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1. Sistemas lineales. Resolucin grfica

a) En qu punto se cortan la grfica roja yla azul del dibujo de la izquierda?

b) Tienen algn punto en comn las rec-tas de la derecha? Cmo son estas rec-tas?

Solucin:a) P(3, 2) b) No. Son paralelas.

P I E N S A Y C A L C U L A

194 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Comprueba que x = 2, y = 3 es solucin del si-guiente sistema:

Resuelve grficamente el siguiente sistema:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuntas solucionestiene, haz la interpretacin grfica, clasifcalo yresulvelo grficamente:

Solucin:

2 1 1Criterio: = =

4 2 2Tiene infinitas soluciones.Son rectas coincidentes.Sistema compatible indeterminado.

Soluciones:x1 = 1, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 3; x3 = 3, y3 = 5,

2x + y = 14x 2y = 2

3

Solucin:

x = 1, y = 2

2x + y = 4x 3y = 5

2

Solucin:

3 2 ( 3) = 6 + 3 = 95 2 + 2 ( 3) = 10 6 = 4

3x y = 95x + 2y = 4

1

A P L I C A L A T E O R A

7 Sistemas deecuaciones lineales

X

Y

s

r

X

Ys

r

XP(1, 2)

Y

X

Y

ChemaText Box Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 3 ESO. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

UNIDAD 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 195

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

2. Mtodos de sustitucin e igualacin

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuntas solucionestiene, haz la interpretacin grfica, clasifcalo yresulvelo grficamente:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes delsiguiente sistema para hallar cuntas solucionestiene. Haz la interpretacin grfica, clasifcalo yresulvelo grficamente:

Escribe un sistema que tenga como solucin x = 2,y = 3

Solucin:

x + y = 5x y = 1

6

Solucin:

2 1 5Criterio: =

6 3 3No tiene solucin.Son rectas paralelas.Sistema incompatible.

2x + y = 56x + 3y = 3

5

Solucin:

1 3Criterio:

3 2Tiene una solucin.Son rectas secantes.Sistema compatible determinado.

x = 1, y = 2

x 3y = 73x + 2y = 1

4

Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de yde la primera ecuacin en la segunda:

Solucin:x + 2x = 150 3x = 150 x = 50y = 2x y = 2 50 = 100

y = 2xx + y = 150


X

P(1, 2)

Y

X

Y


196 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Resuelve por sustitucin el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por igualacin:

Resuelve por sustitucin el siguiente sistema:

Resuelve por igualacin el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por sustitucin:

Resuelve el siguiente sistema por igualacin:

Solucin:

Se despeja y de las dos ecuaciones.x = 1, y = 0,5

0,5x + y = 10,25x y = 0,25

12

Solucin:

Se eliminan los denominadores:x + 6y = 22

6x y = 21Se despeja x de la primera ecuacin y se sustituyeen la segunda.x = 4, y = 3

x + 3y = 112

y2x = 7

3

11

Solucin:

Se despeja x de las dos ecuaciones.x = 1/2, y = 1/4

x 2y = 1x + 6y = 1

10

Solucin:

Se despeja x de la segunda ecuacin y se sustituyeen la primera.x = 3, y = 2

2x + 3y = 12x 5y = 7

9

Solucin:

Se despeja y de las dos ecuaciones.x = 4, y = 5

3x y = 72x + y = 13

8

Solucin:

Se despeja y de la primera ecuacin y se sustituyeen la segunda.x = 2, y = 1

2x + y = 33x 4y = 10

7




G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

3. Reduccin y qu mtodo utilizar

Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de xSustituye mentalmente este valor en la primera ecuacin y halla el valor de y

Solucin:8x = 16 x = 25 2 + 2y = 12 y = 1

5x + 2y = 123x 2y = 4


Resuelve el siguiente sistema por reduccin:




Resuelve el siguiente sistema por el mtodo mssencillo:

Resuelve por el mtodo ms sencillo el siguientesistema:

Resuelve el siguiente sistema por el mtodo mssencillo:

Solucin:

Por igualacin.x = 9, y = 5

x = 2y 1x = 3y 6

19

Solucin:

Por reduccin, se suman las dos ecuaciones.x = 1/2, y = 2

2x + 3y = 74x 3y = 4

18

Solucin:

Por sustitucin.x = 2, y = 7

y = 4x 12x + 3y = 25

17

Solucin:

Se multiplica la primera ecuacin por 5 y la segundapor 2 y se suman.x = 3, y = 2

3x 2y = 134x + 5y = 2

16

Solucin:

Se multiplica la primera ecuacin por 3 y se le restala segunda.x = 2, y = 3

2x + 3y = 56x + 5y = 3

15

Solucin:

Se cambia de signo la primera ecuacin y se suman.x = 2, y = 1

3x 2y = 83x + 7y = 1

14

Solucin:

Se suman las dos ecuaciones.x = 1, y = 2

3x + 2y = 75x 2y = 1

13



4. Problemas de sistemas

Halla dos nmeros sabiendo que uno es el dobledel otro y que entre los dos suman 51

En un garaje hay 18 vehculos entre coches ymotos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58ruedas. Cuntas motos y coches hay?

El permetro de un tringulo issceles mide 65 m,y cada uno de los lados iguales mide el doble dellado desigual. Cunto mide cada lado?

Solucin:

Medida del lado desigual: xMedida de cada uno de los lados iguales: y

x + 2y = 65y = 2x

Lado desigual: x = 13 mCada lado igual: y = 26 m

22

Solucin:

Nmero de coches: xNmero de motos: yx + y = 18

4x + 2y = 58Coches: x = 11, motos: y = 7

21

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: y

y = 2xx + y = 51x = 17, y = 34

20


En el dibujo de la izquierda est planteado un sistema correspon-diente a dos ecuaciones con dos incgnitas.

a) Suma las dos ecuaciones y halla el valor de un CD.

b) Observando la primera ecuacin y sabiendo el valor de unCD, calcula el valor de una cinta de vdeo.

Solucin:a) 2 CD = 10 1 CD = 5 b) 1 cinta de vdeo = 4


198 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

x

yy


El doble de un nmero ms el triple de otronmero es igual a 80, y el quntuplo del primeromenos la mitad del segundo es igual a 56. De qunmeros se trata?

Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El pre-cio de una entrada sin descuento es de 4,5 ycon descuento especial para colegios es de 1,5 .Se sacan 250 entradas, unas con descuento y otrassin descuento, y en total se pagan 675 . Cuntasentradas se han comprado con descuento? Y sindescuento?

Tres cintas de vdeo y 2 CD cuestan 12 ; 4 cintasde vdeo y 4 CD cuestan 18 . Calcula cuntocuestan cada cinta de vdeo y cada CD.

Halla la ecuacin de la recta ax + by = 2 sabiendoque pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 7)

Solucin:

a + 2b = 23a + 7b = 2a = 10, b = 4La recta es: 10x 4y = 2 5x 2y = 1

26

Solucin:

Precio de la cinta de vdeo: xPrecio del CD: y3x + 2y = 124x + 4y = 18Cada cinta de vdeo: x = 3 Cada CD: y = 1,5

25

Solucin:

Nmero de entradas sin descuento: xNmero de entradas con descuento: y

x + y = 2504,5x + 1,5y = 675Entradas sin descuento: x = 100 entradas.Entradas con descuento: y = 150 entradas.

24

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: y2x + 3y = 805x y/2 = 56x = 13, y = 18

23


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


200 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Ejercicios y problemas

1. Sistemas lineales. Resolucin grfica

Comprueba que x = 1, y = 5 es solucin delsiguiente sistema:

Resuelve grficamente los siguientes sistemas:

Solucin:

x = 4, y = 2

x 4y = 12x + 3y = 2

32

Solucin:

x = 1, y = 4

2x + y = 63x y = 1

31

Solucin:

x = 2, y = 3

x 2y = 42x + y = 7

30

Solucin:

x = 2, y = 3

x + y = 1x 2y = 8

29

Solucin:

x = 1, y = 2

3x y = 52x + 3y = 4

28

Solucin:

3 ( 1) + 2 5 = 3 + 10 = 134 ( 1) + 5 = 4 + 5 = 1

3x + 2y = 134x + y = 1

27

X

P(1, 2)

Y

X

Y

P( 2, 3)

X

Y

P(2, 3)

X

Y

P( 1, 4)

X

Y

P(4, 2)



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de lossiguientes sistemas para hallar cuntas soluciones tie-ne, haz la interpretacin grfica, clasifcalo y resulvelogrficamente:

Solucin:

3 1Criterio:


x = 2, y = 1

3x y = 5x + 2y = 4

36

Solucin:

1 2 3Criterio: = =


x1 = 1, y1 = 2; x2 = 3, y2 = 0; x3 = 5, y3 = 1

x + 2y = 32x + 4y = 6

35

Solucin:

2 1 1Criterio: =


2x + y = 12x + y = 1

34

Solucin:

x = 3, y = 1

3x + y = 102x + 3y = 9

33

X

Y

P(3, 1)

X

Y

X

Y

P( 2, 1)

X

Y


202 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


Escribe un sistema que tenga como solucin:

x = 1, y = 2

2. Mtodos de sustitucin e igualacinResuelve por el mtodo ms sencillo, sustitucin oigualacin, los siguientes sistemas:

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin. Se despeja y dela segunda ecuacin y se sustituye en la primera.x = 2/3, y = 13/3

7x + 2y = 45x + y = 1

42

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin. Se despeja x dela primera ecuacin y se sustituye en la segunda.x = 2, y = 1

x + 2y = 03x + 7y = 1

41

Solucin:

x + y = 1 x + y = 3

40

Solucin:

2 1Criterio:


x = 5, y = 1

2x y = 93x 5y = 10

39

Solucin:

2 1 1Criterio: = =


Soluciones, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 1, y2 = 1;x3 = 2, y3 = 3,

2x + y = 14x 2y = 2

38

Solucin:

1 3 7Criterio: =


x + 3y = 73x + 9y = 5

37

X

Y

X

Y

X

Y

P(5, 1)



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

3. Reduccin y qu mtodo utilizar

Resuelve por el mtodo ms sencillo los siguientes sis-temas:

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin.Se sustituye el valor de la x de la 1 ecuacin en la 2x = 11/5, y = 2/5

x = 2y + 33x + 4y = 5

52

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin.Se cambia de signo la segunda ecuacin y se suman.x = 3, y = 2

4x 5y = 223x 5y = 19

51

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin.Se despeja y de la 1 ecuacin y se sustituye por la 2x = 2; y = 1

2x + y = 33x 4y = 10

50

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin.Se suman las dos ecuaciones.x = 3, y = 4

3x + 2y = 17 3x + 5y = 11

49

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se despeja x de las dos ecuaciones.x = 4,2; y = 1,6

x + 0,75y = 3x 0,5y = 5

48

Solucin:

Se eliminan denominadores.2x + 3y = 302x y = 4Se aplica el mtodo de sustitucin.Se despeja y de la segunda ecuacin y se sustituye enla primera.x = 21/4, y = 13/2

x y + = 53 2x y = 12 4

47

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se igualan los valores de yx = 1, y = 1

y = 2x + 3y = 5x 4

46

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin.Se despeja y de la 2 ecuacin y se sustituye en la 1x = 2, y = 1

2x 3y = 13x + y = 7

45

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se despeja x de las dos ecuaciones.x = 7, y = 5

x 3y = 8x + 2y = 17

44

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se despeja y de las dos ecuaciones.x = 6/5, y = 7/5

3x y = 52x + y = 1

43


204 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


4. Problemas de sistemas

Halla dos nmeros sabiendo que uno es el cudru-plo del otro y que entre los dos suman 55

Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y12 barras y una hogaza pesan 4 kg. Cunto pesacada barra de pan y cada hogaza?

El triple de un nmero menos el doble de otronmero es igual a 45 y el doble del primero menosla cuarta parte del segundo es igual a 43. De qunmeros se trata?

El permetro de un romboide mide 42 m y un ladomide 7 metros ms que el otro. Cunto midecada lado?

Un ngulo de un rombo mide el doble que el otro.Cunto mide cada ngulo?

Solucin:

ngulo menor: xngulo mayor: yy = 2xx + y = 180x = 60, y = 120

61

Solucin:

Lado menor: xLado mayor: y2x + 2y = 42y = x + 7x = 7 m, y = 14 m

60

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: y3x 2y = 452x y/4 = 43x = 23, y = 12

59

Solucin:

Peso de la hogaza: xPeso de la barra: y2x + 8y = 6x + 12y = 4

Peso hogaza: x = 2,5 kgPeso de la barra: y = 0,125 kg = 125 g

58

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: yy = 4xx + y = 55x = 11, y = 44

57

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se igualan los valores yx = 3, y = 2

y = 2x + 8y = x 1

56

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin.Se multiplica la 1 ecuacin por 4 y la 2 por 3 y sesuman.x = 3, y = 1

2x 3y = 95x + 4y = 11

55

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin.Se igualan los valores de y de las dos ecuaciones.x = 3, y = 10

y = 3x + 1y = 4x 2

54

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin.m.c.m.(4, 6) = 12Se multiplica la 1 ecuacin por 3 y la 2 por 2 y sesuman.x = 1, y = 0

3x 4y = 35x + 6y = 5

53

x

y

x

y



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Resuelve grficamente los sistemas:

a) b)

Resuelve por el mtodo ms sencillo los siguientes sis-temas:

Solucin:

Se eliminan los denominadores.4x = 3y 4x 3y = 02x + 3y = 9

2x + 3y = 9

Se aplica el mtodo de reduccin. Se suman lasecuaciones.x = 3/2, y = 2

x y = 3 42x + 3y = 9

69

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin. Se multiplica la 1ecuacin por 5, la 2 por 3 y se suman.x = 1, y = 2

5x + 3y = 113x + 5y = 13

68

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin. Se sustituye elvalor de la x de la 1 ecuacin en la 2x = 3, y = 4

x = y 7x + 2y = 5

67

Solucin:

Se aplica el mtodo de sustitucin.Se despeja y de la 2 ecuacin y se sustituye en la 1x = 3, y = 1

3x 5y = 42x + y = 7

66

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin. Se multiplica la 1ecuacin por 2, la 2 por 3 y se suman.x = 3, y = 2

2x + 3y = 123x 2y = 5

65

Solucin:

Se aplica el mtodo de igualacin. Se despeja x o yde las dos ecuaciones y se igualan sus valores.x = 7, y = 9

x + y = 16x + 1 = y 1

64

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin.Se multiplica la 1 ecuacin por 2 y se suman.x = 4, y = 5

3x + 2y = 25x 4y = 40

63

Solucin:

a)

x = 0, y = 0

b)

x = 0, y = 0

2x y = 0x 2y = 0

x + y = 0x y = 0

62

Para ampliar

X

Y

O(0, 0)

X

Y

O(0, 0)


206 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


Escribe un sistema que tenga la solucin:

x = 3, y = 1

Calcula el valor de k para que x = 2, y = 1 seasolucin del sistema:

Calcula dos nmeros sabiendo que suman 92 yque su diferencia es 22

Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 ybolsas de frutos secos a 1,25 . Por cada refrescose compran tres bolsas de frutos secos y en totalse pagan 230 . Cuntos refrescos y bolsas sehan comprado?

Halla dos nmeros cuya suma sea 12 y el primeroms el doble del segundo sea igual a 19

Un ngulo de un rombo mide el triple que el otro.Cunto mide cada ngulo?

Solucin:

ngulo menor: xngulo mayor: yy = 3xx + y = 180x = 45, y = 135

78

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: yx + y = 12x + 2y = 19x = 5, y = 7

77

Solucin:

N de refrescos: xN de bolsas de frutos secos: y0,85x + 1,25y = 230y = 3xN de refrescos: x = 50N de bolsas de frutos secos: y = 150

76

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: yx + y = 92x y = 22x = 57, y = 35

75

Solucin:

2 + 2 1 = 2 + 2 = 42k 1 = 9 k = 5

x + 2y = 4kx y = 9

74

Solucin:

x + y = 2x y = 4

73

Solucin:

Se aplica el mtodo de reduccin. Se suman lasecuacionesx = 7, y = 0,5

0,25x + 0,5y = 20,75x 0,5y = 5

72

Solucin:

Se eliminan los denominadores, parntesis y se sim-plifica.x + 2y = 15

2x + y = 12Se aplica el mtodo de reduccin. Se multiplica por 2 la 2 ecuacin y se suman.x = 3, y = 6

x + 2y = 35

2x + 5y 8 = 4(y + 1)71

Solucin:

Se eliminan los denominadores y se simplifica.3x + 2y = 18x + 2y = 10

Se aplica el mtodo de reduccin. Se le resta a la 1ecuacin la 2x = 4, y = 3

x y + = 32 35x + 2y = 4x + 10

70

x

y



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Halla la edad de un padre y la de su hijo sabiendoque la edad del padre es el triple de la del hijo y ladiferencia de las edades es de 28 aos.

Halla los lados de un rectngulo sabiendo que elpermetro mide 130 m y que la base es 3/2 de laaltura.

Un pantaln y una camisa cuestan 60 y he paga-do por ellos 52,8 . Si en el pantaln me hanhecho el 10% de descuento y en la camisa, el 15%,cunto costaba cada prenda?

Solucin:

Precio del pantaln: xPrecio de la camisa: yx + y = 600,9x + 0,85y = 52,8Coste del pantaln: x = 36 Coste de la camisa: y = 24

81

Solucin:

Base: xAltura: y2x + 2y = 130x = 3y/2Base: x = 39 mAltura: y = 26 m

80

Solucin:

Edad del hijo: xEdad del padre: yy = 3xy x = 28Edad del hijo: x = 14 aos.Edad del padre: y = 42 aos.

79

x

y

Problemas

Se mezcla caf de calidad extra de 12 /kg concaf normal de 7 /kg para obtener una mezcla de40 kg a 9 /kg. Cuntos kilos hemos mezclado decada clase?

Halla la ecuacin de la recta y = ax + b sabiendoque pasa por los puntos A(1, 5) y B(1, 1)

Jos ha comprado en el mercado 3 kg de manza-nas y 2 kg de higos y ha pagado 14 . Sabiendoque el kilo de higos cuesta el doble que el de man-zanas, halla el precio del kilo de manzanas y delkilo de higos.

Solucin:

Precio del kilo de manzanas: xPrecio del kilo de higos: y3x + 2y = 14y = 2xPrecio del kilo de manzanas: x = 2 Precio del kilo de higos: y = 4

84

Solucin:

a + b = 5 a + b = 1a = 2, b = 3La recta es: y = 2x + 3

83

Solucin:

x + y = 4012x + 7y = 40 9Caf extra de 12 /kg: x = 16 kgCaf de 7 /kg: y = 24 kg

82

Caf extra

12

x

Caf normal

7

y

Mezcla

9

40

Precio (/kg)

Peso (kg)


208 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


El permetro de un tringulo issceles mide 27,5 m ycada uno de los lados iguales mide 2,5 m ms que eldesigual. Cunto mide cada lado?

Por una camisa y un pantaln se han pagado120 , y por dos camisas y tres pantalones se hanpagado 312 . Cunto cuestan cada camisa y cadapantaln?

El ngulo desigual de un tringulo issceles mide lamitad de cada uno de los iguales. Cunto midecada uno de los ngulos?

Pedro y Mara van a comprar cuadernos y bolgra-fos. Pedro paga 30 por 5 cuadernos y 6 bolgra-fos, y Mara paga 34 por 7 cuadernos y 2 bol-grafos. Cunto cuestan cada cuaderno y cadabolgrafo?

Una fbrica hace bicicletas del tipo A, que llevan1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y otras deltipo B, que llevan 2 kg de acero y 2 kg de aluminio.Si la empresa tiene 240 kg de acero y 360 kg dealuminio, cuntas bicicletas puede construir decada modelo?

Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5 el litrocon aceite de orujo de 2,5 el litro, para obtener400 litros de mezcla a 2,75 el litro. Cuntoslitros hemos mezclado de cada aceite?

Halla dos nmeros sabiendo que al dividir el mayorentre el menor se obtiene de cociente 2 y de resto3, y que la suma de los dos nmeros es 39

91

Solucin:

x + y = 4003,5x + 2,5y = 400 2,75Aceite de oliva: x = 100 litros.Aceite de orujo: y = 300 litros.

90

Solucin:

Bicicletas del tipo A: xBicicletas del tipo B: yx + 2y = 240

3x + 2y = 360Bicicletas del tipo A: x = 60Bicicletas del tipo B: y = 90

89

Solucin:

Precio de un cuaderno: xPrecio de un bolgrafo: y5x + 6y = 307x + 2y = 34Precio de un cuaderno: x = 4,5 Precio de un bolgrafo: y = 1,25

88

Solucin:

ngulo igual: xCada ngulo desigual: yy = x/22x + y = 180Cada uno de los ngulo iguales:x = 72El ngulo desigual: y = 36

87

Solucin:

Coste de una camisa: xCoste de un pantaln: yx + y = 120

2x + 3y = 312Coste de una camisa: x = 48 Coste de un pantaln: y = 72

86

Solucin:

Medida del lado desigual: xMedida de cada uno de los ladosiguales: yx + 2y = 27,5y = x + 2,5

Medida del lado desigual: x = 7,5 mMedida de cada uno de los lados iguales: y = 10 m

85

x

yy

x x

y

Aceite puro

3,5

x

Aceite orujo

2,5

y

Mezcla

2,75

400

Precio (/l )Capacidad (l )



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Entre conejos y gallinas hay 48 animales en uncorral. Sabiendo que en total hay 86 patas, cun-tos conejos y gallinas hay? Interpreta el resultado.

El permetro de un rectngulo mide 21 m y uno delos lados mide el doble del otro. Cunto midecada lado?

El triple de un nmero ms otro nmero es igual a29 y el doble del primero menos la mitad delsegundo es igual a 10. De qu nmeros se trata?

Reparte 55 proporcionalmente a 2 y 3

En una tienda, 2 pares de zapatos y 3 pares dedeportivos cuestan 170 , y se han pagado porellos 132 . Si en los zapatos han hecho el 25% dedescuento y en los deportivos el 20%, cuntocostaba cada par?

Dos revistas deportivas y una de automviles cues-tan 6 . Cuatro revistas deportivas y dos de auto-mviles cuestan 12 . Calcula cunto cuestan cadarevista deportiva y cada revista de automviles.Interpreta el resultado que se obtiene.

Solucin:

Cantidad de revistas deportivas: xCantidad de revistas de automviles: y2x + y = 64x + 2y = 12Los coeficientes de la segunda ecuacin son el doblede los de la primera. El sistema es compatible indeter-minado, tiene infinitas soluciones.

97

Solucin:

Pares de zapatos: xPares de deportivos: y2x + 3y = 1702x 0,75 + 3y 0,8 = 132Pares de zapatos: x = 40Pares de deportivos: y = 30

96

Solucin:

Primera cantidad: xSegunda cantidad: yx + y = 55x y = 2 3x = 22, y = 33

95

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: y3x + y = 292x y/2 = 10x = 7, y = 8

94

Solucin:

Base: xAltura: y2x + 2y = 21x = 2yBase: x = 7 mAltura: y = 3,5 m

93

Solucin:

Cantidad de conejos: xCantidad de gallinas: yx + y = 48

4x + 2y = 86Cantidad de conejos: x = 5Cantidad de gallinas: y = 53Interpretacin: el nmero de conejos no puede sernegativo, el problema no tiene solucin.

92

Solucin:

Nmero menor: xNmero mayor: yx + y = 39y = 2x + 3Nmero menor: x = 12Nmero mayor: y = 27

x

y


210 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


Para profundizar

Halla dos nmeros tales que su suma sea 25 y lasexta parte del primero ms cinco veces el segun-do sea igual a 38

Entre Juan y Antonio hacen un trabajo por el quecobran 654 . Si Juan ha hecho los 2/3 del trabajoque ha hecho Antonio, cunto tiene que cobrarcada uno?

En un puesto se venden melones y sandas porunidades. Por la compra de 3 melones y 2 sandasse pagan 8 , y por la compra de 6 melones y 4sandas se pagan 15 . Calcula el precio de cadameln y de cada sanda e interpreta el resultadoque obtengas.

Calcula las dimensiones de un rectngulo cuyopermetro es 306 m y cuya altura mide los 3/4 dela base.

Se mezcla cebada de 0,15 /kg con trigo de0,2 /kg para obtener 500 kg de pienso para ani-males a 0,17 /kg. Cuntos kilos de cebada y detrigo hemos mezclado?

El permetro de un rectngulo mide 24 m y lasuma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcula lalongitud de los lados del rectngulo e interpreta elresultado que obtengas.

Halla dos nmeros directamente proporcionales a5 y 7 cuya suma sea 36

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: yx y = 5 7x + y = 36x = 15, y = 21

104

Solucin:

Base: xAltura: y2x + 2y = 24x + y = 12

El sistema es compatible indeterminado, tiene infini-tas soluciones porque los coeficientes de la segundaecuacin son la mitad que los de la primera.

103

Solucin:

x + y = 5000,15x + 0,2y = 500 0,17Cebada: x = 300 kgTrigo: y = 200 kg

102

Solucin:

Base: xAltura: y2x+ 2y = 306y = 3x/4Base: x = 612/7 = 87,43 mAltura: y = 459/7 = 65,57 m

101

Solucin:

Precio de un meln: xPrecio de una sanda: y3x + 2y = 86x + 4y = 15Los coeficientes de las incgnitas de la segunda ecua-cin son el doble que los de la primera y sin embargoel segundo miembro no es el doble. El sistema esincompatible, no tiene solucin.

100

Solucin:

Cantidad que cobra Juan: xCantidad que cobra Antonio: yx + y = 654x = 2y/3Juan cobra: x = 261,6 Antonio cobra: y = 392,4

99

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: yx + y = 25x/6 + 5y = 38x = 18, y = 7

98

x

y

x

y

Cebada

0,15

x

Trigo

0,2

y

Mezcla

0,17

500

Precio (/kg)

Masa (kg)



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

La suma de las edades de un padre y su hijo es de75 aos y la diferencia es de 45 aos. Qu edadtienen el padre y el hijo?

Un nmero est compuesto de dos cifras quesuman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras deorden, el nmero aumenta en 18 unidades. Dequ nmero se trata?

Solucin:

Cifra de las unidades: xCifra de las decenas: y

x + y = 610x + y = x + 10y + 18x = 4, y = 2El nmero es 24

106

Solucin:

Edad del padre: xEdad del hijo: yx + y = 75x y = 45Edad del padre: x = 60 aos.Edad del hijo: x = 15 aos.

105


212 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Aplica tus competencias

Dos ciudades, A y B, distan entre s 600 km. Dela ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad Bhacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calculael tiempo que tardarn en encontrarse y la dis-tancia que ha recorrido cada vehculo.

El tiempo t es el mismo para los dos y hay queaplicar la frmula e = v t

Dos ciudades, A y B, distan entre s 800 km. Dela ciudad A sale hacia la ciudad B un tren demercancas a 80 km/h. Tres horas ms tarde salede la misma estacin A otro tren de pasajeros a120 km/h. Calcula el tiempo que tardar elsegundo tren en alcanzar al primero y la distan-cia que han recorrido los dos trenes.

Solucin:x = 80(t + 3)x = 120tt = 6 h, x = 720 km

108

Solucin:x = 80t600 x = 120tt = 3 h, x = 240 kmEl tiempo es el mismo para los dos: 3 hEl espacio que recorre el coche que sale de A es de240 kmEl espacio que recorre la moto que sale de B es de600 240 = 360 km

107

600 km

A B

600 x

80 km/h 120 km/h

xA B

80 km/h

120 km/h

xC

Tiempo del tren de mercancas: t + 3

Tiempo del tren de pasajeros: t

Clasifica un sistema a partir del nmero de solu-ciones y pon un ejemplo de un sistema incom-patible.

Ejemplo:

2x + 3y = 64x + 6y = 3

Solucin:Un sistema lineal se puede clasificar, segn elnmero de soluciones en: a) Compatible determinado: el sistema tiene

una solucin y las dos rectas se cortan en unpunto.

b) Incompatible: el sistema no tiene solucin ylas dos rectas son paralelas.

c) Compatible indeterminado: el sistema tieneinfinitas soluciones y las dos rectas son la misma.

1

Comprueba lo que sabes

X

Y



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Comprueba lo que sabes

Resuelve grficamente el sistema:





Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre losdos tienen 800 . Cunto dinero tiene cadauno?

Un prado tiene forma rectangular. La altura delrectngulo mide 5 m menos que la base y el per-metro mide 82 m. Halla el rea del prado.

Solucin:Base: xAltura: yy = x 52x + 2y= 82

Base: x = 23 m, altura: y = 18 mrea = 23 18 = 414 m2

8

Solucin:Dinero que tiene Ana: xDinero que tiene Julio: yx = 3yx + y = 800Se resuelve por sustitucin.x = 600, y = 200Ana tiene: 600 Julio tiene: 200

7

Solucin:Se resuelve por igualacin.x = 9, y = 5

x = 2y 1x = 3y 6

6

Solucin:Se resuelve por reduccin. Se multiplica la 1 pordos y se suman.x = 2, y = 1

2x + 3y = 75x 6y = 4

5

Solucin:Se resuelve por reduccin.Se suman las dos ecuaciones y se obtiene xx = 1, y = 4

2x + y = 23x y = 7

4

Solucin:Se resuelve por sustitucin. Se despeja y en la 1ecuacin y se sustituye en la 2x = 1, y = 3

3x + y = 02x 3y = 11

3

Solucin:

x = 2, y = 1

2x + y = 5x 3y = 1

2

X

Y

P (2, 1)

x

y


214 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema yclasifcalo a la vista del resultado:



Resuelve grficamente el siguiente sistema, clasi-fcalo y, si es compatible determinado, halla lasolucin.

Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.esy elige Matemticas, curso y tema.

113

Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.

2x + y = 9x 3y = 1

112


3x y = 1 9x + 3y = 3

111


2x + 3y = 64x + 6y = 3

110


x + 2y = 83x y = 3

109

Paso a paso

Windows Derive



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemasy clasifcalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemasy clasifcalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve grficamente los siguientes sistemas,clasifcalos y, si son compatibles determinados,halla la solucin:

a) b)

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayudade DERIVE o Wiris:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre losdos tienen 800 . Cunto dinero tiene cadauno?

En un rectngulo, la suma de las longitudes de labase y la altura es 35 m y la longitud de la basemenos la longitud de la altura es 7 m. Cuntomide cada lado?

Planteamiento:x + y = 35x y = 7

Solucin:La base mide 21 mLa altura mide 14 m

118

Planteamiento:x = 3yx + y = 800

Solucin:Ana tiene: 600 Julio tiene: 200

117

b)

Sistema compatible determinado.x = 3, y = 2

Solucin:a)

Sistema incompatible.

2x + 3y = 123x 2y = 5

x y = 1 2x + 2y = 5

116

Solucin:a) 3x 2y = 4Sistema compatible indeterminado.b) x = 3, y = 1Sistema compatible determinado.

3x 5y = 42x + y = 7

9x 6y = 12 3x + 2y = 4

115

Solucin:a) x = 4, y = 5

Sistema compatible determinado.b) No tiene solucin.

Sistema incompatible.

4x 6y = 3 2x + 3y = 5

3x + 2y = 25x 4y = 40

114

Linux/Windows

Practica

P(3, 2)


sistemas de ecuaciones lineales - precálculoprecalculo.carimobits.com/material del...

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