VEKTORI U PROSTORU 

A 

B 

BAAB ,

VEZANI VEKTORI 

Uređeni par                     tačaka  A i B, sa svim tačkama izmedju njih na pravoj AB, je orijentisana duž ili vezani vektor                                                             čija je A početna tačka, a B završna tačka.  BAAB ,

BA,

A 

B 

VEZANI VEKTORI 

Prava AB koja prolazi kroz tačke A i B je nosač vezanog vektora                      .             BAAB ,

p 

BAAB ,

A 

B 

VEZANI VEKTORI 

BAAB ,

C 

D 

Vezani vektori                         i                           su istog pravca ako imaju paralelne nosače.    

DCCD ,

BAAB , CDAB

BAAB ,

VEZANI VEKTORI 

A 

B 

C 

D 

A 

B C 

D 

Vektori  istog pravca  mogu biti istog ili suprotnog smera.  Vektori                                 i                                     su  istog smera ako su tačke B i D sa iste strane prave AC,  a suprotnog smera ako su tačke B i D sa raznih strana prave AC.  

DCCD ,

A 

B 

BAAB ,

VEZANI VEKTORI 

Intezitet             vektora                              je rastojanje izmedju   tačaka  A i B, odnosno dužina duži AB. 

BAAB ,

p 

AB

A 

B 

a

ABa

BAAB ,

SLOBODNI  VEKTORI 

C 

D E 

F 

Skup svih vezanih vektora istog pravca, smera i inteziteta je slobodni vektor    .  Slobodni vektor        se zadaje jednim proizvoljnim predstavnikom                   .  Svaka dva predstavnika se translatornim kretanjem mogu dovesti do poklapanja. 

aABa

a

A 

B 

a

ABa

SLOBODNI  VEKTORI 

C 

D E 

F 

Pravac, smer i intezitet slobodnog vektora je pravac, smer i intezitet bilo kog njegovog predstavnika.   Vektor inteziteta nula je nula vektor. Vektor inteziteta jedan je jedinični vektor. 

NADOVEZANI  VEKTORI 

  Vektori takvi da se pocetna tačka narednog poklapa sa završnom tačkom prethodnog nazivaju se nadovezanim vektorima.  

C 

a

b

A  B 

D 

c

SABIRANJE  VEKTORA – PRAVILO TROUGLA 

Zbir dva nadovezana vektora                i                 je  vektor                                        čija je početna tačka,  početna tačka prvog, a završna tačka je završna tačka drugog vektora. Zbir dva slobodna vektora                      i                       je slobodni vektor                                                                         čiji je predstavnik vektor                                      koji   predstavlja zbir dva nadovezana predstavnika vektora           i         .  

a

b

ba

A  B 

C 

AB BC BCABAC

ACba

ABa BCb

BCABAC

a b

SABIRANJE  VEKTORA – PRAVILO PARALELOGRAMA 

a

bba

A  B 

C 

b

a

Zbir dva vektora sa zajedničkom početnom tačkom je vektor koji predstavlja orjentisanu dijagonalu paralelograma konstruisanog nad tim vektorima, sa početnom tačkom koja se poklapa sa početnom tačkom tih vektora.  

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM 

A 

B 

a

a

0a

0Vektor           pomnožen skalarom           je vektor               Istog pravca sa vektorom        ,  inteziteta                    ,  Istog smera sa vektorom            za                      a  Suprotnog smera u odnosu na vektor              za                 . 

a a

a a

a 0a 0

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM 

A 

B 

a

Vektor inteziteta 0 je nula vektor        .  Vektor          pomnožen skalarom                      je suprotan vektor           .     Zbir vektora i njemu suprotnog vektora je nula vektor:  

a 1

aA 

B 

a

00

a 0 aa

RAZLIKA VEKTORA 

a

ba

A B 

C 

b

a

b

baba

Razlika                        dva vektora          i         je zbir prvog vektora i vektora   suprotnog drugom vektoru:    

ba a b

baba

b

KOLINEARNOST VEKTORA 

A 

B 

a

a

0

Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac.   Dva vektora               i            su kolinearni ako i samo ako je za neko                                       ,                        . 0, R ab

a

b

Dva nenula vektora su kolinarni ako se translatornim kretanjem mogu dovesti u položaj da pripadaju istoj pravoj. 

KOMPLANARNOST VEKTORA 

Tri ne nula vektora su komplanarni ako se translatornim kretanjem mogu dovesti u položaj da pripadaju istoj ravni.  Tri vektora            ,         i            su komplanarni ako i samo ako postoje                            ,  od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je                                    .   Kaže se da je vektor          linearna kombinacija vektora           i         ili da je vektor razložen na komponente kolinearne sa         i        .                                               

R,a

b

a

c

A  B 

C 

b

D 

cbac

c a

ba

bc

NEKOMPLANARNI VEKTORI 

A 

O 

B 

C 

D 

E F 

a b

c d

Vektori koji nisu komplanarni su nekomplanarni vektori. Nijedan od tri nekomplanarna vektora ne može se izraziti kao linearna kombinacija preostala dva vektora. Svaki četvrti vektor u prostoru je linerna kombinacija tri nekomplanarna vektora  Odnosno svaki četvrti vektor se može razložiti na komponente kolinearne sa tim vektorima. Ovo razlaganje je jedinstveno.  

cbad

KOORDINATNI SISTEM 

A 

O 

B 

C 

D 

E F 

a b

c d

  Nekoplanarni vektori                   čine bazu, a skalari                        su koordinate vektora           u toj bazi.  Uredjena trojka nekomplanarnih vektora sa zajedničkom početnom tačkom O čini trijedar. Trijedar odredjuje koordinatni sistem. Zajednička početna tačka je koordinatni početak, a koordinatne ose su odredjene pravcem i smerom vektora trijedra.  

cba ,, ,,

d

cbad

),,( d

ORJENTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA 

Levi trijedar Levi koordinatni sistem 

Desni trijedar Desni koordinatni sistem 

a b

c

ab

c

Orjentacija zavisi od redosleda  vektora.  Ako dva vektora u svom redosledu zamene mesta, orjentacija trijedra i koordinatnpg sistema se menja.                    

),,( cba

DEKARTOV PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM 

Levi trijedar Levi koordinatni sistem  

Desni trijedar Desni koordinatni sistem  

Tri uzajamno ortogonalna jedinična vektora su nekomplanarni i čine ortonormiranu bazu. Trijedar koji čine tri uzajamno ortogonalna jedinična vektora odredjuju Dekartov pravougli koordinatni sistem. Zavisno od orjentacije trijedra, koordinatni sistem je levi ili desni.  

i

j

k

O  x 

y 

z 

i

j

k

O  x 

y 

z 

i j

k

O  x 

y 

z 

Desni trijedar 

DEKARTOV PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM 

ij

k i

j

k

Desni trijedar Desni koordinatni sistem  

Levi trijedar Levi koordinatni sistem 

O  O x 

y 

z x 

y 

z 

kajaiaOEODOCOEOBOAa zyx

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E 

D  B 

a

xa

ya

za

KOORDINATE VEKTORA 

KOORDINATE VEKTORA 

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E F 

D  B 

Svaki vektor u prostoru se može razložiti na komponente kolinearne sa vektorima                             t.j. svaki vektor u prostoru se može predstaviti kao linearna kombinacija uzajamno   ortogonalnih jediničnih vektora baze       ,     ,       :                                                     . 

i

j

k

i

j

k

kajaiaa zyx

a

KOORDINATE VEKTORA 

),,( zyxzyx aaaakajaiaa

zyx aaa ,, su koordinate vektora  a

a

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E F 

D  B 

KOORDINATE VEKTORA 

),,( zyxzyx aaaakajaiaa

Koordinate vektora ne zavise od njegovog položaja u prostoru odnosno koordinate slobodnog vektora su koordinate proizvoljnog njegovog predstavnika.  

i

j

k a

xa

ya

za

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E F 

D  B 

a

KOORDINATE VEKTORA 

zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,

zzyyxx babababa

i

j

k

Razlaganje vektora na komponente kolinearne sa vektorima baze 

je  jednoznačno. 

Vektori su medjusobno jednaki ako i samo ako su im jednake koordinate. 

zyxzyx aaakajaiaa ,,

2222zyx aaaa

INTEZITET  VEKTORA 

2222 OEOBOAa

2222 OEODOCa

222zyx aaaa

Intezitet vektora: 

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E F 

D  B 

a

PRIMER 

Intezitet vektora: 

)4,0,3( a

)1,2,2( a 525403 222 aje 

39122 222 aje 

)4,4,4( a 3443444 2222 aje 

zyxzyx aaakajaiaa ,,

2222zyx aaaa

aaxcos a

aycos

aazcos

1coscoscos 222

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E 

D  B 

a

xa

ya

za

gde su  redom uglovi sa koordinatnim osama 

,,

zyx ,,

KOSINUSI UGLOVA KOJE VEKTOR GRADI SA KOORDINATNIM OSAMA 

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E 

D  B 

a

xa

ya

za

Data je kocka osnovne ivice                    sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena i leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. Odrediti uglove koje vektor             gradi sa koordinatnim osama. 

1a

OA

33

31cos

aax

kjiOAa

)1,1,1(OAa

3111 2222a 3a

33

31cos

aay

33

31cos

aaz

PRIMER 

i

j

k

O x 

y 

z 

C 

A 

E 

D  B 

b

xa

ya

za

Data je kocka osnovne ivice                    sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OB je dijagonala donje osnove  te kocke. Odrediti uglove koje vektor             gradi sa koordinatnim osama. 

1a

OB

22

21cos

bbx

jiOBb

)0,1,1( OBb

2011 2222

b

2b

22

21cos

b

by

02

0cos bbz

0454

0454

0902

PRIMER  

Odrediti kosinuse uglove koje vektor                                          gradi sa koordinatnim osama. 

)1,2,2( a

39122 222 a

PRIMER 

32cos

aax

32cos

aay

31cos

aaz

Odrediti uglove koje vektor                                          gradi sa koordinatnim osama. )2,0,2(a

2222202 2222 a

PRIMER 

22

21

222cos

aax

022

0cos aay

22

21

222cos

aaz

0454

0902

0454

ALGEBARSKE OPERACIJE NAD  VEKTORIMA ZADATIM POMOĆU KOORDINATA 

kajaiaa zyx

zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,

zzyyxxzyxzyx babababbbaaaba ,,,,,,

kbjbibb zyx

kbjbibkajaiaba zyxzyx

kbajbaibaba zzyyxx

)()()(

),,( zzyyxx babababa

PRIMER 

)0,2,1(a )1,3,1( b

)1,1,0(10,32,11 bac

Zbir                          dva vektora 

i  je vektor 

ba

)4,2,3( a )1,3,1(b

)5,1,2(14,32,13 bac

Zbir                          dva vektora 

i  je vektor 

ba

ALGEBARSKE OPERACIJE NAD  VEKTORIMA ZADATIM POMOĆU KOORDINATA 

zyx aaaa ,,

zyx aaaaa ,,)1(

zzyyxxzyxzyx abababaaabbbab ,,,,,,

zzyyxxzyxzyx babababbbaaaba ,,,,,,

zyx aaaaa

1,1,11

PRIMER 

)5,2,1(aZa dati vektor   vektor 

10,4,252,22),1(22 a

15,6,353,23),1(33 a

Suprotan vektor 

)5,2,1()5,2),1(( a

PRIMER 

)0,2,1(a )1,3,1( b

)1,5,2()1(0,32,11 bac

Razilka                       dva vektora 

i  je vektor 

ba

)0,2,1(a )1,3,1( b

)1,5,2(01,23),1(1 abc

Razilka                       dva vektora 

i  je vektor 

ab

PRIMER 

)12,8,4(aZa dati vektor   vektor 

)3,2,1(4

12,48,

44

4

a

PRIMER 

)2,3,1(a )1,3,2( b

cba 23

)3,3,1( cZa date vektore 

izračunati 

)1,6,0()3,3,1()2,6,4()6,9,3(23 cba

)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba

ba

2 i 

)3,3,1()1,3,2(2)2,3,1(323 cba

)2,3,1(a )1,3,2( b

Za date vektore 

)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba

18323302 22222

ba

2332182 2 ba

odredititi uglove koje vektor                   gradi sa koordinatnim osama .  ba

2

023

0cos 22

21

233cos

0902

0454

0454

22

21

233cos

i 

PRIMER 

ORT VEKTORA 

zyx aaaa ,,

aa

aa

aa

aaaort zyx

,,

Za dati vektor        ,                     je jedinični vektor istog pravca i smera.       a aort

Za dati vektor 

ORT VEKTORA 

zyx aaaa ,,

)cos,cos,(cos,,

aa

aa

aa

aaaort zyx

Za dati vektor 

gde su                                    uglovi koje vektor           gradi sa koordinatnim osama.  ,, a

)2,3,1(a )1,3,2( b

)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba

23323302 2222 ba

22,

22,0

233,

233,

230

23)3,3,0(

22)2(

bababaort

0cos 22cos

22cos

Za date vektore                                 i 

Odrediti                                      . )2( baort

PRIMER 

)0,4,3(aZa dati vektor                                 

odrediti     vektor        inteziteta  10  istog pravca i smera sa datim vektorom         vektor       inteziteta  15   istog pravca i suprotnog smera u odnosu na dati vektor  

a

cb

a

)(10 aortb )(15 aortc

ZADATAK 

0,

54,

53

5)0,4,3(

04)3()0,4,3(

222aort

0,8,6)(10 aortb 0,12,9)(15 aortc