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Diciembre 2001 Fundamentos Lógicos de la Ingeniería del Software

2. Búsqueda de cláusulas del programa: deducción versus inducción• Deducción = razonamiento de lo general a lo específico

– Preserva la verdad– Siempre es correcto

• Inducción = razonamiento desde lo específico a lo generalel inverso de la deducción

– No preserva la verdad– Puede haber evidencia estadística

DEDUCCIÓN INDUCCIÓNTodos los hombres son mortales Sócrates es mortalSócrates es un hombre Sócrates es un hombreSócrates es mortal Todos los hombres son mortales


2. Búsqueda de cláusulas del programa: inferencia y probabilidad

• Probabilidad de seleccionar un elemento de U siendo de P

p(P)=|P| / |U|• Dado un elemento seleccionado de U que es de Q, probabilidad de que sea

de P

p(P/Q)=p(PQ) / p(Q)• Teorema de Bayes: p(P/Q)=p(P) * p(Q/P) / p(Q)

U P Q



• Interpretación probabilística del cálculo de predicados de primer orden (Carnap)

P representa el conjunto de modelos de Herbrand de la

fórmula P (resp. Q) y U es 2H(PQ). p(P)=p(P) son las interpretaciones de P que son modelo de P p(P/Q) son los modelos de Q que son modelo de P

p(False)=0 p(True)=1

p(PQ)= p(PQ) p(PQ)= p(PQ)

p(P)=1- p(P) p(P)p(Q) si P |= Q



• Dados B y E, hay más de una hipótesis candidata. – H = T= p(x1,...,xn)

– H = = E+

• Teorema de Bayes: Sea E una evidencia de T. Entonces

p(T/E)=p(T) * p(E/T) / p(E) Carnap: p(T) es la proporción de interpretaciones que son

modelo de T PARADOJA Solomonoff: p(P)= 2-(P), donde (P) es el contenido de

información de la fórmula P (longitud en bits de la codificación mínima de P).



Teoría de la información de Shannon:

I(P)=-log2p(P)

– I(True) = 0 (p(True) = 1)

– I(False) = (p(False) = 0)

– I(P Q) = I(P) + I(Q) (p(PQ) = p(P) . p(Q))

Información de Bayes: I(T|E) = I (T) + I (E|T) - I (E)


2. Búsqueda de cláusulas del programa: inferencia y probabilidad• La teoría debe ser una explicación más simple que la

propia evidencia

I(T|E) I(B E)

• T comprime los ejemplos al tener menor contenido de información.

p(T/E)=p(T) * p(E/T) / p(E) 1

p(T) * p(E/T) p(E)

0 I(E) I(T) + I(E/T)

I(T|E) I(T) + I(E/T) I(B E)0



• Principio de la longitud de descripción mínima de Rissanen: minimizar I(T|E)

• Principio de la navaja de Ockham: minimizar I(T)

• Principio de la probabilidad máxima de Fisher: maximizar I(E|T)

• TEOREMA DE EQUIVALENCIA: Sea E una evidencia para un conjunto de teorías (potenciales) elegidas desde .

minT I(T|E) = - log2 maxT p(T|E)


2. Búsqueda de cláusulas del programa

• Búsqueda en el espacio de las hipótesis– estados: hipótesis de LH

– objetivo: encontrar una hipótesis que satisfaga el criterio de calidad (ej. completitud y consistencia)

• Algoritmo de generación y pruebapara todo H LH hacer si H es completa y consistente entonces

output(H) computacionalmente caro

• Restringir la búsqueda– lenguaje: reducir el espacio de hipótesis

– búsqueda: reducir la búsqueda en el espacio de las hipótesis


2. Búsqueda de cláusulas del programa

• Estructura del espacio de hipótesisbasado en una relación de generalidad

G es más general que S iff covers(S) covers(G)

• Podando el espacio de búsqueda– Si H no cubre un ejemplo e entonces tampoco cubrirá ninguna

especialización de e usado con los ejemplos positivos para podar

– Si H cubre un ejemplo e entonces también cubrirá sus generalizaciones usado con los ejemplos negativos para podar

• Estas propiedades determinan el espacio de las soluciones posibles


2. Búsqueda de cláusulas del programa: espacio de hipótesis

-

+ ++

+

--

-

-

muy general

muy específico

¿Cómo estructurar el espacio de las hipótesis?

¿Cómo movernos desde una hipótesis a otra?



Másgeneral

Másespecífic

o



Másgeneral

Másespecífic

o

e- cubierto

e- no cubierto



Másgeneral

Másespecífic

o

flies(X)

flies(X)bird(X)

flies(X)bird(X), normal(X)



Másgeneral

Másespecífic

o

flies(X)

flies(X)bird(X)

flies(X)bird(X), normal(X)

flies(oliver) bird(oliver)


2. Búsqueda de cláusulas del programa: noción de generalidad

• Noción de generalidad– ¿Cómo especializar las condiciones?

– ¿Cómo generalizar las condiciones?



• El conjunto de los términos de primer orden es un retículo– t1 es más general que t2 iff para alguna sustitución : t1 = t2

– especialización: aplicar una sustitución

– generalización: aplicar una sustitución inversa

g(f(X),Y)

g(f(X),X) g(f(f(a)),X)g(f(X),f(a))

g(f(f(a)),f(a))



• El conjunto de las cláusulas es un retículo– C1 es más general que C2 iff para alguna sustitución : C1 C2

– especialización: aplicar una sustitución y/o añadir un literal

– generalización: aplicar una sustitución inversa y/o eliminar un literal

m(X,Y)

m(X,X)

m(X,[Y|Z])

m([X|Y],Z) m(X,Y):-m(Y,X)

m(X,[X|Z]) m(X,[Y|Z]):-m(X,Z)



• Una teoría G es más general que una teoría S iff G = S– G = S: en cada interpretación en la que G es cierto, S también lo

es

– “G implica lógicamente S”

Todas las frutas saben bien = Todas las manzanas saben bien(asumiendo que las manzanas son frutas)


2. Búsqueda de cláusulas del programa: deducción versus inducción

• Hay operadores deductivos - que implementan (o aproximan) =

resolución

• Invertir estos operadores conduce a operadores inductivos

Técnica básica en muchos sistemas de programación lógica inductiva


2. Búsqueda de cláusulas del programa: varios marcos para la generalidad

• Dependiendo de la forma de G y S– 1 cláusula / cjto de cláusulas / cualquier teoría de primer orden

• Dependiendo en el mecanismo deductivo - a invertir– Theta-subsunción

– Resolución

– Implicación


3. Métodos Bottom-up: theta-subsunción (Plotkin)

• Subsunción– Sustitución: = {X1/t1,...,Xn/tn} es una asignación de los

términos ti a las variables Xi

– Subsunción: Sean C y D cláusulas.

C (-)subsume D (C = D) iff existe tal que C D

Ejemplo: p(a,b) r(b,a) es subsumida por p(X,Y) r(Y,X)

p(X,Y) r(Y,X) subsume p(X,Y) r(Y,X),q(X)



Ejercicio: C1: father(X,Y) parent(X,Y). C2: father(X,Y) parent(X,Y),male(X).

C3: father(luc,Y) parent(luc,Y).

• C1 = C2 ( ={ })

• C1 = C3 ( ={X/luc})

• C2 =/ C3 C3 =/ C2



Ejercicio: C1: p(X,Y) q(X,Y). C2: p(X,Y) q(X,Y),q(Y,X).

C3: p(Z,Z) q(Z,Z).C4: p(a,a) q(a,a).

• C1 = C2 ( ={ })

• C1 = C3 ( ={X/Z,Y/Z})

• C1 = C4 ( ={X/a,Y/a})

• C3 = C4 ( ={Z/a})



• Ejercicio: C1: p(f(X),g(X)) C2: p(f(3),g(3))

• Ejercicio: C1: p(f(X),g(X)) C2: p(f(3),g(Y))

• C1 = C2 ( ={X/3})

• C1 =/ C2 C2 =/ C1



• Propiedades de la -subsunción– Correcta: si C =< D entonces C |= D

– Incompleta: puede que C |= D y sin embargo C =/< D

C: p(f(X)) p(X)

D: p(f(f(X))) p(X)– Reflexiva, transitiva y antisimétrica

relación de semi-orden

clases de equivalencia con un orden parcial

c1c2 sii c1 =< c2 y c2 =< c1

Si c[C] y d[D] c =< d ó d =< c ó (c =/< d y d =/< c)


3. Métodos Bottom-up: theta-subsunción (Plotkin)• Las clases de equivalencia forman un retículo

p(X,Y) :- m(X,Y),r(X)p(X,Y) :- m(X,Y), m(X,Z),r(X) ...

p(X,Y) :- m(X,Y),s(X)p(X,Y) :- m(X,Y), m(X,Z),s(X) ...

p(X,Y) :- m(X,Y)p(X,Y) :- m(X,Y), m(X,Z)p(X,Y) :- m(X,Y),m(X,Z),m(X,U) ...

p(X,Y) :- m(X,Y),s(X),r(X)p(X,Y) :- m(X,Y), m(X,Z),s(X),r(X) ...

lgg

glb


3. Métodos Bottom-up: generalización menos general - lgg (Plotkin)

• Generalización menos general (lgg)C es la generalización menos general (lgg) de D bajo -subsunción

si C = D y para cada E tal que E = D se cumple E = C.

• Computación de lggCuando nos restringimos a átomos con el mismo signo y

el mismo símbolo de predicado (compatibles) la lgg es el

dual de la unificación

lgg(f1(l1,...,ln),f2(m1,...,mn)

= v si f1 f2

= f1 (lgg(l1,m1),...,lgg(ln,mn)) si f1= f2



• Ejemplo:• l = member(3,cons(2,cons(3,nil)))• l’ = member(3,cons(4,cons(5,cons(6,nil))))

• m = member(3,cons(v2,4,cons(v3,5,vnil,cons(6,nil))))

• m = member(3,cons(x,cons(y,z)))



• Ejercicio l: p(f(5,3),g(2,3))

l’: p(f(1,2),g(3,2)) l’’: p(f(1,4),g(5,4))

• lgg = p(f(X,W),g(Y,Z))



Sean C y D dos cláusulas. El lgg de C y D en el

orden de subsunción es

lgg(C,D)= lgg(l,m) | lC y mD y

l y m son compatibles}

• Dadas dos cláusulas, el lgg es la cláusula simple más específica que es mas general que ambas.

• Ejemplo: f(t,a) p(t,a), m(t),f(a)

f(j,p) p(j,p), m(j),m(p)

• lgg = f(X,Y) p(X,Y),m(X),m(Z)



• Ejemplo rev([2,1],[3],[1,2,3]) rev([1],[2,3],[1,2,3])

rev([a],[ ],[a]) rev([ ],[a],[a])

• Ejercicio a([1,2],[3,4],[1,2,3,4]) a([2],[3,4],[2,3,4])

a([a],[ ],[a]) a([ ],[ ],[ ])

• lgg = rev([A,B],C,[D|E]) rev(B,[A|C]),[D|E])

A B C D E B A C D E

• lgg = a([A|B],C,[A|D]) a(B,C,D)



• Ejercicio m(c,[a,b,c]) m(c,[b,c]), m(c,[c])

m([a],[a,b]) m(a,[a])

• lgg = m(P,[a,b|Q]) m(P,[R|Q]),m(P,[P])


3. Métodos Bottom-up: generalización menos general relativa- rlgg (Plotkin)

• Generalización menos general relativa (rlgg)– relativa a la teoría de conocimiento B

– rlgg(e1,e2)=lgg(e1B,e2B)

• Ejemplo: C1: uncle(X,Y):-brother(X,father(Y)).

C2: uncle(X,Y):-brother(X,mother(Y)).B: parent(father(X),X).

parent(mother(X),X).lgg(C1,C2) = uncle(X,Y):-brother(X,Z).

rlgg(C1,C2) = uncle(X,Y):-brother(X,U),parent(U,Y).



Una cláusula C es más general que D con respecto a una

teoría T si T C |- D.

Un átomo A es una lgg de un átomo B con respecto a

una teoría T si existe un unificador tal que

T |- A B (A=T B).

Una cláusula C es una lgg de una cláusula D con

respecto a una teoría T (rlgg) si T |- C D para

alguna sustitución .



Problema: no siempre existe rlgg de un conjunto de

cláusulas con respecto a una teoría.– C1: q(f(a)).

C2: q(g(a)).

– B: p(f(X),Y).

p(g(X),Y).

– C : q(X):-p(X,g1(X)),…,p(X,gn(X)) es una generalización

Excepción: rlgg existe siempre si T es básica (GOLEM).


3. Métodos Bottom-up: generalización de Buntine rlgg puede conducir a conclusiones contraintuitivas.EJEMPLO:

– C: pequeño(X):-gato(X).

D: muñeco_mascota(X):- de_peluche(X), gato(X).– P: mascota(X):- gato(X).

muñeco_mascota(X):-pequeño(X),de_peluche(X),mascota (X).

C =P D

• Si asumimos que una cláusula C es más general que

otra D si cualquier interpretación de C permite obtener las

mismas conclusiones que con D.

En el ejemplo anterior C no es más general que D.


3. Métodos Bottom-up: generalización de Buntine

Subsunción generalizada (cláusulas definidas)

Una cláusula C es más general que otra D w.r.t. un

programa P

C =BP D

si para cualquier interpretación de Herbrand I modelo de P,

entonces TD(I) TC(I).

En el ejemplo anterior C y D no pueden compararse

ya que tienen distintas cabezas.



Visión operacional

Sean C y D cláusulas con variables disjuntas y sea P un

programa lógico. Sea una sustitución que asigna a las

variables de D nuevas constantes (que no aparecen en

C,D ni P).Entonces, C =BP D sii existe una sustitución

tal que:

Chead = Dhead P Dbody (Cbody )



Procedimiento: C es más general que D wrt P si C

puede convertirse en D aplicando repetidamente: Transformar las variables en constantes o en otros términos Añadir átomos al cuerpo Evaluar parcialmente el cuerpo resolviendo cláusulas en P

contra un átomo del cuerpo.



Subsunción generalizada versus generalización de Plotkin.

C =B D sii C = D

Subsunción generalizada versus generalización menos

general relativa.

C =BP D sii C aparece en la raíz de una refutación en

la demostración de P (C D)

=BP un caso especial de rlgg


3. Métodos Bottom-up: resolución inversa

• ResoluciónC1 C2

1 2

C

RESOLUCIÓN: C = C1 C2

l1 C1 l2 C2 | C1 y C2 variables disjuntas

= mgu(l1, l2) s.t. l1 = l2, = 1 2 l11 = l22

C=(C1-l1) 1 (C2-l2) 2


3. Métodos Bottom-up: resolución inversa• Ejemplo:

– p(X)q(X) y q(X) r(X,Y) conduce a p(X) r(X,Y) – p(X)q(X) y q(a) conduce a p(a)

Inversión de la resolución: obtención de C1 (o C2) a partir

de C y C2 (C1). No hay una solución única

• EJEMPLO: C2 = B E,F

C = A E,F,C,D

C1 = A B,C,D

C1’ = A B,C,D,E

C1’’ = A B,C,D,F

C1’’’ = A B,C,D,E,F



El problema es aún más agudo para cláusulas de primer

orden

EJEMPLO: C1 = mas_pesado(martillo,pluma)

C = mas_denso(martillo,pluma),mas_grande(martillo,pluma)

C2 = mas_pesado(martillo,pluma) mas_denso(martillo,pluma), mas_grande(martillo,pluma)

C’2 = mas_pesado(A,B) mas_denso(A,B), mas_grande(A,B)

Para generar C2 debemos decidir qué términos se convierten en variables y cómo



• El operador V

C1 C2

1 2

COPERADOR V: Produce C2 a partir de C y C1

dadas dos cláusulas C1 y C, el V-operador encuentra C2

tal que C es una instancia de un resolvente de C1 y C2.

Generaliza C1,C} a C1, C2}


3. Métodos Bottom-up: resolución inversa• Absorción

– desde qA y p A,B

– inferir p q,B

• Identificación– desde pq,B y p A,B

– inferir q A

pq,B q A

pA,B

pq,B q A

pA,B



• Absorción: el cuerpo de C1 es absorbido en el cuerpo de C (después de una unificación) y reemplazado por su cabeza

EJEMPLO:

C:pajaro(tweety):-tiene_plumas(tweety),

tiene_alas(tweety),tiene_pico(tweety).C1:vuela(X):- tiene_plumas(X),tiene_alas(X).

= X/tweety}

C2:pajaro(tweety):-vuela(tweety), tiene_pico(tweety).



• Ejemplo: P={animal(tiburon) nadar(tiburon)}

e={pez(tiburon)}

Encontrar dos cláusulas que tengan un resolvente del que pez(tiburon) es una instancia

– Cláusula de entrada: una cláusula de P (nadar(tiburon))

– Cláusula central: Por ejemplo, la menos general (pez(tiburon) nadar(tiburon))

P |/=e



– Cláusula de entrada: una cláusula de P (animal(tiburon))

– Cláusula central: Por ejemplo, la menos general (pez(X) animal)X),nadar(X)).

pez(x) animal(x), nadar(x) animal(tiburon)

pez(tiburon) nadar(tiburon) nadar(tiburon)

pez(tiburon)


3. Métodos Bottom-up: resolución inversa• Identificación: identificar parte del cuerpo de C2 en el cuerpo

de C a través de una sustitución . Encontrar un literal l en el cuerpo de C2 que no ocurre en el de C. La identificación construye C1 con cabeza l y cuerpo la parte de C que no está en C2.

EJEMPLO: C:pajaro(tweety):-tiene_plumas(tweety), tiene_alas(tweety),tiene_pico(tweety).

C2: pajaro(tweety):- vuela(tweety),tiene_pico(tweety).

l: vuela(tweety) C-C2: { tiene_plumas(tweety), tiene_alas(tweety)}

C1: vuela(tweety):- tiene_plumas(tweety), tiene_alas(tweety).



• El operador W

C1 A C2

C1 A,1 A,2 C2

B1 B2

OPERADOR W

Dadas dos cláusulas B1,B2} encontrar C1,A,C2} tal que B1 es una instancia de un resolvente de C1 y A, y B2 es una instancia de un resolvente de A y

C2.

Generaliza B1, B2} a C1, A,C2}



• Intra-construcción– desde pA,B y p A,C

– inferir q B y pA,q y qC

• Inter-construcción– desde pA,B y q A,C

– inferir p r,B y rA,q y qr,C

pr,B r A q r,C

pA,B qA,C

qB p A,q q C

pA,B pA,C



• Cuando l no está ni en B1 ni en B2, el operador W se inventa predicados.


3. Métodos Bottom-up: implicación inversa

• Sean dos cláusulas C y D. decimos que C implica D

(C D) iff cada modelo de C es modelo de D (C D).

C es una generalización bajo implicación de D.

la generalización bajo –subsunción es incompleta.

C D y C =/ D Inversión implicación es una forma completa de

generalización. indecidible

computacionalmente caro

cláusulas recursivas


3. Métodos Bottom-up: implicación inversa

Diferencia entre implicación y –subsunción: cláusulas ambivalentes.

Una cláusula es ambivalente sii contiene un par (C, D) de literales ambivalentes, es decir, C y D tienen el mismo símbolo de predicado y signo.

• p(X):-p(X).• q(a):-q(s(s(a))).

• Sean C y D no ambivalentes. Entonces, C D sii C = D.


3. Métodos Bottom-up: implicación inversa• RELACIÓN ENTRE IMPLICACIÓN Y RESOLUCIÓN

C D D es una tautología C = D E = D y E se obtiene resolviendo C consigo misma.

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