8/14/2019 Sistema Experto para Resolver Problemas Lgicos de Deduccin

1/4

SISTEMAEXPERTO PARARESOLVERPROBLEMASLGICOS DEDEDUCCIN

Gabriel Garduo Soto,* David Ren Thierry Garca,** Rafael Vidal Uribe,* Hugo Padilla Chacn***

1. Breves observaciones sobre formalizacin y aritmetizacin de la lgica

La silogstica de Aristteles constituye, para la mayor parte de los historiadores de la lgica, elantecedente por excelencia en el desarrollo de la lgica formal. La silogstica desde un punto de vista

moderno resulta ser slo una pequea porcin dentro del clculo cuantificacional o del clculo de clases

(en virtud de esto ltimo, mtodos como los de Venn o de Ladd Franklin, son eficaces para el anlisis de

los silogismos). La lgica de los estoicos, olvidada durante muchos siglos y slo redescubierta en el siglo

XIX, constituye el antecedente de lo que ahora se conoce como clculo proposicional . Ambas lgicas

antiguas son, pues, puntos de referencia histricos para la lgica formal moderna.Hubo otros planteamientos que se quedaron en apreciaciones generales, en proyectos fallidos o inconclusos:

tales como los que postularon la viabilidad de ciertos Calculus Ratiotinator, Ars Combinatoria,

Mat he sis Unive rsalis, etc. Pero es hasta el siglo pasado cuando se recobra el vigor en las

investigaciones lgicas, principalmente con los trabajos de Boole y de Frege. El programa de

Frege, que da origen a la corriente logicista, pretende hacer plausible la reductibilidad de la

matemtica a la lgica y, para ello, estructura a la lgica misma como un sistema de smbolos; en

sus propias palabras, como eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache, es decir, como

un lenguaje de frmulas semejante (nachgebildete) al de la aritmtica. La lgica, as, va a

parecerse a la matemtica en cuanto a la uti lizacin como en sta, de smbolos y de frmulas. De

aqu, precisamente, su caracter formal.

Pero formalizar no es lo mismo que aritmetizar. Toda aritmetizacin de la lgica es, eo ipso, una

formalizacin; la inversa no siempre es vlida. La relacin no es necesariamente simtrica.

2. Breves consideraciones sobre tres aritmetizaciones de la lgica

Es bien conocido el recurso fundamental de que se sirve Gdel para desarrollar su teorema de incompletud

(1931): aritmetiza el nivel de la lgica. A cada signo elemental, a cada frmula y a cada secuencia de frmulas

de la lgica les asigna un nmero nico (nmero de Gdel) de manera que la lgica queda mapeada en

la aritmtica. Este mapeo en Gdel no es un fin en s mismo: es slo un recurso, entre otros, de que se vale

para alcanzar el propsito de probar el teorema. Quiz por ello no fue bice que el mapeo no resultara

biunvoco, es decir, que mientras a cada expresin o secuencia de expresiones lgicas les corresponde unnico nmero (de Gdel), no todo nmero es un nmero de Gdel y, por lo tanto, no todo nmero representa

una expresin o secuencia de expresiones lgicas. Por esto la aritmetizacin de Gdel no permite ir ms

all, desde un punto de vista operativo.

En diversos trabajos ukasiewicz emple recursos de aritmetizacin para tratar problemas de

lgica. Sin embargo, la aritmetizacin misma tampoco la tuvo como fin en sus investigaciones.

A diferencia de Gdel que estableci un mecanismo estricto para garantizar la univocidad

1

* Facultad de Filosofa y Letras,UNAM. Colegio de Filosofa, DivisinSUAFyL.

** Facultad de Economa,UNAM. DivisinSUAE.

*** Facultad de Filosofa y Letras,UNAM. Divisin de Estudios de Posgrado.

8/14/2019 Sistema Experto para Resolver Problemas Lgicos de Deduccin

2/4

(aunque no la biunivocidad, como se dijo antes), ukasiewicz siempre estableci convenciones

laxas y coyunturales, de manera que los nmeros empleados, aunque reflejan ciertas estructuras

profundas de la lgica, tampoco permiten una operatividad sistemtica.

En el mtodo de Quine-McKlusky para minimizar funciones booleanas cannicas, tambin puedeencontrarse una incipiente aritmetizacin. Tampoco es un objetivo en s misma y slo auxilia, dentro del

propsito del mtodo, al fin de agrupar los sumandos lgicos potencialmente minimizables.

No hemos encontrado una aritmetizacin igual a la que ahora se expone en sus rasgos generales.

3. Aritmetizacin del clculo proposicional

3.1 La aritmetizacin que hemos desarrollado est constituida por un grupo de algoritmos queresuelven como problemas estrictamente aritmticos los problemas del clculo proposicional.

3.2 Las reglas de correspondencia permiten garantizar una biunivocidad, en el siguiente sentido: atoda y a cada frmula del clculo proposicional le corresponde uno y slo un nmero; a todo y a

cada nmero le corresponde una y slo una frmula del clculo proposicional.

3.3 Los nmeros constituyen los valores que pueden ser sustituidos por las variables yconstantes en los algoritmos. Los nmeros que resultan de realizar las operaciones aritmticas

sealadas en los algoritmos representan la solucin parcial o total de un problema lgico parcial

o total.

3.4 Una vez resuelto un problema lgico por medio de los algoritmos, en virtud de 3.2(biunivocidad) la solucin aritmtica se reinterpreta en notacin lgica.

3.5 La validez de los algoritmos fue probada por medio de la induccin matemtica.

Como consecuencia de la aritmetizacin lograda, puede establecerse una conexin con el conocido

teorema de Shannon (1938). El teorema de Shannon establece una biunivocidad entre las frmulas dellgebra booleana y los circuitos en serie-paralelo: cada frmula del lgebra booleana es realizable como

un circuito en serie-paralelo; a la inversa, cada circuito en serie-paralelo es representable como una

frmula del lgebra booleana. Ahora puede postularse una extensin de este teorema: a cada nmero le

corresponde una frmula booleana cannica y, puesto que (teorema de Shannon) a cada frmula booleana

le corresponde un circuito en serie-paralelo, entonces a cada nmero le corresponde un circuito en

serie-paralelo. La inversa es vlida tambin.

4. Sistema para resolver problemas de deduccin

Los algoritmos mencionados conforman un sistema en el sentido en que grupos y subgrupos de los

mismos estn destinados a resolver problemas especficos, pero todos ellos son interrelacionables y,por esto, permiten resolver problemas con mayor grado de complejidad. De esta manera, el sistema, al

que denominaremos,SD, puede ser definido como:

SD =

en donde {A1,A2, , An} es el conjunto de los algoritmos; {0, 1, 2, , n} es el conjunto de los valores

que pueden cobrar las variables y constantes de los algoritmos, y Res una relacin que permite la

interconexin entre los algoritmos.

El sistema que conforman los algoritmos es experto en el sentido en que puede simular la conducta

de un lgico especializado en problemas de deduccin dentro del clculo proposicional, aunque tambin

2

8/14/2019 Sistema Experto para Resolver Problemas Lgicos de Deduccin

3/4

dentro del clculo cuantificacional bajo ciertas restricciones. La silogstica aristotlica, por ejemplo,

aunque perteneciente por tradicin a una lgica de trminos, es manejable dentro del sistema. Es

experto an en el sentido psicolgico en que el sistema puede dar sorpresas, inclusive a sus propios

creadores. A manera de ilustracin: cuando estaba siendo sometido a ensayos y provisto de informacinconcerniente a la silogstica clsica, reportaba como invlidos varios silogismos incluidos como vlidos

en algunos listados estndar: Bamalip, Darapti, etc. Se pens, en primera y ms grave instancia, en un

error en los algoritmos; luego, en un error en la interconexin; luego, en un error en la informacin, etc.

No haba tal: el sistema estaba bien. Los silogismos que rechazaba son dubitables en tanto que silogismos

genuinos, puesto que implican una presuncin de existencia no contenida en las premisas universales.

Para percatarse de esto, hubo necesidad de revisar las discusiones sobre la silogstica clsica. Los

creadores del sistema, supuestos expertos, haban olvidado estas cuestiones.

No es posible ofrecer, en la reducida extensin a que estn constreidos los trabajos que se presentan

en una conferencia, los algoritmos que conforman el sistema. Su exposicin y explicacin consumiran un

tiempo equivalente, por lo menos, al de un curso con duracin de dos semestres acadmicos. No son muy

numerosos, son aproximadamente unos cien. Tampoco son difciles de comprender: slo se requiere elmanejo de dos teoras elementales, la de la lgica y la de los nmeros. Pero algunos de ellos son extensos

y aparentemente complejos. No obstante, se destacarn en seguida algunas de sus caractersticas

fundamentales:

4.1. Permiten distinguir entre las frmulas bien formadas (wffs) y las simples expresiones.4.2. Permiten transformar cualquier frmula bien formada, con cualquier nmero y combinacin de

los operadores lgicos clsicos, en una frmula cannica (normal disyuntiva).

4.3. Permiten decidir si una frmula determinada cualquiera, con cualquier nmero y combinacinde los operadores lgicos clsicos, es o no un teorema de un clculo proposicional

axiomatizado.

4.4. Permiten decidir, en deduccin natural, si una frmula determinada se deduce o no de unconjunto de premisas dado.

4.5. Permiten obtener, en deduccin natural,todaslas conclusiones semnticamente distintas que sededucen de un conjunto de premisas dado.

4.6. Resuelven un problema inusual dentro de la lgica. A saber: Permiten obtener, en deduccinnatural,todoslos conjuntos semnticamente distintos de premisas de los cuales se deduce unavez determinado el nmero de variables en que se quiera encuadrar el problema una frmula

cualquiera propuesta a manera de conclusin.

4.7. Los problemas se pueden plantear con cualquier nmero y combinacin de los operadoreslgicos tradicionales; las soluciones, en los casos 4.5 y 4.6, se obtienen en forma normal

disyuntiva.

5. Sistema y Programacin

Los algoritmos contenidos en el sistema permiten trabajar, en principio, con cualquier nmero finito de

variables proposicionales, tan grande como se quiera. Sin embargo, las limitaciones propias de los

equipos de cmputo personales (PC), restringen su efectividad, por ahora, a un mximo de cuatro varia-

bles. No obstante esto, se producen resultados interesantes: hay planteamientos, en el caso 4.5, en que se

llegan a obtener ms de 30,000 conclusiones semnticamente distintas, a partir de un conjunto de

premisas con cuatro variables.

3

8/14/2019 Sistema Experto para Resolver Problemas Lgicos de Deduccin

4/4

6. Acotacin terica

La filosofa subyacente en el desarrollo de los algoritmos que utiliza el sistema est ms cercana a la lnea

Poincar-Brower-Weyl (intuicionismo), que a los enfoques Hilbert-Ackerman (formalismo) o Frege-Rus-sell-Zermelo (logicismo).

4