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Eduard Gilberto Puerto C.Estudiante X Semestre Ing. Sistemas

eduardpuerto@yahoo.comUniversidad Francisco de Paula Santander

RESUMEN

En el presente artículo se describe un evaluador desatisfactibilidad para el chequeo de la subsumición enun lenguaje de atributos de conceptos (AttributeLanguage Concept, ALC). Los lenguajes de conceptosbasados en las lógicas descriptivas (Description Logics,DLs) ofrecen servicios de razonamiento que permitenhacer clasificación y recuperación de la informacióndentro de la base de conocimiento. Los procesos derazonamiento de subsumición y de satisfactibilidad sonequivalentes y se especifican por medio del Cálculode Predicados de Primer Orden (First Order PredicateCalculus, FOPC) y el cálculo Tableaux. FOPC permiteasociar cada expresión C de conceptos a una fórmulaf c(x) de la lógica de predicados, de tal forma que unmodelo de una fórmula f c(x) es un modelo delconcepto C y viceversa. El cálculo Tableaux de primerorden siempre termina para las fórmulas asociadas aconceptos en el FOPC. El cálculo de terminaciónplanteado permite una interpretación si la fórmula essatisfactible o se produce una contradicción si lafórmula es insatisfactible. Se plantea un algoritmo enseudocódigo para el chequeo de la subsumición.

1. INTRODUCCION

Un área de estudio de la Inteligencia Artificial de granactualidad por su aplicación es la sistematización delconocimiento. Para realizar esta tarea se requierenmétodos que permitan representar el conocimientojunto con procedimientos efectivos y eficientes pararecuperar e inferir conocimiento. Esta tarea se realizapor medio de los sistemas de representación deconocimiento (Knowledge Representation Systems,KRSs) mediante el uso de los lenguajes terminológicoso lenguajes de conceptos basados en DLs. Uno de losmecanismos básicos de la representación yprocesamiento del conocimiento humano es la división

del mundo en clases o conceptos los cuales usualmenteestán dotados de una jerarquía estructural.

Los lenguajes de conceptos son un medio para expresarconocimiento taxonómico, se conciben comosublenguajes de la lógica de predicados de primerorden con la semántica declarativa de Tarski, ypermiten representar conocimiento de un dominoconcreto por medio de conceptos y roles, donde losconceptos son descripciones de clases de individuos ylos roles modelan relaciones entre las clases (Buchheit,et al, 1993). Partiendo de conceptos atómicos y rolesatómicos (que sólo son descritos por su nombre) alcombinarlos se pueden construir expresiones deconceptos utilizando constructores que correspondena operadores lógicos y a cuantificadores. Los diferenteslenguajes de conceptos son distinguibles por losconstructores que ellos proveen. Los sistemas derepresentación de conocimiento ofrecen servicios derazonamiento que permiten inferir, ordenar, gestionar,modificar o recuperar información dentro de las basesde conocimiento y obtener respuesta a cuestiones como:

� Dado un concepto, ¿es éste satisfactible?� Determinar la relación de subsumición entre

conceptos.� Dentro de la jerarquía de conceptos, ¿dónde se

ubica un concepto determinado?� ¿Qué hechos se deducen del conocimiento dado?� ¿Es consistente el conocimiento?� ¿Qué individuos son instancias de un concepto dado?� ¿De qué conceptos un individuo es instancia?

El presente artículo está organizado así: En la sección2 se presenta la sintaxis y la semántica de ALC y unarelación de equivalencia entre la subsumición y lasatisfactibilidad. En la sección 3 se plantea un cálculopara el chequeo de la satisfactibilidad. En la sección4 se da una descripción de los objetos que se requierenpara modelar la especificación referente al problemade satisfactibilidad. En la sección 5 se plantea unalgoritmo que da solución al problema de lasatisfactibilidad de una expresión de conceptos.

UN ALGORITMO EN SEUDOCODIGO PARA EL CHEQUEODE LA SUBSUMICION EN ALC

UN ALGORITMO EN SEUDOCODIGO PARA EL CHEQUEODE LA SUBSUMICION EN ALC

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2 ALC

Una característica fundamental de las DLs es que ellassoportan la composición de descripcionesestructuradas de conceptos con las cuales se puederazonar (Woods y Schmolze, 1992). La inferencia esposible con base en la especificación formal de lasintaxis y la semántica del lenguaje de descripción deconceptos. A continuación se describe la sintaxis y lasemántica de ALC (Schmidt y Smolka, 1991).

La terminología ALC está basada en tres alfabetos desímbolos llamados nombres de conceptos, nombresde roles y nombres de individuos. Una terminología obase de conocimiento terminológico consta de unnúmero finito de axiomas los cuales permiten introducirconceptos por medio de definiciones o de inclusiones.La terminología ALC está determinada por lassiguientes reglas de formación:

� Axiomas de la forma CN = C | CN m C, y� Las expresiones de conceptos de la forma:

CN | C * D | C + D | ØC | P.C | $ P.C dondeCN es un nombre de concepto, C y D sonexpresiones de conceptos y P es un nombre de rol.

Los conceptos son interpretados como subconjuntosde un dominio y los roles son interpretados comorelaciones binarias sobre un dominio (Lizcano y Ojeda,2002). Una interpretaciónI = (DI, I ) consta de unconjunto no vacío DI llamado el dominio de I y unafunciónI

(la función interpretación de I ) que asignacada concepto a un subconjunto de DI, cada rol a unsubconjunto de DI x DI, y además se satisfacen lasecuaciones de la tabla 1.

(C * D)I = CI Ç DI

(C + D)I = CI È DI

(¬C)I = DI - CI

($ P.C)I = {d Î DI | $ e Î DI, con (d , e) Î PI y e Î CI}( P.C)I = {d Î DI | e Î DI , si (d , e) Î PI entoncese Î CI}

Tabla 1. Interpretación de conceptos

La interpretación de una expresión de un concepto esderivada de las interpretaciones de sus componentes.En cada interpretación I, diferentes individuos denotandiferentes elementos del dominio DI, es decir, paracada par de individuos a y b, si a es diferente de bentonces aI ¹ bI. Esta propiedad corresponde alpostulado de nombre único.

Una interpretación I es un modelo para un conceptoC si CI es no vacío. Un concepto es satisfactible sitiene un modelo, en otro caso se dice que no essatisfactible. Dados los conceptos C y D, se dice queC es subsumido por D (lo notamos C m D) si CI Í DI

para cada interpretación I. Finalmente se dice que C esequivalente a D si CI = DI para cada interpretación I.

La siguiente proposición describe la equivalencia entrela subsumición y la satisfactibilidad (Nutt,1993).

Proposición 2.1 Sean C y D conceptos entonces:

1. C es subsumido por D, si y sólo si, C* ¬D no essatisfactible.

2. C es satisfactible, si y sólo si, C no es subsumidopor ^ .

Luego la satisfactibilidad y la subsumición pueden serreducidas en un tiempo lineal la una en la otra. Portanto los dos problemas son de igual complejidad ybasta con decidir sobre uno de ellos.

3 UN CALCULO PARA EL CHEQUEO DE LASATISFACTIBILIDAD

Con base en lo anterior, la evaluación de lasubsumición entre conceptos puede ser tratada comoel chequeo de satisfactibilidad de conceptos. Estoúltimo está influenciado por el cálculo de terminacióno el cálculo Tableaux para FOPC (Mac Gregor,1999).

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Figura 1. Arquitectura del cálculo de satisfactibilidadde una expresión de conceptos

La técnica del cálculo básicamente consiste en aplicarel cálculo Tableaux con alguna estrategia de control alas fórmulas obtenidas de los conceptos, y está descritacomo reglas que operan sobre aseveracionescorrespondientes a las fórmulas de la lógica depredicados asociados a conceptos. El control esincorporado dentro de las condiciones que permitenaplicar las reglas.

El cálculo Tableaux es un cálculo basado en las reglasde expansión de los constructores del lenguaje paraprobar la insatisfactibilidad de fórmulas del FOPC(Lizcano,2002). De una fórmula f , se dice que esinsatisfactible si al descomponer paso a paso f conlas reglas de expansión se tiene una contradicción entodos los caminos, en otro caso es satisfactible, esdecir, hay un conjunto terminal que es un modelo.

La estructura de datos fundamental para el cálculoson las aseveraciones. Las reglas se aplican a conjuntosde aseveraciones que son entendidos comoconjunciones de sus elementos. Para determinar lasatisfactibilidad de un concepto C, se parte de unconjunto de aseveraciones S, cada derivación terminadespués de un número finito de pasos (Smullyan,1968).

Si todos los conjuntos terminales de aseveracionescontienen una contradicción, entonces C no essatisfactible. En otro caso se concluye que C essatisfactible ya que existe al menos un conjunto terminallibre de contradicción , el cual describe un modelo de

C. El cálculo asume que las expresiones de conceptosestán en forma normal negativa, es decir, que lasnegaciones sólo se aplican a nombres de conceptos yno a términos compuestos.

En el FOPC se expresan los conceptos atómicos comopredicados unarios y los roles como predicadosbinarios. Esta identificación puede ser extendidaasociando cada expresión C de conceptos a unafórmula f c(x) de la lógica de predicados, con x variablelibre. Un modelo de una fórmula f c(x) es un modelodel concepto C y viceversa. En particular, C no essatisfactible, si y sólo si, f c(x) no es satisfactible.

El cálculo Tableaux de primer orden siempre terminapara las fórmulas asociadas a conceptos en el FOPCy genera un modelo si la fórmula es satisfactible ouna contradicción si la fórmula es insatisfactible. Conbase a lo anterior se puede diseñar un chequeador desatisfactibilidad que consta de dos componentes: unevaluador de refutación de teoremas y unprocedimiento que genera todas las interpretacionesfinitas y evalúa cuales de ellas son un modelo (Lizcano,2001). Si ambos procesos comienzan con la entradaf c(x) y se ejecutan en paralelo el probador de teoremasencontrará que la fórmula es insatisfactible, si ésta loes, y el evaluador de interpretación exhibirá un modelode la fórmula, si ésta lo tiene. El cálculo Tableauxcombina las características de ambos procesos.

El cálculo para el chequeo de la satisfactibilidad partede un sistema de aseveraciones S = {x : C} y sedesarrolla en sucesivos pasos aplicando un conjuntode reglas de expansión que corresponden a losconstructores del lenguaje. El proceso termina cuandoninguna de las reglas se puede aplicar o se presenteuna contradicción. El cálculo se basa en un conjuntode reglas que son equivalentes a las reglas del cálculoTableaux (Horrocks,1997).

regla-*: Si 1. x : C1 * C2 Î S2. { x : C1, x : C2 } Ë SEntonces S ® S È { x : C1 , x : C2 }

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aplicar el algoritmo de Tableaux para evaluar lasatisfactibilidad de una expresión de conceptos.

Atributos:Cod_Exp: Establece el código de la expresión que esun valor consecutivo.

Expresion: Expresión de conceptos generados al aplicarlas reglas de expansión.

Tipo_Const: Constructor lógico que caracteriza laexpresión de conceptos en cuestión.

Cod_Ind: Determina el código del individuo en que seinstancia la expresión de conceptos.

Cod_Exp_Prec: Es el código de la expresión del cualha sido generada la expresión en cuestión.

Estado: Identifica expresiones de conceptos a las cualesse le ha aplicado una regla de expansión.

Camino: Define una trayectoria para las expresionesde conceptos que han sido derivadas.

Operaciones:

Crear( ): Crea un nuevo registro a partir de unaexpresión de conceptos.

Chequear( ): Verifica si la expresión de conceptos delregistro en cuestión es la negación de alguna expresiónde conceptos de los registros anteriores.

Expandir( ): Ejecuta la operación de expansióndeterminada por la operación Estrategia( ).

Estrategia( ): Determina la regla a aplicar de lasexpresiones de conceptos factibles a expandir.

regla-+: Si 1. x : C1 + C2 Î S2. { x : C1 , x : C2 } Ç S = FEntonces a. Guardar Sb. Hacer S ® S È { x : C1 } si se llegaa una contradicción restaurar S, yc. Hacer S ® S È { x : C2 }

regla-$: Si 1. x : $ P.C Î S2. Si no existe variable alguna y talque x P y en S y además y : C Ï S.Entonces crear una variable y, luegohacer S ® S È { x P y, y : C }

regla- : Si 1. x : P.C Î S2. Si existe alguna variable y tal quex P y en S yademás y : C Ï S.Entonces hacer S ® S È { y : C }

Figura 2. Reglas de expansión del Tableaux para ALC.

Una contradicción para una variable x y un conceptoC se tiene, cuando uno de estos dos hechos se da enel sistema de aseveraciones:

� { x : C, x : ØC }.

4 MODELADO DE OBJETOS PARA EL CALCULO DELA SATISFACTIBILIDAD DE UNA EXPRESION DECONCEPTOS

En un análisis del proceso de chequeo para lasubsumición se ha hecho la abstracción de lossiguientes tres objetos que permiten modelar elcomportamiento del sistema. ALMACEN, que es laagregación de INDIVIDUO y EXPRESION, y por lacual se determina una taxonomía en una base deconocimiento.

A continuación se da una descripción de estos objetos.

ALMACEN. Es la clase que contiene los datos alusivosa la expresión de conceptos y otros que resultan de

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Figura 3. Diagrama de clases

4.1 SEUDOCODIGO DE LAS OPERACIONES

CREAR( )Entradas: Expresion, Cod_Exp_Original, Cod_Ind,Camino.Salidas: Ninguna

Tipo = Analizar(Expresion)Estado = DefinirEstado(Tipo)IF(Almacen = Nil) THENCREAR PRIMER REGISTRO

Cod_Exp = 1Expresion = ExpresiónTipo_Const = TipoCod_Ind = 1Cod_Exp_Prec = 0Estado = EstadoCamino = Camino

ELSECREAR REGISTRO

Cod_Exp = MaxCod_Exp+1

Expresion = ExpresiónTipo_Const = TipoCod_Ind = Cod_IndCod_Exp_Prec = Cod_Exp_OriginalEstado = EstadoCamino = Camino

FIN ELSEFIN IFFIN CREAR

DefinirEstado()Entrada: TipoSalida: Entero

IF(Tipo = 0 | Tipo = 1) THENRETURN 1ELSERETURN 0FIN IFFIN DefinirEstado

Analizar()Entrada: ExpresionSalida: Entero

Ultimo Caracter de Exp.InfijoCASE 0: Concepto atómicoCASE 1: Concepto atómico negadoCASE 2: AplicarRegla-*CASE 3: AplicarRegla-+CASE 4: AplicarRegla-$CASE 5: AplicarRegla- FIN Analizar

ESTRATEGIA( )Entrada: ningunaSalida: Entero // Si es cero no hay regla a aplicar y sies mayor que cero encontró una regla a aplicar en unregistro en Cod_Exp.

WHILE(EOF != Nil & Estado = 0 & Tipo_Cons =2)RETURN Cod_Exp FIN WHILE

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WHILE(EOF != Nil & Estado = 0 & Tipo_Cons =3)DO

i = i+1 // Actualizar el indiceCEND[i] = Cod_Exp_ActualRETURN Cod_Exp

FIN WHILEWHILE(EOF != Nil & Estado = 0 & Tipo_Cons =4)RETURN Cod_Exp FIN WHILEWHILE(EOF != Nil & Estado = 0 & Tipo_Cons =5)RETURN Cod_Exp FIN WHILEFIN ESTRATEGIA

EXPANDIR()Entrada: Cod_Exp_ActualSalida: Expresión o Expresiones

READ Expresion, Tipo_Const, Cod_Ind, Camino.Estado = 1 // cambiar el valor del campoEstado de cero a unoIF(Tipo_Const = 3) THENCamino = Camino + .1 // Camino esalfanumérico.AplicarRegla(Expresion, Cod_Exp.Actual,3,Camino)FIN IFIF(Tipo_Const = 4 | 5) THENAplicarRegla(Expresion, Cod_Exp.Actual,Tipo_Const, Camino)ELSE AplicarRegla(Expresion, Cod_Exp.Actual,2,Camino)FIN IF

FIN EXPANDIR

AplicarRegla()Entrada: Expresion, Cod_Exp, Entero, CaminoSalida: Ninguna

READ Cod_Exp & Cod_Ind

CASE 2:N1 = Primera parte Exp.InfijaN2 = Segunda parte Exp_Infija

Crear(N1, Cod_Exp, Cod_Ind, Camino )Crear(N2, Cod_Exp, Cod_Ind, Camino )CASE 3:N1 = Primera parte Exp.InfijaCrear(N1, Cod_Exp, Cod_Ind, Camino )CASE 4:C = Concepto de Exp.InfijaREAD Reg.Cod_Ind == Mayor.Cod_IndCod_Ind = Reg.Cod_Ind +1Crear(C, Cod_Exp, Cod_Ind, Camino )CASE 5:C = Concepto de Exp.InfijaCrear(C, Cod_Exp, Cod_Ind, Camino )FIN AplicarRegla

CHEQUEAR()Entrada: UltimoRegistroSalida: Contradicción o no-contradicción

READ Cod_Exp // leer el codigo de expresión delultimo registroContradicción = no // iniciar con no contradicciónMarca = IzquierdaREAD Expresión & CaminoGOTO Registro inicial de Almacen

WHILE(EOF != NIL & Contradiccion = no &RegLeido.Camino != 0 ) DO

IF(Reg.Leido.Expresion = ¬ Expresión)THENContradicción = siIF (Camino = par) THEN Marca = Derecha

FIN IFFIN WHILE

IF(Contradiccion = si) THENWHILE(EOF != NIL) DO

IF RegLeido.Camino = Camino THENRegLeido.Camino = 0

FIN WHILEIF(Marca = Derecha) THENCamino = Cam.CEND[i]

WHILE EOF != NIL DOIF RegLeido.Camino = Camino THENRegLeido.Camino =0

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FIN WHILEFIN IF

FIN IFRETURN Contradiccion.FIN CHEQUEAR

INDIVIDUO Representa el objeto que se instancia enuna expresión de conceptos.

Atributo:

Cod_Ind: Descrito antes.

Operaciones:

Crear(): Crea el código asociado a un individuo

EXPRESION Es la clase que se le asocia una expresiónde conceptos y un constructor lógico.

Atributos:

Expresion: Descrito antes.

Tipo-Const: Descrito antes. Asignado los siguientesvalores:

Para un concepto atómico = 0 y para un conceptoatómico negado = 1.Constructor * = 2Constructor + = 3Constructor $ = 4Constructor = 5

Operaciones:

Crear(): Crea el valor del campo de Expresión y elTipo_Const.

Analizar(): Determina el constructor asociado a laexpresión de conceptos.

5 ALGORITMO DE SATISFACTIBILIDAD DE UNAEXPRESIÓN DE CONCEPTOS C

Sea A un ABox, el árbol n-ario GA inducido por A,donde cada nodo es una instancia de la claseExpresión, los nodos descendientes son instanciasgeneradas por el algoritmo ALC de la aplicación delas reglas de terminación del Cálculo de Tableaux,partiendo de una ABox inicial {xo : C}.

Entrada: Expresión de ConceptosSalida: Insatisfactible | SatisfactibleProceso: SAT(C): Cadena

SAT(C): = Sat (x , C )//Crear(C,1,1,2) creaciónde la tabla Almacén y el primer registro.i = 0 //índice para + camino y parainvalidarlo si presenta contradicción

WHILE(EOF != NIL) DOIF (Estado = 0) THEN

Count = MaxCod_Exp +1Expandir(Estrategia(Cod_Exp))

ELSE(Estado = 1) Count = MaxCod_ExpFIN IF

Aux =1 // Auxiliar es una variable que mirasi existe algun registro por analizar

WHILE(EOF != NIL) DOIF Estado = 0 THEN Aux = 0

FIN WHILEWHILE (Count <= MaxCod_Exp) DO

IF (Chequear(Count) = NoContradicción &Aux = 1) RETURN SatisfactibleIF (Chequear(Count) = Contradicción &Count.Camino = C.Impar) THEN

Camino = CEND[i]+.2Crear (ExDerCEND[i], CEND[i],CI.CEND[i], Camino)i = i -1 // CEND: Código deexpresión no determinista CI: código deindividuo

FIN IFIF (Chequear(Count) = Contradicción &Count.Camino = C.par) THENIF (i >0) THEN

1 0

Camino = CEND[i]+.2Crear(ExDerCEND[i],CEND[i],CI.CEND[i],Camino ) i = i -1FIN IF

FIN IFCount = Count +1

FIN WHILEFIN WHILERETURN Insatisfactible.

CONCLUSIONES

En este artículo se ha presentado un cálculo paraverificar la relación de subsumición de un conceptoen el lenguaje ALC, utilizando un paradigmamatemático sobre la equivalencia entre la subsumicióny satisfactibilidad. Se ha construido una especificaciónque permite desarrollar una implementación de dichocálculo abordando el diseño de las operaciones Crear,Estrategia, Expandir y Chequear en seudocódigo delproceso SAT(C) y presentando un algoritmo que evalúala satisfactibilidad de conceptos. Creo que estosresultados no solo tienen una importancia teórica, sinoque el hecho de haber desarrollado estos algoritmospermiten pensar en la implementación de los mismosy una ampliación de este trabajo es dotar el algoritmo,de técnicas de optimización (Lizcano, 2001).

BIBLIOGRAFIA

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