UCV 1 12/07/2014

MSc. Flix Aucallanchi V.

2d Unidad:

ENTROPA Y CICLOS DE POTENCIA

CURSO:

TERMODINMICA

UCV 2 12/07/2014

DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

La integral cclica de dQ/dT siempre es menor o igual a cero.

0dQ

T

Donde dQ es un diferencial de calor suministrado a un ciclo a la

temperatura absoluta T. El smbolo se usa para indicar que la

integracin ser realizada durante un ciclo entero.

La igualdad, en la desigualdad de Clausius, se cumple para los ciclos

totalmente reversibles o slo internamente reversibles, mientras que la

desigualdad se verifica para los ciclos irreversibles.

int,

0 0rev irrev

dQ dQ

T T

La entropa, o entropa total, denotada con S, es una propiedad

termodinmica extensiva que se define a partir de:

;dQ kJ

dST K

UCV 3 12/07/2014

Cambio de entropa

La entropa por unidad de masa, denotada con s, es una propiedad

termodinmica intensiva que se define a partir de:

;dq kJ

dsT kg K

El cambio de entropa, DS, durante un proceso internamente reversible

entre los estados inicial (1) y final (2), se obtiene efectuando la integracin:

2

2 11

int,

;rev

dQ kJS S S

T K D

DS en un proceso isotrmico de transferencia de calor

Teniendo en cuenta que los procesos isotrmicos de transferencia de

calor son internamente reversibles, se cumple que:

;o

Q kJS

T K D

signo S signo QD

UCV 4 12/07/2014

Ejemplo 1.- Durante un proceso de expansin isotrmica una

mquina trmica recibe 360 kJ de calor desde una fuente que se

encuentra a 600 K. Cunta entropa se transfiere a la mquina?

Se reconoce que:

QA = +360 kJ; TA = 600 K

Por tratarse de un proceso isotrmico la

transferencia de entropa est dada por:

A

A

QS

TD

3600,6 /

600

kJS kJ K

K

D

Observacin.- Si el sumidero de la mquina

est a la temperatura de 300 K y la eficiencia de

la mquina es de 40%, cunta entropa se

transfiere hacia el sumidero?

D ' 0,72 /S kJ K

UCV 5 12/07/2014

Ejemplo 2.- Un dispositivo compuesto por cilindro-mbolo contiene una

mezcla de lquido y vapor de agua a 300 K. Durante un proceso a presin

constante se transfieren al agua 750 kJ de calor. Como resultado, la parte

lquida en el cilindro se vaporiza. Determine el cambio de entropa del

agua durante el proceso.

Considerando como sistema al contenido del cilindro

podemos decir que se trata de un sistema cerrado.

Se observa que la temperatura del sistema

permanece constante en 300 K durante

este proceso porque la temperatura de una

sustancia pura permanece constante en el

valor de saturacin durante un cambio de

fase a presin constante.

Luego, aplicando la ecuacin correspondiente a un proceso

isotrmico de transferencia de calor, se tiene:

7502,5

300o

kJQ kJS S

T K KD D D

D

Sm

s 0,31m kg

UCV 6 12/07/2014

Incremento de Entropa

Analicemos el ciclo termodinmico mostrado. De la desigualdad de

Clausius se cumple que:

0dQ

T

2 1

1 2int,

0rev

dQ dQ

T T

2

1 21

0dQ

S ST

2

2 11

dQS S

T

dQdS

T

Donde T es la temperatura de la frontera a travs de la cual se transfiere

calor Q entre el sistema y los alrededores.

; proc. inter . reversible

; procesoirreversible

dQdS

T

dQdS

T

UCV 7 12/07/2014

Generacin de Entropa

El valor de Sgen siempre es positivo y depende del tipo de proceso:

2

1sist gen

dQS S

TD

2

1gen sist

transf de entropa

dQS S

T D

La entropa generada durante un proceso, denotada como Sgen, se define

como la diferencia entre el cambio de entropa (DS) y la transferencia de

entropa . 2

1/dQ T

0;

0;

0;

gen

proceso irreversible

S proceso irreversible

proceso imposible

Tengamos en cuenta que alguna entropa es generada o creada durante

un proceso irreversible y esta generacin se debe completamente a la

presencia de irreversibilidades.

En un sistema aislado no hay transferencia de entropa: 2

1/ 0dQ T

2

2 11sist

dQS S

T

UCV 8 12/07/2014

Principio de Incremento de Entropa (PIE)

La entropa de un sistema aislado durante un proceso siempre se

incrementa o, en el caso lmite de un proceso reversible, permanece

constante.

Mas abreviadamente: La entropa nunca disminuye.

0aisladoSD

Puesto que la entropa es una propiedad extensiva, la entropa total de

un sistema viene dado por la suma de las entropas de sus partes.

Un sistema y sus alrededores pueden ser considerados como dos

subsistemas de un sistema aislado. Luego, en este sistema, el cambio

de entropa solo se debe a la generacin de entropa ya que no hay

transferencia de entropa.

0generada total sistema alredS S S S D D D

Como ningn proceso real es reversible se concluye que la entropa del

universo est incrementndose continuamente.

UCV 9 12/07/2014

Comentarios referidos al Principio de Incremento de Entropa (PIE)

1. Las cosas en la naturaleza tienden a cambiar hasta que logran un

estado de equilibrio.

2. El PIE dicta que la entropa de un sistema aislado aumenta hasta

que su entropa alcanza un valor mximo.

3. Se dice que un sistema ha alcanzado un estado de equilibrio

porque el PIE en ese punto prohbe al sistema sufrir cualquier

cambio de estado que produzca una disminucin de entropa.

4. Los procesos solo pueden ocurrir en una direccin en la que se

cumple que:

5. La entropa es una propiedad que no se conserva. Solo se

conserva en los procesos reversibles (ideales).

6. La eficiencia o desempeo de los sistemas de ingeniera es

degradado por irreversibilidades; y la entropa es una medida de

estas.

0generadaS

UCV 10 12/07/2014

Ejemplo 3.- Una fuente de calor a 800 K pierde 2 000 kJ de calor hacia

un sumidero: a) 500 K, b) 750 K. Determine qu proceso de

transferencia de calor es ms irreversible.

En 1er lugar calculamos el cambio de entropa que se produce en la

fuente a 800 K, considerando que se transfiere calor isotrmicamente:

20002,5 /

800fuente

fuentefuente

Q kJS kJ K

T K

D

Proceso A: Calculamos la variacin de

entropa producida en el sumidero a la

temperatura de 500 K:

20004 /

500sum

sumsum

Q kJS kJ K

T KD

2,5 4

1,5 /

generada total fuente sum

generada

S S S S

S kJ K

D D D

Luego, la entropa generada en el sumidero es:

UCV 11 12/07/2014

Proceso B: Calculamos la variacin de entropa producida en el

sumidero a la temperatura de 750 K:

20002,7 /

750sum

sumsum

Q kJS kJ K

T KD

2,5 2,7

0,2 /

generada total fuente sum

generada

S S S S

S kJ K

D D D

En conclusin el cambio de entropa total en el proceso A es mayor

que en el Proceso B y por lo tanto es el ms irreversible.

Cul de los procesos es menos irreversible si se tratara de mquinas

de Carnot?

Por definicin las mquinas de Carnot son reversibles y puede

demostrarse que: DStotal = 0

UCV 12 12/07/2014

Cambio de Entropa en Sustancias Puras

La entropa de una sustancia pura, y en particular sus cambios, se

determinan a partir de las tablas, al igual que las dems propiedades.

f fgs s x s En la zona de vapor hmedo:

En la zona de lquido comprimido: , , ,f T P f Ts s

En la zona de vapor sobrecalentado: , , ,g T P g Ts s

UCV 13 12/07/2014

Ejemplo 4.- Un recipiente rgido contiene inicialmente 5 kg de

refrigerante 134a sobrecalentado a 20C y 140 kPa. La sustancia se

enfra mientras es agitada hasta que su presin disminuye a 100 kPa.

Determine el cambio de entropa del refrigerante durante este proceso.

1

1

140

20

P kPa

T C

Estado 1: Vapor sobrecalentado, tabla A-13:

Estado 2: Vapor Hmedo, tabla A-12:

3

2

32 1

0,0007259 /100

0,19254 /

f

g

m kgP kPa

m kg

v

v v v

Reconociendo que el proceso es a volumen

constante, calculamos la calidad x de la mezcla:

2 0,16544 0,0007259 0,8590,19254 0,0007259

f

fg

x

v v

v

1

3

1

1,0624 /

0,16544 /

s kJ kg K

m kg

v

UCV 14 12/07/2014

Luego la entropa especfica en el estado final (2), con ayuda de la

tabla A-12, viene dado por:

2 0,07188 (0,859)(0,87995)f fgs s x s

2 0,8278 /s kJ kg K

Finalmente el cambio de entropa DS durante este proceso viene

dado por:

2 1 5 0,8278 1,0624 /S m s s kg kJ kg KD

1,173 /S kJ KD

Obsrvese que la variacin de entropa es negativa, es decir, el

sistema reduce su entropa. Sin embargo esto no representa una

violacin de la 2da Ley de la Termodinmica, pues el trmino que

no puede ser negativo es la entropa generada (Sgen).

UCV 15 12/07/2014

Ejemplo 5.- Inicialmente, un dispositivo de cilindro-mbolo contiene 4 kg

de agua lquida a 200 kPa y 20C. El agua est ahora calentndose a una

presin constante por la adicin de 11,47 MJ de calor. Determine el

cambio de entropa del agua durante este proceso.

1 ,201

1 1 ,20

0,2965 /200

20 83,915 /

f C

f C

s s kJ kg KP kPa

T C h h kJ kg

Estado 1: Lquido Comprimido y segn la tabla A-4:

En el estado final la presin es P2 = 200 kPa

porque la presin es constante. La 2da

propiedad, para identificar el estado final, la

obtendremos del balance de energa:

2 1e b e bQ W U Q W U H m h h D D D

2 211147 4 83,915 2870,7 /h h kJ kg

Y segn la tabla A-6, para P = 200 kPa, se tiene: s2 = 7,5081 kJ/kg.K

Finalmente: 2 1 4 7,5081 0,2965 28,85 /S m s s kJ KD

UCV 16 12/07/2014

PROCESOS ISENTRPICOS

Definicin

Una masa fija experimenta un proceso isentrpico si su entropa se

mantiene constante.

Un sistema realiza un proceso isentrpico si el proceso es internamente

reversible y adiabtico.

1 20 ( / )s s s kJ kg KD

Las bombas, turbinas, toberas y difusores son esencialmente adiabticos

en su funcionamiento.

Estos dispositivos tienen mejor desempeo cuando se minimizan las

irreversibilidades como la friccin asociada al proceso.

Principio fundamental

La entropa de una masa fija puede modificarse por medio de

irreversibilidades o por transferencia de calor.

Un proceso adiabtico reversible es necesariamente isentrpico

pero uno isentrpico no es necesariamente adiabtico reversible.

UCV 17 12/07/2014

Ejemplo 6.- En una turbina entra vapor de agua a 5

MPa y 450 C; y sale a una presin de 1,4 MPa.

Determine el trabajo de salida de la turbina por

unidad de masa de vapor si el proceso es reversible.

i) Asumimos que el proceso es de flujo

estacionario, luego: DmVC = 0, DEVC = 0 y

DSVC = 0.

ii) El proceso es reversible.

iii) Las energas cintica y potencial son

insignificantes.

iv) La turbina es adiabtica y por tanto no

hay transferencia de calor.

Puesto que slo hay una entrada y una salida se cumple que: 1 2m m m

Haciendo el balance de energa por unidad de masa en el VC, se tiene:

entrada salidae e e e s se sq w q w

UCV 18 12/07/2014

ec ep 1

sh w ec ep 2

h 1 2 ...(*)sw h h

Estado 1.- Segn la tabla A-6:

1

1

5

450

P MPa

T C

1

1

3324,2 /

6,8210 /

h kJ kg

s kJ kg K

Estado 2.- Teniendo en cuenta que el proceso es

adiabtico reversible, se tiene un proceso

isentrpico. Luego, segn la tabla A-6, y haciendo

interpolaciones, se tiene:

2

2 1

1,4P MPa

s s

2

2

6,8210 /

2967,4 /

s kJ kg K

h kJ kg

Reemplazando en (*):

3324,2 2967,4 349,8 /s sw w kJ kg

UCV 19 12/07/2014

DIAGRAMAS DE PROPIEDADES QUE INCLUYEN ENTROPA

a) Diagrama Temperatura - Entropa

El rea bajo la curva del proceso

representa la transferencia de

calor durante un proceso

internamente reversible.

Para los dispositivos de flujo

adiabtico estacionario, la

distancia vertical Dh es una

medida del trabajo y la distancia

horizontal es una medida de las

irreversibilidades

b) Diagrama Entalpa - Entropa

dA TdS2

1rea TdS Q

UCV 20 12/07/2014

Ejemplo 7.- Dado el grfico Temperatura-Entropa de un ciclo

termodinmico, se pide calcular el calor suministrado, el calor

rechazado en cada ciclo y el trabajo neto.

Rpta: 60 kJ

UCV 21 12/07/2014

Relaciones T ds

Analizando un proceso mediante la 1ra Ley de la Termodinmica en

el que el sistema es cerrado (masa fija), y en donde no ocurren

cambios en la energa cintica y potencial.

int, int, ...(*)rev revdQ dW dU

int, int,rev revdQ TdS dW PdV Donde:

; ( / )Tds du Pd kJ kg v

; ( )TdS dU PdV kJ En (*)

Ecuacin de Gibbs

Recordando que: h u P dh du Pd dP v v+ v

De Gibbs: dh Tds dP + v Tds dh dP v

Finalmente: du Pd

dsT T

v dh dP

dsT T

v v

p

du c dT

dh c dT

UCV 22 12/07/2014

Cambio de Entropa de Lquidos y Slidos

Los lquidos y slidos son sustancias aproximadamente incompresibles, por ello: dv = 0. Asimismo: cv = cp = c, luego: du = cdT

du Pdds

T T

v du cdTds ds

T T

En consecuencia: 2

22 1

11

( ) lnpromT

s s c T dT cT

Donde cprom es el valor promedio del calor especfico a lo largo de un

intervalo de temperatura dado.

En un proceso isentrpico, se cumple que:

22 1

1

ln 0promT

s s cT

2 1T T

La temperatura de una sustancia verdaderamente incompresible se

mantiene constante. Por tanto el proceso isentrpico de una sustancia

incompresible es tambin isotrmico.

UCV 23 12/07/2014

Ejemplo 8.- Determine el cambio de entropa del metano lquido cuando

se somete a un proceso desde 110 K y 1 MPa hasta 120 K y 5 MPa:

a) Utilizando las propiedades tabuladas,

b) Considerando al Metano lquido como un lquido incompresible.

UCV 24 12/07/2014

Estado 1: 1

1

1

110

P MPa

T K

1

1

4,875 /

3,471 /p

s kJ kg K

c kJ kg K

Estado 2: 1

1

5

120

P MPa

T K

2

2

5,145 /

3,486 /p

s kJ kg K

c kJ kg K

a) Utilizando los datos de la tabla:

2 1 5,145 4,875 0,270 /s s s kJ kg KD

b) Considerando al metano lquido como incompresible:

1 2 3,471 3,4863,4785 /

2 2p p

prom

c cc kJ kg K

21

120ln 3,4785 ln 0,303 /

110promT

s c kJ kg KT

D

Error involucrado en (b):

0,270 0,3030,122 12,2%

0,270

tabla aprox

tabla

s s

s

D D

D