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Lógica 2013

Un sistema formal (tipo Deducción Natural) para Lógica clásica de primer orden. María Fernanda Pallares 1.Introducción. Tal vez el concepto principal visto en el curso sea el de consecuencia semántica que recoge la idea de que una proposición se sigue lógicamente de un conjunto de proposiciones. El concepto de consecuencia semántica para el lenguaje de primer orden descansa sobre nociones conjuntísticas de difícil evaluación en general. Sin embargo consideremos lo siguiente: cuando nos plantean un acertijo que tiene una resolución deductiva (por ejemplo, como los de Raymond Smullyan trabajados) sabemos que la solución correcta debe ser consecuencia lógica de las condiciones que el problema plantea. Por ejemplo, si en la isla de caballeros y escuderos todos los habitantes dicen “Todos nosotros somos del mismo tipo”, se sigue lógicamente que todos los habitantes son caballeros. Sin embargo cuando nos abocamos a resolver el problema no pensamos en términos de modelos, sino más bien, damos una serie de “pasos” que partiendo de las proposiciones que expresan las condiciones del problema, producen otras proposiciones hasta que arribamos a la solución. Para que ese procedimiento tenga garantías debemos estar seguros de que la relación de consecuencia lógica se mantiene cada vez que arribamos a una nueva proposición. Esto nos dará otra forma de acercarnos al concepto (preformal) de consecuencia lógica. Comencemos a investigar este camino recordando uno de los problemas ambientados en la isla de caballeros y escuderos:

Sócrates se encontró con dos habitantes de la isla A y B. A dijo: “B y yo somos

escuderos”. ¿Qué son A y B?

Recordemos cómo razonábamos sobre estos problemas haciendo antes algunas

precisiones. Si un hablante X expresa una proposición que simbolizamos con la

letra p, entonces: CX p (donde CX significa “X es caballero”). Lo que afirma esta

expresión del metalenguaje es que el valor de verdad de la proposición “X es

caballero” es el mismo que el valor de la proposición p. Como sabemos que cada

habitante de la isla es o caballero o escudero, la proposición “A no es caballero”

(CA ) representa “A es escudero”.

La solución al problema planteado es: A es escudero y B es caballero. Tenemos

entonces que las condiciones de partida del problema se pueden simbolizar como

(CA (CA CB)) y la solución como (CA CB). Reconstruyamos el

razonamiento involucrado paso a paso reproduciéndolo simbólicamente.

(Obviamente no es exactamente nuestro lenguaje de primer orden). Recordemos

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2

que es este razonamiento el que, la primera vez que nos enfrentamos a este

problema, nos convenció de que (CA CB) se sigue (es consecuencia) de (CA (

CA CB)):

1. CA ( CA CB) A es caballero si y solo si A y B son escuderos. (Esta es la condición

bajo la cual se plantea el problema, la información que tenemos de

partida, o sea, lo que podemos considerar una PREMISA, aquello

que aceptamos sin condiciones en nuestro razonamiento. Es por

eso que no justificamos la presencia de esta línea aquí más que

diciendo que se trata de una premisa).

2. CA( CA CB) Si A es caballero entonces A es escudero y B es escudero (por 1)

3. ( CA CB) CA Si A es escudero y B es escudero, entonces A es

Caballero (por 1)

4. CA Supongamos que A es caballero (En nuestros razonamientos

hacemos supuestos o hipótesis y esperamos obtener consecuencias

de ellos.)

5. ( CA CB) Entonces se seguiría que A es escudero y B es escudero (por 2 y 4)

6. CA y en particular que A es escudero (por 5)

7. (CA CA) Como arribamos a una contradicción (por 4 y 6) hemos obtenido

información del supuesto de la línea 4: es un supuesto inadmisible e

inferimos que:

8. CA A no es caballero (y como miente, se sigue que)

9. ( CA CB) No es cierto que A y B sean ambos escuderos (Modus Tollens 3 y 8)

10. (CA CB) Entonces A es caballero o B es caballero (La inferencia que nos

permite pasar de la línea 9 a la línea 10, lleva el nombre del lógico

De Morgan).

11. CB Como ya sabemos que A no es caballero, y por lo menos uno de los

dos tiene que serlo, entonces B tiene que ser caballero. (Inferimos

esto a partir de las líneas 10 y 8. La inferencia que nos dice que si es

verdadero A o B y es falso A, entonces B debe ser verdadero lleva el

nombre de Silogismo disyuntivo.)

12. (CA CB) Luego, A es escudero y B es caballero (Conjunción de 8 y 11)

Hemos arribado a la solución. Aunque nunca hemos hablado de interpretaciones o

modelos, esto nos convence de que lo que se dice en la línea 12 es consecuencia

lógica de los que se dice en la línea 1. Pero justamente al no haber hablado de

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interpretaciones o modelos, no estamos hablando de consecuencia semántica. ¿De

qué se trata? El resto de estas notas está dedicado a responder esta pregunta.

En general, cada “paso” del razonamiento consistió en inferir alguna proposición a

partir de otras. (La excepción son las líneas en las que aparecen las premisas y los

supuestos). En general podemos ver cada uno de estos pasos de la siguiente

manera:

Prop1

Prop2

Propn

X

Donde X es una proposición que aceptamos en virtud de que hemos aceptado

(aunque sea provisoriamente) las proposiciones Prop1, Prop2,…, Propn. Por

supuesto que en casos sencillos tenemos una fuerte intuición acerca de que X

puede estar en ese lugar dadas Prop1, Prop2,…, Propn. Por ejemplo, considere los

casos que en lógica proposicional quedarían expresados de la siguiente manera:

(a) p (b) p

(p q) (p q)

(a) representa un paso inferencial de alguien que en virtud de aceptar una

proposición, acepta la conjunción de esa proposición con otra, y (b) representa un

paso inferencial de alguien que en virtud de aceptar una proposición, acepta la

disyunción de esa proposición con otra. Tenemos una fortísima intuición de que el

razonamiento de (a) no es correcto, mientras que el de (b) al menos en lo que a

este paso refiere, sí lo es. Nuestro objetivo de aquí en más será estudiar la

identificación de esquemas de inferencia correctos como (b).

Volvamos al razonamiento hecho sobre el problema. Podemos identificar en este

razonamiento algunas formas inferenciales que ya hemos aprendido como

correctas antes, por ejemplo, sabemos que a partir de

Si A es caballero entonces A es escudero y B es escudero CA(CACB)

y de

A es caballero CA

podemos inferir

A es escudero y B es escudero (CA CB)

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4

Esta inferencia en general, se representaría de la siguiente manera:

(A B) A B

(A y B son metavariables, NO confundir con los nombres de los habitantes de la

isla). El Modus Ponens es una inferencia correcta desde el punto de vista lógico.

¿Qué quiere decir que una regla de inferencia sea correcta desde el punto de vista

lógico? Lo que le pedimos a toda regla de inferencia: que la conclusión sea

consecuencia semántica de las premisas, o sea, que no sea posible que las premisas

sean verdaderas y la conclusión sea falsa.

2. Reglas de inferencia.

Reglas para la conjunción. Prestemos atención al paso 12 de la reconstrucción.

Afirma CA a partir de (CA CB). Dicha inferencia representa la afirmación de

“A es escudero” a partir de “A es escudero y B es escudero”. Podemos generalizar

para cualquier conjunción: a partir de la afirmación de una conjunción podemos

afirmar de manera separada cada uno de los componentes. También tenemos en el

paso 13 la fórmula (CA CA) cuya afirmación se justifica en base a disponer CA

(en el paso 10) y CA (en el paso 12). Es decir, sabemos que estamos habilitados a

afirmar una conjunción cuando tenemos ambos componentes. Estas inferencias

están respaldadas por las condiciones de verdad de la conjunción: sabemos que si

A es verdadera y B es verdadera, entonces (A B) es verdadera. También sabemos

que si la conjunción (A B) es verdadera, entonces A es verdadera y B es

verdadera. Esto está capturado en las siguientes reglas que regulan cómo

podemos trabajar con fórmulas cuyo conectivo principal es la conjunción:

Regla de introducción (Int. ) :

A

B

(AB)

Reglas de eliminación (Elim. ):

(AB) (AB)

A B

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En general, un esquema de reglas de inferencia tiene la siguiente forma:

Pre1

Pre2

Pren

Con

Pre1, Pre2,…, Pren son fórmulas que cumplen el rol de premisas. El conjunto de

premisas de las reglas que vamos a trabajar puede tener un número cualquiera

finito de fórmulas y, como elementos de un conjunto, su orden no es relevante.

“Con” en la conclusión que se infiere a partir del conjunto de premisas y la línea

horizontal puede interpretarse como “se sigue”. Toda el esquema puede leerse

como: “A partir de Pre1, Pre2, …, Pren usted está habilitado a afirmar Con”.

De modo general en nuestro sistema vamos a tener para cada constante de nuestro

lenguaje reglas de introducción y reglas de eliminación (el caso de la negación es

excepcional). Un conjunto de reglas de inferencia como el nuestro, es conocido con

el nombre de “Sistema de Deducción Natural” y fue creado por Gerhard Gentzen (e

independientemente en la misma época por Jáskowski) en la década del 301.

Décadas después fue mejorado por Dag Prawitz quien explica: “Un sistema de

Deducción Natural puede ser pensado como un conjunto de reglas (…) que

determina el concepto de deducción para un lenguaje o un conjunto de lenguajes.

Conjuntamente con un lenguaje, tal sistema puede ser considerado como

constituyendo un cálculo lógico”2. “Natural” refiere a diferentes aspectos: a su

cercanía con el razonamiento informal y a su conexión con el significado de las

constantes lógicas. La regla de introducción para una constante lógica # establece

las condiciones mínimas para afirmar una fórmula cuyo conectivo principal es # y

la regla de eliminación establece cuáles son las consecuencias que se pueden

extraer a partir de una fórmula con # como principal.

3. Supuestos provisorios y razonamiento por absurdo.

Volviendo al razonamiento para el acertijo inicial vemos que hay proposiciones

que suponemos y que usamos de manera provisoria. Prestemos atención al

fragmento que se inicia con “Supongamos que A es caballero” (que en la

reconstrucción aparece en la línea 4).

1 Gerhard Gentzen, en “Investigation into Logical Deduction” (1935) refiere así a su objetivo: “Queremos

establecer un formalismo que refleje de la manera más precisa posible el razonamiento lógico involucrado

en las pruebas matemáticas”. 2 Prawitz, D. Natural Deduction. A Proof-Theoretical Study (1965).

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Supongamos que A es caballero. Entonces (como solo puede decir la verdad)

se seguiría que A y B son escuderos y en particular, que A es escudero.

Llegamos a una contradicción a partir del supuesto de que A es caballero.

Entonces, A no es caballero.

En esa sección podemos reconocer un procedimiento por absurdo, cuya estructura

ya conocemos. En este caso, a partir del supuesto de que A es caballero (línea 4 de

la reconstrucción) obtenemos que A es no es caballero conformando así una

contradicción (línea 7). Rechazamos el supuesto inicial (de que A es caballero) e

inferimos: A no es caballero (línea 8). Son varias las observaciones que debemos

hacer aquí.

En primer lugar, identificamos en el marco de un razonamiento (el razonamiento

“completo” mediante el cual resolvemos el acertijo) una sección que cumple el rol

de razonamiento auxiliar que se inicia con la realización de una suposición (o

hipótesis). Si bien podemos contar con la conclusión de este razonamiento auxiliar,

es importante notar que NO PODEMOS USAR POSTERIORMENTE TODA LA

INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA EN ESE RAZONAMIENTO AUXILIAR A PARTIR

DE LA HIPÓTESIS. Una buena forma de ver esto es imaginar estos razonamientos

auxiliares como “cajas cerradas”. El supuesto inicial y las inferencias que

realizamos en el fragmento que depende del supuesto no es información

disponible para usar posteriormente. Es fácil en este caso notar que, una vez que

hemos llegado a la conclusión de ese razonamiento auxiliar (A no es caballero), no

podemos continuar realizando inferencias colocando en juego “A es caballero”

(enunciado del supuesto) o que “A es escudero y B es escudero” (línea 5) ya que es

información inferida a partir de ese supuesto “A es caballero”. El supuesto debe ser

considerado como información provisoria con diferente status que las premisas

(representada en este caso por la fórmula en la línea 1). El caso particular en que

el uso de un supuesto nos lleva a una contradicción y de ahí rechazamos el

supuesto configura un modelo inferencial clásico, explicitado ya en los diálogos

platónicos y perspicuamente en la matemática griega. De hecho, hay una regla que

recoge ese modelo inferencial, llamada

Introducción de la Negación.

[A] Hip

: (B B) A

Aclaremos los elementos que participan en esta regla:

(a) la fórmula entre corchetes es el supuesto (o hipótesis) de la regla;

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7

(b) la llave a la izquierda señala el inicio y fin de la derivación auxiliar comenzando

por el supuesto y terminando con la contradicción (e incluyendo tanto el supuesto

como la contradicción);

(c) al inferir la conclusión decimos que el supuesto es “cancelado” o “eliminado” y

toda la información abrazada por la llave, que constituye la derivación auxiliar no

puede volver a ser usada (si es que continuamos en el marco de un razonamiento

del cual esta derivación era solo una parte). Sólo queda como información

disponible para ser usada de ahí en más, la fórmula que es conclusión de la

aplicación de la regla.

Véase que el “diseño” de esta regla es diferente a la regla de Modus Ponens y las

reglas para la conjunción. La regla para la introducción de la negación no exige

determinadas fórmulas a modo de premisas sino que exige otro tipo de objeto, una

derivación auxiliar: se nos pide que mostremos que a partir de una fórmula negada

arribemos a una contradicción. Si a partir del supuesto de la fórmula A derivamos

una contradicción estamos habilitados a inferir A.

Suponga que usted dispone de la regla de Introducción de la negación. Eso ¿le permite tener también esta regla?

[ A] Hip : (B B) A

Respuesta: no. La introducción de la negación, teniendo una fórmula negada como supuesto (A), lleva a A:

[A] Hip :

(B B) A

“Pero A es lo mismo que A” dirá alguien. Por supuesto, ese alguien está equivocado. A lo sumo, lo que quiere decir es que él pretende que el comportamiento semántico de A debe ser idéntico al de A. Pues bien, es ésa una postura filosófica muy respetable y generalmente aceptada, pero debe ser explicitada en alguna regla sintáctica del sistema si es que queremos que éste recoja las intuiciones semánticas de nuestro objetor. En atención a él, aceptaremos esta otra regla a la que llamaremos:

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Eliminación de la negación

A

A

Es claro que ahora, al aceptar la introducción y la eliminación de la negación, estamos validando inferencias que utilicen la regla

Absurdo clásico

[ A] :

(B B)

A Este es el primer ejemplo que vemos de regla derivada, es decir, una regla que nos permitiremos usar aunque no aparezca explícitamente en nuestro sistema. La podemos usar porque está “avalada” por las reglas que sí explicitamos. Es decir que si quisiéramos podríamos convertir un razonamiento que usa una regla derivada en otro que usa solamente las reglas básicas. 4. Derivaciones en el sistema y consecuencia sintáctica.

Tendremos entonces en nuestro sistema estos dos tipos de reglas: reglas que nos

exigen determinadas fórmulas a modo de premisas y reglas que exigen (pudiendo

incluir también premisas) la realización de determinadas derivaciones auxiliares.

El conjunto de reglas que se encuentra al final de esta nota es lo suficientemente

potente para dar cuenta de la relación de consecuencia semántica en LPO (aunque

este resultado no es en absoluto trivial). Veamos cómo este sistema de reglas nos

permite analizar si hay o no relación de consecuencia semántica entre un conjunto

de fórmulas y una fórmula dada. Consideremos el conjunto de fórmulas

{ ((p1p3) p2), p3, (p1 p4) } y la fórmula

(p2 p3) Realizando el condicional asociado se puede verificar que el mismo es tautológico. ¿Cómo, con las reglas del sistema, podemos probar que la conclusión se sigue de las premisas? A las pruebas dentro de un sistema formal, las llamaremos en general derivaciones. Veamos una posible derivación para este caso. En esta derivación vamos a usar las reglas:

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Introducción y eliminación de la conjunción:

A (AB) (AB)

B A B

(AB)

Modus Ponens (o eliminación del condicional): (A B)

A B

Por supuesto, cuando tiene que hacer una derivación no sabe qué reglas va a usar. En general debe considerarse la tarea de hallar una derivación como un acertijo. Ejemplo 1. 1. ((p1 p3) p2) Premisa 2. p3 Premisa 3. (p1 p4) Premisa 4. p1 Elim. 3. 5. (p1 p3) Int. 2,4. 6. p2 MP 1,5. 7. (p2 p3) Int. 2,6. Esta secuencia, que es una derivación de (p2 p3) a partir del conjunto de premisas {((p1p3) p2), p3, (p1 p4)}, consiste en una secuencia de fórmulas donde colocamos al inicio las fórmulas que consideramos como premisas y (en este caso) a partir del paso 4 inclusive, cada fórmula es el resultado de la aplicación de una regla de inferencia del sistema. La estrategia puede explicarse de la siguiente manera: (i) Nuestro objetivo es obtener la conjunción (p2 p3) a partir de la información

que tengo en las premisas. Una primera estrategia a considerar es que esa conjunción puede ser obtenida como resultado de aplicar la regla de introducción. En ese caso, necesitamos tener en algún paso previo las fórmulas p2 y p3;

(ii) ya contamos p3 como premisa por lo que nuestro objetivo ahora es obtener p2.

(iii) p2 es consecuente del condicional de la primera premisa, por lo que, si además de ese condicional tenemos la fórmula del antecedente (p1 p3), podríamos inferir p2 por MP. Por lo tanto el desafío ahora es obtener (p1 p3) para poder aplicar MP;

(iv) considerando la posibilidad de obtener (p1 p3) mediante la regla Int. , vemos que nos pide disponer de p1 y p3 en pasos anteriores de la derivación. Y como tenemos p3 como premisa, nos preocupamos por obtener p1.

(v) p1 se obtiene fácilmente a partir de la tercera premisa por Elim. .

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Véase que hemos ido estudiando “desde abajo” (desde la conclusión) qué cosas necesitamos y cómo podemos extraer esa información desde las premisas. Este sistema de reglas nos proporciona otra forma de probar que una fórmula se sigue de otras. En este caso, el análisis no es realizado demostrando que no existe un modelo de las premisas que no lo sea de la conclusión, sino presentando la cadena de inferencias que nos permiten arribar desde las premisas a la conclusión. Un sistema formal es un conjunto de principios básicos que pueden ser caracterizados de manera puramente sintáctica y que funcionan como patrones para determinar la corrección de razonamientos. Existen diferentes tipos de sistemas formales: axiomáticos, tipo deducción natural y cálculo de secuentes son los tres más conocidos. Si bien en este caso trabajamos con un sistema de tipo Deducción Natural existen otros sistemas formales adecuados para esta lógica (lógica clásica de primer orden). Una derivación en un sistema de Deducción Natural se define de la siguiente manera:

Definición. Una derivación de en el sistema de Deducción Natural a partir de Γ es una secuencia finita de fórmulas en las que cada fórmula es o bien i) un elemento de Γ, o bien ii) un supuesto, o bien iii) es el resultado de aplicar alguna regla del sistema a fórmulas anteriores, y además iv) todos los supuestos están cancelados v) no se usan (como premisas de una regla) fórmulas que se encuentran en subderivaciones ya cerradas; vi) el último término es la fórmula . Véase que (iv) asegura que, para cada supuesto debe haber un término posterior que “lo cancela”, es decir, un término que es el resultado de aplicar una regla que exige la existencia de la subderivación que utiliza ese supuesto. Cuando hemos logrado construir una derivación de una fórmula a partir de un conjunto , lo que tenemos es el “reflejo formal” de una razonamiento que siguiendo pasos correctos muestra que debemos aceptar lo que expresa si aceptamos lo que las proposiciones de expresan. Es ésta otra forma de recoger la idea de consecuencia lógica y merece la siguiente

Definición. es consecuencia sintáctica de si y solo si existe una derivación en

un sistema formal de a partir de . Notación: ⊢ . Cuando no se cumple tal relación usaremos el signo “⊬”.

Se suele hacer la referencia a una derivación en un sistema formal específico; si se

llamara “S” se coloca: ⊢s representando “existe una derivación de a partir en el sistema formal S”. Obviaremos ese detalle en nuestro contexto ya que ya sabemos a qué sistema formal nos estamos refiriendo. Un caso particular es

cuando es un conjunto vacío. En ese caso, ⊢ significa “ es un teorema”. Un

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teorema es una fórmula para la cual hay derivaciones en el sistema formal que no requieren información de premisas. Es importante destacar que la relación de consecuencia semántica y la relación de

consecuencia sintáctica son dos relaciones diferentes. Una expresión del tipo “ ⊨ ” nos dice que todos los modelos de son modelos de , es decir, básicamente estudia la relación entre los modelos del par , . En cambio, una expresión del

tipo “ ⊢ ” nos dice que existe una derivación de a partir en nuestro sistema formal. O sea, tenemos dos conceptos mediante los cuales se captura la relación de

consecuencia lógica. Es común considerar que “⊨” y “⊢” son conceptos que funcionan como contrapartidas formales para un lenguaje (formal) respecto del concepto intuitivo, no formal de consecuencia lógica entre proposiciones. 6. Otras reglas de inferencia. Revisemos un poco en detalle las reglas para el condicional. ¿Bajo qué circunstancias podemos afirmar una expresión de tipo condicional? Afirmar una fórmula condicional (AB) en una deducción quiere decir: se afirma B a condición de que se afirme A. O sea, si suponemos A y a partir de ese supuesto llegamos a B, podemos afirmar (AB). Por lo tanto es razonable que la regla tenga esta forma:

Introducción del Condicional [A]

: B

(A B) Veamos una derivación en nuestro sistema que hace uso de la regla de introducción del condicional donde se prueba que ((p1 p2) p4) es consecuencia sintáctica del conjunto de premisas {((p1p2) p3), (p3 p4)}: Ejemplo 2.

1. ((p1 p2) p3) Pre 2. (p3 p4) Pre 3. [(p1 p2)] Sup 4. p3 MP 1,3 5. p4 MP 2,4 6. ((p1 p2) p4) Int. 3-4

Tenemos una derivación donde la conclusión es una fórmula de tipo condicional. O sea, nuestro objetivo es “arribar” a ((p1 p2) p4) a partir del conjunto dado de premisas. Ya vimos que las estrategias a la hora de realizar una derivación es ver la derivación “desde abajo” e imaginar las reglas por medio de las cuales podría haberse obtenido una determinada fórmula. Una estrategia a examinar es pensar que ((p1 p2) p4) es resultado de aplicar la regla de introducción de su conectivo principal. Si este fuera el caso, tendríamos una derivación donde una sección tendría la siguiente forma:

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[(p1 p2)] Sup

p4

((p1 p2) p4) Int. (…) Véase que la regla nos habilita a hacer un supuesto que es provisorio y que, al igual que la regla Int., permite desarrollar un razonamiento auxiliar. En este caso, la regla indica: suponga el antecedente del condicional que quiere afirmar (o sea, (p1 p2)), si deriva el consecuente del condicional (p4) está habilitado a afirmar el condicional ((p1 p2) p4). Probar que un enunciado determinado se sigue de un determinado supuesto, permite afirmar un condicional. Cuando se cierra la derivación auxiliar y la hipótesis pasa a ser antecedente del condicional, entonces esa hipótesis fue cancelada. Véase que lo que se está haciendo aquí es introduciendo un condicional y no “desarmándolo” como lo hace la regla de MP. Algunas observaciones son necesarias sobre los supuestos (o hipótesis). a) No forman parte del conocimiento dado, de la información disponible. No es un

enunciado que esté afirmado. A diferencia de las premisas del conjunto , las hipótesis son informaciones de las cuales la conclusión no depende.

b) Permiten usar derivaciones subsidiarias (auxiliares) a las que podemos referir como subderivaciones. Cuando la subderivación (iniciada por la hipótesis) finaliza, el razonamiento posterior no puede usar más la información de esa subderivación. O sea, cuando la subderivación ha sido cerrada sus pasos individuales no estarán accesibles.

c) En la justificación de los pasos de la subderivación se puede usar la información de cualquier paso anterior contenido en la demostración principal o en una subderivación que no ha sido cancelada. Las ÚNICAS reglas (en nuestro sistema) que permiten realizar hipótesis son las que tienen fórmulas entre corchetes: introducción del condicional, eliminación de la disyunción, Introducción de la negación, Absurdo clásico, eliminación del existencial.

d) No se puede concluir una derivación sin haber cancelado todas las hipótesis de las derivaciones auxiliares.

Veamos un ejemplo de derivación donde realizamos un supuesto y analicemos el cómo podemos trabajar con ese supuesto. Probemos que

{(p1p2),(p3p4)}⊢(p3(p4 p2)):

º

13

Ejemplo 3.

1. (p1 p2) Pre

2. (p3 p4) Pre

3. [p3] Sup

4. p4 MP 2 ,3

5. p2 Elim. 1

6. (p4 p2) Int. 4, 5

7. (p3 (p4 p2)) Int. 3-6

Es importante que quede claro que cuando hacemos un supuesto ya conocemos parte de nuestra estrategia. SIEMPRE QUE HACEMOS UN SUSPUESTO DEBEMOS ESTAR HABILITADOS POR ALGUNA REGLA DE INFERENCIA Y ESE RAZONAMIENTO AUXILIAR DEBE SER FINALIZADO ANTES DE ARRIBAR A LA CONCLUSIÓN . En el ejemplo 3, advertimos que la fórmula en la conclusión (que es nuestro objetivo) es un condicional. Una de las posibilidades es que sea el resultado de aplicar la regla de introducción de ese conectivo. Esa regla nos

El MP no nos habilita a

hacer supuestos. El

supuesto de la línea 3 está

justificado porque va a ser

usado como antecedente

del condicional (línea 7).

Es decir, cuando hacemos

un supuesto, no lo

hacemos solo porque “lo

necesitamos” sino porque

ya sabemos en el marco de

qué estrategia deductiva lo

hacemos, es decir, cuál es

la regla para la cual

estamos iniciando esa

derivación auxiliar. En la

derivación auxiliar

(trayecto indicado por la

llave a la izquierda de la

línea 3 a la 6) podemos

usar cualquier regla del

sistema, por ejemplo en

este caso, el MP. El hecho

de tener el condicional de

la línea 2 y necesitar su

consecuente (p4) no nos

habilita a suponer el

antecedente. Es importante

tener claro que podemos

incluir p3 como supuesto

porque estamos en el

marco de la introducción

de un condicional (el de la

línea 7). Es en la línea 7

donde la realización del

supuesto de la línea 3

queda justificado.

Se indica si la fórmula es una

premisa o un supuesto o el

resultado de aplicación de una

regla de inferencia. Si es el

resultado de aplicar una regla se

indican los números del paso de la

derivación donde ocurren las

premisas. Por ejemplo, la fórmula

de la línea 6 es el resultado de la

Int. usando las fórmulas de las líneas 4 y 5 como premisas. Por

otro lado, la fórmula de la línea 7

es el resultado de aplicar la regla

de Int. presentando una

derivación auxiliar que va de la

línea 3 a la línea 6.

Número de la línea

de la derivación

º

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habilita a suponer el antecedente y con su ayuda, derivar el consecuente. Entonces, suponemos en la línea 3 la fórmula del antecedente (p3) y nos preocupamos por obtener el consecuente: la fórmula (p4 p2). Cuando derivamos la fórmula (p4p2) podemos entonces afirmar el condicional (p3 (p4 p2)). Un ejemplo de mal uso de los supuestos es el siguiente. Supongamos que alguien

quiere verificar en nuestro sistema si: {(p1 p2), (p3 p4)} ⊢ (p4 p2) (lo que NO se cumple). Esto es, a partir de 1. (p1 p2) Pre 2. (p3 p4) Pre intentar arribar a (p4 p2) Pensando que se puede obtener la conclusión mediante la regla Int. , el desafío entonces es obtener p4 y p2. La segunda letra proposicional la podemos obtener fácilmente de la primera premisa aplicando Elim. . El asunto ahora es ¿de dónde se consigue p4? p4 es el consecuente de la segunda premisa, por lo que SI ADEMÁS TENEMOS EL ANTECEDENTE, podemos aplicar MP y obtener lo que necesitamos. La cuestión es que no podemos obtener el antecedente, es decir, ninguna regla nos habilita a afirmar p3 a partir de la información obtenida. Alguien podría razonar erróneamente: “si necesitamos p4 entonces supongamos p3 para luego poder aplicar MP y obtener p4”. De esa manera construye algo que NO es una derivación en nuestro sistema y que tiene la siguiente forma: Ejemplo 4. 1. (p1 p2) Pre 2. (p3 p4) Pre 3 p2 Elim. 4. [p3 ] Sup OJO!!! 5. p4 MP 2 y 4 6. (p4 p2) Int. 5 y4 No hay ninguna regla en el sistema que haya habilitado al supuesto de la línea 4. El MP no habilita a suponer el antecedente del condicional. Lo que se puede hacer es utilizar fórmulas que hayan sido supuestas en el marco de otras reglas. Para tener una mejor idea del tamaño del error, se puede pensar en una persona que a partir de la afirmación “Si llueve entonces Juan va al cine”, supone que llueve y concluye que Juan va al cine. Sabemos que exclusivamente a partir de “Si llueve entonces Juan va al cine” no podemos afirmar ni que llueve ni que Juan va al cine. Regla para la disyunción. La forma en la que podemos hacer inferencias con disyunciones es obviamente muy diferente a cómo podemos trabajar con la conjunción. Como vemos, la introducción de la disyunción no ofrece ninguna dificultad: a partir de una fórmula cualquiera podemos construir una disyunción con otra fórmula: Sabemos que SI A es verdadero, entonces (A B) es verdadero. Tenemos entonces las siguientes reglas:

º

15

Introducción de la Disyunción

A B

(A v B) (A v B) Consideremos ahora un razonamiento en el cual contamos con una disyunción como símbolo principal. Sabemos que a partir de (A B) no podemos inferir ni A ni B. Es decir, una regla del tipo:

(A v B) A

sería incorrecta, ya que la conclusión no es consecuencia semántica de la premisa: la premisa podría ser verdadera y su conclusión falsa. Pero ¿cuáles son las consecuencias que podemos extraer a partir de una disyunción? Para comprender cómo trabajar con las disyunciones podemos recurrir a uno de los parciales realizados en otro año. En un ejercicio se pedía identificar una conclusión del conjunto de premisas dadas, formalizar y probar que es válido. Los enunciados dados como premisas del argumento eran:

1. Llovió o las plantas murieron. 2. Si las plantas murieron, entonces no hay pájaros ni gusanos. 3. Es necesario que vengan los biólogos para que tenga que levantarme temprano. 4. Es suficiente para que no vengan los biólogos que no haya pájaros ni gusanos. 5. Si llovió no tengo que levantarme temprano. Y como posibles conclusiones:

Las plantas murieron. Hay pájaros o gusanos. No tengo que levantarme temprano.

El enunciado “No tengo que levantarme temprano” es consecuencia de las premisas. Un argumento en lenguaje natural es el siguiente:

Por 1 sabemos que llovió o las plantas murieron. Consideremos cada uno de los casos:

(a) Supongamos que llovió. Entonces (por 5) no tengo que levantarme temprano. (b) Supongamos que las plantas murieron. Entonces (por 2) no hay pájaros ni gusanos. Por esto y 4, no vienen los biólogos. Como no vienen los biólogos, por 3 y Modus Tollens, no tengo que levantarme temprano.

Por lo tanto, no tengo que levantarme temprano. Si bien no podemos afirmar que “Llovió” ni que “Las plantas murieron”, vemos que a partir del análisis de ambos casos podemos inferir “No tengo que levantarme temprano”. Esta estrategia es conocida como razonamiento por casos y permite extraer inferencias a partir de una disyunción aunque no podamos afirmar ninguno de los disyuntos. En este caso los fragmentos (a) y (b) son argumentos

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auxiliares, el primer de los cuales se inicia con el supuesto de que llovió y (b) se inicia con el supuesto de que las plantas murieron. Este tipo de razonamiento es capturado por la regla de eliminación de la disyunción.

Eliminación de la Disyunción (A v B) [A] : C [B] : C C Veamos cómo se desarrolla el razonamiento en nuestro sistema. Considerando: p: Llovió; q: Las plantas murieron; r: No hay pájaros; s: No hay gusanos; t: Vienen los biólogos; u: Tengo que levantarme temprano.

1. (p q)

Pre Llovió o las plantas murieron.

2. (q ( r s)) Pre Si las plantas murieron, entonces no hay pájaros ni gusanos.

3. (u t)

Pre Es necesario que vengan los biólogos para que tenga que levantarme temprano.

4. ((r s) t)

Pre Es suficiente para que no vengan los biólogos que no haya pájaros ni gusanos.

5. (p u)

Pre Si llovió no tengo que levantarme temprano.

6. [p] Hip Supongamos que llueve

7. u

MP 5,6 No tengo que levantarme temprano.

8. [q] Hip Supongamos que las plantas no murieron

9. ( r s) MP 2,8 Entonces no hay pájaros y no hay gusanos

10. t MP 4,9 No vienen los biólogos.

11. u MT 10,3 No tengo que levantarme temprano.

12. u Elim. 1, 6-7, 8-11

No tengo que levantarme temprano.

Vemos que trabajamos la disyunción de la línea 1 según nos indica la regla. La regla nos habilita a afirmar a partir de una disyunción aquellas consecuencias COMUNES a ambos disyuntos. Para ello debemos presentar dos derivaciones auxiliares iniciando cada una de ellas con cada uno de los componentes de la disyunción:

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tenemos una derivación auxiliar a partir de p (línea 6 a 7) y otra derivación auxiliar a partir de q (desde la línea 8 a 11). ¿Por qué repetir el resultado de ambas derivaciones en la línea 12? Porque en la línea 7 afirmamos u a partir de p (dependiendo de p) y en la línea 11 afirmamos u dependiendo de q. Nos resta afirmar u independientemente de esos supuestos y eso es lo que hacemos en la línea 12. En 12, u se afirma como resultado del uso de la premisa 1 y con las dos derivaciones auxiliares indicadas. Es en la línea 12 con la aplicación de la regla de eliminación de la disyunción que se justifican los dos supuestos realizados en las líneas 6 y 8. Reglas básicas y reglas derivadas. Toda forma de argumento que haya sido probada como correcta puede emplearse como una regla de inferencia siendo agregada al stock que ya tenemos. Esto posibilita que el sistema se vaya extendiendo. Aun así es importante identificar cuál es el menor conjunto de reglas suficiente para dar cuenta de todos los razonamientos válidos de la lógica clásica. Este conjunto de reglas recibe el nombre de reglas básicas. Las reglas que no son necesarias para la potencia deductiva del sistema pero que sí nos facilitan el trabajo reciben el nombre de reglas derivadas. Ya vimos que los razonamientos capturados por la regla del absurdo clásico pueden ser obtenido combinando la regla de introducción de la negación con la eliminación de la negación. Otra inferencia que es habitualmente elegida como regla derivada es el Modus Tollens. No es considerada una regla básica porque, dadas sus premisas, podemos arribar a la conclusión haciendo uso de nuestras reglas básicas. Mostremos que Modus Tollens es una regla derivada, es decir, que siendo A y B fórmulas cualesquiera se

cumple {(A B), B} ⊢ A Ejemplo 5.

1. (A B ) Pre 2. B Pre 3. [A] Sup 4. B MP 1,3 5. (B B) Int. 2,4 6. A Int. 3-5

Un dato a tener en cuenta es que de hecho, si hubiésemos demostrado, por

ejemplo, que {(p1p2), p2 } ⊢ p1 esto se consideraría suficiente para agregar el MT como regla derivada. Esto es, usamos a nivel del lenguaje formal, el mismo criterio que usamos en el lenguaje natural: si un argumento es correcto desde el punto de vista lógico, todos los argumentos de la misma forma también lo son. Agregamos entonces a la lista de reglas básicas un conjunto de reglas derivadas que representan las inferencias que realizamos con mayor frecuencia. Puede verse en la reconstrucción del razonamiento para el acertijo que hay varias inferencias que no aparecen en el conjunto de nuestras reglas básicas pero sí como derivadas. Reglas para los cuantificadores. Al extender el lenguaje a primer orden agregando los cuantificadores, debemos también dar un conjunto de reglas que regulen su comportamiento. Una particularidad que tienen estas reglas son las

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restricciones que podemos ver indicadas con un asterisco. ¿Qué cuidados nos indican que debemos tener a la hora de hacer inferencias que colocan en juego expresiones cuantificadas? Consideremos el caso del universal. Es claro que, realizar el paso de una afirmación universal a un caso particular no ofrece problemas: si se afirma algo de todos los individuos, se puede afirmar de uno específico. La regla de eliminación del

universal representa ese paso: a partir de la información de que ∀xA(x)3 podemos inferir A(c) es decir, lo que se afirma sobre todos los individuos, lo podemos afirmar sobre un individuo específico (aquel representado por la constante c). Esto se llama comúnmente “instanciar” un universal. La sustitución de la variable x por una constante debe hacerse de forma sistemática: todas las ocurrencias de la variable x bajo el alcance del cuantificador debe ser sustituidas por la constante. Ejemplos de instanciación son

∀x(PxQx) por (Pc Qc)

∀x∀y (Rxy Ryx) por ∀y(Ray Rya) Demás está decir que el universal a instanciar debe ser el símbolo principal. La regla no nos habilita a inferir directamente a partir de (∀xPx ∀xQx) a la fórmula (Pa Qa) ya que su símbolo principal es la conjunción; ni tampoco a partir de ∀x∀y(Rxy Ryx) inferir ∀x(Rxa Rax) ya que su símbolo principal es el universal que liga la x. Veamos un ejemplo de derivación en nuestro sistema que hace uso de las reglas

para los cuantificadores demostrando (∀xPx ∀xQx) ⊢(Pa Qa) Ejemplo 6.

1. (∀xPx ∀xQx) Premisa

2. ∀xPx Elim. 1

3. Pa Elim. ∀ 2

4. ∀xQx Elim. 1.

5. Qa Elim. ∀ 4.

6. (Pa Qa) Int. 3 y 5 Vemos que de hecho, podríamos haber probado incluso algo más fuerte: que

(∀xPx ∀xQx) ⊢∀x(Px Qx) concluyendo para todos los individuos. La regla que nos habilita a hacer esa afirmación universal es:

3 En este caso A(x) es una fórmula cualquiera donde ocurre la variable x y A(c) es una fórmula cualquiera

donde ocurre la constante c.

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Introducción del Universal

A(c)

∀x A(x) (*) (*) La constante c no puede ocurrir ni en las premisas, ni en supuestos sin cancelar, ni en la fórmula A(x) Un ejemplo de derivación que usa esta regla es el siguiente: Ejemplo 7.

1. (∀xPx ∀xQx) Premisa

2. ∀xPx Elim. 1

3. Pa Elim. ∀ 2

4. ∀xQx Elim. 1.

5. Qa Elim. ∀ 4.

6. (Pa Qa) Int. 3 y 5

7. ∀x(Px Qx) Int. ∀ 5 ¿Por qué en este caso estamos habilitados a introducir el universal a partir de la afirmación particular de la línea 5? Esta es una derivación que cumple con los requisitos establecidos en la regla de introducción: la constante a no aparece en la premisa ni en supuestos sin cancelar, ni en la fórmula cuantificada, en este caso:

(Px Qx). Es decir, el individuo (representado por la constante a) con el cual realizamos las inferencias proviene de afirmaciones universales; las inferencias que realizamos con él podrían haber sido hechas con cualquier otro. Como es justamente un individuo cualquiera que proviene de las premisas universales, podemos realizar la conclusión sobre todos los individuos como en la línea 7. ¿Qué tipo de situaciones evita estas restricciones indicadas por el asterisco? Veamos por ejemplo el siguiente caso: Ejemplo 8.

1. Pa Pre

2. ∀xPx Int. ∀ 1 ERROR: la constante a ocurre en la premisa. Ejemplo 9.

1. [Pb] Hip.

2. ∀xPx Int. ∀ 1 ERROR: la constante b ocurre en un supuesto sin cancelar.

3. Pa Elim. ∀ 2.

4. (Pb Pa) Int. 1-3 Los ejemplos 8 y 9 no son derivaciones en nuestro sistema. En el primer caso, la aplicación incorrecta de la regla nos permite hacer una afirmación universal (todos los individuos tiene la propiedad P) a partir de que un individuo (representado por

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la constante c) tiene la propiedad P, es decir, hace una afirmación universal a partir de un caso particular. En el segundo caso, a partir del supuesto de que un individuo (representado por la constante b) tiene una propiedad, se realiza una generalización incorrecta en la línea 2. Por supuesto que la fórmula de la línea 3 se infiere correctamente ya que si tenemos la afirmación general podemos hacer la afirmación para un caso particular, en ese caso, sobre un individuo representado por la constante a. Así básicamente, una inferencia de este tipo nos permitiría probar sin ningún tipo de premisas el condicional de la línea 4 que representa: si un individuo b tiene la propiedad P entonces un individuo a tiene la propiedad P.

De hecho {Pa} ⊬∀xPx y también se cumple que ⊬ (Pb Pa), es decir: (PbPa) no es un teorema. Ejercicio. Quien tenga dudas sobre la pertinencia de dejar fuera de nuestro sistema esas inferencias, puede revisarlas usando el instrumental semántico.

Pruebe que {Pa} ⊭∀xPx y que ⊭ (Pb Pa), o sea, que hay al menos una

interpretación que es modelo de {Pa} y que no es modelo de ∀xPx y para el

segundo caso, que hay al menos una interpretación que no es modelo de (PbPa). (Dentro de poco quedará claro por qué podemos en esta lógica “pasar” de lo sintáctico a lo semántico). Tomando determinadas precauciones podemos realizar una afirmación universal a partir de un caso particular siendo ese razonamiento deductivo es decir, concluyente. Por ejemplo, lo que se dice en el ejemplo 7 sobre el individuo representado por a, puede ser dicho sobre cualquier individuo ya que se parte de afirmaciones universales. De hecho es muy común cuando fórmulas universales son consecuencia de un conjunto de premisas universales como el ejemplo 3, que la estructura de la derivación sea la siguiente: (a) se parte de afirmaciones generales; (b) se instancia en un caso particular; (c) se trabaja con reglas proposicionales y luego (d) se vuelve a cuantificar. Es decir, necesitamos eliminar los cuantificadores para poder trabajar proposicionalmente. Este cuidado a la hora de realizar afirmaciones universales garantiza la arbitrariedad del objeto con el cual estamos haciendo inferencias. Lo que dice la regla NO es que “lo que vale para un caso, vale para todos” sino que “lo que vale para un caso cualquiera vale para todos”. Un marco en que se pueden ver varios ejemplos de este tipo de razonamientos es el de las pruebas de Euclides en los Elementos de geometría.4 La prueba se inicia indicando construir un triángulo cualquiera y trazar una paralela a la base que pase por el vértice opuesto a ésta. A partir de ese trazado de un triángulo se realiza un razonamiento que concluye con una afirmación que vale para todos los triángulos. ¿Por qué esta inferencia nos permite concluir deductivamente que lo que vale para un caso particular vale para todos? La explicación es que el razonamiento se realizó sobre un diagrama cualquiera. El hecho de que sea cualquiera y no de un tipo específico es lo que permite hacer la inferencia. Cierto es que ese objeto usado en el razonamiento 4 Una reconstrucción del teorema que muestra que la suma de los tres ángulos de un triángulo es

igual a dos rectos puede verse en el texto Lógica simbólica de Manuel Garrido en el marco de la explicación de la regla de introducción del universal.

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tiene sus características específicas; podría por ejemplo ser equilátero. Lo que no podemos es hacer inferencias que hagan uso de esas características específicas. Esto es lo que preserva la arbitrariedad del objeto y en la regla del sistema DN se indica en las restricciones. Es importante entonces recordar que hay formas por las cuales podemos hacer afirmaciones universales a partir de casos particulares de manera deductiva. Es decir, no siempre el paso de lo particular a lo universal indica que estamos frente a un razonamiento inductivo. Un cuidado similar debe tenerse a la hora de trabajar con el existencial y el problema en ese caso es que las afirmaciones de tipo “Hay al menos un individuo que…” no contienen información sobre cuál es el individuo que pueda cumplir lo que afirma la fórmula. ¿Cómo nos indica la regla de eliminación del existencial que debemos trabajar? Consideremos las reglas para el existencial:

xA(x) A(c) [A(c)] xA(x) (**)

B B (*)

(*) La constante c no puede ocurrir en las premisas, ni en supuestos sin cancelar, ni en la fórmula A(x) ni en B. (**) x no puede ocurrir en A(c).

La regla de introducción no ofrece mayores problemas. Al introducir el existencial, la sustitución de la constante también debe ser sistemática: Ejemplo 10:

1. Pa Pre 2. Qa Pre 3. (Pa Qa) Int. 1 y 2 4. x(Px Qx) Int. 3

Pero hay un caso que debemos cuidar: Ejemplo 11.

1. Rab Pre 2. xRax Int. 1. 3. xxRxx Int. 2. ERROR: la variable x ocurre en la fórmula a

cuantificar de la línea 2.

En el ejemplo 11 (que NO es una derivación) se infiere, a partir de “un individuo (representado por a) tiene la relación R con un individuo (representado por la constante b)” que “hay al menos un individuo que tiene la relación consigo mismo”. (Los dos existenciales deben ser considerados simplemente como una redundancia). Desde el punto de vista semántico podemos ofrecer un modelo a modo de contraejemplo que explicita que esa inferencia no debe ser aceptada.

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Considere a modo de universo el conjunto {1,2}, la relación binaria {<1,2,>} como la relación representada por R, el número 1 como representado por la constante a y el 2 representado por la constante b. El par <1,2> pertenece a la relación haciendo que Rab sea verdadera pero ni el par <2,2> está en esa relación ni <1,1> de modo que es falso en esta interpretación lo afirmado por la conclusión: que hay un individuo que tiene la relación consigo mismo. Esa es la precaución que debemos tomar a la hora de introducir el existencial. Pero veamos la regla de eliminación. En este caso se quiere evitar algo tan simple como:

{xPx} ⊢ Pa, porque sabiendo que hay algún individuo que tiene la propiedad representada por P no podemos inferir que un elemento específico tenga dicha propiedad. Un contraejemplo simple surge si consideramos el conjunto de los naturales, la propiedad ser par y la afirmación de que hay algún individuo que es par (lo que es verdadero). No puedo en esas condiciones inferir que un individuo específico es par. Entonces ¿qué es lo que podemos inferir a partir de un existencial? Si bien NO se nos permite inferir una instancia, sí se nos permite usarla como supuesto para poder realizar un razonamiento auxiliar bajo determinadas condiciones. Ejemplo 12.

Probemos que { xPx, ∀x(Px Qx) }⊢ xQx 1. xPx Pre

2. ∀x(Px Qx) Pre

3. (Pa Qa) Elim. ∀2. 4. [Pa] Sup 5. Qa MP 2 y 3 6. xQx Int. 4 7. xQx Elim. 1, 4-6

Veamos qué es lo que sucede en las siguientes secuencias que NO son derivaciones: Ejemplo 13.

1. Rab Pre 2. xRax Int. 1. 3. [Raa] Sup 4. xRxx Int. 3. 5. xRxx Elim. 2,3-4. ERROR: la constante a aparece en la premisa.

Ejemplo 14.

1. xPx Pre 2. Pa Sup 3. Pa Identidad 2 4. Pa Elim. 2-3. La contante a está en la fórmula final de la

derivación auxiliar en la línea 3.

5. ∀xPx Int. ∀ 4.

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Ejemplo 15. 1. xyRxy Pre 2. yRay Sup 3. Raa Sup 4. xRxx Int. 3 5. xRxx Elim. 2, 3-4 ERROR: la constante a ocurre en el

en el existencial de 2 que se elimina. 6. xRxx Elim. 1, 2-5

Aprovechemos ahora que ya tenemos presentadas todas las reglas básicas del sistema, veamos un último ejemplo de derivación. Probemos

⊢(((AB)(BC))(AC)), es decir, que esa fórmula es un teorema. Ejemplo 16. 1. [((A B) (BC))] Hip 2. [A] Hip 3. (A B) Elim. 1 4. (BC) Elim. 1 5. B MP 2,3 6. C MP 4,5 7. (AC) Int. 2-6 8. (((A B) (BC)) (AC)) Int. 1-7 Observaciones: (i) La fórmula (((A B) (BC)) (AC)) es una tautología y como nuestro

sistema es completo (enseguida se va a explicar qué quiere decir), existe una derivación en él sin premisas.

(ii) Toda derivación de un teorema en este sistema debe comenzar con algún supuesto (habilitado por alguna de las reglas que habilitan a hacerlo). En este caso es la regla de introducción del condicional.

(iii) El ejemplo 16 es un caso de derivación que tiene una derivación que es auxiliar a otra derivación auxiliar. Siempre dentro de una derivación auxiliar se pueden realizar razonamientos auxiliares a esta.

La estrategia fue la siguiente. Como dijimos antes, si nuestro objetivo es afirmar una fórmula cuyo conectivo principal es un condicional, estamos habilitados a suponer el antecedente y derivar con su ayuda el consecuente. En este caso, nuestro objetivo es (((A B) (BC)) (AC)) lo que nos habilita a suponer ((A B) (BC)) para derivar (AC) y entonces introducir el condicional. A su vez, podemos ver este condicional de la línea 7 como un objetivo secundario, que también puede ser el resultado de la aplicación de introducción del condicional. Entonces, estamos habilitados a suponer A y con su ayuda, derivar C. Una vez que contamos con los supuestos de las líneas 1 y 2 es fácil arribar a C.

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7. Virtudes de un sistema formal. Si bien nuestro sistema puede ser visto como un conjunto de reglas de transformación sintáctica, deben cumplir con el requisito de preservar la verdad de las premisas a la conclusión. Las nociones de consecuencia sintáctica y consecuencia semántica son caracterizables de manera aislada ambas están vinculadas de la siguiente forma: las reglas de inferencia de nuestro sistema deben ser correctas, en el sentido de que transmitan la verdad de premisas a conclusión, o sea, que la conclusión es consecuencia semántica de las premisas. Es decir:

Si ⊢ entonces ⊨ Este enunciado es conocido como Teorema de corrección. Cuando presentamos un sistema deductivo para una lógica dada, debemos probar que el mismo es CORRECTO. Dada una lógica, el conjunto de reglas de un sistema formal debe ser suficientemente potente para probar TODAS las formas correctas de razonamiento y todas las fórmulas que esa lógica considera como leyes. Cuando un sistema cumple con esto, se dice que el mismo es COMPLETO. Esto queda expresado en el siguiente enunciado:

Si ⊨ entonces ⊢

Este enunciado se conoce como Teorema de Completud.5 Véase que lo que se evalúa es un sistema formal específico respecto a una lógica específica. A veces también se llama teorema de completud al bicondicional de ambos enunciados, es decir,

⊨ si y solamente si ⊢

Un caso particular de este enunciado es cuando es conjunto es vacío, es decir, cuando es una verdad lógica.

⊨ si y solamente si ⊢

Donde “⊢ ” significa “ es un teorema” y el enunciado de completud afirma que todas las verdades lógicas son teoremas en nuestro sistema y solo ellas. En ese caso, para derivar una fórmula válida no necesitamos de premisas. ¿Cómo se comienza la derivación de un teorema? Pues obviamente realizando un supuesto. Es decir, que probar nuestros teoremas requiere el uso de reglas que requieren derivaciones auxiliares. Tanto corrección como completud son propiedades del sistema, es decir, nos indican que nuestro sistema es adecuado a una determinada relación de consecuencia y etas propiedades deben ser probadas siempre que se presente un sistema formal para una teoría dada.

5 En la comunidad lógica de habla hispana se usa tanto la palabra “completud” como “completitud”.

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¿Por qué una lógica debe tener un sistema formal? Primero que nada porque tenemos una forma alternativa de testear la validez de los razonamientos. Se piensa frecuentemente que en el caso del lenguaje proposicional es muy sencillo aplicar el procedimiento de tablas de verdad al condicional asociado ya que es un procedimiento mecánico. Ya vimos que este método aumenta su complejidad a medida que aumenta el número de letras proposicionales. Pero además, existen muchas lógicas para las cuales no contamos con un método mecánico como las tablas de verdad para realizar el análisis. Un caso es la lógica clásica de primer orden. En ese caso, habiendo probado la completud, podemos acudir a la búsqueda de una derivación de la fórmula a partir de y sabemos (por corrección) que

⊨. Además, véase que la caracterización de consecuencia semántica refiere a la relación de los modelos de las premisas y conclusión pero no nos dice nada sobre los pasos inferenciales por los cuales podemos arribar a la conclusión a partir de

las premisas. Es en “ ⊢” donde queda en evidencia el proceso argumentativo.

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Reglas Básicas para Deducción Natural (Lógica clásica)

Introducción y Eliminación de la Conjunción A (A B) (A B)

B A B (A B)

Introducción y Eliminación de la Disyunción A B (A v B) (A v B) (A v B) [A] : C [B] : C C

Introducción y Eliminación de Condicional

[A] (A B) : A

B B (A B)

Introducción y Eliminación de la Negación.

[A] A

: A (B B) A

Introducción y eliminación del Universal

∀x A(x) A(c)

A(c) ∀x A(x) (*) (*) La constante c no puede ocurrir ni en las premisas, ni en supuestos sin cancelar, ni en la fórmula A(x)

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Introducción y Eliminación del Existencial

xA(x) A(c) [A(c)] xA(x) (**)

B B (*)

(*) La constante c no puede ocurrir en las premisas, ni en supuestos sin cancelar, ni en la fórmula A(x) ni en B. (**) x no puede ocurrir en A(c).

Algunas Reglas derivadas

Modus Tollens

(MT) (A B) B

A

Contraposición

(AB)

(BA)

Transitividad (AB) (BC) (AC)

Identidad (ID)

A A

Silogismo disyuntivo (SD) (AB) (AB) A B B A

Elim.

(AB) (AB) (AB) (BA)

Int.

(AB) (BA) (AB)

Dilemas disyuntivos (DD)

(A B) (A B) (AC) (AC) (BC) (BD) C (CD)

De Morgan (DM)

(AB) (AB)

(AB) (A B)

Ex falso quodlibet (ECQ)

(AA)

B

Definición del (Def. )

(A B) (A B)

(A B) (AB)

Definición (Def. )

(A B) (AB)

(AB) (AB)

Definición (Def. )

(A B) (AB)

(AB) (AB)

Absurdo clásico (Abs.)

[ A] :

(B B) A

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Interdefinición de cuantificadores

Definición del ∀ (Def. )

∀xA(x)

xA(x)

Definición (Def. )

xA(x)

∀xA(x)

Negación ∀ (NU)

∀xA(x)

xA(x)

Negación del existencial (NE)

xA(x)

∀xA(x)