campo gravitatorio

Tema: Campo Gravitatorio Flujo del Campo Gravitatorio

Flujo (Ô): es una magnitud que representa el numero

de lineas de campo que atraviesan una superficie.

𝜙 = 𝑔 . 𝑆 (si 𝑔 ≡ 𝑐𝑡𝑒) 𝜙 = g. S. cosθ

Donde:

𝜙 ≡ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜

𝑔 ≡ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜

𝑆 ≡ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒θ ≡ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

Respecto a 𝑆 , su modulo es el valor de la superficie, su direccion,

perpendicular a dicha superficie, y su sentido, de la parte concava a

la convexa, si la superficie es curva.

En general:

𝜙 = 𝑔 . 𝑑𝑆𝑠𝑢𝑝

, si 𝑔 no es constante

Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

Tema: Campo Gravitatorio Teorema de Gauss para el Campo Gravitatorio

“El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada que se halla en

el interior de un campo gravitatorio es funcion de la masa encerrada

en dicha superficie (denominada Gaussiana) “

Matematicamente:


= 𝑔. 𝑑𝑆. 𝑐𝑜𝑠180 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆𝑠𝑢𝑝𝑠𝑢𝑝

Al tratarse de una superficie esferica:

𝜙 = −𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑟24. π. 𝑟2

𝜙 = −4. π. 𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎


Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(I)

• Punto interior a la superficie (r < R)



= −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆𝑠𝑢𝑝

Y, puesto que no hay masa en el interior

de la gaussiana :

𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0 → 𝜙 = 0 → 𝑔 = 0

Luego: 𝑔 = 0

• Punto exterior a la superficie (r > R)





Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(II)

• Punto exterior a la superficie(r > R) (Continuacion)

Igualando:

−4. π. 𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S

4. π. 𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟2

Con lo que:

g =𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑟2→ 𝑔 = −

𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟2

𝑢𝑟

• Punto de la superficie(r =R)

Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:

𝑔 = −𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑅2𝑢𝑟


Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (I)

• Punto interior a la esfera(r < R)




𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎= 𝜌.4

3. 𝜋. 𝑟3

Luego:

−g. 4. π. 𝑟2 = −4. π. 𝐺. 𝜌.4

3. 𝜋. 𝑟3

Asi:

g = 𝐺. 𝜌.4

3. 𝜋. 𝑟 → 𝑔 = −𝐺. 𝜌.

4

3. 𝜋. 𝑟. 𝑢𝑟






Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (II)





−4. π. 𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S

4. π. 𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟2

Con lo que:

g =𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑟2→ 𝑔 = −

𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟2

𝑢𝑟

• Punto de la superficie(r =R)

Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:

𝑔 = −𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑅2𝑢𝑟


Tema: Campo Gravitatorio Variacion de g con la altura

Para puntos de la superficie terrestre situados a diferente altitud, el

valor de g no es realmente constante.

• A nivel del mar, y llamando R al radio terrestre:

𝑔0 =𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑅2

• En un punto situado a una altura h:

g =𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎(𝑅 + ℎ)2

La relacion entre ambas expresiones conduce a:

𝑔

𝑔0=

𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎(𝑅 + ℎ)2

𝐺.𝑀𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑅2

, por lo que 𝑔 = 𝑔0.𝑅2

(𝑅+ℎ)2= 𝑔0.

1

(1+ℎ

𝑅)2


Tema: Campo Gravitatorio Variacion de g con la latitud

El efecto de rotacion terrestre influye en el valor vector intensidad

del campo, de tal modo que:

𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 + 𝑎𝑐 = 𝑔0. −𝑢𝑅 + 𝜔2. 𝑟. [𝑐𝑜𝑠𝜆. (𝑢𝑅) + senλ. (𝑢⊥)]

𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0. −𝑢𝑅 + 𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. [𝑐𝑜𝑠𝜆(𝑢𝑅) + senλ(𝑢⊥)]

𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔

2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠2𝜆 . (−𝑢𝑅 ) + 𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. senλ. (𝑢⊥)

El primer sumando es mucho mayor que el

segundo, por lo que la expresion puede

expresarse como:

𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠2𝜆 . (−𝑢𝑅 )

Como puede apreciarse, 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 es funcion de la latitud


Tema: Campo Gravitatorio Satelites

Velocidad Orbital

𝐹𝐺 = 𝐹𝐶

𝐺𝑀𝑚

𝑟2=𝑚𝑣2

𝑟→ 𝑣 =

𝐺𝑀

𝑟

1/2

, siendo r el radio de la orbita, M la masa de la Tierra y m la masa

del satelite


Periodo de Revolucion

𝑣2 =𝐺𝑀

𝑟

𝑣 =2𝜋𝑟

𝜏

→4𝜋2𝑟2

𝜏2=𝐺𝑀

𝑟

𝜏 =4𝜋2𝑟3

𝐺𝑀

1/2

Tema: Campo Gravitatorio Satelites Geoestacionarios

Tambien llamados GEOSINCRONOS, son satelites situados en el plano

ecuatorial y que se desplazan con un periodo igual al de rotacion

terrestre (23h 56min 3,5s). De este modo, se mantienen siempre en la

misma vertical, a una altura caracteristica de este tipo de satelites.


Tema: Campo Gravitatorio Satelites (Energia de los)

Para un satelite sometido tan solo a la accion del campo

gravitatorio, su energia mecanica tendra un valor de:

𝐸𝑚 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 =1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟

Y, recordando que:

𝑣2 =𝐺𝑀

𝑟

Se deduce que:

𝐸𝑚 =1

2

𝐺𝑀𝑚

𝑟−𝐺𝑀𝑚

𝑟

𝐸𝑚 = −𝐺𝑀𝑚

2𝑟=−1

2𝐸𝑝


Tema: Campo Gravitatorio Satelites (velocidad de lanzamiento) (I)

Se cumple que:

𝐸𝑚 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎

𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 𝐿𝐴𝑁𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂= 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 𝑂𝑅𝐵𝐼𝑇𝐴

1

2𝑚𝑣2

𝑙𝑎𝑛𝑧 −𝐺𝑀𝑚

𝑅𝑇=1

2𝑚𝑣2

𝑜𝑟𝑏 −𝐺𝑀𝑚

𝑅

Pero, de nuevo:

𝑣2𝑜𝑟𝑏=𝐺𝑀

𝑅

Por lo que:

1

2𝑚𝑣2

𝑙𝑎𝑛𝑧 −𝐺𝑀𝑚

𝑅𝑇=1

2

𝐺𝑀𝑚

𝑅−𝐺𝑀𝑚

𝑅


Tema: Campo Gravitatorio Satelites (velocidad de lanzamiento) (II)

Asi:

1

2𝑣2𝑙𝑎𝑛𝑧

−𝐺𝑀

𝑅𝑇= −

𝐺𝑀

2𝑅

𝑣2𝑙𝑎𝑛𝑧

= 2𝐺𝑀1

𝑅𝑇−1

2𝑅

𝑣𝑙𝑎𝑛𝑧= 2𝐺𝑀1

𝑅𝑇−

1

2𝑅

1/2


Tema: Campo Gravitatorio Satelites (cambio de orbita)

Considerando unicamente el campo gravitatorio:

∆𝐸 = 𝐸𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐵 − 𝐸𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐴

∆𝐸 = −𝐺𝑀𝑚

2𝑟𝐵+𝐺𝑀𝑚

2𝑟𝐴


Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (I)

La energia de un satelite, como sabemos, viene dada por:

𝐸𝑚 = −𝐺𝑀𝑚

2𝑟=1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟


• Caso1: E(mec)=0

• Caso2: E(mec)<0 ; E(cin)>0

• Caso3: E(mec)>0 ; E(cin)>0

Analizaremos cada uno de ellos.

Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (I)


• CASO 1 𝐸𝑚= 0

El satelite escapa de la atraccion del campo gravitatorio del planeta y

por lo tanto sigue una orbita abierta. En esta situacion debe

cumplirse que, en todo momento:

𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 = 0 → 𝐸𝑘 = −𝐸𝑝

La trayectoria descrita es una orbita parabolica, y es aproximadamente

la que describen algunos cometas de periodo muy largo que visitan

nuestro sistema solar.

Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (II)


• CASO 2 𝐸𝑚< 0 ; 𝐸𝐾 > 0

Pueden darse dos situaciones, o bien orbitas

circulares u orbitas elipticas.

a) En el caso de orbitas circulares, el radio es

constante, y por tanto, tambien lo es la

velocidad orbital.

b) Para el caso de orbitas elipticas, la constancia en el valor de

la energia mecanica conduce que, a medida que el radio de la

orbita crece, la velocidad orbital disminuye.

Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (III)


• CASO 3 𝐸𝑚> 0 ; 𝐸𝐾 > 0

La energia cinetica es siempre mayor, en valor absoluto, que la

energia potencial, por lo que el satelite podria escapar de la influenca

gravitatoria. La trayectoria sera hiperbolica.

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