MODELO GRAVITATORIO EN TRANSPORTE DEDUCCION POR MAXIMIZACION DE LA ENTROPIA

I INTRODUCCIONEl problema clsico de transporte, fue formulado por Mongue (1781) e investigado posteriormente por Kantorovich (1939), Hitchcock (1941), Koopmans (1951), y Koopmans y Reiter (1951). Kantorovich (1976) atribuye la formulacin moderna a Tolstoy (1930) sin acotar la referencia. Comparaciones entre el problema clsico de transporte y el modelo gravitatorio se han realizado por McDonald y Blunden (1968), Evans (1971), Evans (1973), Nijkamp (1975), y Black y Blunden (1977). El problema de mnimos cuadrados en una forma especial se resolvi por Gauss en 1795 y se di en su forma actual por Pearson (1900). Trabajos sobre tablas de contingencia y modelos log-lineales se hicieron por Deming y Stephan (1940), Smith (1947), Ireland y Kullback (1968), Haberman (1977), y Bishop et al. (1975). Carey (1858) fue probablemente el primero en establecer la idea subyacente al modelo gravitatorio, es decir que el nmero de viajes es proporcional a las fuerzas atractivas e inversamente proporcional a la distancia. Ideas semejantes fueron usadas por Ravenstein (1885) en su estudio de migracin. Carey y Ravenstein presentaron sus argumentos en prosa, sin el uso de frmula alguna. La analoga directa con la frmula clsica de la gravedad de Newton, requiere que el exponente de la distancia en el denominador sea dos. Esta fue la forma obtenida en el trabajo pionero de Lill (1891) sobre viajes en ferrocarril. La misma forma se us por Young (1924) en su estudio sobre el movimiento de la poblacin de granjeros y por Reilli( (1931) en un estudio ms detallado. Stewart (1942,1947 y 1950) y Zipf (1946, 1949), usaron la unidad como exponente de la distancia. Voorhees(1955) report con base en soporte experimental, que la eleccin del exponente debe ser , 1, 2, o 3 dependiendo del tipo de viajes considerado. La forma de la funcin distancia (disuasiva) ha sido objeto de muchas investigaciones adems de las ya mencionadas. Tanner (1961) sugiri una forma combinada potencia-exponencial. Bouchard y Piers(1965) usaron una frmula deducida experimentalmente. El mismo acercamiento fue hecho por la oficina de carreteras pblicas de los Estados unidos(1965), Murchland(1966) y Wilson (1967, 1970) dieron argumentos tericos para la forma exponencial. Algunos autores (Dieter 1962; Sylvn 1965) encontraron que los factores de normalizacin que tienen que introducirse para satisfacer las restricciones marginales cuando se usa una frmula de tipo Newton, varan de manera sistemtica, siendo menores en el rea central de una poblacin e incrementndose hacia las orillas. Kirby(1970) y Wilson(1970) han dado interpretaciones cercanas a los primeros intentos usando los factores de normalizacin como medida de accesibilidad. Gorman (1963) dedujo la frmula de Kruithof a partir de una formulacin lagrangiana de un problema de optimizacin y prob la convergencia del mtodo de balanceo de Kruithof (1937). Murchland (1966) obtuvo de manera similar el modelo gravitatorio con la distancia como funcin exponencial. Utilizando estadstica mecnica, Spurkland (1966), Tomlin (1967) y Wilson (1967) dedujeron la misma frmula. Ms tarde Wilson(1970), desarroll una familia completa de modelos a partir de su principio de mxima entropa. Otros autores en este campo fueron Loubal(1968) y Sasaki (1968). La formulacin de entropa restringida de mnimo costo es debida a Erlander (1977, 1980).

II DEFINICIONES Y TEOREMAS BASICOS USADOS. DEFINICIONESMULTIPLICADORES DE LAGRANGE Suponga que una funcin tiene un extremo en un punto en la superficie y

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sea una curva con ecuacin vectorial que se encuentra sobre y pasa por . Si es el valor del parmetro correspondiente al punto , entonces . La funcin compuesta representa los valores que toma sobre la curva . Como tiene un valor extremo en , por tanto . Pero si es diferenciable, se puede usar la regla de la cadena para escribir:

El operador nabla

se define como sigue:

y evidentemente: respectivamente.

,

y

, son las derivadas parciales respecto de , , y

es ortogonal al vector El resultado anterior, muestra que el vector gradiente tangente para cada una de estas curvas Sea una funcin que corresponde a otra curva que pasa por . Entonces el gradiente de expresado como tambin es ortogonal a lo cual significa que los vectores gradientes y deben ser oaralelos, por lo que si entonces debe existir un nmero real tal que

ese nmero se llama . El procedimiento basado en la ltima ecuacin es como sigue: METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE sujetos a la restriccin Hallar los valores mximo y mnimo de (suponiendo que existen tales valores extremos): (a) Encuentre todos los valores de y tales que

(b) Evaluar en todos los valores hallados en (a). El valor ms grande, es el valor mximo de y el valor ms pequeo es el valor mnimo de Si escribimos la ecuacin vectorial en trminos de sus componentes, entonces las ecuaciones del paso (a) se convierten en:

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Este es un sistema de cuatro ecuaciones simultneas con cuatro incgnitas CONJUNTO CONVEXO

y

se llama si para cada par de puntos e de y cada Un conjunto S de nmero real que satisfaga , se verifica que De esta definicin se desprende que: a) Cada intervalo n-dimensional es convexo b) El interior de un conjunto convexo es convexo c) La clausura de un conjunto convexo es convexa RECUBRIMIENTO Una coleccin de conjuntos F se denomina de un conjunto dado , si Se dice tambin que la coleccin F recubre a . Adems, si F es una coleccin de conjuntos abiertos, entonces F se denomina recubrimiento abierto de . Ejemplos: , es un 1. La coleccin de todos los intervalos de la forma recubrimiento abierto del intervalo . Adems es un ejemplo de recubrimiento numerable. . 2. La recta real est recubierta por la coleccin de todos los intervalos abiertos Este recubrimiento es no numerable. Sin embargo, contiene un recubrimiento numerable donde recorre los valores de , a saber, todos los intervalos de la forma enteros. CONJUNTO COMPACTO se llama si, y solo si, todo recubrimiento abierto de S Un conjunto S de contiene un subrecubrimiento finito; es decir una subcoleccin finita que tambin recubra aS

TEOREMAS1. TEOREMAS DE KUHN-TUCKER Considerar el problema de minimizacin: sujeto a donde y tienen ambas primeras derivadas parciales continuas. TEOREMA 1.1. Sea un punto mnimo relativo para el problema sujeto a entonces hay un multiplicador tal que Enseguida considere un programa convexo ordinario

donde es un conjunto convexo no vaco en , , es una funcin finita, convexa, diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene a para y es una funcin finita sobre para . TEOREMA 1.2 Suponiendo que el valor ptimo en el problema

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no es , y que existe en el interior de tal que para toda restriccin no lineal. Entonces es una solucin ptima si y solo si existen multiplicadores de Lagrange que junto con satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker: y para El tercer teorema de Kuhn-Tucker es una especializacin del anterior para el caso de una funcin restricciones lineales, y con igual a un ortante no negativo. Sea convexa diferenciable sobre un conjunto abierto conteniendo al ortante no negativo de y sea una matriz de . TEOREMA 1.3 Suponiendo que el valor ptimo en el problema

no es , entonces es una solucin ptima si y solo si existen multiplicadores de satisfagan las condiciones de Kuhn-Tucker: Lagrange tales que junto con

donde est en el -simo rengln de la matriz 2. TEOREMA DE TAYLOR Sea en una vecindad de . Entonces para todo tal que ,

donde 3. TEOREMAS DE LAGRANGE Considerar el problema de minimizacin

donde

es un poliedro convexo no vaco, y

son funciones convexas finitas sobre

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Definicin: es un coeficiente Kuhn-Tucker para igual al ptimo en PROPOSICION 3.1

si

y si

es finito e

no es y que existe Suponiendo que el valor ptimo en entonces existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para TEOREMA 3.1

tal que

El conjunto de todas las soluciones Sea un coeficiente de Kuhn-Tucker para ptimas de es el conjunto de todos los puntos que realizan:

III ENFOQUE DEL PROBLEMAEl problema trata con determinar una matriz no negativa satisfaciendo las restricciones marginales , as

como otras determinadas condiciones. El elemento representa el nmero relativo de viajes desde la zona origen a la zona destino . Los ndices corresponden a un conjunto de ndices y los elementos que no son forzados a cero por las restricciones marginales tienen ndices que corresponden a un conjunto . Nos enfocaremos al modelo gravitatorio con masas interzonales dadas:

y al modelo doblemente restringido con funcin exponencial disuasiva:

En ambos casos, es el conjunto formado por todos aquellos ndices correspondientes a elementos que no son forzados a cero por las restricciones marginales. Se mostrar que el modelo gravitatorio doblemente restringido es la nica solucin ptima al problema:

sujeto a

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donde

es la funcin de entropa:

y

la funcin costo promedio

La solucin ptima depende del parmetro entre la funcin entropa y la funcin costo

la cual mide el elemento compensatorio

Entre otras cosas se demuestra que Centramos nuestra atencin en los microestados que satisfacen las restricciones . Se supone que marginales mencionadas anteriormente y la restriccin de costo todos los microestados que satisfacen tales restricciones son igualmente probables. El nmero de microestados que dan el macroestado correspondiente a la matriz resulta ser:

donde representa el nmero total de viajeros y representa el nmero de viajes realizados de la zona a la zona . Para encontrar el macroestado ms probable, maximizamos esta frmula combinatoria, con aproximacin de los factoriales mediante la frmula de Stirling, transformndolo en el problema equivalente:

Veremos que la nica solucin ptima la constituye al modelo gravitatorio doblemente puede reemplazarse por restringido dado anteriormente. Ntese que debido a la naturaleza matemtica intrnseca del problema.

1. UN PROBLEMA DE MINIMIZACION CONVEXA1.1 EL PROBLEMA En esta seccin estableceremos algunos resultados preliminares relativos al problema de minimizacin convexa:

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donde \ es un cierto poliedro compacto con

y

es un

se define como ). La funcin es supuesta conjunto de ndices, no vaco. (Aqu, como convexa y tiene una derivada continua en algn conjunto abierto, conteniendo el ortante no negativo. Casos especiales del problema de minimizacin definido por (1.1) pueden ser familiares al lector, y alguno de ellos ser estudiado en detalle en secciones subsecuentes. Se incluye el caso en que , en el cual (1.1) da el modelo gravitacional ordinario para la demanda entre los pares origen-destino indexados por 1.2 FORMA DE LA SOLUCION Sea un elemento de un -espacio Euclideano y supongamos que es un . Sea un elemento de elemento del mismo espacio Euclideano. Sea algn espacio Euclideano (normalmente diferente), sea una matriz rectangular real con tantas columnas como elementos tengan y juntos, y sea un vector real dado con tantos componentes como filas tenga si y solo si si De modo que un vector es viable si satisface desigualdades restrictivas dadas, si es es cero para cada componente donde es cero. En muchas no negativo y si aplicaciones, las restricciones lineales dadas sern de hecho igualdades restrictivas, pero bajo las proposiciones pueden ser aplicadas escribiendo cada igualdad restrictiva como dos desigualdades restrictivas. Puede ser que ciertos componentes de sean forzados a cero si , aunque esos componentes estn en \. Introducimos una notacin especial para los componentes en lo que esto no ocurra: y

De modo que, es el conjunto de ndices correspondientes a los elementos de que no son automticamente forzados a cero por las restricciones definidas en \. La notacin intenta sugerir "positivo", o mejor an "posiblemente positivo". Ejemplo. tal que no entra en el problema, y suponga Sea restricciones lineales con las

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La viabilidad de implica que de la primera y notando que De modo que

, como puede verse sustrayendo la ltima restriccin . Esto muestra que

PROPOSICION 1 Si es no vaco, entonces existe Demostracin Para cada hay un vector tal que para toda en

con

. La media aritmtica de esta

coleccin de vectores satisface las condiciones dadas en la conclusin. Ahora estableceremos la forma general de la solucin de (1.1). La nica dificultad es que la derivada de la funcin objetivo no exista en PROPOSICION 2 , es Considerese el problema de minimizacin convexa definido por (1.1), donde convexa y \ es compacto y no vaco. Existe una solucin ptima, nica en , de la forma

donde

es un vector

y

Aqu,

es un vector con tantas

como representan la -sima y componentes como filas tenga y tanto -sima columnas de respectivamente. Recprocamente, cualquier solucin de esta forma, es una solucin ptima de (1.1). Demostracin. La demostracin, se basa en una versin de teorema 1.2 de Kuhn-Tucker dado en la seccin I. Existe tal que para toda . Esto es trivial cuando , puesto

que \ es no vaco y se sigue de la proposicin 1 cuando . (El superndice intenta sugerir "positivo", pero nada sabemos acerca de que los componentes de sean positivos

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o cero.) Tambin entonces, la funcin objetivo es convexa (estrctamente convexa en ), y \ es compacto, se sigue que existe una solucin ptima nica en . Si satisface

para todo , entonces puesto que las restricciones son lineales, las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker implican que satisface las condiciones dadas en la conclusin del teorema. Supngase, por otra parte, que sobre algn conjunto no vaco B, B

En este caso, llegaremos a una contradiccin. Para este caso, = es una direccin viable: Se define para

entonces

donde existe

para toda Del teorema de Taylor dado en la seccin I, tal que el valor absoluto de los ltimos dos trminos est sujeto a , para en la vecindad de Los otros trminos

suficientemente pequeo, puesto que pueden escribirse

de manera que en en total tenemos

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puesto que

para

esto puede hacerse siempre negativo para

suficientemente pequeo, lo cual contradice la optimicidad de El recproco del teorema se deduce de las condiciones suficientes de Kuhn-Tucker. 1.3 CONVEXIDAD COMO FUNCION DE VARIABLES SUBYACENTES Si es una funcin estrctamente convexa de , entonces la solucin de (1.1) tambin es nica en . Considrese ahora la posibilidad de que las variables o o ambas, sean funciones lineales de algunas variables subyacentes . Entonces, la funcin objetivo se mantiene convexa, pero no necesariamente estrctamente convexa. Esto se sigue de hacer y y , en la siguiente proposicin

PROPOSICION 3 Sea cualesquiera de las dos, funcin covexa o estrctamente convexa de y suponer es una funcin lineal de . Entonces es una funcin convexa que pero no necesariamente estrictamente convexa de . DEMOSTRACIN. Suponer que entonces

La desigualdad se sigue de la convexidad de ; no puede ser reemplazada por una puesto que desigualdad estricta cuando es estrctamente convexa y puede ser igual a aun si

2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCION2.1 Antecedentes En este ensayo, estaremos interesados en el problema de determinar una matriz no negativa satisfaciendo ciertas restricciones marginales y otras condiciones. La representacin de las es que representan el nmero relativo de viajes de la zona origen a la zona destino . Los tipos de restricciones marginales en los que estaremos primeramente interesados son de las formas

y

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donde

y

son constantes positivas dadas que representan la proporcin de viajes

iniciandose en y la proporcin de viajes terminando en respectivamente. Los modelos que involucran esos tipos de restricciones marginales sern referidos como modelos de distribucin doblemente restringidos y frecuentemente se ilustrarn de la manera siguiente

Generalmente habr un gran nmero de matrices factibles para un conjunto dado de , puesto que hay elementos matriciales e restricciones. Podr hacerse una eleccin entre las matrices factibles, de acuerdo con algn criterio adicional. Por ejemplo si se da una matriz de coeficientes de costo , podemos elegir tal que se minimice ; este es el clsico problema de transportacin. podemos requerir que

y

Alternativamente, dado un conjunto de masas interzonales

satisfaga para algunas constantes , y , . Este es el clsico modelo gravitatorio. 2.2 MEDIDAS DE ACCESIBILIDAD, INTERACTIVIDAD Y EFICIENCIA El problema de distribucin trata con el nmero de viajes de zonas de origen a zonas de destino dadas. Las nociones de accesibilidad e interactividad estn estrechamente relacionadas con este problema. El nmero relativo de oportunidades, es decir oportunidades de trabajo que puede ser logrado desde una zona dada puede usarse como medida de accesibilidad para esa zona. Tal vez las ms comunes, son las medidas de accesibilidad del tipo Hansen

donde es el nmero de viajes que terminan en la zona , y donde se introduce la funcin disuasiva para tomar en cuenta que la accesibilidad a una oportunidad disminuye al aumentar el costo del viaje o la distancia. La suma anterior es una medida de la accesibilidad a oportunidades en todas las zonas para un viajero que parte de la zona . Una medida de accesibilidad global para el rea bajo estudio puede obtenerse

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multiplicando por el nmero relativo las zonas origen

de viajes que salen de la zona y sumando todas

Esta medida est relacionada con las oportunidades ofrecidas a los viajeros. No se relaciona directamente con el nmero de viajes que actualmente se hacen, aunque tal informacin se usa generalmente en la calibracin de la funcin disuasiva . Ahora discutiremos una medida que depende del nmero de viajes, concfretamente la entropa de la matriz de viajes:

Esta medida est relacionada con la nocin de accesibilidad, pero puesto que depende del nmero actual de viajes la llamaremos una medida de interactividad. Tanto la medida de accesibilidad de hansen como la de interactividad descritas, pueden usarse para evaluar los mritos de posibles sistemas de transportacin futuros, pero requieren diferente informacin para su empleo: La medida de Hansen trata solamente con las oportunidades que se ofrecen y requiere de conocer y mientras que la medida de interactividad trata con las oportunidades tomadas y requiere del conocimiento de . Por otra parte, ambas medidas son similares si se asume que las estn distribuidas de acuerdo con el modelo gravitatorio

donde

suponiendo adems que puede demostrarse que es una funcin de montonamente decreciente. Por supuesto que lo mismo es cierto para la medida tipo Hansen. La funcin de entropa tanto aqu como en otra parte del presente ensayo, se escribe de un modo conveniente para la deduccin de varios modelos. Tendremos siempre que y entonces, nuestra funcin de entropa queda como

que es la forma normalmente usada para la entropa. El valor de la funcin entropa es cero si todos los viajes parten de una zona de origen a

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una zona de destino. A condicin de que valor alacanza su mximo

no sea especficado a priori como cero, el

cuando es decir los viajes estn distribuidos de una manera proporcional. Para cualquier eleccin de y este mximo es menor o igual que y el mximo en y . Puede efecto alcanza ese valor en el caso verse que la entropa puede depender del nmero de pares origen-destino. Puede usarse para definir una medida normalizada

la cual toma valores en el intervalo tales valores son fijados,

independientemente de los valores de

y

o si

Otra cantidad que puede emplearse para comparar el nivel de interactividad en diferentes situaciones es

que puede verse representando el nmero de celdas (pares origen-destino) necesarios para producir la entropa si es supuesta una distribucin completamente uniforme. La argumentacin es como sigue: Si hay celdas y la distribucin es completamente por lo tanto uniforme, entonces la proporcin de viajes en cada celda es

y

Si los viajes estn dispersos sobre todas las zonas, entonces hay una gran cantidad de interacciones entre ellas y el valor de la funcin entropa es grande. Por otro lado, si hay pequea variacin presente en la matriz de viaje, es decir la mayora de los viajes se concentran en un nmero limitado de pares origen-destino, entonces la interaccin es pequea y el valor de la funcin entropa tambin es pequeo. De este modo un gran valor de la funcin de entropa indica un alto grado de interactividad entre las zonas.

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Accesibilidad e interactividad como se discuten aqu, son ambas medidas que tratan de relacionarse con los conceptos bsicos inherentes a la libre eleccin del viajero. Como se ha dejado establecido, la medida de accesibilidad da informacin sobre el nmero de oportunidades (ponderadas de acuerdo con su costo) que se ofrecen al viajero, no se considera la eleccin actual del viajero. (Sin embargo, en general, la funcin disuasiva ser calibrada a partir de las elecciones actuales en la forma de una matriz de viajes observada. Por lo tanto aparecen indirectamente las elecciones actuales.) Las medidas de accesibilidad de tipo Hansen tratan en principio con la situacin previa a que al viajero haga su eleccin. La entropa usada como medida de la interactividad, por otro lado, mide una propiedad de la matriz de viajes, es decir, despus de que los viajeros han hecho sus elecciones. No mide las oportunidades ofrecidas, pero est relacionada con la libertad de eleccin de los viajeros. Un alto nivel de interactividad significa que los viajes estn dispersos sobre muchas zonas. Un bajo nivel de interactividad, significa que los viajes estn ms concentrados. Es necesario hacer un comentario adicional sobre la entropa como medida de interactividad. la funcin de entropa se calcula por medio de las proporciones de viajes. Por lo tanto no depende del nmero total de viajes o la longitud de los mismos. Depende solamente de la distribucin de los viajes sobre las celdas de la matriz de viajes. Por lo que querer incrementar el nivel de interactividad en el sistema de transporte no es lo mismo que incrementar el nmero de viajes. La accesibilidad y la interactividad son metas a largo plazo que la sociedad podra desear promover a travs del sistema de transporte. Otra meta es la eficiencia. La ms simple y comn medida de la eficiencia es el costo promedio. Si el costo de un viaje de la zona a la zona es ( puede denotar si se quiere la distancia, el tiempo del viaje o el costo generalizado) entonces el costo promedio est definido por

Es claro que una alta eficiencia corresponde a un bajo costo promedio. Por lo tanto, el costo promedio es una muy simple medida de la eficiencia.

3 DEFINICIONES BASICAS Y ESTRUCTURA3.1 INTRODUCCION Es conveniente ahora ver la matriz de elementos como un vector de dimensin con componentes obtenidas al concatenar las columnas de la matriz. Sea , , y sea dado \, , donde es la ,

proporcin de viajes comenzando en la zona , , es la proporcin de viajes que terminan en la zona , y es el conjunto de pares origen-destino para los cuales se restringe a priori a ser 0 (as mismo es el conjunto sobre el cual puede ser positivo). Se dice que es viable para el problema de distribucin , si es viable en el sentido de la seccin (1.2). Aqu tal que no est involucrada, hace el papel de y la matriz representa las restricciones de transportacin:

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y

Definicin: es viable, es decir, Aqu el conjunto Definicin: est definido por:

si y solo si satisface

y

Ilustrando el caso de dos orgenes y dos destinos, la restriccin lineal

tiene la forma:

El ejemplo de la seccin 1.2 corresponde exactamente a este ejemplo, en el caso es decir est restringida a priori a ser cero. Tal ejemplo puede presentarse en el formato introducido en la seccin 2.1:

Puede recuperarse de la seccin 1.2 que la viabilidad puede forzar ciertas componentes adicionales del vector solucin a ser cero. En el presente ejemplo, la viabilidad de implica que . Se introdujo la notacin para el subconjunto de \ que corresponde a los componentes no forzados a cero: aqu, Es una cuestin diferente dar las condiciones bajo las cuales ser menor que \, es decir las condiciones bajo las cuales ciertos elementos de \ se forzarn a cero por las restricciones (3.1). Ms adelante regresaremos a esta cuestin. No se presenta tal dificultad en el caso del modelo gravitatorio debido a que el mtodo iterativo usual (Kruithof) produce una sucesin que tiene como lmite a cero, para Sin embargo la razn de convergencia en este caso puede ser muy pequea. Puede notarse que teniendo De la proposicin 1 en la seccin 1.2 si , , , existe si y solo si existe un tal que para todo

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. 3.2 MODELO GRAVITACIONAL DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON MASAS INTERZONALES DADAS La primera formulacin se present suponiendo que esta disponible un conjunto de masas interzonales para los pares origen-destino en \. Esas masas interzonales se han denotado por y se suponen normalizadas de manera que . Veremos que tales condiciones dan lugar a varias interpretaciones diferentes (impedancias interzonales, masas a priori, etc.), pero ahora las veremos simplemente como constantes dadas. Definicin. Dada es una solucin del modelo gravitatorio doblemente restringido con masas interzonales dadas si y solo si

Ntese que en primer lugar, la exclusin de conduce a la no prdida de generalidad, puesto que podra implicar a priori, lo cual puede ser efectuado por la exclusin de de \. Por otro lado, ntese que (3.3a) se mantiene solamente sobre . Considrese otra vez el ejemplo de la seccin 1.2, en la notacin empleada cuando el , entonces no tiene la ejemplo se discuti en la seccin 3.1. Si forma (3.3a). Tampoco hay prdida de generalidad al suponer multiplicativa de (3.3a). PROPOSICION 1 Considrese el problema de minimizacin convexa , en vista de la forma

Si entonces existe una solucin ptima nica para (3.4) de la forma Adems, cualquier de la forma (3.3) es la nica solucin ptima de (3.4). DEMOSTRACION La demostracin se sigue de la proposicin 2 de la seccin 1.2, puesto que para el problema especial considerado en esta seccin, \ es compacto. la condicin (1.2a) de la proposicin 2 de la seccin 1.2 (condicin necesaria de Kuhn-Tucker) aplicada a (3.4) da

en nuestro caso especial, y el resultado est establecido con Aqu, y son los multiplicadores de lagrange correspondientes a las igualdades de restricciones en PROPOSICION 2 Sea , Si entonces existe una solucin nica del modelo

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gravitacional doblemente restringido con masas interzonales dadas, es decir, una solucin nica que satisface (3.3). La proposicin 2, es un corolario inmediato de la proposicin 1. Los resultados se establecen por separado en virtud de que la proposicin 1 ser invocada ms adelante. Fue necesario asumir solo para en la proposicin 2, pero puesto que no se conoce sino hasta que el problema de minimizacin se ha resuelto, en la prctica ser positivo para todo 3.3 MODELO GRAVITATORIO DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON FUNCION DISUASIVA EXPONENCIAL Quiz el modelo de distribucin ms ampliamente usado es el obtenido por especificacin de las masas interzonales en trminos de un parmetro y constantes . Asumiremos en la definicin, porque las constantes tienen una interpretacin natural como costos o tiempos de viajes interzonales. Sin embargo las deducciones matemticas que siguen se efectuarn sin asumir la no negatividad. y , es una solucin del modelo gravitatorio Definicin: Dada doblemente restringido con funcin disuasiva exponencial si y solo si ,

y

Podemos ver este modelo como uno que introduce un parmetro redundante en la especificacin de las masas interzonales. El modelo es equivalente al que se present en la seccin 3.2, y una solucin de un modelo puede usarse para obtener una solucin del otro. Algo de lo ms interesante de la teora relativa al modelo gravitatorio involucra el comportamiento de ciertas funciones de , concretamente las funciones de interactividad y de costo promedio discutidas en la seccin 2.2, cuando las masas interzonales se se mantiene fija. cambian en la muy especial forma al variar mientras Establezcamos el anlogo de la proposicin 1 de la seccin 3.2. PRPOPOISICION 1' Considrese el problema de minimizacin convexa

Si entonces existe una solucin ptima nica para (3.6), la cual tiene la forma de la forma (3.5) es la nica solucin ptima de (3.6). (3.5). Adems, cualquier DEMOSTRACION La demostracin es idntica a la de la seccin 3.2, excepto que ahora de juega el papel de PROPOSICION 2' Sea y . Si , existe una solucin nica del modelo gravitatorio en lugar

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doblemente restringido con funcin disuasiva exponencial , es decir, una solucin nica que satisface (3.5). No requiere demostracin pues se trata de un corolario de la proposicin 1'. Note que las condiciones y , corresponden exactamente a la , puesto que condicin 3.4. FORMA ALTERNATIVA PARA LA FORMULACION CON FUNCION EXPONENCIAL DISUASIVA En la seccin 2.2 se introdujo la funcin de entropa y la funcin costo promedio . En esta seccin daremos una formulacin alternativa a la presentada en la seccin 3.3 (el modelo gravitatorio doblemente restringido con funcin exponencial disuasiva) usando la entropa como funcin objetivo mientras que la funcin costo promedio es restringida, y viceversa. El parmetro aparece como un coeficiente Kuhn-Tucker (o su inverso respectivamente). La forma particular de la teora de Lagrange que usaremos, se ha y se presentado en la seccin II. Tambin discutiremos cmo las funciones relacionan entre s en los puntos solucin. Comenzamos redefiniendo la funcin de entropa Definicin. La funcin de entropa se define como y la funcin costo .

Dada

La funcin costo (promedio) se define como

Con esta notacin el problema de minimizacin Lagrangiana (3.6) se escribe

y como se demostr en la seccin 3.3 la nica solucin ptima para este problema es de la forma (3.5):

Estableceremos aqu la equivalencia entre el problema de minimizacin Lagrangiana y un problema de mxima entropa. y valores Para un valor dado de en (3.6) obtenemos una cierta solucin ptima correspondientes de las funciones de entropa y costo, y respectivamente. Comenzamos mostrando que tales funciones varan de un modo estrctamente montono con . (Ntese que cuando se prueba la hiptesis de la siguiente proposicin en un caso particular, uno debe considerar valores negativos de y ).

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PROPOSICION 3 , entonces y son funciones estrctamente montonas Si decrecientes de , para con tal de que los costos no tengan la forma trivial para . Comentario. Nuestro inters se centra en el caso . Sin embargo de la demostracin de esta proposicin se desprende que en el caso en el cual es estrctamente montona creciente, mientras que es estrctamente montona decreciente. DEMOSTRACION Sea Entonces

y

sumando ambas ecuaciones se obtiene

lo cual implica que . Anlogamente, multiplicando la primera desigualdad por y la segunda por y sumando, obtenemos

lo cual implica que Debido a la convexidad estricta de , todas las antreriores desigualdades pueden reemplazarse por desigualdades estrictas a menos que Pero esta ltima condicin podra implicar:

o

lo cual contradice nuestra hiptesis de la naturaleza no trivial de Puesto que \ es compacto, y estn acotadas por arriba y por abajo. Una ilustracin aproximada del caso ms general, dado lo establecido hasta aqu, se muestra en la figura 3.1

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En efecto, sin embargo puede decirse mucho ms acerca de las relaciones entre y cuando vara ; demostraremos ms adelante en esta subseccin, que es una funcin diferenciable de con (Fig. 3.2)

Pero los resultados ya establecidos son suficientes para justificar las siguientes definiciones. Definicin.

Es posible, en circunstancias triviales tener si y solo si para

y para algunos ,

Tendremos Si

entonces y deben ser constantes como funciones de Y hemos visto en la demostracin previa que constante implica que es independiente de , y para Recprocamente para costos de esta forma trivial, para cualquier

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En lo que sigue, restringiremos nuestra atencin al caso en el cual variacin en que con : lo cual garantizar que , y (3.7) puede reemplazarse por

y hay alguna puesto que ello implica

de la convexidad estricta de

Considrese ahora el problema de optimizacin restringida

donde

.

, ,y , es la solucin del problema de maxima Dados \, entropa si es la solucin ptima de (3.8). en (3.8) por la compacidad de , y la Justificamos escribir " continuidad de tambin justificamos escribir "la" solucin ptima en la definicin, es estrctamente cncava. porque PROPOSICION 4 La nica solucin de (3.8) es DEMOSTRACION Puesto que existe para algn tal que y .

. La proposicin 3.1 de la seccin II sujeto a .

garantiza que existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para

este coeficiente. El teorema 1.3 de la seccin II nos dice que el conjunto de Sea todas las soluciones nicas de (3.8) es el conjunto que contiene el punto particular que minimiza sobre , y si . Si entonces de la estricta monotonicidad de , se desprende que , no puede ser cero, y . Si la monotonicidad solo garantiza que , pero puesto que cualesquiera que sea el valor de , tenemos , y debe ser cero por la monotonicidad estricta de . COROLARIO Cualquier de la forma (3.5) tal que es la nica solucin de un problema

de mxima entropa. DEMOSTRACION Sea

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definamos

,

y

por

Entonces es claramente la nica solucin del problema de mxima entropa que tiene el miembro derecho dado por , y

Que como sabemos es el modelo gravitacional doblemente restringido con funcin exponencial disuasiva.This document created by Scientific Notebook 4.1.

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