de este texto. Adems, un holgado manejo de programas de simulacin es definitivamente necesario para seguir los ejemplos del apunte. Se recomienda, MatLabTM y/o MathCad TM. El documento fue digitado enteramente en Word for Windows de MicroSoftTM y los ejemplos y ejercicios fueron desarrollados en MatLabTM y/o MathCad TM. Se desea agradecer sinceramente a los alumnos que cursaron la asignatura en aos anteriores por su comprensin y cooperacin en corregir las versiones preliminares de este material.

Dr. Jos R. Espinoza C. Profesor Titular Depto. de Ingeniera Elctrica, of. 220 Facultad de Ingeniera Universidad de Concepcin Casilla 160-C, Correo 3 Concepcin, CHILE Tel: Fax: e-mail: web: +56 (41) 2203512 +56 (41) 2246999 Jose.Espinoza@UdeC.cl http://www.udec.cl/jose.espinoza

Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C.

Apuntes: 543 703

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Nomenclatura

Matrices

A B C D E F T AT BT CT DT ET FT Tabc-0 T0-abc T0-dq0 Tdq0-0 Tabc-dq0 Tdq0-abc H(s) H( s ) H(s)H C O L(s) (t) Adj{P} diag{x1,} e{X} m{X} XVectores

: matriz de parmetros de dimensin nn. : matriz de parmetros de dimensin np. : matriz de parmetros de dimensin qn. : matriz de parmetros de dimensin qp. : matriz de parmetros de dimensin nm. : matriz de parmetros de dimensin qm. : matriz de transformacin de dimensin de nn. : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nn. AT = TAT-1 : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin np. BT = TB : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qn. CT = CT-1 : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qp. DT = D : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nm. ET = TE : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qm. FT = F : matriz de transformacin de ejes abc a 0, dimensin 33. : matriz de transformacin de ejes 0 a abc, dimensin 33. : matriz de transformacin de ejes 0 a dq0, dimensin 33. : matriz de transformacin de ejes dq0 a 0, dimensin 33. : matriz de transformacin de ejes abc a dq0, dimensin 33. : matriz de transformacin de ejes dq0 a abc, dimensin 33. : matriz de transferencia. H(s) = C(sI - A)-1B + D. : matriz de transferencia inversa. H( s ) = H-1(s). : matriz conjugada transpuesta de H(s). H(s)H = (H(s)*)T. : matriz de controlabilidad. : matriz de observabilidad. : matriz de transferencia en L.D. : matriz de transicin. : matriz adjunta de la matriz P. : matriz diagonal compuesta por los valores x1, x2, . : matriz parte real de la matriz X. : matriz parte imaginaria de la matriz X. : matriz compuesta por elementos xi , j que son fasores.

x u y p x y ~ x xabc x0

: vector de n variables de estados, x = [x1 x2 xn]T : vector de p variables de entrada, u = [u1 u2 up]T : vector de q variables de salida, y = [y1 y2 yq]T : vector de m perturbaciones, p = [p1 p2 pm]T : vector de n variables de estados, x = [ x1 x2 xn ]T (estimacin de x). : vector de q variables de estados, y = [ y1 y2 yq ]T (estimacin de y). x x : vector de n variables de estados, ~ = [ ~1 ~2 ~n ]T (error de estimacin de ~ = x - x ). x x x abc a b c T : vector de tres variables de estados, x = [x x x ] (ejes estacionarios abc). : vector de tres variables de estados, x0 = [x x x0]T (ejes estacionarios 0).

Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C.

Apuntes: 543 703

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xdq0 x0 xo uo yo yd po x u y p x(s) u(s) y(s) p(s) vk wk vk* xec xci yec yci ck bk V(x) xEscalares

: vecto

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