Univerzitet u Novom SaduTehniki fakultetMihajlo PupinZrenjanin

Seminarski rad

Tema: Vektori

Matematika 1

Mentor: Student: prof. dr Momilo Bjelica Radenko Savi IT100/12

Zrenjanin, 2013. godineSADRAJ:

1. Uvod32. Vektor i skalar43. Podela vektora prema prirodi fizike veliine54. Proizvod i kolinik vektora i skalara55. Jedinini vektor ili ort vektora66. Vektor poloaja ili radijus vektor67. Sabiranje i oduzimanje vektora68. Razlaganje vektora na komponente79. Kolinearni i komplanarni vektori810. Projekcija vektora911. Prouavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora912. Skalarni ili unutranji proizvod vektora1013. Vektorski ili spoljasnji proizvod dva vektora1214. Orijentacija povrine i predstavljanje povrine vektorom1415. Proizvod tri vektora1516. Literatura18

1. Uvod

Holananin Simon Stevin, po prvi put od svih naunika, pominje vektore u svojim delima 1585. godine. On je preko usmerenih dui dao princip paralelograma sila. Mehanika, tj. njen deo statika je prva nauka u kojoj je nastao vektor, a sila je predstavljala konkretni obrazac vektorske veliine. Razvojem mehanike fiziari su dolazili do novih otkria i zakljuaka, koji su sadrali odnose vektorskih veliina, odnosno svi zakoni mehanike su se odnosili na usmerene fizike veliine (i u statici, kinetici i dinamici). Sto godina nakon Stevinovog dela, Njutn izlae svoj drugi zakon gde dokazuje da su ubrzanje i sila uvek jednako usmereni. Jednom reju fiziari I matematiari su pronali mnogo vanih odnosa meu vektorima I negovorei o njima.Prve operacije sa vektorima predstavljao je elementarni geometriski metod, pomou kojeg je vektor uziman kao celina I predstava jedne fizike veliine. Ali to nije zadovoljavalo komplikovane zadatke mehanike I to naroito u prostornom prikazivanju.1637. Descartes uvodi koordinatni sistem. Neto kasnije kad je uveden koordinatni sistem sa tri koordinate mnogo je bilo lake raunanje u prostoru pomou istog. Time dobijamo novi metod raunanja sa vektorskim veliinama, analitiki metod. Ovaj metod je poeo uvoditi Parent 1700-te godine ali ga je u stvari razvio Klero tek 1731. godine. U svom delu Recherches sur les courbes a double courbure. Analitiki metod vektorske veliine nije predstavljao niti nazivao vektorima, nego je vektor razlagao na tri komponente po koordinatnim osama u prostoru i smatrao ih skalarima, te je s njima raunao kao sa obinim matematikim funkcijama, primenjujui na njih obine zakone algebre i analize beskonano malih veliina.U XVII i XVIII veku Deskartesov sistem je postao univerzalan pa su ga koristili i veliki matematiari tog doba. Analitiki metod u tom dobu dostie kulminaciju ba u delu Lagranea Analitika mehanika, koja je objavljena 1788. godine u Parizu. U ovom delu nema crtea, nego je sve svedeno na matematike algebarske operacije, pa su geometriske kao i mehanike veliine podvrgnute algebarskom raunu analitikim metodom (za svaku geometrisku veliinu koja je postavljala neku fiziku veliinu, uzima se po tri broja koji predstavljaju komponente na koordinatnim osama). Mnogi naunici su te geometriske veliine, dakle i vektorske veliine, posmatrali u celini. Posmatrali su ih izolovano, pa i pored svojih vanrednih genijalnosti nisu uspeli dati prost, jasan i pristupaan metod operisanja sa tim veliinama.I pored pozitivnih strana analitikog metoda, istina je da vektorska veliina, koju taj metod razlae na tri komponente, predstavlja neku fiziku veliinu u celini i kao celina, tj. analitiki metod je rastavlja pa te delove analizira bez veze sa celinom; ne vodi rauna o fizikoj stvarnosti koju vektor odraava i prikazuje. Vektor kao konkretno jedinstvo brojne veliine, pravca i smera u analitikom metodu izgubi svoje kvalitete i razlae se na svoje delove, koji su drugaijeg karaktera, nego to je sam vektor, a da se i ne govori o fizikoj stvarnosti.Znai, kod analitikog metoda se umesto jednog broja upotrebljavaju tri, pa je vrlo velik broj analitikih jednaina a esto je i sloenost vea pod uticajem izabranog koordinatnog sistema.Razvojem fizike i mehanike u drugoj polovini 19-tog veka ponovo se prilo posmatranju. To je opet upotreba ranijeg geometriskog metoda ali ipak na viem stepenu. Uzimajui vektor kao celinu stvori se novi aparat kako za obeleavanje, tako i za prouavanje i prikazivanje. Pronaeni su i novi metodi vektorske algebre, analize i uopte teorija vektora.

2. Vektor i skalar

Poznato je da se neke fizike veliine mogu prikazivati jednim brojem. Ogovarajui brojevi odreenih jedinica ne zahtevaju nove dopunske komponente za karakterisanje veliine koju prikazuju. Te veliine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivaju se skalarne veliine ili skalari. Broj koji tu veliinu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrednost skalarne veliine. Brojevi moraju biti realni, a mogu biti pozitivni i negativni. Zato se obina algebra moe smatrati kao skalarna algebra.Prirodno, skalari potiu iz fizike, ali oni su i fizike i matematike veliine. Priroda skalarnih fizikih veliina ne iscrpljuje se jednim brojem koji predstavlja njenu vrednost, tj. njena brojna vrednost nije njena jedina karakteristika. Na primer masa; jedna njena karakteristika je odgovarajui broj jedinica ali ona je i mera za inerciju tela. Skalarne veliine se oznaavaju obinim slovima kao t (vreme), m (masa), V (zapremina) itd.Vrlo su vane veliine koje se ne mogu ba najbolje prikazati jednim brojem. Ako uzmemo, na primer silu. Na neko telo moe delovati manja ili vea sila pa to predstavlja intezitet. Odmah se postavlja pitanje u kom pravcu deluje ta sila, ali i pravac ima dva smera, to znai...Ovakve veliine su orjentisane i nazivaju se vektorske veliine ili vektori.Znai karakteristike vektora su;1. intezitet (jaina)2. pravac3. smer.Intezitet vektora se moe nazvati i duinom vektora, veliinom vektora, mernim brojem vektoraitd. Ali intezitet nije nita drugo nego apsolutna vrednost vektora.Za vektorske veliine vai slino kao i za skalarne veliine (da imaju razliita svojstva prema svojoj prirodi) pa se ne moe rei da ih navedena tri svojstva vektora potpuno karakteriu. Ali, za kvantitativno fiziko prikazivanje, ispostavlja se da su ta tri elementa vektora vrlo efikasni, pa je utoliko vea i njihova vanost, ako i vektora uopte.Vektor se predstavlja usmerenom dui, a duina dui predstavlja veliinu vektora. Vektor ima poetnu taku ili poetak i naravno krajnju taku ili kraj. Smer vektora oznaava se strelicom na kraju dui.

A-poetak vektora; B-krajnja taka vektora

Vektori se obeleavaju malim slovima latinice sa strelicom iznad () ili velikim slovima latinice sa strelicama ().

Brojna vrednost vektora ili modul vektora oznaavamo istim slivom kao i vektor, ali bez strelice, npr. Modul vektora oznaavamo sa | |.Apsolutna vrednost (intezitet) vektora je skalarna veliina koja ne moe biti negativna.Dva vektora su meusobno jednaka ako su jednaki njihovi inteziteti (apsolutne vrednosti), ako su istog pravca i istog smera.

ako su sve tri karakteristike vektora jednake. Dva jednaka vektora ne moraju biti prestavljeni jednom istom usmerenom dui ve to mogu biti i paralelne dui.

Ako je vektor nepokretan, onda se vektor , koji mu je jednak, moe paralelnim pomeranjem poklopiti sa vektorom tj. Take A i C e se pokolopiti, kao poetne i take B i D kao zavrne.

Nulti vektor je onaj vektor ija je duina jednaka nuli.

Poetak i kraj nulti vektora se nalaze u jednoj taki. Svi nulti vektori su meusobno jednaki. Oni mogu biti bez pravca pa se predstavljaju kao geometriska taka. Ali, ako nulti vektor predstavlja limes vektora konane duine koja opada prema nuli onda se smatra da nulti vektor uzima pravac tog vektora. Nulti vektor se smatra bez orjentacije i to tako da se obini vektor ne menja sabiranjem sa nultim vektorom, a proizvod obinog i nultog vektora je jednak nuli.

3. Podela vektora prema prirodi fizike veliine

Poetak vektora posmatran kao napadna taka vektora moe biti proizvoljno uzet, a moe biti odreen u izvesnom domenu ili potpino u itavom prostoru pa prema tome vektori se dele na:1. SLOBODNI VEKTORI kod ovog vektora napadna taka se moe proizvoljno izabrati u prostoru pri emu modul, pravac i smer vektora ostaju nepromenjeni. Slobodni vektor se moe paralelno pomerati, a da ne doe do ikakve promene. Kao primer slobodnog vektora uzimamo brzinu translatornog kretanja tela. Svaka taka tela ima istu brzinu pri translatornom kretanju pa zato moemo odabrati bilo koju za napadnu taku naeg slobodnog vektora.2. LINISKI VEKTORI kod ovog vektora se poetna taka moe pomerati po liniji koja se poklapa sa pravcem vektora. Primer klizeeg vektora je vektor sile koja deluje na vrsto telo. Pomeranje napadne take sile du prave koja se poklapa sa pravcem sile ne remeti prvobitno kretanje.3. VEZANI VEKTORI ovom vektoru odreena je poetna taka pa se on ne moe pomerati, jer e u razliitim takama biti drugaiji. Primer vezanog vektora je vektor polja gde je u svakoj taki polja razliiti vektor kao predstavnik fizike veliine u dotinom polju.

4. Proizvod i kolinik vektora i skalara

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta vee apsolutne vrednosti koliko taj skalar ima jedinica. Istog smera ako je skalar pozitivan, a suprotnog ako je negativan. To znai da je proizvod vektora i skalara k novi vektor , koji ima isti pavac kao i vektor i isti smer ako je k>0, a suprotan smer ako je k