Download - Campo gravitatorio
Tema: Campo Gravitatorio Flujo del Campo Gravitatorio
Flujo (Γ): es una magnitud que representa el numero
de lineas de campo que atraviesan una superficie.
π = π . π (si π β‘ ππ‘π) π = g. S. cosΞΈ
Donde:
π β‘ πΉππ’ππ πππ πππππ
π β‘ πΌππ‘πππ ππππ πππ πππππ
π β‘ π£πππ‘ππ π π’ππππππππΞΈ β‘ Γ‘πππ’ππ πππ‘ππ πππ πππ π£πππ‘ππππ
Respecto a π , su modulo es el valor de la superficie, su direccion,
perpendicular a dicha superficie, y su sentido, de la parte concava a
la convexa, si la superficie es curva.
En general:
π = π . πππ π’π
, si π no es constante
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Teorema de Gauss para el Campo Gravitatorio
βEl flujo neto que atraviesa una superficie cerrada que se halla en
el interior de un campo gravitatorio es funcion de la masa encerrada
en dicha superficie (denominada Gaussiana) β
Matematicamente:
π = π . πππ π’π
= π. ππ. πππ 180 = βπ. ππ = βπ. ππ π’ππ π’π
Al tratarse de una superficie esferica:
π = βπΊ.ππππππππππ
π24. Ο. π2
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(I)
β’ Punto interior a la superficie (r < R)
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
π = π . πππ π’π
= βπ. ππ = βπ. ππ π’π
Y, puesto que no hay masa en el interior
de la gaussiana :
ππππππππππ = 0 β π = 0 β π = 0
Luego: π = 0
β’ Punto exterior a la superficie (r > R)
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
π = π . πππ π’π
= βπ. ππ = βπ. ππ π’π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(II)
β’ Punto exterior a la superficie(r > R) (Continuacion)
Igualando:
β4. Ο. πΊ.ππππππππππ = βg. S
4. Ο. πΊ.ππππππππππ = g. 4. Ο. π2
Con lo que:
g =πΊ.ππππππππππ
π2β π = β
πΊ.πππππππππππ2
π’π
β’ Punto de la superficie(r =R)
Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:
π = βπΊ.ππππππππππ
π 2π’π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (I)
β’ Punto interior a la esfera(r < R)
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
π = π . πππ π’π
= βπ. ππ = βπ. ππ π’π
ππππππππππ= π.4
3. π. π3
Luego:
βg. 4. Ο. π2 = β4. Ο. πΊ. π.4
3. π. π3
Asi:
g = πΊ. π.4
3. π. π β π = βπΊ. π.
4
3. π. π. π’π
β’ Punto exterior a la superficie (r > R)
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
π = π . πππ π’π
= βπ. ππ = βπ. ππ π’π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (II)
β’ Punto exterior a la superficie (r > R)
π = β4. Ο. πΊ.ππππππππππ
π = π . πππ π’π
= βπ. ππ = βπ. ππ π’π
β4. Ο. πΊ.ππππππππππ = βg. S
4. Ο. πΊ.ππππππππππ = g. 4. Ο. π2
Con lo que:
g =πΊ.ππππππππππ
π2β π = β
πΊ.πππππππππππ2
π’π
β’ Punto de la superficie(r =R)
Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:
π = βπΊ.ππππππππππ
π 2π’π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Variacion de g con la altura
Para puntos de la superficie terrestre situados a diferente altitud, el
valor de g no es realmente constante.
β’ A nivel del mar, y llamando R al radio terrestre:
π0 =πΊ.ππππππππππ
π 2
β’ En un punto situado a una altura h:
g =πΊ.ππππππππππ(π + β)2
La relacion entre ambas expresiones conduce a:
π
π0=
πΊ.ππππππππππ(π + β)2
πΊ.πππππππππππ 2
, por lo que π = π0.π 2
(π +β)2= π0.
1
(1+β
π )2
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Variacion de g con la latitud
El efecto de rotacion terrestre influye en el valor vector intensidad
del campo, de tal modo que:
π πππππ‘ππ£π = π0 + ππ = π0. βπ’π + π2. π. [πππ π. (π’π ) + senΞ». (π’β₯)]
π πππππ‘ππ£π = π0. βπ’π + π2. π . πππ π. [πππ π(π’π ) + senΞ»(π’β₯)]
π πππππ‘ππ£π = π0 β π
2. π . πππ 2π . (βπ’π ) + π2. π . πππ π. senΞ». (π’β₯)
El primer sumando es mucho mayor que el
segundo, por lo que la expresion puede
expresarse como:
π πππππ‘ππ£π = π0 β π2. π . πππ 2π . (βπ’π )
Como puede apreciarse, π πππππ‘ππ£π es funcion de la latitud
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites
Velocidad Orbital
πΉπΊ = πΉπΆ
πΊππ
π2=ππ£2
πβ π£ =
πΊπ
π
1/2
, siendo r el radio de la orbita, M la masa de la Tierra y m la masa
del satelite
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Periodo de Revolucion
π£2 =πΊπ
π
π£ =2ππ
π
β4π2π2
π2=πΊπ
π
π =4π2π3
πΊπ
1/2
Tema: Campo Gravitatorio Satelites Geoestacionarios
Tambien llamados GEOSINCRONOS, son satelites situados en el plano
ecuatorial y que se desplazan con un periodo igual al de rotacion
terrestre (23h 56min 3,5s). De este modo, se mantienen siempre en la
misma vertical, a una altura caracteristica de este tipo de satelites.
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (Energia de los)
Para un satelite sometido tan solo a la accion del campo
gravitatorio, su energia mecanica tendra un valor de:
πΈπ = πΈπ + πΈπ =1
2ππ£2 β
πΊππ
π
Y, recordando que:
π£2 =πΊπ
π
Se deduce que:
πΈπ =1
2
πΊππ
πβπΊππ
π
πΈπ = βπΊππ
2π=β1
2πΈπ
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (velocidad de lanzamiento) (I)
Se cumple que:
πΈπ ππππ§ππππππ‘π = πΈπ πππππ‘π
πΈπ + πΈπ πΏπ΄πππ΄ππΌπΈπππ= πΈπ + πΈπ ππ π΅πΌππ΄
1
2ππ£2
ππππ§ βπΊππ
π π=1
2ππ£2
πππ βπΊππ
π
Pero, de nuevo:
π£2πππ=πΊπ
π
Por lo que:
1
2ππ£2
ππππ§ βπΊππ
π π=1
2
πΊππ
π βπΊππ
π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (velocidad de lanzamiento) (II)
Asi:
1
2π£2ππππ§
βπΊπ
π π= β
πΊπ
2π
π£2ππππ§
= 2πΊπ1
π πβ1
2π
π£ππππ§= 2πΊπ1
π πβ
1
2π
1/2
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (cambio de orbita)
Considerando unicamente el campo gravitatorio:
βπΈ = πΈπ πππππ‘ππ΅ β πΈπ πππππ‘ππ΄
βπΈ = βπΊππ
2ππ΅+πΊππ
2ππ΄
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (I)
La energia de un satelite, como sabemos, viene dada por:
πΈπ = βπΊππ
2π=1
2ππ£2 β
πΊππ
π
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
β’ Caso1: E(mec)=0
β’ Caso2: E(mec)<0 ; E(cin)>0
β’ Caso3: E(mec)>0 ; E(cin)>0
Analizaremos cada uno de ellos.
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (I)
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
β’ CASO 1 πΈπ= 0
El satelite escapa de la atraccion del campo gravitatorio del planeta y
por lo tanto sigue una orbita abierta. En esta situacion debe
cumplirse que, en todo momento:
πΈπ + πΈπ = 0 β πΈπ = βπΈπ
La trayectoria descrita es una orbita parabolica, y es aproximadamente
la que describen algunos cometas de periodo muy largo que visitan
nuestro sistema solar.
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (II)
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
β’ CASO 2 πΈπ< 0 ; πΈπΎ > 0
Pueden darse dos situaciones, o bien orbitas
circulares u orbitas elipticas.
a) En el caso de orbitas circulares, el radio es
constante, y por tanto, tambien lo es la
velocidad orbital.
b) Para el caso de orbitas elipticas, la constancia en el valor de
la energia mecanica conduce que, a medida que el radio de la
orbita crece, la velocidad orbital disminuye.
Tema: Campo Gravitatorio Satelites (energia y orbita) (III)
Eric Calvo Lorente 2ΒΊBachillerato
β’ CASO 3 πΈπ> 0 ; πΈπΎ > 0
La energia cinetica es siempre mayor, en valor absoluto, que la
energia potencial, por lo que el satelite podria escapar de la influenca
gravitatoria. La trayectoria sera hiperbolica.
