LOGICA MATEMATICA

1. RESERVA HISTORICA:

Etimológicamente el término significa la ciencia de los logos. En efecto, el vocablo logos traduce palabra o discurso, hecho por el cual se definió a la lógica como una rama de la gramática que estudia ciertos estilos del lenguaje. En este contexto, se hace necesario la elaboración de argumentos para defender o refutar pensamientos o posturas ideológicas, se recurrió a métodos para poder evaluar o verificar la validez dichos razonamientos .En este sentido, el gran filósofo griego Aristóteles, tiene el honor de ser el primer sistematizador de los conceptos de la lógica que los condensó en célebre texto denominador Organon, en este ensayo, el filósofo trata a la lógica como un simple método de las ciencias, debido que los propósitos de la lógica se encaminaban a estudiar las estructuras del pensamiento. En concordancia con lo anterior, la lógica Aristotélica resalta la estrecha conexión entre los conceptos de categoría, definición, juicio de valor, proposición y silogismo, es decir, desarrollar la lógica proposicional, estableciendo los procedimientos para demostrar la verdad o falsedad de las proposiciones compuestas y de los silogismos en resumen; en la antigüedad, la lógica estuvo asociada al conjunto del pensamiento de las diferentes doctrinas filosóficas y religiosas.Ahora bien, el término lógica matemática fue acuñado en los años 500 A.C. por el pensador LAO-TSÉ, al llegar a una evidente conclusión: “EL TOTAL ES MAYOR QUE SUS PARTES” al referirse a la relación existente entre las partes separadas y el conjunto coordinado de esas partes.De hecho, el término lógica matemática que denota un conjunto de reglas y técnicas del razonamiento deductivo, que partiendo de simples y a veces de ingenuas afirmaciones se pueden sacar audaces conclusiones y nuevos conceptos, llegando a resultados asombrosos. Cabe de resaltar, la importancia de la lógica en la construcción del pensamiento, el hermoso y bien logrado pasaje de la novela del escritor italiano Luciano Zuccoli (1886-1829) en donde relata la auto evaluación realizada por el joven protagonista de esa historia “ no jugaba casi nunca con juguetes verdaderos, que tuviesen una forma determinada, un sentido preciso. Abandonaba los soldaditos de plomo para hacer largas batallas con las que daba mando, nombre, vida; y las piezas del dominó le servían de material para construir fortificaciones y baluartes. Se creaba su mundo a su modo”. En efecto, la lógica permite la interpretación del mundo a la manera de los grandes pensadores, que a través de aventuras hipotéticas, utopías y fantasías propias de la mente humana, explican la realidad.Retomando la evolución de la lógica, es de capital importancia los aportes del matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ quien fue el primero en formular la estrecha, conexión entre la lógica y la matemática. Además, introdujo los símbolos matemáticos para hacer representaciones proposiciones.En el sigo XIX, los avances de esta ciencia se deben a los aportes de los matemáticos GEORGE BOOLE y AUGUSTUS MORGAN. En efecto. A Boole se le debe la introducción de los operadores lógicos equivalentes a la unión, intersección y la negación con los operadores aritméticos de la adición, multiplicación y sustracción.En trabajo colaborativo.com Morgan formulan los principios del razonamiento simbólico de otro lado, a Boole se atribuyen dos hechos de importancia para el desarrollo de la lógica: El primero, la invención de las tablas de verdad para comprobar la validez de las proposiciones compuestas. El segundo, la introducción del sistema binario de la lógica, es decir, falso o verdadero, hecho que dio origen a lo que actualmente llamamos Algebra de Boole, que consiste en la aplicación de los símbolos y operaciones lógicas mediante la manipulación de dichos

símbolos con procedimientos similares a los del Algebra, se pueden sacar conclusiones a partir de las proposiciones iniciales (premisas).Años más tarde, el matemático alemán GEORG CANTOR establece la teoría de conjuntos y sus operaciones y la hace la conexión los operadores lógicos para la unión, la intersección, diferencia y complemento .En 1910, aparece la monumental obra “Principio matemático” de BERTNARD RUSSELL y ALFRED WHITEHEAD, en donde retoman los estudios anteriores y redefinen los conceptos, básicos de las aritmética en términos y conceptos de la lógica, estableciendo los fundamentos de las matemáticas puras, es decir, la lógica formal moderna y sus poderosos instrumentos para el avance de las matemáticas y las demás ciencias.

2. CONCEPTUALIZACION

La lógica ofrece métodos que enseñan como elaborar proposiciones, evaluar su valor de verdad y determinar si las conclusiones se han deducido correctamente a partir de proposiciones supuestas, llamadas premisas además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones con el fin de proporcionar tres características del razonamiento lógico: conciso, preciso y claro.La claridad y concisión, los estudiantes la consigue en la medida que familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación lógica como en su significado, lo que permite la simplificación de argumentos lógicos complicados, de esta manera los símbolos permite la concentración en lo esencial de un contexto.

3. PROPOSICIONES

Es una oración declarativa que puede tomar el valor de verdadero o falso pero no ambos a la vez. La proposición es el elemento esencial de la lógica para la matemática. En efecto, a la proposición se le puede considerar excepción lingüística que tiene la propiedad de tomar un solo valor de verdadero o falso, que sirve para la simplificación de argumentos complicados se crea un lenguaje artificial en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y no se presentan ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente.

Es importante tener en cuenta que las proposiciones son oraciones declarativas y tienen una estructura definida así un sujeto bien definido, un predicado y una conjugación de un verbo. El simple sustantivo o sujeto no configura una proposición.Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p,q,r,s,t,…x,y,z. las cuales reciben el nombre de letra o variables proposicionales, de esta manera, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje cotidiano.

Ejemplos:P: La luna es un satélite natural de la tierra.q. El dos es un número primo.r: 4+3 = 7s: 32 + 42 = 52

t: New York es llamada la capital del mundoExisten enunciados que no son proposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad por ejemplo:p: ¿Qué hora es?q: ¡Millonarios será el próximo campeón!r: Mañana lloverát : ojalá que pase el examen de matemáticasw : x+7 = 18

3. Clases de proposicionesLas proposiciones se pueden clasificar en proposiciones simples y compuestas.

Proposiciones simples Son aquellas oraciones que carecen de conectivos lógicos. Ejemplos:P: La lluvia es un fenómeno naturalq: 5 es el inverso aditivo de -5r : Bolivia no tiene costas marítimas

Proposiciones compuestasSon aquellas proposiciones se forman al combinar proposiciones simples con los conectivos lógicos o términos de enlaces.

Ejemplosp: Estadioq: Apruebo el semestrep → q: si estudio entonces apruebo el semestre: un triángulo es equiláterot : un triángulo que tiene los tres lados iguales.S↔ t: un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus tres lados igualesp: Gloria cantaq: Luisa es estudiante.

p¿ : Gloria canta y Luisa es estudiante.CUANTIFICADORES

Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. 

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente: 

que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos” 

Mientras que 

se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos” 

El símbolo  (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo   (existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial. 

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad. 

Los cuantificadores más utilizados son entonces: 

CUANTIFICADOR UNIVERSAL  (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL   (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

4. CONECTIVOS LOGICOSSon términos que sirven para enlazar proposiciones simples, estos son: la conjunción, disyunciones, la negación el condicional, bicondicional.Conectivo Símbolo Lectura EjemploConjunción ¿ y Leidy baila y canta

Disyunción inclusiva ¿ ó Juan estudia ingeniería ó Patricia estudia medicina

Disyunción excluyente

¿__ .ó. Fabián vive en Neiva .ó. Bogotá

Negación ¬¿ ¿ No 5 no es un número parCondicional → Si,…,

entonces,Si trabajo entonces estudiar

Bicondicional ↔ Si… solo…

Si dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida.

5. TABLA DE VERDAD PARA LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS

LA CONJUCIÓN (¿ )

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p ¿ q se denomina conjunción. Ejemplo 1:La proposición compuesta: 5 es un número impar y es un entero positivoEsta formada por:p: 5 es un número imparq: entero positivo¿ : Conjunción

Para determinar la tabla de verdad, para la conjunción. Analizaremos la siguiente proposición.p: 8 es un número par (v)q: 5 es un número primo (v)

p ¿ q: verdadero

p: 8 no es un número par (f)q: 5 es un número primo (v)

p ¿ q: falso

p: 8 es un número par (v)q: 5 no es un número primo (f)

p ¿ q: falso

p: 8 no es un número par (f)q: 5 no es un número primo (f)

p ¿ q: falso

Conclusión: La conjunción es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas, en los demás casos es falsa.

p q p¿ qv v Vv f Ff v Ff f F

5.2 LA DISYUNCION (¿ )Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p o q, simbolizada

por p ¿ q se llama disyunción.

El operador “o” se puede usar como “o incluyente” o como “o excluyente” . En el primer caso hace que el valor de verdad de una de las proposiciones simple repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva, mientras que el segundo caso (o excluyente) el valor de verdad de una de la proposición, excluye la veracidad de la otra.La tabla de verdad de la “o inclusiva” o “exclusiva” se puede resumir

P q p v que p q p v qV v V v v f

V v V v f vF v V f v vF f F f f f

LA NEGACION

Sea p, una proposición simple, se define la negación mediante la proposición compuesta no p, simbolizada por ۸ p.Su tabla de verdad se puede resumir así:

p qV FF V

Una proposición simple, se puede negar de varias maneras.EjemplosNegar las siguientes proposiciones:

1. Sea p: el 7 es un número primo

Solución۸ p: no es cierto que el 7 sea un número primo۸ p: el 7 es un número compuesto

2. Sea que: 72=49

Solución ۸ q: No es cierto que 72 = 49۸ q: 72 ≠49

3. Sea r: todos los peces viven bajo el agua

Solución۸ r: algunos peces no viven bajo el agua

4. Sea s: Algunas plantas son medicinales

Solución۸ s: ninguna planta es medicinal

USO INADECUADO DE LA DOBLE NEGACION

Es frecuente en la vida diaria utilizar la negación dos o mas veces, hecho que genera, en algunos casos confusiones.En efecto, se presentan ambigüedades, cuando se pronuncian frases como estas:

Nunca digas un nunca Yo no miento nunca No estoy dentro

Así por ejemplo, en la frase yo no miento nunca, se está utilizando dos veces la negación: cuando se dice no y cuando se dice un nunca. En matemáticas, cuando se usa dos veces la negación, estas funcionan como los signos negativos, es decir, se eliminan mutuamente. En la frase “no es cierto que no fui al cine”, lo que está diciendo es que si fui al cine.

Cabe advertir, que se debe tener mucho cuidado cuando se utilizan expresiones como doble negación.

EJERCICIO

Negar las siguientes proposiciones.

1. Diana es modista2. 12 es un número par3. estas dos rectas son paralelas4. todos los hombres son mortales5. algunos deportistas son ciclistas6. ningún loro vive en el polo norte

Solución

1. Diana no es modista2. No es cierto que 12 sea un número par… 12 es un número impar3. Estas rectas no son paralelas; estas rectas son concurrentes.4. Algunos hombres son inmortales5. ningún deportista es ciclista6. algunos loros no viven en el polo norte

EL CONDICIONAL O IMPLICACION

Se dice que una proposición compuesta por el condicional, si está formada por dos proposiciones simples entrelazadas por la expresión: si…., entonces,…

La mayoría de las proposiciones matemáticas o teoremas tienen esta estructuraP q

↓ ↓Antecedente consecuente

↓ ↓Hipótesis conclusión

Se puede de enunciar de varias formas

p entonces q p solo si q que si p p es suficiente para q q es necesaria para p

Analicemos el valor de verdad para el condicional

1. Sean p y q verdaderasp→q Es verdaderaSi se parte de una hipótesis falsa y nuestro razonamiento ha sido correcto nos conduce a una conclusión verdadera, por lo tanto, la implicación es verdadera.

2. Si p es verdadera y que es falsa:

p→q es falsa

Si la hipótesis es verdadera, nos conduce a una conclusión falsa, es porque hemos cometido un error en el razonamiento y finalmente el condicional es falso.

3. Si p es falsa y que es verdadera

Si se parte de una hipótesis falsa y razonando correctamente, podemos llegar a una conclusión verdadera. En caso, el condicional es verdadero.

4. si p y q son falsas

p→q es verdaderoSi partimos de una hipótesis falsa y razonando correctamente podemos llegar a una conclusión falsa. Por tanto, el condicional es verdadero.

p q p→qV V vV F FF V FF F F

CONDICION NECESARIAS O SUFICIENTESAnalice las siguientes implicaciones:

1. P: Manuel Elkin Patarroyo es tolimense

q: Manuel Elkin Patarroyo es colombianoP Q: Manuel Elkin Patarroyo es tolimense entonces es colombiano.

En este caso, basta que Manuel Elkin Patarroyo sea tolimense para ser colombiano.Es decir P es una condición suficiente para q. En cambio. Es necesario que Manuel Elkin sea colombiano para ser tolimense; es decir, q es una condición necesaria para p.

2. P: Existe fuegoQ: Hay presencia de oxigeno

P Q : Si existe fuego entonces hay presencia de oxigeno.En este caso, es suficiente que haya fuego para comprobar la presencia de oxigeno: P es suficiente para q. En cambio, es necesario que exista la presencia de oxigeno para que se produzca el fuego: q es necesaria para p.

3. P: El papa sale del cuerpo cardenalicioQue: El cardenal Castrillón puede ser papa

P q: Si el papa sale del colegio cardenalicio entonces el cardenal Castrillón puede ser papa.

Es decir, que es suficiente ser cardenal para ser papa: p es suficiente para q.En cambio, es necesario ser cardenal para ser papa: q es necesario para p.

LA RECÍPROCA Y LA CONTRARRECÍPROCA

A partir de la implicación o condicional p q se puede obtener otros dos condicionales fundamentales cuando se trabaja los teoremas. Estas dos condicionales son:

1. La reciproca de p→q es q →P2. La contrarrecíproca de p→q es q→ p

Ejemplo 1:Si 3 es un número impar entonces (3)2 es imparHallar la reciproca y su valor de verdad

Reciproca: si (3)2 es impar, entonces 3 es impar.El valor verdadero de éste condicional q es verdadero y p es verdadero, en el condicional es verdadero.

Contra recíproca: si (3)2 no es impar, entonces 3 no es impar.El valor de verdad de este condicional es q es falso y p es falso y el condicional es verdadero.

EL BICONDICIONAL

Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples p y que conectada con la expresión: “si y solo si”, simbólicamente lo podemos

expresar, así: p⇐q

Esta proposición está formada por las implicaciones p→q y q→ p , las cuales deben de tener el mismo valor de verdad, para formar la equivalencia entre p y q; en consecuencia se dice que p es equivalente a q y se acostumbra a escribir p↔q .Esta equivalencia entre p y q, tiene más de una traducción que significan lo mismo:

p si y solo q si p entonces q recíprocamenteq si y solo p si q entonces p recíprocamente

TABLAS DE VERDAD PARA EQUIVALENCIA

p q p⇔q

V V V

V F F

F V F

F F V

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

En la construcción de tablas de verdad debemos tener los siguientes hechos:

1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay proposiciones, el

número de combinaciones será 2n

2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo:

Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán 23=8 ; por lo tanto

para primera proposición serán 4 verdaderas y 2 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas; para la tercera: una verdadera y la otra falsa.

3. Si la última casilla o columna son todas verdaderas, se dice que la proposición es una tautología.

Ejemplos:

1. Construir la tabla de verdad para:

p→q ⇔ (¬ q →¬ p )

p q ¬ p ¬ q p→q ¬ p→ ¬ q p→q⇔ (¬ p→ ¬ q )V V F F V V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V V

q r s ¬ q ¬ r r∧s (r∧s )→q s∧¬ q s∧¬ q →r A⇔B

V V V F F V V F V V

V V F F F F V F V V

V F V F V F V F V V

V F F F V F V F V V

F V V V F V F V F V

F V F V F F V F V V

F F V V V F V V V V

F F F V V F V F V V

2. CONSTRUIR LA TABLA DE VERDAD APROPIADA PARA DEMOSTRAR O REFUTAR

P q r ¬ q ¬ r q∧r p→ (q∧r ) p∧¬ r p∧¬ r →q A=B

V V V F F V V F V V

V V F F V F F V F V

V F V V F V V F V V

V F V V F V V F V V

V F F V V V V V V V

F V V F F V V F V V

F V F F V F V F V V

F F V V F V V F V V

F F F V V V V F V V

OBSERVACIONES:

En la última columna de una tabla de verdad pueden suceder 3 casos:

1. Si todos los valores son VERDADEROS, se dice que la proposición es TAUTOLOGÍA.

2. Si todos los valores son FALSOS, se dice que la proposición es una CONTRADICCION.

3. Si aparecen valores de verdaderos y falsos, se dice que la proposición es una INDETERMINACION.

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Las siguientes son las leyes de la lógica de proposiciones.

1. IDEMPOTENCIA

P∨P⇔P

P∧P⇔P

2. CONMUTATIVA

p∧q⇔q∧p

p∨q⇔q∨p3. ASOCIATIVA

( p∨q )∨r⇔ p∨(q∨r )

( p∧q )∧r⇔ p∧(q∧r )4. DISTRIBUTIVA

( p∧q )∨r⇔ (p∨r )∧ (q∨r )

( p∨q )∧r⇔ (p∧r )∨ (q∧r )

5. IDENTIDAD

p∨0⇔ p p∨1⇔1

p∧0⇔0 p∨1⇔ p

6. COMPLEMENTO

p∨¬ p⇔1 p∧¬ p⇔0

¬(¬p ) ⇔ p ¬1⇔0 , ¬0⇔1

7. LEYESE DE MORGAN

¬(p∧q )⇔¬ p∨¬q

¬(p∨q )⇔¬ p∧¬q11-LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,

p Λ q sí y sólo sí q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”p V q sí y sólo sí q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»1- Identidad: esta ley permite hacer equivalencia entre dos proposiciones de un mismo argumento.

12- LEYES DE MORGAN (DM)Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

p Λ q p V q¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q)

Ejemplo 1:

Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:

(pq)p(pp)(qp) Ley Distributiva

F(qp) Ley de Complementación

(qp) Ley de Identidad

Ejemplo 2:

Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:

(pq) (qp) (pq) (qp) Ley de Morgan

(pq) (pq) Ley de Conmutativa

p(qq) Ley Distributiva

pF Ley de Complementación

p Ley de Identidad

Ejemplo 3:

Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:

p ( p q) (pF) (pq) Ley de Identidad

p(Fq) Ley de Distributiva

pF Ley de Identidad

p Ley de Identidad

Ejemplo 4:

Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:

p ( p q) (pV) (pq) Ley de Identidad

p(Vq) Ley de Distributiva

pV Ley de Identidad

p Ley de Identidad

Estas leyes son formuladas por pares de debido a la naturaleza dual del Algebra de proposiciones.2.- Ley de idempotencia p v p ≡ p2.1 -Manuel es un catedrático en la universidad nacional de Chiclayo o Manuel es un docente en la universidad Pedro Ruiz Gallo.

2.2.-Estados Unidos es un país altamente poderoso sobre nivel de los países marginales o Estados Unidos es un país con hegemonía sobre los países tercer mundistas.4.- Leyes asociativas

4.1. ( p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r )

-Manuel es comunicador no obstante estudia computación. Aunque también trabaja en la noche.

-Manuel es comunicador. No obstante estudia computación aunque también trabaja en la noche.

4.2. (p v q) v r ≡ p v (q v r)

-José estudia marketing en las mañanas a menos que estudie publicidad en las

mañanas o a no ser que trabaje por las mañanas.

5.- Leyes distributivas.

5.1. p → (q v r ) ≡ (p → q ) v (p → r)

-Si Julio es un comunicador entonces puede ser un publicista o un periodista.

-Si Julio es comunicador entonces se dedica a la publicidad o si Julio es comunicador entonces se dedica al periodismo.

5.2. p → (q v r ) ≡ (p → q ) v (p → r)

- Si Pedro es médico entonces es un medico cirujano o un medico pediatra.

- Si Pedro es médico entonces se dedica a la cirugía o si Pedro es medico entonces se dedica a la pediatría

ARGUMENTOS LOGICOS

Un argumento lógico es un razonamiento que parte de una serie de enunciados llamados premisas se puede llegar a un resultado llamado CONCLUSION.

Se dice que el argumento es válido si se asumen de todas las premisas son verdaderas por lo tanto la conclusión también es verdadera. Si un razonamiento no es válido se dice que es un sofisma o falencia.

EJEMPLOS

Verificar la validez de los siguientes argumentos.

1.

{p1 : p→q ¿ {p2 r→¬q ¿¿¿¿Para demostrar la validez de un argumento debemos a partir del hecho que tenemos

las proposiciones p1∧p2∧…∧pn y tratar de llegar a la conclusión de la

lógica.

Los cuatro ejemplos que se dan a continuación corresponden a preguntas de este tipo. La explicación de sus respuestas indica la alternativa correcta para cada pregunta y el razonamiento que muestra la falsedad de las demás opciones.

DEMOSTRACION

p1: p→qp2:r→qp3: q→ r (recíproca de p2)q: p→ r (silogismo de p1 y p3)

1. Demuestre la validez del siguiente argumento

P1: p→qP2: q V rq: p→r

Demostración

P1: p→qP2: q V rP3: q→ r (ley de la implicación)q: p→ r (ley del silogismo)

2. Demostrar que (p V q) ۸ (p V q) ⇔q

Demostración( q V p) ۸ (q V p) ley conmutativaq V (p ۸ p) ley distributivaq V O ley de complemento q ley de identidad

Ejemplo 4Demostrar: (p V q) ۸ (q V r) ۸ (q V r) ⇔p ۸ q

Demostración

(p V q) ۸ (q V r) ۸ (q V r) premisas(p V q) ۸ [q V (r ۸ r] ley distributiva (p V q) ۸ [q V o] ley complemento(p V q) ۸ q ley identidad(p ۸ q) V (q ۸ q) ley distributiva(P ۸ q) V 0 ley complementop ۸ q ley identidad

Ejemplo 5

Demostrar: [(p ۸ q ۸ r) V (p ۸ q ۸ r)] ⇔ p V r

Demostración[(p ۸ q ۸ r) V (p ۸ q ۸ r)] Ley premisa[(p ۸ r ۸ q) V (p ۸ r ۸ q)] Ley conmutativa [(p ۸ r) V (q V q)] ley distributiva [(p ۸ q ) V 1] Ley complemento[p ۸ r] Ley identidadp V r Ley de Morgan

EQUIVALENCIA LOGICA

Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor de verdad en cada modelo.La equivalencia lógica de p y q a veces se denota  o bien . Sin embargo, estos símbolos son también utilizados para denotar el bicondicional. La interpretación propia depende del contexto, y aunque ambos conceptos están fuertemente relacionados, la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. Se tiene así que la afirmación «p si y sólo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito con símbolos lógicos:.Ejemplos

Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:

1. Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, ).2. Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos,

).

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de la regla de contraposición. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en exactamente los mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.

Se tienen las siguientes relaciones; utilizando cuantificadores y conectivas lógicas:

Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).

Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

EJEMPLOS 1/2 = 2/42/3 = 4/6

mira esto hasta lo puedes hacer tu misma, elo caso es este te explicare...

una fraccion indica en cuantas partes se divide un entero un numero entero, el numero de arriba indica el numero de partes que se cuentan mientrsas que el numero de abajo el numero de partes en que se divide una unidad

por ejemplo 1/2 nos dice que es la mitadsi quieres puedes leerlo tambien como 1 de 2 imagina que partes una manzana en 2 pedazos tomas 1 de 2 o sea la mitad que es lo mismo que 1/2

si la divides en 4 pedazos y tomas uno, tienes 1/4 o uno de cuatro

si tomas 2 pedazos tienes 2/4 o dos de cuatroque es lo mismo que la mitad (1/2)

en terminos matemáticos 2/4 para hacerlo equivalente lo divides en un numero igual en este caso elijo 2:2 entre 2 = 14 entre 2 = 2

y ahi tienes la fraccion equivalente 1/2

pero tiene que ser numeros iguales

o multiplicarlo por numeros iguales

así por ejemplo tienes 2/3

multiplica por ejemplo2 * 3 = 63 * 3 = 9

la fraccion equivalente que tienes es 6/9 (seis novenos )así hazle pon numeros a lo menso y multiplicalos o dividelos por numeros iguales y tienes las fracciones equivalentes:te ayudo con unas7/8 = 14/165/5 = 116/3 = 32/65/4 = 10/818/9=1/23/6 =9/189/8 = 27/243/5= 6/10