BAB I

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKSUNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA GENERASI Ke-n

SKRIPSIUntuk memenuhi sebagian persyaratandalam memperoleh gelar Strata SatuProgram Studi Pendidikan Matematika

Oleh :DEDI HARIYANTONIM 105.532

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIAJOMBANG2014SKRIPSI

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA GENERASI Ke-n

Oleh :DEDI HARIYANTONIM 105.532

telah disetujui pada tanggal 05 Maret 2014

Pembimbing

Rohmatul Umami, S.Si, M.Si.

SKRIPSI

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA GENERASI Ke-n

yang telah dipersiapkan dan disusun oleh

Dedi HariyantoNIM 105.532

Dewan Penguji

Ketua Penguji

Nama

: Edy Setiyo Utomo, M. Pd.

Tanda Tangan

............................................

Penguji I

: Rohmatul Umami, S. Si, M.Si.............................................

Penguji II

: Esti Saraswati, M.Pd............................................

Mengesahkan,Ketua Program StudiPendidikan Matematika

Dr. Wiwin Sri Hidayati, M.Pd.NIP. 19730502 200501 2 001

PERSEMBAHANiv

Kuingat Engkau di saat malam kian pekat,Tak ada hasrat untuk lelap dan nyenyak,Pikiran dan hati hanya tertuju padaMu,Kaulah yang paling mengerti dan setia mendampingiku,Kusadari diri ini tak luput dari salah kepadaMu,Terlalu mudahnya ku tergoda akan indahnya dunia,Lelah diri mengejar ambisi,Lemah lunglai saatnya menghampiri jiwa,Berkali-kali aku terjatuh dan terlelah,Hingga hampir hilang arah, menyerah dan mengaku kalah,Aku tak lebih dari jiwa tanpa nyawa,Ketika ku kembali pada diriMu,Kuserahkan nasibku yang telah tergores luka,Kau beri aku kekuatan untuk bangkit dan bersemangat,Ragu di awal,Tapi semangat dan nikmat yang berlimpah yang akhirnya Kau berikan,Kasih sayangMu masih terekam jelas dalam memoriku,Tiada hari tanpa syukurku padaMu,Karena Engkau adalah sandaran hatiku,Hidup matiku kuserahkan padaMu,

Dengan cintaMu dan karena kasih sayangMu Kupersembahkan secuil karya iniBuat orang-orang tercinta dan tersayang.

Untuk ibuku Minati yang tercinta, yang tak pernah lelah mendoakanku dari hari ke hari. Hingga air matamu terjatuh mengiringi perjalananku.Untuk Bapakku Prihastono, yang tak pernah lelah mencari nafkah untuk memenuhi kebutuhan hidupku dari kecil hingga sekarang, dan selalu memberikan semangat ketikaku rapuh.Untuk ketiga adikku Dani Aditya Prasetyanto, Septi Ayu Ramadhani dan Dzakiyya Talita Sakhi, yang selalu mewarnai hari-hariku.Untuk semua keluargaku yang selalu memotivasi aku.Untuk ibu Rohmatul Umami, S.Si., M.Si, yang senantiasa membimbingku dalam pembuatan skripsi.Untuk semua dosen STKIP PGRI Jombang yang telah mencurahkan ilmunya kepadaku.Untuk sahabat-sahabatku Nur Ainni Islamiah, Amy, Muhammad Yusron Ali yang setia mendampingi dan memberikan pengetahuan serta pengalaman kalian kepadaku.Untuk sahabat-sahabat SMA-ku Da_Fecia, Mbak Qiqi, Mbak Sartika dan Rudi makasih atas bantuannyaUntuk teman-temanku Evi Novitasari, Icha Wulandari, Sri Fatmawati, Lilin Ratnasari, M. Abu Amar yang selalu memberi kemudahan aku ketika ku kuliah.Untuk teman-teman PPL MAN Jombang dan teman-teman KKN SMKN 1 Jombang, terima kasih atas kerjasamanya..Dan semua yang tak bisa ku sebutkan satu persatu yang selalu memberi suport buat aku...... Thanks All......

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil alamin, segala puji syukur peneliti panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, taufik dan hidayah-Nya peneliti dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Implementasi Diaogonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat-Nya yang telah mengantarkan kita kepada jalan yang benar.Suatu kebanggaan bagi peneliti karena dapat menyelesaikan penelitian skripsi ini yang tentunya tidak lepas dari dukungan semangat dan segenap bantuan dari beberapa pihak, karenanya dalam kesempatan ini peneliti menyampaikan banyak terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada :1. Dr. H. Winardi , S.H, M.Hum , selaku ketua STKIP PGRI Jombang.2. Dr. Heni Sulistyowati, M. Hum selaku Kepala Pusat Penelitian.3. Dr. Wiwin Sri Hidayati, S.Pd, M.Pd, selaku ketua Program Pendidikan Matematika.4. Rohmatul Umami, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan peneliti demi kebaikan isi skripsi.5. Seluruh pihak yang tidak dapat peneliti sebutkan satu persatu. Semoga dengan segenap bantuan yang diberikan kepada peneliti menjadi amal sholeh dan semoga Allah memberikan balasan yang sepantasnya. Peneliti menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini jauh dari kata sempurna dan masih banyak kekurangan, seperti pepatah tak ada gading yang tak retak. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penelitian selanjutnya. Akhirnya, semoga skripsi ini bermanfaat dan dapat menambah wawasan keilmuan bagi semua para pembaca. Amiin.Jombang, 05 Maret 2014

Peneliti

DAFTAR ISIHALAMAN SAMPULHALAMAN PERSETUJUAN ...................................................................iiHALAMAN PENGESAHAN ...................................................................iiiHALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................ivKATA PENGANTAR viDAFTAR ISI viiiDAFTAR TABEL xDAFTAR LAMPIRAN xiABSTRAK xiiABSTRACT xiiiBAB I : PENDAHULUANA. Latar Belakang Masalah 1B. Batasan Masalah Penelitian 3C. Perumusan Masalah Penelitian 3D. Tujuan Penelitian 3E. Manfaat Penelitian 4F. Definisi Operasional 4BAB II : KAJIAN PUSTAKAA. Kajian Tentang Matriks 61. Pengertian Matriks 62. Jenis-Jenis Matriks 83. Perkalian Matriks 124. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks 135. Determinan dan Invers Matriks 146. Nilai eigen dan Vektor Eigen 177. Diagonalisasi Matriks 19B. Genetika 25 1. Jenis-jenis Pewarisan 26a. Penurunan Autosomal (autosomal inheritance) 26b. Penurunan Gonosom 272. Kromosom293. Genetika Mendel 304. Peristiwa Keacakan 30a. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid) 3030b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid)32BAB III: METODE PENULISAN A. Rancangan Penulisan .34B. Objek Penulisan 34C. Instrument Penulisan 35D. Metode Pengumpulan Data 35E. Analisis Data 35F. Prosedur Penelitian 36BAB IV: PEMBAHASAN MASALAHA. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan Autosomal 38 B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan Genotip 42 b. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance) 43c. Penyakit-penyakit Resesif Autosomal 80BAB V: PENUTUPA. Simpulan 92B. Saran 93DAFTAR PUSTAKA 94LAMPIRAN 95

DAFTAR TABELTabelJudulHalaman

2.1Perkawinan Marmut Putih dan Albino (Monohibrid)32

2.2Persilangan Dihibrid33

4.1Persilangan Dua Sifat Beda antara Laki-Laki dan Perempuan Pembawa Penyakit bagi Warisan Autosomal39

4.2Peluang dari Persilangan Dua Individu Pewarisan Autosomal40

4.3Peluang Genotip Persilangan Individu Normal Heterozigot dengan Individu carier43

4.4Peluang Genotip Persilangan Dihibrid antara Laki-Laki Penderita dan Perempuan Normal81

DAFTAR LAMPIRANKeteranganHalaman

Lampiran 1Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Invers Matriks Baru yang Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan Individu Normal Heterozigot dan Carier dengan Softwere Maple dan Microsoft Mathematic.95

Lampiran 2Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Invers Matriks Baru yang Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan Dua Sifat Beda antara Laki-Laki Normal dan Perempuan Carier dengan Softwere Maple.96

ABSTRAKHariyanto, Dedi. 2014. Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n. Dosen pembimbing : Rohmatul Umami, S.Si, M.Si.

Kata Kunci : matriks, nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, genotip.

Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang sejalan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Keduanya saling berkaitan, salah satu contoh penerapannya adalah diagonalisasi matriks dalam menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n. Adapun rumus yang digunakan adalah dimana D merupakan matriks diagonal, A merupakan matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan genotip, P merupakan matriks yang tersusun dari vektor eigen yang sesuai dengan nilai-nilai eigen matriks A, dan adalah matriks invers dari P. Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui implementasi diagonalisasi matriks pada pewarisan autosomal dan bentuk persamaan eksplisit dalam fraksi-fraksi dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb pada suatu generasi ke-n.

Metode yang digunakan penulis adalah kajian literatur atau metode penelitian kepustakaan yaitu sebagian besar tugas penulis adalah berada di perpustakaan untuk mengumpulkan data dari berbagai macam sumber literatur yakni buku-buku dan jurnal. Selanjutnya penulis melakukan pencarian distribusi peluang persilangan pewarisan genotip melalui tabel persilangan. Dari tabel tersebut penulis membentuk matriks A dan kemudian mencari nilai eigen dan vektor eigen. Hasil dari pencarian vektor eigen maka penulis membentuk matrik baru yakni matriks P yang kemudian kita cari inversnya. Dengan menggunakan rumus diagonalisasi maka akan terbentuk persamaan eksplisit yang kemudian dicari nilainya melalui limit n tak hingga.

Dari hasil perhitungan didapat bahwa pada generasi ke-n, dimana limit n mendekati tak hingga diperoleh bahwa warisan autosomal dan pewarisan penyakit terpendam semua turunannya akan normal atau bergenotip AABB, yakni tidak ada lagi generasi yang menderita atau membawa penyakit.

ABSTRACTxii

Hariyanto, Dedi. 2014. Implementation of Matrix Diagonalyzation to Investigate Genotype Inheritance at n generation. Advisor : Rohmatul Umami, S.Si, M.Si.

Key Words : matrix, eigen values, eigen vector, matrix diagonalyzation, genotype

Math and biology are developed knowledge that always followed the development of era and technology. Both ot thein are related each other, such as in assembling of matrix diagonalization to observ human genotype for generation to-n.The formula used is , where D is a diagonal matrix, A is a matrix derived from crosses genotype odds table, P is a matrix composed of the eigenvectors corresponding to the eigenvalues of the matrix A, and is the inverse matrix of P. The purpose of this study is to investigate the implementation of the matrix diagonalization autosomal inheritance and explicit form of the equations in fractions of AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb at an n-th generation.

The method used is a literature review or research methods literature that the bulk of writers are in the library is to collect data from various literature sources namely books and journals. Furthermore, the authors conduct a cross inheritance genotype distribution opportunities through cross table. From the table, the authors form a matrix A and then finding eigenvalues and eigenvectors. The results of the search, the authors eigenvectors forming a new matrix that is the matrix P which we then find its inverse. By using the diagonalization formula it will form an explicit equation is then searched its value through an infinite n limit.

From the calculation results obtained that generation to-n, where the limit n approaches infinity is obtained that autosomal inheritance and latent disease in autosomal inheritance of all derivatives will be normal or genotype AABB, ie no more generations suffer or carry disease.

2

xiii

BAB I

PENDAHULUANA. Latar Belakang Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang sejalan dengan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Dimana berbagai konsep ilmu matematika menjadi alat analisis yang penting di dalamnya. Salah satunya adalah bahasa matematika yang dapat diterapkan dalam ilmu biologi yakni genetika.Genetika (ilmu keturunan) tergolong dalam Ilmu Hayat yang mempelajari turun temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada keturunannya (Suryo, 2012). Oleh karena itu manusia ingin mengetahui segala ihwal mengenai keturunan, manusia juga ingin mengetahui pula rahasia dirinya sendiri. Penyelidikan pewarisan genotip merupakan aplikasi genotip, dimana manusia selalu memiliki suatu susunan gen yakni gen dominan dan gen resesif (sifat yang tidak muncul pada keturunan).Dalam pewarisan genetika terdapat istilah pewarisan sifat autosomal. Yakni sifat keturunan yang ditentukan oleh gen padaautosom (kromosom di luar kromosom seks). Dalam warisan autosomal (autosomal inheritance), setiap individu dalam populasi yang terdiri dari kedua jenis kelamin akan memiliki kedua jenis gen ini, dengan kemungkinan pasangan gen dinyatakan dengan AABB, AABb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb. Pasangan-pasangan kromosom ini dinamakan dengan genotip individu yang dapat menentukan bagaimana sifat yang dikendalikan oleh kromosom-kromosom itu yang dimanifestasikan dalam individu.Salah satu contoh pewarisan autosom dalam kehidupan sehari-hari yaitu penyakit keturunan/bawaan. Albinomerupakan suatu kelainan yang terjadi pada warna kulit dan organ tubuh lainnya. Orang albino tidak memiliki pigmen melanin sehingga rambut dan badannya bewarna putih. Gen albino dikendalikan oleh gen resesif a. jika orang normal memiliki genotip Aa atau AA, sedangkan orang albino bergenotip aa (Karmana, 2008:129).Untuk menyelidiki pewarisan genotip dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep matematika subbab aljabar matrik, yaitu diagonalisasi matriks. Diagonalisasi matriks merupakan alat bantu yang akan mempermudah manusia dalam mengetahui pewarisan genotip pada keturunan yang tak hingga dibanding dengan menyilangkan satu persatu induk untuk mendapatkan keturunan terbaik atau bahkan sama dengan induk sebelumnya.Adapun rumus yang digunakan dalam penyelidikan pewarisan genotip ini adalah . Dimana D adalah diagonalisasi matriks, A adalah matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan dihibrid, P merupakan matriks yang terbentuk dari vektor eigen matriks A, dan adalah matriks invers/balikan dari matriks P. Dari uraian yang telah dijabarkan di atas, peneliti bermaksud untuk melakukan penelitian tentang, Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.

B. Batasan MasalahAgar pembahasan penelitian ini tidak meluas, maka peneliti perlu memberikan batasan-batasan sebagai berikut:1. Pewarisan genotipnya yang dibahas hanya pada pewarisan autosomal2. Menggunakan perkawinan silang dengan dua sifat beda (dihibrid) dengan perkawinan yang terkontrol (perkawinan yang memperhatikan genotip/ perkawinan yang sudah diatur atau tak bebas).3. Bentuk persamaan eksplisit terjadi pada fraksi-fraksi AABB, AABb, Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb genotip pada sebuah populasi generasi ke-n dari fraksi-fraksi genotip awal.C. Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut :1. Bagaimana implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n?2. Bagaimana penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang dihasilkan dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil dari suatu populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb genotip pada sebuah populasi generasi ke-n?D. Tujuan PenelitianBerdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Untuk mengetahui implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n.2. Untuk mengetahui penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang dihasilkan dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil dari suatu populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb genotip pada sebuah populasi generasi ke-nE. Manfaat PenelitianDalam penelitian ini ada beberapa manfaat yang ingin dicapai oleh peneliti, yaitu:1. Manfaat TeoristisPeneliti berharap hasil penelitian ini dapat memberikan informasi tentang implementasi matematika terutama pada subbab diagonalisasi matriks.2. Manfaat Praktisa. Manfaat bagi penelitiDapat menambah wawasan peneliti untuk mengetahui tentang implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n.b. Manfaat bagi pembaca atau peneliti lain.Penelitian ini diharapkan dapat berguna sebagai pedoman bagi penelitian selanjutnya.F. Definisi OperasionalAgar tidak terjadi perbedaan penafsiran tentang maksud dan arti keseluruhan dari judul penelitian, peneliti akan mengemukakan arti dari beberapa istilah yang ada pada judul penelitian, antara lain: 1. Implementasi adalah pelaksanaan, alat yang dipergunakan untuk melaksanakan atau menyelesaikan pekerjaan tertentu (Yasin & Sunarto, 1990:110). Jadi implementasi adalah penerapan ilmu matematika terhadap ilmu biologi untuk menyelesaikan masalah penyelidikan pewarisan genotip.2. Diagonalisasi matriks adalah suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonazable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi (diagonalize) A (Anton, 2004:395). Jadi diagonalisasi matrik merupakan pendiagonalisasian matriks A (matriks yang dihasilkan oleh tabel peluang persilangan dihibrid) oleh matriks P (matriks yang dihasilkan oleh vektor eigen matriks A) dan merupakan balikan dari matriks P.3. Pewarisan merupakan transmisi informasi genetika dari leluhur atau tertua kepada keturunanya (Rifai, 2004:371). Sehingga kata lain pewarisan merupakan penurunan sifat genotip dari individu kepada keturunan.4. Genotip merupakan konstitusi genetika suatu makhluk hidup, untuk membedakannya dari penampilan fisiknya (fenotipe) (Rifai, 2004:144). Jadi genotip merupakan susunan gen yang menentukan sifat-sifat suatu individu.Jadi yang dimaksud dengan implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n merupakan penerapan salah satu cabang ilmu matematika terhadap ilmu biologi untuk menyelesaikan permasalahan penyelidikan suatu persilangan genotip dimana peluang persilangan tersebut diubah dalam bentuk matriks dan dicari diagonalisasinya agar kita mengetahui pewarisan genotip yang terjadi pada generasi setelah leluhur/induk.

BAB II

LANDASAN TEORIA. Aljabar MatriksAljabar matriks dikembangkan oleh matematika Inggris yaitu Arthur Cayley pada tahun 1857. Cayley merupakan orang yang pertama kali mengkaitkan matriks dengan transformasi linier. Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-cabang matematika lainnya, bidang ekonomi, industri dan transportasi. Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistem persamaan linier akan lebih mudah (Subagio, 1986: 1).1. Definisi MatriksDefinisi 2.1:Matriks adalah susunan bilangan atau simbol yang diatur menurut baris-baris dan kolom-kolom yang berbentuk persegi panjang dan disajikan dalam tanda kurung atau kurung siku (Subagio, 1986: 2).Definisi 2.2:Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. (Anton, 2004: 51).Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks. Secara umum elemen matriks dinyatakan dengan huruf kecil dan huruf kapital untuk melambangkan matriks. Ukuran matriks dapat diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal/mendatar/i) dan kolom (garis vertikal/menurun/j). Matriks tidak mempunyai nilai, tetapi mempunyai ukuran yang disebut ordo suatu matriks. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom matriks tersebut. Suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dinyatakan dengan:6

Elemen-elemen baris ke 1 adalah: Elemen-elemen kolom ke 1 adalah: Dengan demikian matriks A dapat dinyatakan dengan , dengan menunjukkan baris dan menunjukkan kolom. Dua buah matriks dikatakan sama bila ordonya sama dan mempunyai unsur yang sama di dalam setiap posisinya.Contoh 1:Jika maka:a) A mempunyai ...... baris dan ...... kolomb) Elemen baris ke 3 adalah ......c) Elemen kolom ke 2 adalah .....d) Element baris ke 2 kolom ke 4 adalah ......e) 6 adalah elemen baris ke ...... kolom ke ......Penyelesaian 1:a A mempunyai 3 baris dan 4 kolomb Elemen baris ke 3 adalah c Elemen kolom ke 2 adalah d Elemen baris ke 2 kolom ke 4 adalah e 6 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 32. Jenis-Jenis Matriks.Dengan memperhatikan banyaknya baris, banyaknya kolom serta elemen-elemen dalam suatu matriks kita akan mengetahui jenis-jenis matriks, antara lain:1) Matriks Baris.Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris. Matriks baris disebut juga Vektor baris.Contoh 2: , 2) Matriks Kolom.Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom, yang disebut juga Vektor kolomContoh 3: , 3) Matriks Bujur sangkar.Suatu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks bujur sangkar, yang dinyatakan dengan . Matriks disebut matriks bujur sangkar ordo

Contoh 4:Matrriks bujur sangkar ordo 2 , Matriks bujur sangkar ordo 3 Matriks bujur sangkar ordo n Elemen-elemen matriks bujur sangkar: disebut elemen diagonal utama dan disebut elemen diagonal kedua.Hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama dan elemen diagonal kedua.4) Matriks Diagonal.Matriks bujur sangkar dengan semua elemen-elemen yang bukan elemen diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal. Dengan kata lain matriks disebut matriks diagonal, jika untuk Contoh 5: , 5) Matriks Skalar.Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama semua sama dengan dan Contoh 6: , 6) Matriks Identitas.Matriks identitas adalah matriks skalar dengan elemen-elemen diagonal utama semua 1.Contoh 7: , 7) Matriks Segitiga.Ada dua macam matriks segitiga, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama semua nol. Dengan kata lain disebut matriks segitiga atas jika untuk .Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen yang terletak di atas elemen diagonal utama semua nol. Dengan kata lain disebut matriks segitiga bawah jika untuk .

Contoh 8:Matriks segitiga atas , Matriks segitiga bawah. , 8) Matriks Nol.Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah nol.Contoh 9: , 9) Matriks Simetris.Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen baris ke kolom ke , sama dengan elemen-elemen baris ke kolom ke . Dengan demikian elemen-elemen matriks simetris memenuhi untuk setiap dan Contoh 10: ,

10) Matriks Antisimetris.Matriks antisimetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen untuk semua dan Dengan demikian semua elemen diagonal utama pada matriks antisimetris adalah nol.Contoh 11: ,

3. Perkalian Matriks.Definisi 2.3Jika A adalah sebuah matriks dan B adalah sebuah matriks maka hasil kali AB adalah matriks yang entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris dan kolom dari AB, pilih baris dari matriks A dan kolom dari matriks B. Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya (Anton, 2011: 56).Jadi Jika , dan Maka dengan dan Dimana dan Contoh 12:Tentukan jika dan Penyelesaian 12:

4. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks.Perpangkatan pada matriks merupakan perkalian berulang. Sehubung dengan persyaratan perkalian matriks maka perpangkatan hanya dapat dikerjakan pada matriks bujursangkar. Pangkat dari didefinisikan sebagai berikut: Sehingga dengan buah matriks sama dengan dengan dan Jika adalah suatu matriks bujur sangkar, katakanlah , dan jika ..................................(I)Adalah sembarang polinomial, maka kita definisikan Dengan adalah matriks identitas . Dengan kata-kata adalah matriks yang dihasilkan ketika disubtitusikan untuk dalam (I) dan digantikan oleh .Contoh 13:Jika danMaka:

5. Determinan dan Invers Matriks.1. DeterminanDeterminan dari suatu matriks adalah jumlah dari semua bentuk perkalian secara diagonal dari elemen-elemen matriks dengan mangambil satu elemen dari baris atau kolom dengan memperhatikan urutan. Dalam penulisan determinan elemen-elemen matriks bujur sangkar ditulis diantara dua garis tegak , misalnya matriks A dinotasikan dengan .Jika A adalah matriks berordo 2 x 2 yakni , maka untuk mencari determinannya dengan mengurangkan diagonal kedua dari diagonal utama matriks tersebut yaitu .Jika A adalah matriks berordo 3 x 3 yakni , maka untuk mencari determinannya dengan Aturan Sarus yakni: .2. Invers MatriksMatrik bujur sangkar, A=[aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik , sehingga , dimana I matrik identitas.Jika A mempunyai invers, maka A disebut matrik tak singular dan jika tidak mempunyai invers disebut matrik singular. Jika A mempunyai invers, maka inversnya tunggal (unik). Untuk menunjukkan hal ini, perhatikan penjelasan di bawah ini:Andaikan B dan C invers dari A, maka dipenuhi hubungan dan , sehingga . Jadi , atau kedua invers matrik tersebut tunggal.Teorema 2.1:Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka: Bukti 2.1: Jika A tak singular, maka det A adalah skalar tak nol sehingga invers sebuah matriks dapat dinyatakan dengan: Mula-mula akan dibuktikan bahwa Perkalian dari adalah: secara umum entri pada matrik di atas dapat ditulis, sebagai berikut: Jika maka seperti hasil di atas didapat .Jika , maka ekspresi di atas .Sehingga : Sehingga: Jika , maka didapat: Contoh 14.Carilah invers dari matriks Penyelesaian 14.Mula-mula hitung dan Jadi

6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen.Kata vektor eigen berasal dari ramuan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam bahasa Jerman eigen diartikan sebagai sebenarnya atau karakteristik. Oleh karena itu nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Sedangkan vektor adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Jadi vektor eigen dapat diartikan sebagai vektor sebenarnya.Definisi 2.3.Misalkan A adalah matriks , maka vektor yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A, jika adalah kelipatan skalar dari , yaitu untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran maka dapat ditulis kembali sebagai ......................................................................................... (2)Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan (2). Suatu persamaan akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika: ................................................................................... (3)Persamaan (3) dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan tersebut merupakan nilai eigen dari A. bila diperluas maka persamaan karakteristik tersebut adalah polinom karakteristik dari A mempunyai derajat n dan koefisien dari adalah I. Jadi polinom karakteristik dari matriks mempunyai bentuk: Dengan merupakan persamaan karakteristik yang mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda, sehingga suatu matriks mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.Contoh 15.Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Penyelesaian 15.Polinom karakteristik dari matriks Q adalah: Dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah Penyelesaian dari persamaan ini adalah Jadi nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2

7. Diagonalisasi Matriks.Definisi 2.4Suatu matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasikan (diagonazable), jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasikan A (Anton & Rorres, 2011: 395).Teorema 2.2.Jika A adalah suatu matriks , maka kedua pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.a. A dapat didiagonalisasikan.b. A memiliki nilai vektor eigen yang bebas linier (Anton & Rorres, 2011: 395).Bukti oleh karena A dapat didiagonalisasikan, maka terdapat matriks yang dapat dibalik:, P merupakan vektor-vektor kolom yang bebas linier. sehingga diagonalKatakan , dimana maka Yakni (4)Jika sekarang dimisalkan menyatakan vektor-vektor kolom P maka bentuk persamaan (4) kolom-kolom AP yang berurutan adalah , akan tetapi kolom-kolom dari AP yang berurutan adalah: .. (5)Oleh karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tak nol. Jadi menurut persamaan (5) adalah nilai-nilai eigen A, dan adalah vektor-vektor yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka diperoleh bebas linier. Jadi A mempunyai n vektor eigen bebas linier. dimisalkan bahwa A mempunyai vektor eigen bebas linier maka dengan nilai eigen yang bersesuaian dan misalkan: Adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya kolom-kolom dari hasil kali AP adalah , tetapi Sehingga ............................................................................... (6)Dimana D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen pada diagonal utama. Oleh karena itu vektor-vektor kolom dari P bebas linier, maka P dapat dibalk. Jadi persamaan (6) dapat ditulis kembali sebagai , A terdiagonalisasiDari bukti ini didapat prosedur untuk mendiagonalisasikan matriks A yang berukuran (Anton & Rorres, 2011: 397) sehingga langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:Langkah 1: Tentukan vektor eigen dari yang bebas linier, misalkan Langkah 2: bentuklah sebuah matriks dengan sebagai vektor-vektor kolomnyaLangkah 3: matriks kemudian akan menjadi diagonal dengan sebagai entri-entri diagonalnya secara beru-rutan, di mana adalah nilai eigen yang terkait dengan untuk Contoh 16:

Diketahui matriks M = Carilah: a. matriks P yang mendiagonalisasi M.b. matriks diagonal D = P-1MP.Penyelesaian 16:Persamaan karakteristik matriks M adalah: ( 1)( 5)2 = 0 = 1; = 5Jadi nilai eigen adalah 1 dan 5.Penentuan vektor eigen sebagai berikut. Untuk = 1 .

Matriks yang bersesuaian: Diperoleh: a = b; dan c = 0.Jika b = t, maka a = t dan c = 0.

Vector eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah t.

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah .

Untuk = 5 .

Matriks yang bersesuaian: Diperoleh: Andai , maka , dan

Jadi vector eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah s+ t.

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah dan .a) Dengan demikian matriks P yang mendiagonalisasi M adalah .b) Matriks diagonal yang terbentuk adalah: .Untuk menentukan D, kita harus menentukan dahulu . Melalui perhitungan dalam menentukan invers suatu matriks diperoleh = .Dengan demikian D = P-1MP

D =

= = dari hasil perhitungan dapat dilihat bahwa elemen-elemen dari matriks D sama dengan nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga dalam pembahasan selanjutnya nilai matriks D dapat diperoleh langsung dari nilai-nilai eigen suatu matriks.Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk , maka pertamanya mendiagonalkan A, yakni dicari matriks P yang dapat dibalik dan matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga Pangkat suatu matriks bujursangkar dapat dinyatakan sebagai: sampai suku ke n. pangkat 2 dari matriks atau , dimana matiks A muncul sebanyak n kali dalam perkalian di ruas kanan. Pangkat bilangan positif dari suatu bujursangkar juga dapat dihitung langsung dengan menggunakan matriks P dan matriks D. jika persamaan Dipangkatkan dua, maka akan diperoleh: Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih tinggi, sehingga hasil umumnya adalah: , dimana A adalah matriks bujursangkar ordo n yang mempunyai n buah vektor yang bebas linier, P adalah matrik yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dan matriks D adalah matriks diagonal yang entri-entrinya bersesuaian dengan nilai-nilai eigen matriks A.

B. GenetikaGenetika (ilmu keturunan) tergolong dalam ilmu hayat yang mempelajari turun-temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada keturunannya. Genetika mempunyai lingkup yang sangat luas, antara lain: membahas tentang peranan kromosom, pewarisan sifat-sifat genetik, terjadinya cacat badan dan mental yang disebabkan oleh kelainan kromosom, timbulnya penyakit karena kesalahan metabolisme bawaan dan lain-lain. 1. Jenis-Jenis Pewarisan Genetikaa. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance).Pewarisan autosomal adalah pewarisan yang tidak terpaut oleh kromosom seks. Pada pewarisan autosomal suatu individu mewarisi satu gen tiap pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan gennya sendiri. Sehingga, jika salah satu induk memiliki genotip AaBb, maka kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen AB atau gen ab dari induk tersebut adalah sama besarnya. Jika salah satu induk mempunyai genotip aabb dan yang lain memiliki genotip AABB, AaBb, Aabb, Aabb, aaBB maka keturunan akan selalu menerima gen ab dari induk aabb dan akan menerima AB atau gen ab dari probabilitas yang sama dari induk AB, Ab, dan ab. Konsekuensinya, tiap keturunan mempunyai probabilitas yang sama untuk mewakili genotip aaBb, aabb, AABb, AaBb.Ciri dominan yang menunjukkan pewarisan autosomal adalah manifestasi dalam keadaan heterozigot, artinya seorang dengan kelainan dimana kromosom tubuh mengandung satu gen abnormal yang akan menyebabkan penyakit. Biasanya setiap penderita mempunyai salah satu orang tua yang sakit. Tetapi kadang-kadang kelainan dapat muncul pada satu generasi tanpa adanya satu keluarga pada generasi sebelumnya yang terkena penyakit tersebut. Hal ini mungkin terjadi karena kedua atau salah satu orang tua adalah pembawa (carier).Penyakit yang terpendam dalam autosomal terjadi kelainan pada individu yang homozigot untuk gen yang mengalami kelainan. Jika perempuan yang menderita menikah dengan laki-laki normal, maka anaknya perempuan normal karena individu yang heterozigot benar-benar sehat dan semua anak laki-laki penderita. Jika suatu sifat resesif adalah sangat jarang seperti kebanyakan kondisi abnormal, maka peluang dua individu yang heterozigot bagi sifat ini adalah lebih besar jika mereka memiliki hubungan keluarga daripada jika mereka tidak memiliki hubungan keluarga. Mengingat bahwa orang tua yang mempunyai keluarga bisa mewarisi gen yang sama dari nenek moyangnya. b. Pewarisan Gonosomal (gonosomal inheritance).Pewarisan gonosomal adalah pewarisan yang dipengaruhi oleh kromosom seks. 1. Pewarisan Gen Resesif Terpaut Kromosom XSaatperkawin, ibu menyumbangkan satu kromosom X untuk anaknya, sementara ayah menyumbangkan satukromosomX untuk anak perempuannya dan satukromosomY untuk anak laki-lakinya. MisalkankromosomX abnormal dapat dinyatakan dengan dan kromosom X normal dengan X. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang dapat dinyatakan dengan kondisikromosomnya, yaitua) Wanita normal,kromosomb) Wanita karier,kromosomc) Wanita penderita,kromosom,dan 2 kondisi pada pria, yaitu:a) Pria normal,kromosomb) Pria penderita,kromosomBerdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara wanita penderita dengan pria penderita akan melahirkan anak dengan peluang 100% untuk terinfeksi.2. Pewarisan Gen Dominan Terpaut Kromosom XKromosom abnormal dapat dinyatakan dengan dan kromosom normal dengan . Karena genbersifat dominan, tidak terdapatkarier. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang dapat dinyatakan dengan kondisikromosomya, yaitu:a) Wanita normal,kromosom b) Wanita penderitaheterozigot,kromosom c) Wanita penderitahomozigot,kromosomdan 2 kondisi pada pria, yaitu:a) Pria normal,kromosomb) Pria penderita,kromosomBerdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara wanita penderitahomozigotdengan pria penderita akan melahirkan anak dengan peluang 100% untuk terinfeksi.2. KromosomBagian terkecil dari tubuh makhluk hidup dinamakan sel. Pada suatu jenis makhluk hidup sel-sel itu tidak selalu sama bentuknya, misalnya sel otot berbeda dengan sel syaraf maupun sel darah. Di dalam sel dari kebanyakan makhluk terdapat kromosom. Kromosom merupakan benda-benda halus berbentuk batang panjang/pendek dan lurus/bengkok yang berguna membawa bahan keturunan.Salah satu bagian kromosom adalah sentromer, yaitu bagian yang membagi kromosom menjadi dua lengan. Pada makhluk tingkat tinggi, sel somatis (sel tubuh kecuali sel kelamin) mengandung satu stel kromosom yang diterima dari kedua induk/orang tua. Kromosom-kromosom yang berasal dari induk betina berbentuk serupa dengan yang berasal dari induk jantan. Maka sepasang kromosom itu disebut kromosom homolog. Oleh karena itu jumlah kromosom dalam sel tubuh dinamakan diploid (2n). sel kelamin (gamet) hanya mengandung separuh dari jumlah kromosom yang terdapat di dalam sel somatis, karena itu jumlah kromosom dalam gamet dinamakan haploid (n). satu stel kromosom haploid dari suatu spesies dinamakan genom. Jumlah kromosom yang dimiliki berbagai macam makhluk hidup tidak sama, tetapi jumlah kromosom yang dimiliki tiap makhluk hidup pada umumnya tidak berubah selama hidupnya. Kromosom dibedakan atas autosom (kromosom tubuh) dan kromosom kelamin (kromosom seks) (Suryo, 2012: 41-42).3. Genetika MendelTeori mengenai sifat turun temurun pertama kali dikerjakan oleh rahib Austria yang bernama Gregor Mendel. Dalam salah satu percobaannya, Mendel menggunakan biji ercis (Pisum sativum). Mendel menggunakan biji ercis karena tanaman ini hidupnya tidak lama, memiliki bunga sempurna dan tanaman ini memiliki tujuh sifat dengan perbedaan yang mencolok (Suryo, 2012: 7). Mendel menyilangkan varietas biji ercis berbatang tinggi dengan varietas biji ercis berbatang kerdil, maka semua keturunan pertama seragam berbatang tinggi. Suatu tanda bahwa sifat tinggi mengalahkan sifat kerdil. Sifat demikian disebut sifat dominan. Sifat yang dikalahkan disebut sifat resesif. 4. Peristiwa Keacakana. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid)Monohibrid adalah perkawinan antara dua individu yang mempunyai satu sifat beda (Aa). Beberapa kesimpulan penting yang dapat diambil dari perkawinan dua individu dengan satu sifat beda antara lain:a) Semua individu F1 adalah seragamb) Jika dominasi nampak sepenuhnya, maka individu F1 memiliki fenotip seperti induknya yang dominan.c) Pada waktu individu F1 yang heterozigotik itu membentuk gamet-gamet terjadilah pemisahan alel, sehingga gamet hanya memiliki salah satu alel saja.d) Jika dominasi tampak sepenuhnya, maka perkawinan monohibrid (Tt x Tt) menghasilkan keturunan yang memperlihatkan perbandingan fenotip 3:1 (yaitu , tetapi memperlihatkan perbandingan genotip 1:2:1 (yaitu (Suryo, 2012: 10).Pada marmot, rambut marmot (seperti juga pada manusia, tikus, dll) ada yang hitam dan ada yang putih (albino). Marmot yang normal adalah yang berambut hitam, disebabkan ia memiliki gen dominan A yang menentukan pembentukan pigmen melanin. Alelnya a dalam keadaan homozigotik menyebabkan melanin tidak terbentuk, sehingga marmot berambut putih. Perkawinan antara marmot jantan hitam dengan marmot betina albino menghasilkan keturunan F1 yang semuanya hitam. Jika anak-anaknya dikawinkan sesamanya didapatkan keturunan F2 yang memperlihatkan perbandingan fenotip 3 hitam : 1 putih. Perbandingan genotipnya adalah 1 AA: 2 Aa : 1 aa (Suryo, 2012: 10)P: (albino) (hitam)F1: (hitam)

F2Tabel 2.1.Perkawinan antara marmut hitam dan albinoGenotipA

(hitam) (hitam)

(hitam) (albino)

b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid)Dihibrid adalah perkawinan dua individu yang memiliki dua sifat beda (AaBb). Pada hasil percobaan Mendel dengan tanaman ercis. Pada bijinya terdapat 2 sifat beda, yaitu soal bentuk biji dan warna biji. Kedua sifat beda ini ditentukan oleh gen-gen yang berbeda yaitu sebagai berikut:B = gen untuk biji bulatb = gen untuk biji keriputK = gen untuk biji kuningk = gen untuk biji hijau(Suryo, 2012: 26)Jadi bentuk bulat dan warna kuning adalah dominan. Jika tanaman ercis berbiji bulat-kuning homozigotik (BBKK) disilangkan dengan tanaman ercis berbiji keriput-hijau (bbkk), maka semua tanaman F1 berbiji bulat-kuning. Apabila tanaman-tanaman F1 ini dibiarkan menyerbuk sendiri, maka tanaman ini akan membentuk 4 macam gamet baik jantan maupun betina masing-masing dengan kombinasi BK, Bk, bK dan bk. Akibatnya dalam F2 diharapkan akan didapat kombinasi, yang terdiri atas 4 macam fenotip, yaitu tanaman berbiji bulat-kuning bagian), berbiji bulat-hijau bagian), berbiji keriput-kuning bagian), dan berbiji keriput-hijau bagian). Dua di antara keempat fenotip itu serupa dengan induknya semula, yaitu yang berbiji bulat-kuning dan yang berbiji keriput-hijau. Sedangkan dua fenotip lainnya merupakan hasil baru, yaitu yang berbiji bulat-hijau dan yang berbiji keriput-kuning.P:F1:Macam gamet yang dibentuk F2Tabel 2.2.Persilangan antara dua tanaman ercis dengan dua sifat beda.Genotip

BAB IIIMETODE PENULISANMetode penulisan adalah cara yang dipakai dalam mengumpulkan data. Tahapan penulisan meliputi: rancangan penulisan, objek penulisan, metode pengumpulan data, analisis data dan prosedur penulisan.A. Rancangan PenulisanRancangan penulisan pada dasarnya adalah rencana yang disusun menurut tahapan tertentu untuk mencapai tujuan yang ditetapkan dalam pelaksanaan penulisan.Kajian literatur atau metode penelitian kepustakaan (library reseach) yaitu sebagian besar tugas peneliti adalah berada di perpustakaan untuk mencari dan mengutip dari berbagai macam sumber literatur berkaitan dengan permasalahan yang hendak diteliti. Macam-macam sumber literatur antara lain: (a) buku yang relevan; (b) jurnal ilmiah; (c) majalah ilmiah; (d) laporan hasil penelitian; (e) surat kabar; dan sebagainya (Arifin, 2010: 39).Rancangan dalam penulisan ini adalah studi kepustakaan yaitu rancangan penulisan untuk menemukan penyelesaian permasalahan dalam menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n. Penulisan ini diawali dengan telaah pustaka terhadap aljabar matriks, yaitu peluang persilangan, matriks, nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, dan limit.B. Objek PenulisanObjek penulisan adalah sesuatu yang menjadi titik perhatian suatu penulisan. Penulis menentukan objek penulisan yaitu pewarisan genotip pada generasi ke-n. Penyelesaian pewarisan genotip generasi ke-n ini menggunakan distribusi peluang persilangan, diagonalisasi matriks dan limit.34

C. Instrument PenulisanInstrumen penulisan adalah semua alat yang digunakan untuk mengumpulkan, memeriksa, menyelidiki suatu masalah, atau mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menyajikan data-data secara sistematis serta objektif dengan tujuan memecahkan suatu persoalan atau menguji hipotesis (Agus, 2012).Jenis instrumen yang yang digunakan dalam penulisan ini adalah dokumentasi. Dokumentasi berasal dari kata dokumen, yang artinya barang- barang tertulis. Jadi, penulis menggunakan instrumen dokumentasi dengan cara menyelidiki benda-benda tertulis seperti buku-buku, jurnal-jurnal ilmiah dan referensi lainnya.D. Metode Pengumpulan DataMetode pengumpulan data merupakan teknik atau cara yang dilakukan untuk mengumpulkan data (Rini, 2012). Metode pengumpulan data yang dilakukan adalah studi kepustakaan terhadap buku-buku, jurnal-jurnal, dan sumber-sumber kepustakaan lainnnya baik melalui media cetak maupun media elektronik yang menunjang dan mendukung mengenai materi-materi yang berkaitan dengan aljabar matriks, distribusi peluang, diagonalisasi matriks, limit serta genetika.E. Analisis DataAnalisis data adalah proses untuk mencari dan menyusun secara sistematis data yang diperoleh dari hasil pengumpulan data (buku-buku yang relevan dan jurnal) dengan cara mengorganisir data ke dalam kategori, menjabarkan ke dalam unit-unit, melakukan sintesa, menyusun ke dalam pola, memilih mana yang penting dan yang akan di pelajari, dan membuat simpulan sehingga mudah dipahami oleh diri sendiri dan orang lain (Sidik, 2013).Cara yang digunakan penulis dalam menganalisis data yaitu:1. Menyeleksi data-data yang berhubungan dengan aljabar matriks dan genetika.2. Menyusun data-data yang sesuai dengan penulisan ini secara sistematis.3. Mengkaji kembali data-data yang telah disusun dengan tujuan agar mendapatkan gambaran yang lebih luas, mendalam dan terperinci tentang pengimplementasian diagonalisasi matriks pada penyelidikan pewarisan genotip pada generasi ke-n .4. Mengimplementasikan diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n.5. Menarik simpulan mengenai penyelesaian dari pewarisan genotip tersebutF. Prosedur PenulisanProsedur penulisan merupakan langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam melakukan penulisan. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:1. Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang berhubungan dengan topik yang diteliti.2. Memberikan deskripsi dan pembahasan lebih lanjut tentang matriks pada pewarisan autosomal dengan genotip pada sebuah populasi generasi ke-n.3. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut kemudian matriksnya didiagonalisasikan.4. Mencari bentuk persamaan eksplisit5. Mencari nilai limit dari hasil perhitungan tersebut.6. Memberikan kesimpulan akhir dari hasil pembahasan.

BAB IV

PEMBAHASAN MASALAHSetelah bab pendahuluan dan landasan teori di atas, maka selanjutnya peneliti akan membahas tentang implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n. Pada pembahasan ini akan dijabarkan bagaimana cara menentukan kromosom dari orang tua yang akan diteruskan kepada generasi berikutnya (keturunan). Yaitu perkawinan silang dua induk yang memiliki dua sifat beda (dihibrid) yang akan dikawinkan secara terkontrol.A. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan.Sifat yang diturunkan dalam hal ini diasumsikan diatur oleh dua kromosom (pembawa sifat) yang dilambangkan dengan huruf AABB dan aabb. Berdasarkan penurunan autosomal (autosomal inheritance), setiap individu dalam populasi masing-masing kelamin akan memiliki dua di antara kromosom-kromosom berikut, yakni pasangan-pasangan yang dinyatakan dengan AABB, AABb, Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb. Pasangan kromosom-kromosom ini disebut genotip (genotype) individu, dan genotip ini akan menentukan bagaimana suatu sifat yang dikendalikan oleh kromosom-kromosom tersebut dimanifestasikan pada suatu individu. Misalnya dalam pewarisan autosomal, suami istri masing-masing normal tetapi keduanya pembawa gen untuk albino. Maka pewarisan suami istri itu dapat digambarkan sebagai berikut:

38

Tabel 4.1Persilangan dua sifat beda antara laki-laki dan perempuan pembawa penyakit bagi warisan autosomalGenotipABAbaBab

ABAABBAABbAaBBAaBb

AbAABbAAbbAaBbAabb

aBAaBBAaBbaaBBaaBb

abAaBbAabbaaBbaabb

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa dari persilangan dihibrid bergenotip AABB, dari persilangan dihibrid bergenotip AABb, dari persilangan dihibrid bergenotip AAbb, dari persilangan dihibrid bergenotip AaBB, dari persilangan dihibrid bergenotip AaBb, dari persilangan dihibrid bergenotip Aabb, dari persilangan dihibrid bergenotip aaBB, dari aaBb dan dari persilangan dihibrid bergenotip aabb. Maka dapat dinyatakan bahwa dari anak mereka adalah normal (AABB) dan lagi carier atau penderita penyakit (aabb). Hasil dari persilangan karakter F1 kemudian akan menghasilkan F2 dengan pola distribusi .95

Dengan memperhatikan tabel di atas tentang persilangan dan kemungkinan-kemungkinan keturunan yang dihasilkan, maka selanjutnya akan dipaparkan secara langsung dari probabilitas dari genotip yang mungkin pada keturunan untuk seluruh kombinasi yang mungkin dari genotip induknya.

Tabel 4.2Peluang dari Persilangan Dua Individu untuk Pewarisan Autosomal

Genotip keturunanGenotip dari kedua orang tua

AABB-AABBAABB-AABbAABB-AAbbAABB-AaBBAABB-AaBbAABB-AabbAABB-aaBBAABB-aaBbAABB-aabbAABb-AABbAABb-AAbbAABb-AaBBAABb-AaBbAABb-AabbAABb-aaBBAABb-aaBbAABb-aabbAAbb-AAbbAAbb-AaBBAAbb-AaBbAAbb-AabbAAbb-aaBBAAbb-aaBbAAbb-aabbAaBB-AaBBAaBB-AaBbAaBB-AabbAaBB-aaBBAaBB-aaBbAaBB-aabbAaBb-AaBbAaBb-AabbAaBb-aaBBAaBb-aaBbAaBb-aabbAabb-AabbAabb-AaBBAabb-aaBbAabb-aabbaaBB-aaBBaaBB-aaBbaaBB-aabbaaBb-aaBbaaBb-aabbaabb-aabb

AABB100000000000000000000000000000000000

AABb0100000000000000000000000000000

Aabb0000000000000100000000000000000000000

AaBB0000100000000000000000000000000

AaBb0000010000100000000000

Aabb0000000000000000100000000000000

aaBB000000000000000000000000000000001000

aaBb0000000000000000000000000000010

aabb000000000000000000000000000000000001

B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan GenotipDalam pembahasan ini akan dibahas tentang bagaimana cara kromosom dari orang tua yang diteruskan pada keturunannya. Matriks yang akan dibentuk menunjukkan genotip yang mungkin pada keturunan dengan mengacu pada genotip induknya, sehingga akan diperoleh distribusi genotip dari satu populasi sampai generasi-generasi selanjutnya.Untuk lebih memperjelas implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki keturunan sampai generasi ke-n, maka digunakan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:1. Bentuklah persamaan linier dari tabel yang menjelaskan tentang peluang dari masing-masing genotip, sehingga didapat persamaan dalam notasi matriks dan bentuklah matriks A.2. Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga diperoleh pula vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut.3. Bentuklah matriks P dari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut.4. Subtitusikan matriks A dengan matriks D yang sudah terlebih dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P kemudian bentuklah sebuah persamaan eksplisit.5. Carilah limit dari masing-masing persamaan untuk n menuju tak hingga.Berdasarkan langkah-langkah di atas maka pewarisan autosomal dan penyakit yang terpendam dapat ditampilkan sebagai berikut:

1. Pewarisan AutosomalKemungkinan-kemungkinan dari genotip yang memiliki individu dari hasil persilangan adalah sebagai berikut:Tabel 4.3Peluang Genotip Persilangan Individu Normal Heterozigot dengan Individu CarierGenotip dari keturunanGenotip dari kedua orang tua

AABB-AABBAABB-AABbAABB-AAbbAABB-AaBBAABB-AaBbAABB-AabbAABB-aaBBAABB-aaBbAABB-aabb

AABB100000

AABb0100000

Aabb000000000

AaBB000010

AaBb000001

Aabb000000000

aaBB000000000

aaBb000000000

Aabb000000000

Langkah 1: Bentuklah persamaan linier dari tabel peluang masing-masing genotip sehingga diperoleh persamaan dalam bentuk matriks dan buatlah matriks A.Untuk menghitung probabilitas gen yang dimiliki satu individu maka dapat dibuat:untuk fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABB pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AAbb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBB pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip Aabb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBB pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aabb pada generasi ke-nSehingga serta menyatakan distribusi permulaan dari genotip-genotip itu. Selain itu juga terdapat: untuk Dari tabel tersebut dapat ditentukan distribusi genotip setiap generasi dari distribusi genotip generasi terdahulu dengan menggunakan persamaan. Dimana persamaan itu menyatakan bahwa semua turunan yang dihasilkan yakni dari individu yang bergenotip AABB, AABb, Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb yang dinyatakan dalam . Sedangkan koefisien-koefisien dari ketiga persamaan itu berasal dari probabilitas genotip yang mungkin dimiliki oleh individu tersebut dari hasil perkawinan, persamaan itu adalah: (3.1)Pada persamaan (3.1) dari kesembilan persamaan di atas menunjukkan bahwa seluruh keturunan pada genotip AABB akan mempunyai genotip AABB dalam program pengembangbiakan ini, setengah dari keturunan dengan genotip AABb, AaBB dan AaBb akan mempunyai genotip AABB dalam program pengembangbiakan ini, dan nol dari turunan dengan genotip Aabb, Aabb, aabb, aaBB dan aaBb akan mempunyai genotip AABB.Kemudian dapat ditulis persamaannya dalam notasi matriks berikut: (3.2)Dimana , dan Langkah 2: Carilah nilai eigen dari matriks A dan mencari vektor eigen dari masing-masing nilai eigen.Dengan menggunakan matriks A di atas, maka dapat dicari nilai eigen dan vektor eigen yaitu:

Atau dengan menggunakan software maple (terlampir halaman 93) maka didapat nilai eigen sebagai berikut:, , , , , Selanjutnya mencari vektor eigen dari masing-masing nilai eigen. Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut Sehingga persamaan yang bersesuaian adalah:, ,, , . Maka dan Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah:

Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:, ,, ,, ,, .Ambil , misalkan Maka , , , dan Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah: Ambil , maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:, ,, ,, ,, ,Ambil , misalkan Maka , , , dan Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah Untuk

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan: Maka sistem persamaan yang sesuai adalah:, ,, ,, ,, Ambil Maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah: Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah: Ambil , maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah: Ambil dengan maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah Untuk

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah: Ambil dengan maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah: Ambil , dengan maka Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

Langkah 3: membentuk matriks P dari vektor-vektor eigen yang sesuai dengan nilai-nilai eigenAkhirnya diperoleh: Dan Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari matriks P dengan cara mereduksi matriks P menjadi matriks identitas.

Dalam perhitungan manual didapatkan invers matriks P adalah Perhitungan invers manual ini diperkuat dengan perhitungan menggunakan maple (terlampir halaman 94) yakni:

Langkah 4: mensubtitusikan matriks A dengan matriks D yang terlebih dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P dan kemudian bentuklah sebuah persamaan eksplisitnya.Pada persamaan (3.2) jika A dipangkatkan 2, maka persamaan tersebut menjadi: Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih tinggi, sehingga hasil umumnya adalah: (3.3)Sebagai konsekuensinya, jika kita dapat mencari sebuah pernyataan eksplisit untuk , maka dapat digunakan persamaan (3.3) untuk mendapatkan pernyataan eksplisit . Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk , maka mula-mula dengan cara mendiagonalisasikan matriks A. Yakni, kita cari matriks P yang dapat dibalikkan dan matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga: Dengan diagonalisasi seperti itu, maka diperoleh: untuk (3.4)Dimana Berdasarkan persamaan , sehingga diperoleh:

Oleh karena Sehingga (3.5)Persamaan di atas merupakan persamaan eksplisit untuk pada generasi ke-n ditinjau dari fraksi-fraksi genotip awal.

Langkah 5: Carilah masing-masing limit persamaan untuk n menuju tak hingga.Karena cenderung mendekati nol untuk n menuju tak hingga, maka limit dari persamaan di atas adalah: Sehingga diperoleh:, , , , , , , , . Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk n mendekati tak hingga, pewarisan pada generasi ke-n semuanya bergenotip AABB atau dengan kata lain Normal.

2. Penyakit-penyakit Resesif AutosomalSuatu sifat keturunan yang ditentukan oleh sebuah gen resesif pada autosomal baru akan tampak bila suatu individu menerima gen itu dari kedua orang tuanya. Biasanya kedua orang tua nampak normal, walaupun sebenarnya pembawa gen resesif dimana masing-masing heterozigot (AaBb). Dengan kata lain penyakit genetik ini dipengaruhi oleh penurunan autosomal di mana sebuah gen AB mendominasi sebuah gen abnormal ab.Misalkan dilaksanakan program untuk mengidentifikasi pembawa penyakit tersebut, dan semua pembawa penyakit yang diidentifikasi tersebut menyepakati untuk tidak menghasilkan turunan diantara sesama mereka. Dengan cara ini, semua anak masa depan akan mempunyai orang tua normal (AABB-AABB), (AABB-AABb), (AABB-AaBB) dan seorang orang tua penderita penyakit (AABB-AaBb). Sebagai konsekuensinya, maka tidak ada anak masa depan akan menderita penyakit tersebut. Walaupun di dalam generasi masa depan masih terdapat pembawa penyakit berdasarkan pelaksanaan program perkawinan terkontrol maka dapat ditentukan fraksi pembawa penyakit (carier) pada generasi-generasi akan datang. untuk Oleh karena tiap turunan mempunyai sedikit-dikitnya satu orang tua normal, maka ditinjau dari program perjodohan terkontrol sebagai sebuah program perjodohan yang berlangsung terus menerus dengan genotip AABB. Jadi peralihan distributip ke generasi berikutnya ditentukan oleh persamaan: untuk Dengan , Dan A adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan genotip yang dimiliki turunan tersebut.Tabel 3.4Peluang Genotip Persilangan Dihibrid antara Laki-laki Normal dan Perempuan CarierGenotip dari keturunanGenotip dari kedua orang tua

AABB-AABBAABB-AABbAABB-AaBBAABB-AaBb

AABB1

AABb00

AaBB00

AaBb000

Dengan keterangan:AABB, AABb dan AaBB: Individu NormalAaBb: Individu pembawa (Carier) penyakit tetapi tidak menderita penyakit

Langkah 1: Bentuklah persamaan linier dari tabel peluang masing-masing genotip dan bentuklah matriks A.Untuk menghitung probabilitas gen yang dimiliki satu individu maka dapat dibuat:untuk fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABB pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABb pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBB pada generasi ke-n fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBb pada generasi ke-nPersamaan linier yang dapat dibentuk sebagai berikut: Sehingga diperoleh matriks A sebagai berikut:

Langkah 2: Carlah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A Untuk mencari nilai eigen maka yang dilakukan sebagai berikut:. Atau melalui program maple (terlampir halaman 95) maka diperoleh nilai eigen sebagai berikut: ,,, danSetelah memperoleh nilai eigen, langkah selanjutnya adalah mencari vektor eigen untuk masing-masing nilai eigen: Untuk

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang sesuai adalah: Ambil untuk setiap Maka Sehingga vektor eigen yang sesuai adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang sesuai adalah: Ambil dan untuk setiap Maka Sehingga vektor eigen yang sesuai adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang sesuai adalah: Ambil dan untuk setiap Maka Sehingga vektor eigen yang sesuai adalah Untuk Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut: Maka sistem persamaan yang sesuai adalah:, ,. Ambil untuk setiap Maka Sehingga vektor eigen yang sesuai adalah

Langkah 3: Bentuklah matriks diagonal dari nilai eigen dan matrik P dari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen.Dari nilai-nilai eigen di atas maka matrik diagonal yang dibentuk sebagai berikut: Dari vektor eigen di atas maka matrik baru yang dibentuk sebagai berikut: Langkah selanjutnya adalah mencari invers matriks P dengan mereduksi matriks P menjadi matriks identitas: Dari perhitungan manual didapat invers P adalah Perhitungan invers secara manual ini diperkuat dengan hasil perhitungan melalui software maple (terlampir halaman 96) yang mana hasil invers P adalah:

Langkah 4: Subtitusikan matriks A dengan matriks D yang terlebih dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P kemudian bentuklah persamaan eksplisitnya.Mengingat bahwa maka: Oleh karena Maka: (3.6)

Langkah 5: Carilah limit dari masing-masing persamaan dengan n menuju tak hingga.Untuk n menuju tak hingga, maka limit dari persamaan (3.6) adalah: Sehingga diperoleh: ,, ,. Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk n mendekati tak hingga, pewarisan pada generasi ke-n semuanya bergenotip AABB atau normal.

BAB VPENUTUP

A. SimpulanBerdasarkan rumusan masalah dan pembahasan yang telah dipaparkan, peneliti menyimpulkan :1. Genotip yang dihasilkan pada keturunan generasi ke-n atas persilangan terkontrol dihibrid adalah semuanya akan memiliki genotip AABB (Normal).Sedangkan untuk keturunan yang bergenotip AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb dan aabb pada pewarisan genotip generasi ke-n adalah nol/tidak ada.2. Persamaan eksplisit yang dihasilkan dari tabel persilangan dihibrid adalah : 92

Untuk menyelesaikan persamaan awal di atas dapat menggunakan langkah sebagai berikut: bentuklah matriks A, carilah nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga diperoleh pula vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut. Bentuklah matriks P dari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut. Subtitusikan matriks A dengan matriks D yang sudah terlebih dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P kemudian bentuklah sebuah persamaan eksplisit. Carilah limit dari masing- masing persamaan untuk n menuju tak hingga. Adapun hasil yang diperoleh dari ersamaan eksplisit di atas adalah semua keturunan di generasi ke-n adalah NORMAL.B. SaranSetelah peneliti menyimpulkan sebagaimana tersebut di atas, saran yang dapat disampaikan peneliti adalah sebagai berikut :1. Pembahasan tentang genetika ini selain menggunakan matriks dalam penyelesaiannya, dapat juga menggunakan metode lain untuk perkawinan trihibrid atau polyhibrid.2. Penelitian ini dapat diteruskan melalui metode lain selain matriks.

DAFTAR PUSTAKA93

A Rifai, Mien. 2004. Kamus Biologi. Jakarta: Balai Pustaka.

Anton, H. 2011. Dasar-Dasar Aljabar Linier Jilid 1. Jakarta: Binapura Aksara.

Anton, H dan Rorres, C. 2011. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan/ Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

Anton, H dan Rorres, C. 2011. Penerapan Aljabar Linier. Terjemahan: Pantur Silaban. Jakarta: Erlangga.

Arifin, Zaenal. 2010. Metodologi Penelitian Pendidikan Filosofi, Teori dan Aplikasi. Surabaya: Lentera Cendikia

Jeinne, M. 2013. Pewarisan Autosomal dengan Model Diagonalizable Matrix. Istech vol 5: 92-99. Agustus 2013

Karmana, Oman. 2008. Biologi untuk Kelas XII Semester 1 Sekolah Menengah Atas. Bandung: Grafindo Media Pratama.

Rini, Priani. 2012. Metode Pengumpulan Data. http://prianirini.blogspot.com/2012/11/metode-pengumpulan-data.html [2Desember 2013]

Sidik, Nur. 2013. Analisis Data. http://sidicq.wordpress.com/2013/11/04/analisis- data/ [2 Deesmber 2013]

Subagio A, Suharti. 1986. Buku Materi Pokok Matriks PMAT 2234/2SKS/Modul 1-3. Jakarta: Karunika Jakarta Universitas Terbuka.

Suryo. 2012. Genetika untuk Strata 1. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

W Kimball, John. 2005. BIOLOGI Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Yasin, Sulkan dan Hapsoyo, Sunarto. 1990. Kamus Bahasa Indonesia. Surabaya: Mekar Surabaya

92

LAMPIRAN 1Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Invers Matriks Baru yang Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan Individu Normal Heterozigot dan Carier dengan Softwere Maple dan Microsoft Mathematic. >

Setelah matriks terbentuk, maka klik kanan pada matrik dan pilih aljabar linier dan setelah itu pilih characteristic polynomial, eigenvalues, eigenvektor.

untuk mencari inves kita menggunakan maple ketik matriks yang akan dicari inversnya, kemudian klik kanan pilih standart operations kemudian pilih invers dan hasilnya adalah sebagai berikut:>

LAMPIRAN 2Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Invers Matriks Baru yang Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan Dua Sifat Beda antara Laki-Laki Penderita dan Perempuan Normal dengan Softwere Maple>

Setelah matriks terbentuk, maka klik kanan pada matrik dan pilih aljabar linier dan setelah itu pilih characteristic polynomial, eigenvalues, eigenvektor

Untuk mencari invers matriks ordo 5 x 5, maka klik

Maka invers yang di dapat:

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama: Dedi HariyantoNIM: 105.532Program Studi: Pendidikan MatematikaJudul :Implementasi Diagonalisasi Matrik untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri; bukan merupakan pengambilalihan tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri.Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Jombang, 5 Maret 2014Yang Membuat Pernyataan

Dedi Hariyanto