sifat-sifat nilai eigen dalam matriks quaternion

i

SIFAT-SIFAT NILAI EIGEN DALAM MATRIKS QUATERNION

THE PROPERTIES OF THE EIGENVALUE IN THE QUATERNION MATRICES

SUSI EKAWATI

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

2019

ii

SIFAT-SIFAT NILAI EIGEN DALAM MATRIKS QUATERNION

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar Magister

Program Studi

Magister Matematika

Disusun dan diajukan oleh

SUSI EKAWATI

Kepada

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

2019

iv

LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN TESIS

Yang bertanda tangan di bawah ini

Nama : Susi Ekawati

Nomor Mahasiswa : P3500216018

Program Studi : Magister Matematika

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa tesis yang saya tulis ini

benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan

pengambilalihan tulisan atau pemikiran orang lain. Apabila dikemudian

hari terbukti atau dapat dibuktikan bahwa sebagian atau keseluruhan tesis

ini hasil karya orang lain, saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan

tersebut.

Makassar, Januari 2019

Yang menyatakan

Susi Ekawati

v

PRAKATA

Alhamdulillahirobbi’alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat

Allah Swt. Tuhan bagi seluruh semesta alam atas limpahan rahmat dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan

baik.Salawat dan taslim semoga tetap tercurah kepada Rasulullah SAW

yang menjadi suri tauladan bagi umat Islam dalam menjalani hidup yang

sesungguhnya.

Dalam proses penulisan dan penyelesaian tesis ini, penulis banyak

mendapatkan dorongan motivasi, bantuan, dukungan dan arahan dari

berbagai pihak, sehingga tesis ini dapat penulis selesaikan dengan baik

dan tepat waktu. Oleh karena itu, penulis dengan tulus menyampaikan

terima kasih kepada:

1. Ayahanda Mustari dan Ibunda Rabia tercinta yang senantiasa

memberikan kasih sayang, dorongan, dukungan, do’a, dan materi

kepada penulis dalam menuntut ilmu.

2. Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc dan Prof. Dr. Eng. Mawardi, M.Si

yang dengan sabar meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran dalam

membimbing dan mengarahkan penulis pada penyusunan tesis.

3. Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, MS., Dr. Loeky Haryanto, MS.,

M.Sc., M.Math, dan Dr. Budi Nurwahyu, MS sebagai tim penguji

yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis

ini.

vi

4. Seluruh dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan

ilmu-ilmunya kepada penulis.

5. Dekan, Wakil Dekan, Staf Fakultas, dan Staf Jurusan yang selama ini

banyak membantu penulis dalam urusan administrasi.

6. Kepada saudara-saudaraku. Hariani, Tommy Anggriawan, dan

Ervin Alamsyah serta seluruh keluarga besar yang selalu

memberikan motivasi, dukungan, dan do’a yang tiada batas.

7. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Magister Matematika

angkatan 2016 atas segala motivasi dan bantuannya selama penulis

di kampus Universitas Hasanuddin.

8. Semua pihak yang namanya tidak tercantum tetapi telah banyak

membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

Penulis menyadari dalam penyusunan tesis ini masih terdapat

banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan

kritik yang membangun demi kesempurnaan tesis ini.

Makassar, Januari 2019

Susi Ekawati

vii

ABSTRAK SUSI EKAWATI. Sifat-sifat Nilai Eigen dalam Matriks Quaternion (dibimbing oleh Amir dan Mawardi).

Penelitian ini bertujuan menentukan sifat-sifat nilai eigen dalam matriks quaternion.

Menurut Zhang (2007), jika (

) adalah matriks quaternion

dengan dan adalah nilai eigen kiri dari , maka | || |

| || |. Dalam tesis ini akan ditunjukkan tiga hal. Pertama, jika (

)

adalah matriks quaternion dengan dan adalah nilai eigen kiri dari

maka ( ) ( ) . Kedua, jika (

+ adalah matriks

quaternion dengan kondisi tertentu dan adalah nilai eigen kiri dari

maka ( ) ( ) ( ) . Dan ketiga, jika (

,

adalah matriks quaternion dengan kondisi tertentu dan adakah nilai eigen kiri dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) . Kata Kunci : Quaternion, Determinan Cayley, Nilai Eigen Kiri

viii

ABSTRACT SUSI EKAWATI. The Properties of Eigenvalue in the Quaternion Matrices (Supervised by Amir and Mawardi).

This research aimed to determine the properties of eigenvalue in the quaternion matrices.

According to Zhang (2007), if (

) is a quaternion matrix

with and is the left eigenvalue of , then | || | | || |. In

this thesis three things will be shown. The first, if (

) is a

quaternion matrix with and is the left eigenvalue of , then

( ) ( ) . The second, if (

+ is a quaternion

matrix with certain condistions and is the left eigenvalue of , then

( ) ( ) ( ) . And the third, if (

, is a

quaternion matrix with certain conditions and is the eigenvalue of then ( ) ( ) ( ) ( ) .

Keywords : Quaternion, Cayley Determinant, Left Eigenvalue

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................... i

HALAMAN PENGAJUAN ................................................................ ii

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................ iii

LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN .............................................. iv

PRAKATA ........................................................................................ v

ABSTRAK ........................................................................................ vii

ABSTRACT ...................................................................................... viii

DAFTAR ISI .................................................................................... ix

DAFTAR SIMBOL ............................................................................ xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................... 1

A. Latar Belakang ..................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................... 2

C. Tujuan Penelitian ................................................................. 3

D. Batasan Penelitian ............................................................... 4

E. Manfaat Penelitian ............................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................... 5

A. Quaternion ........................................................................... 5

1. Definisi Quaternion........................................................... 5

2. Sifat-sifat Quaternion ....................................................... 5

B. Matriks ................................................................................. 7

1. Definisi Matriks ................................................................. 7

2. Jenis-jenis Matriks ............................................................ 8

3. Determinan Matriks .......................................................... 10

x

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................ 11

BAB III METODE PENELITIAN ........................................................ 16

A. Jenis Penelitian .................................................................... 16

B. Lokasi dan Waktu Penelitian ................................................ 16

C. Rancangan Penelitian .......................................................... 16

D. Alur Kerja Penelitian ............................................................. 17

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................... 18

A. Teorema 1 ............................................................................ 18

B. Teorema 2 ............................................................................ 24

C. Teorema 3 ............................................................................ 32

D. Teorema 4 ............................................................................ 42

E. Teorema 5 ............................................................................ 50

BAB V PENUTUP ............................................................................ 87

A. Kesimpulan .......................................................................... 87

B. Saran ................................................................................... 88

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 89

LAMPIRAN ...................................................................................... 90

xi

DAFTAR SIMBOL

Simbol Arti/Keterangan

Bilangan Quaternion

Nilai Eigen suatu Matriks

Vektor Eigen suatu Matriks

( ) Matriks Quaternion Berordo

Matriks Quaternion Berordo

Bilangan Riil

Bilangan Imajiner dalam Quaternion



Matriks berordo

Bilangan Quaternion

Konjugat dari Quaternion

Bilangan Quaternion


Bilangan Quaternion


Bilangan Quaternion


Bilangan Quaternion


| | Norm Quaternion

Bilangan Riil yang lebih besar dari nol

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Quaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks

yang tidak komutatif dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi.

Sebagai himpunan, quaternion dilambangkan sebagai . memiliki tiga

jenis operasi yaitu penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian

quaternion. Elemen-elemen quaternion disimbolkan sebagai dan

( , , dan adalah komponen imajiner) dan dapat dituliskan sebagai

kombinasi linier : dimana , dan adalah bilangan riil.

Persamaan-persamaan lainnya adalah , ,

, dan . (Wikipedia, 2017)

Dalam jurnal Zhang (2007) mengatakan bahwa misalkan

(

) adalah matriks quaternion dengan . Jika adalah nilai eigen

kiri dari , maka | || | | || |. Farid, dkk (2011) mengatakan

bahwa misalkan (

) ( ) dengan . Jika ( )

adalah nilai eigen kiri dari , maka | | | | jika dan hanya jika

| | | |

Telah diketahui bahwa jika (

* adalah matriks bilangan riil

dengan ordo , maka determinan dari matriks adalah

2

dan jika (

+ adalah matriks bilangan riil dengan ordo ,

maka determinan dari matriks adalah

. Sedangkan berdasarkan definisi determinan

Cayley, jika (

* adalah matriks bilangan quaternion dengan ordo

, maka determinan dari matriks adalah dan jika

(

+ adalah matriks bilangan quaternion dengan ordo ,

maka determinan dari matriks adalah ( ) (

) ( ). (Aslaksen, 1991)

Misalkan , disebut nilai eigen kiri dari jika

untuk beberapa yang tak nol atau ekuivalen dengan matriks

( ) yang tidak memiliki invers, sehingga ( ) . Kemudian

jika misalkan , disebut nilai eigen kanan dari jika

untuk beberapa yang tak nol. (Zhang, 2007)

Dari uraian di atas, peneliti bermaksud melakukan penelitian untuk

menyelidiki bagaimana sifat-sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks

quaternion.

B. Rumusan Masalah

Pada penelitian ini, masalah yang akan dibahas adalah sebagai

berikut

3

1. Bagaimana sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion

pada ( ) dengan ?


pada ( ) dengan kondisi terdapat entri matriks yang sama

dengan nol?


pada ( ) dengan kondisi semua entri matriks tidak ada yang

sama dengan nol?


pada ( ) dengan ?

C. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut

1. Mengetahui sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion

pada ( ) dengan .


pada ( ) dengan kondisi terdapat entri matriks yang sama

dengan nol.


pada ( ) dengan kondisi semua entri matriks tidak ada yang

sama dengan nol.


pada ( ) dengan .

4

D. Batasan Penelitian

Pada penelitian ini, permasalahan yang dibahas terbatas hanya

pada matriks dengan kondisi sebagai berikut:

1. Matriks quaternion pada ( ) dengan .

2. Matriks quaternion pada ( ) dengan kondisi terdapat entri

matriks yang sama dengan nol.

3. Matriks quaternion pada ( ) dengan kondisi semua entri

matriks tidak ada yang sama dengan nol.

4. Matriks quaternion pada ( ) dengan .

E. Manfaat Penelitian

Dari penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan dan

pengetahuan tentang nilai eigen dan vektor eigen quaternion serta dapat

dijadikan referensi bagi peneliti lain tentang matriks quaternion.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dikaji beberapa definisi, sifat-sifat, teorema, dan

contoh yang akan digunakan dalam membuktikan hasil penelitian.

A. Quaternion

Menurut Shomake (2007) aljabar quaternion diciptakan oleh

Hamilton pada tahun 1853 dan dinotasikan dengan untuk

menghormatinya yang merupakan perluasan bilangan kompleks untuk

aljabar empat dimensi.

1. Definisi Quaternion

Quaternion merupakan kombinasi linear skalar riil dan tiga satuan

imaginer ortogonal (dilambangkan dengan dan ) dengan koefisien riil

yang dapat dituliskan sebagai

* | +

dimana elemen dan memenuhi aturan perkalian Hamilton berikut ini :

.

2. Sifat – sifat Quaternion

Berikut dijelaskan sifat – sifat operasi pada bilangan quaternion :

6

a. Operasi penjumlahan dan perkalian

Diberikan dua buah quaternion yaitu :

dengan .

Penjumlahan dua buah quternion tersebut adalah

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

dan

Perkalian dua buah quaternion adalah

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

) ( ) (

)

( ) ( )

( ) ( ) .

b. Konjugat dari Quaternion

Jika , maka konjugat dari adalah

7

Contoh :

c. Norm dari Quaternion

Norm dari quaternion diperoleh dari modulus perkalian quaternion

dengan konjugatnya .

| | √ √

Salah satu sifat norm quaternion adalah | || | | |.

Contoh :

| | √ ( ) √

d. Invers dari Quaternion

| |

Contoh :

( )

(Djuddin, 2015)

B. Matriks

1. Definisi Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam

matriks. Matriks yang mempunyai baris dan kolom dinyatakan dengan

8

(

)

Matriks tidak mempunyai nilai tetapi ukuran. Ukuran matriks disebut

ordo yang ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika

matriks mempunyai baris dan kolom, maka matriks berordo .

2. Jenis-jenis Matriks

Adapun jenis-jenis matriks antara lain:

a. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks di mana semua unsurnya nol.

Contoh : *

+.

b. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan

, dimana , dapat ditulis dengan ( ) . Matriks

berordo disebut juga bujur sangkar ordo . Dalam hal ini hanya

matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama dan

elemen diagonal kedua.

Contoh : *

+ [

].

9

c. Matriks Segitiga

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan

elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama

semua nol. Bentuk umumnya adalah ( ) dengan

Contoh : [

].

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan

elemen-elemen yang terletak di atas elemen diagonal utama semua

nol. Bentuk umumnya adalah ( ) dengan

Contoh : [

].

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar dengan

semua elemen-elemen yang bukan elemen diagonal utama adalah

nol. Dengan kata lain suatu matriks berorde disebut matriks

diagonal, jika untuk .

Contoh : [

].

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks skalar dengan elemen-elemen

diagonal utama semuanya sama dengan satu. Bentuk umum matriks

10

identitas dinyatakan dengan ( ) dimana

dengan untuk dan untuk .

Contoh : *

+.

f. Matriks Quaternion

Matriks quaternion adalah matriks yang entri-entrinya adalah

bilangan quaternion.

Contoh : (

*.

3. Determinan Matriks

Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk

bujur sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai

satu kesatuan yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan.

Determinan dinotasikan dengan | | atau ( ).

Jika diketahui matriks adalah bilangan riil yang berordo

(

*,

maka determinan matriks didefinisikan sebagai berikut

( ) |

|

(Kurniati, 2010)

Definisi determinan quaternion oleh Cayley dinotasikan dengan

adalah sebagai berikut

11

(

*

(

+ ( ) ( ) ( )

(

, |

| |

| |

| |

|

Contoh :

Carilah determinan dari matriks berikut

(

*.

Penyelesaian

Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh

( )( ) ( )( )

( ) ( )

.

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan adalah suatu matriks . disebut suatu nilai eigen

dari jika terdapat suatu vektor tak nol sehingga . Vektor

disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan . Persamaan

dapat dituliskan dalam bentuk

( ) . (i)

Persamaan (i) akan mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya

jika singular atau secara ekuivalen

12

( ) . (ii)

Jika determinan pada Persamaan (ii) diuraikan, maka diperoleh suatu

polinomial berderajat dalam peubah

( ) ( ).

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan Persamaan (ii) disebut

persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik

adalah nilai eigen dari . (Hermana, 2016)

Contoh :

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

(

*.

Penyelesaian

Nilai Eigen

( )

((

* (

))

(

*

Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh

( )( ) ( )( )

( ( ) ( ) ( )) ( )

Jika , maka

(

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

13

Sehingga diperoleh persamaan

( )

( )

( )

( )

Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen

( √ )( )

( √ )( ).

Vektor Eigen

( )

(

* ( ) (

)

Untuk ( √ )( ), maka

( √ ( )

√ ( )) ( ) (

)

( √ ( )

* ( ) (

)

Diperoleh

√ ( ) ( ) √

Maka diperoleh vektor eigen : (

√ *.

Uji

14

(

*(

√ * ( √ )( )(

√ *

(( √ )( )

( √ )( )) (

( √ )( )

( √ )( )).

Untuk ( √ )( ), maka

(√ ( )

√ ( )) ( ) (

)

(√ ( )

* ( ) (

)

Diperoleh

√ ( ) ( ) √

Maka diperoleh vektor eigen : (

√ *.

Uji

(

*(

√ * ( √ )( ) (

√ *

(( √ )( )

( √ )( )) (

( √ )( )

( √ )( )).

Teorema :

Misalkan (

) adalah matriks quaternion dengan . Jika

adalah nilai eigen kiri dari , maka | || | | || |.

Bukti

Perhatikan bahwa

15

(

*

( )

( )( ) (

)( )

Telah diketahui bahwa , sehingga

( )( )

Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen

Kemudian perhatikan bahwa

Untuk

| | | ( )|

| | | ( )|

| || |

Untuk

| | | ( )|

| | | ( )|

| || |

Sehingga jelas bahwa | || | | || |.

sifat-sifat nilai eigen dalam matriks quaternion

Documents