1. ELASTIČNO-PLASTIČNA MEHANIKA LOMA

U slučajevima pukotina u materijalima gdje je područje plastične deformacije (zone) oko vrha pukotine veliko u usporedbi s duljinom pukotine i dimenzijama ispitivanog predmeta, principi linearno elastične mehanike loma više ne mogu zadovoljavajuće opisati širenje pukotine te se u tom slučaju primjenju principi elastično - plastične mehanike loma (engl. elastic-plastic fracture mechanics, EPFM).

Materijale kod kojih je potrebno primijeniti elastično - plastičnu mehaniku loma obično karakterizira visoka lomna žilavost i niska granica tečenja, a koriste se u konstrukciji posuda pod tlakom, energetskim postrojenjima i kemijskoj industriji.

1.1 Otvaranje vrha pukotine

Znatan udio u istraživanjima na području elastično-plastične mehanike loma pridonio znanstvenik Wells ispitujući lomnu žilavost. Wells je primjetio da se stranice pukotine razmičku prije samog loma (otupljivanje).

Uslijed plastične deformacije došlo je do zatupljivanja vrha pukotine koje je bilo veće s većom žilavošću materijala.

Takvo ponašanje materijala pri vrhu pukotine nije se moglo opisati principima linearno elastične mehanike loma te je zato Wells predložio parametar otvaranja vrha pukotine CTOD (eng. crack tip opening displacement) kao mjeru lomne žilavosti.

Slika.1.1. Otvaranje vrha pukotine

1

Slika 1.2. Pomak uy i korektivni izraz za postojanje plastičnog područja r y kod otvaranja vrha pukotine, CTOD

Pomak uy je jednak:

uy=¿ κ+1

2 Gs

K I √ r y

2 π¿

Korektivni izraz za postojanje plastičnog područja pri vrhu pukotine u stanju ravninskog naprezanja glasi:

r y=1

2 π ( K I

σ0.2)

2

Što zajedno daje izraz za otvaranje vrha pukotine δ:

δ=2 uy=4 K I

π σ0.2 E

Vidljivo je da se otvaranje vrha pukotine lako može dovesti u vezu sa stopom oslobađanja energije G i koeficijentom intenzivnosti naprezanja K što znači da vrijedi i za područje linearno elastične mehanike loma:

δ= 4 Gπ σ0.2

2

2. J INTEGRAL

Rice je 1968. objavio rad u kojem predstavlja J integral kao rješenje za opisivanje loma u nelinearno elastičnim materijalima.

Ponašanje materijala u nelinearno elastičnom području pretpostavio je slično onom u plastičnom području s time da se ne izvodi njegovo rasterećenje.

Rice je pokazao da je za svako nelinearno elastično, planarno (ravninsko), homogeno i izotropno tijelo u stanju statičke ravnoteže određeni integral, označen kao J, opisan po zatvorenoj liniji uvijek jednak nuli.

Ako tu zatvorenu liniju predočimo linijom Φ koja opisuje konture tijela A, u sustavu x=x1, y=x2, onda je J integral:

JΦ=∮Φ

(W n1−T∂u∂ x1

)ds

gdje je ds prirast po konturi Φ, u=u1 i+u2 j je vektor pomaka, dok je W gustoća potencijalne energije deformiranja i jednaka je :

W =∫0

ε ij

σ ij d εij

a T je vektor naprezanja definiran prema normali n konture Φ i vektoru pomaka u:

T i=σ ij n j

Slika 2.1. Tijelo A s opisanom konturom integriranja Φ

3

Uz sve navedeno izraz se može zapisati kao:

JΦ=∮Φ

(W n1−T i

∂ ui

∂ x1)ds

Koristeći Greenov teorem može se pisati kao:

JΦ=∫A( ∂ W

∂ x1

−∂

∂ x j(σ ij

∂u i

∂ x1))d x1d x2

Zanemarimo li unutrašnje sile u tijelu i pretpostavimo li male deformacije, za stanje ravnoteže vrijedi:

∂ σ ij

∂ x j

=0

a budući da veza pomaka i deformacija glasi:

ε ij=ε ji=12 ( ∂u i

∂ x j

+∂ u j

∂ x i)

slijedi:

∂ W∂ x1

=∂W∂ εij

∂ εij

∂ x1

=σ ij

∂ εij

∂ x1

=12

σ ij [ ∂∂ x1

( ∂ ui

∂ x j

+∂u j

∂ x i)]=σ ij

∂∂ x j

( ∂ ui

∂ x1)

Uvrštavanjem i rješavanjem jednadžbi sa prethodnog slajda može se pisati:

∂ W∂ x1

= ∂∂ x i

(σ ij

∂u i

∂ x i)

JΦ=0

Rice je J integral za tijelo s pukotinom definirao kao:

J=∫Γ(W n1−T i

∂u i

∂ x1)ds

pri čemu je Γ linija opisana oko pukotine u smjeru suprotnom kazaljci na satu od donje prema gornjoj stranici. U koordinatnom sustavu x1=x , x2= y , (slika 2.2) može se pisati kao:

4

J=∫Γ

Wdy−T i

∂ ui

∂ xds

Slika 2.2. Kordinatni sustav x1=x , x2= y

2.1 Neovisnost J integrala o liniji integriranja

Vrijednost J integrala uvijek je jednaka neovisno o liniji integriranja oko pukotine. Ova činjenica je bitna prvenstveno kod numeričkog određivanja J integrala budući da su numerička rješenja često netočna pri samom vrhu pukotine. Točnost im se povećava s udaljenošću od vrha pukotine što znači da se J integral temeljen na vrijednostima naprezanja i pomaka može računati u točkama udaljenim od pukotine.

Slika 2.3 prikazuje zatvorenu liniju integriranja Γ koja počinje u točki na donjoj stranici pukotine, opisuje pukotinu u smjeru suprotnom kazaljci na satu, dodiruje gornju stranicu pukotine te se vraća u ishodišnu točku na donjoj stranici pukotine. Linija Γ se može podijeliti na četiri segmenta Γ1 , Γ2 , Γ 3i Γ 4. Segmenti Γ2 i Γ 4 su paralelni stranicama pukotine. Budući da je J integral po zatvorenoj liniji integriranja jednak nuli, pišemo:

5

J Γ1+J Γ 2

+J Γ3+J Γ4

=0

Slika 2.3. Zatvorena linija integriranja Γ oko pukotine

Kako su dy i Ti po segmentima Γ2 i Γ4 jednaki nuli, ostaje da je:

J Γ1=−J Γ3

što znači da je vrijednost J integrala izračunata po bilo kojoj liniji koja počinje na donjoj stranici pukotine i u smjeru suprotnom kazaljci na satu završava na gornjoj stranici pukotine jednaka.

2.2 Veza J integrala i polja naprezanja pri vrhu pukotine

Za nelinearno elastične materijale postoji veza između veličine J integrala i polja naprezanja i deformacija pri vrhu pukotine.

Vezu su dokazali Rice i Rosengarten te Hutchinson po kojima se ova polja naprezanja i nazivaju HRR polja naprezanja.

6

Slika 2.4. Kružna linija integriranja Γ, polumjera r, s centrom u vrhu pukotine

Neka je, prema slici(2.4), J integral opisan po liniji Γ koja je dobivena tako što je opisana kružnica polumjera r iz vrha pukotine. Tada je:

y=rsin θ , dy=rcosθdθ ,ds=rdθ

J integral se može zapisati kao:

J=r∫−π

π

[W (r ,θ ) ]cosθ−T i

∂u i

∂ x1

dθ

Svi dijelovi integranda su proporcionalni umnošku naprezanja i deformacija:

σ ij εij∝( Jr ) gij (θ ,m )

gdje su f ij i gij funkcije kuta θ koje odgovaraju različitim komponentama naprezanja i deformacija.

U Ramberg-Osgoodovom izrazu koji opisuje vezu naprezanja i deformacija:

ε=σε+α ε 0( σ

σ0 )m

α i m su konstante materijala, ε 0i σ0 su vrijednosti deformacije i naprezanja na granici plastičnosti materijala. Za polje naprezanja pri vrhu pukotine kod računanja J integrala bitan je samo drugi dio jednažbe koji se odnosi na plastičnu deformaciju:

ε=α ε0( σσ0 )

m

7

koji kada se uvrsti u dane izraze daje izraze za naprezanje i deformaciju pri vrhu pukotine:

σ ij=σ0( Jα σ0 ε0 Im r )

11+m σ ij (θ , m )

ε ij=α ε 0( Jα σ0 ε 0 I m r )

11+m εij (θ , m)

Faktor I m se može odrediti prema sljedećim izrazima:

- za stanje ravninske deformacije:

I m=6,568−0,4744 m+0,0404 m2−0,001262 m3

- za stanje ravninskog naprezanja:

I m=4,546−0,2827 m+0,175 m2−0,45816 ∙10−4 m3

Funkcije kuta σ ij i εij dostupne su u literaturi za različite vrijednosti m i θ. Uvrsti li se u izraze sa prethodne stranice m = 1 i J = K²/E dobivaju se izrazi za linearno elastično ponašanje materijala.

2.3 Veza J integrala i CTOD

Shih je definirao parametar otvaranja pukotine CTOD kao otvaranje na sjecištu vrha pukotine te dviju linija koje se nalaze pod kutem od 45° u odnosu na simetralu pukotine

8

Slika 2.5. Otvaranje vrha pukotine, CTOD

komponenta pomaka uy je:

uy=α ε 0( Jα σ0 ε 0 I m

)m

1+m r1

1+m u ( π )

Za određeni r=r* i θ=π CTOD se može zapisati kao:

δ2=u y (r¿ , π )=r¿−ux (r

¿ , π )

što kad se uvrsti daje:

r¿=(α ε0 )1m {ux ( π , m )+uy (π , m)}

m+1m J

σ0 I m

Ako je δ = 2uy( r*, π):

δ=dm J

σ 0

što daje vezu između J integrala i CTOD uz uporabu konstante dm koja ovisi o značajki materijala m:

dm= 1I m

2uy (π ,m) {α ε0 [ux ( π ,m)+u y (π ,m)] }1m

9

2.4 J integral kao parametar loma

Begley i Landes prvi su istražili valjanost J integrala kao parametra loma te doveli u vezu promjenu vrijednosti J integrala i povećanja pukotine Qa putem tzv. J-R krivulje. Istražili su i ponašanje pukotine u različitim fazama žilavog loma.

Slika 2.6.. Ponašanje vrha pukotine tijekom žilavog loma

Begley i Landes su predložili uporabu J integrala kao parametra loma kako bi označili početak žilavog loma, točka 3 na J-R krivulji. Ta je vrijednost J integrala označena kao J IC, tj. kritična vrijednost J integrala pri odcjepnom načinu širenja pukotine kod žilavog loma.

J IC se definira kao presjecište linije koja odgovara fazi zatupljivanja vrha pukotine, a

aproksimira se pravcem J = 2σ0QaJ=2σ Q a i J-R krivuljom.

Kako bi J bio valjani parametar loma, potrebno je osigurati minimalni utjecaj geometrijskih značajki epruveta pomoću kojih se mjeri JIc na stanje naprezanja pri vrhu pukotine. Zato se postavlja uvjet:

a , (W −a ) , B ≥ c ( Jσ )

da duljina pukotine a, razlika širine epruvete i duljine pukotine (W - a) te debljina B epruvete moraju biti nekoliko puta veći od jedinične vrijednosti otvaranja pukotine δ =J/σ.

10

J integral se može koristiti, kako je opisano, za karakteriziranje pukotina u nelinearno elastičnom, ali i linearno elastičnom području. J integral se može dovesti u vezu sa stanjem naprezanja pri vrhu pukotine, koeficijentom intenzivnosti naprezanja K i otvaranjem pukotine CTOD.

Sve ga ovo čini široko korištenim parametrom u mehanici loma kojemu jedina ograničenja predstavljaju primjenjivost za monotono opterećenje u elastoplastičnom području te pretpostavka o zanemarivim deformacijamapomoću koje je izvedena neovisnost J integrala o liniji integriranja, veza s poljem naprezanja pri vrhu pukotine i s otvaranjem pukotine.

3. ANALITIČKI ODREĐEN J INTEGRAL

3.1 Određivanje J integrala

Ukoliko su poznata naprezanja i pomaci po liniji integriranja oko pukotine, J integral

se analitički može odrediti prema izrazu koji se često koristi u slučajevima kada su naprezanja

i pomaci oko pukotine dobiveni numeričkim putem, najčešće metodom konačnih elemenata:

J=∫T

W dy−T i

∂ ui

∂ xds

3.2 Eksperimentalno - analitički određeni J integral

Kod izvođenja eksperimenata koji za cilj imaju određivanje vrijednosti J integrala

bilježe se opterećenja i pomaci kod epruveta. Koristeći vezu potencijalne energije i J

integrala, određuje se sama vrijednost J integrala.

Pri čisto eksperimentalnom određivanju vrijednosti J integrala potrebno je izvesti pokuse na

više epruveta (pet do deset), a dobiveni rezultati ovise o materijalu i geometriji epruvete.

To čini "čisto" eksperimentalno određivanje zahtjevnim te se zbog toga radije koriste

eksperimentalno-analitičke metode za određivanje vrijednosti J integrala kod kojih je

dovoljno izvesti pokus nad jednom epruvetom i zabilježiti vrijednosti opterećenja i pomaka.

11

Ako je izraz za potencijalnu energiju:

EP=∫A

W ( x , y )dA−∫ST

T iui ds

pod uvjetom konstantnog pomaka v zadanog u eksperimentalnom ispitivanju epruvete može

se pisati samo kao:

EP=∫A

W ( x , y )dA

Gdje je A površina tijela, T i su naprezanja, ui deformacije na liniji koja obrubljuje tijelo, a ST

je dio linije na kojem su definirana naprezanja.

Slika 3.1. Prikaz naprezanja T i dio linije na kojem su definirana naprezanja ST

Iz prethodnih izraza može se zaključiti da je potencijalna energija EP jednaka energiji

deformiranja tijela određenoj površinom ispod krivulje opterećenja i pomaka. Razlika

12

potencijalne energije, −∆ EP između dviju epruveta različitih veličina pukotine, a i a + ∆ a,

je jednaka površini između njima odgovarajućih krivulja opterećenja i pomaka.

Slika 3.2. Dijagram opterećenje-pomak za dvije epruvete veličina pukotine a i a+∆ a, pri:

a) konstantnom pomaku b) konstantnom opterećenju.

Prema slici razlika potencijalne energije, −∆ EP, je jednaka:

−∆ EP=∫0

F

( ∂ v∂ a )

F

dF

pa je za epruvetu debljine B:

J=−(∆ U∆ a )

F

=−1B∫

0

F

( ∂ v∂ a )

F

dF

Iz izloženog se može primijetiti da je J integral općenitije rješenje promjene energije

deformiranja pri čemu se G zamjenjuje s J:

J=−d EP

dA

13

Kako se promjena energije deformiranja G može dovesti u vezu koeficijentom intenzivnosti

naprezanja K I može se pisati:

J=K I

2

E

Gornji izraz vrijedi za linearno elastično ponašanje materijala u slučaju ravninskog

naprezanja, dok za slučaj ravninske deformacije E valja zamijeniti s E /(1−v2).

Numerički određeni J integral Kod određivanja J integrala putem numerički izvedenih izraza

nije potrebno poznavati eksperimentalno dobivene vrijednosti pomaka. Pomaci se određuju

putem deformacijskih značajki materijala kao što su a , ε o , σ0i m, a koje su dostupne u

tablicama. Pri linearno elastičnim uvjetima, J integral se u vezu sa zadanom silom na tijelo

može dovesti preko izraza:

Je

σ0 ε0 a=( F

F0 )2

f 1 e( aW )

gdje je granična vrijednost sile:

F0=ε 0ab

ε 0 je naprezanje na granici tečenja materijala

f 1e je funkcija duljine pukotine a i visine epruvete W .

14

3.3. J – R krivulje i parametar lomne žilavosti

J integral se koristi da bi se opisalo stabilno širenje pukotine te početnu točku

nestabilnosti kod elasto - plastičnog ponašanja materijala. Testom lomne žilavosti mjeri se

otpor materijala produljenju pukotine. Slika prikazuje jedan tipičan odnos između vrijednosti

J integrala za pukotinu koja se širi/produljuje, a takve se krivulje nazivaju J-R krivuljama

(eng. J resistance curve), tj. krivuljama otpornosti lomu.

Slika 3.3. J-R krivulje (krivulje otpornosti lomu)

Ovakve se krivulje razvijaju za stanje ravninske deformacije što podrazumijeva uporabu

testnih epruveta dovoljne debljine (B) kako bi se takvo stanje osiguralo.

J-R krivulje predočuju žilavost materijala i otpornost na lom. Iz takvih se krivulja može

izlučiti kritična vrijednost parametra lomne žilavosti J IC kao praktična mjera lomne žilavosti

pojedinog materijala koja opisuje početak stabilnog širenja pukotine i nije ovisna o promjeni

geometrije.

15

3.4. Teorija J integrala energijske domene

Često korištena forma izračuna J integrala putem numeričke analize je metoda integrala

energijske domene koju je razvio znantvenik Shih sa vlastitim suradnicima.

Ovaj se pristup pokazao iznimno praktičnim budući da se može primijeniti na kvazistatičke i

dinamičke probleme pri elastičnom, plastičnom ili viskoplastičnom ponašanju materijala, kao

i kod toplinskog opterećenja.

Općeniti izraz za J integral koji sadrži utjecaj inercije i neelastičnog ponašanja materijala je

jednak:

J= lim∆0 →0

∫∆ 0

[ (W +Ek ) δ1 i−σ ij

∂ u j

∂ x1]ni d ∆

gdje je E k gustoća kinetičke energije, a linija ∆0 integriranja teži nuli, tj. vrhu pukotine.

Pretpostavimo li elasto - plastično ponašanje materijala uz kvazistatičko opterećenje ( Ek=0 ) i

toplinske deformacije, ukupna će deformacija biti:

ε ijuk=εij

e +εijp+α ∙θ ∙ εij=εij

m+εijt

U gornjem izrazu α je koeficijent toplinskog rastezanja, a θ temperatura. Eksponencijske se

oznake e , p , mi t odnose na elastične, plastične, mehaničke i toplinske deformacije s tim da je

mehanička deformacija zbroj elastične i plastične. Rad naprezanja W je jednak:

W =∫0

εklm

σ ij d εijm

16

Jednadžbu J integrala potrebno je prilagoditi za izračun integrala i po liniji koja ne teži k nuli,

tj. prema vrhu pukotine, kako bi bila primjenjiva za numeričku analizu. Postavimo li

zatvorenu liniju integriranja oko vrha pukotine s vanjskom, ∆1, i unutarnjom, ∆0 linijom te

linijama po gornjoj i donjoj stranici pukotine ∆+¿¿i ∆−¿¿ , J integral se za elastično

ponašanje materijala i kvazistatičko opterećenje može odrediti po bilo kojoj od ovih linija. Uz

naprezanje jednako nuli po stranicama pukotine, J integral za ∆¿=∆1+∆+¿+∆−¿−∆0¿ ¿ je jednak:

J=∫∆¿ [σ ij

∂u j

∂ x1

−W δli ]qmi d ∆

gdje je mi normala na liniju ∆¿, q je proizvoljna funkcija koja je jednaka jedinici na q0 i nuli

na ∆1, a mi = - nimi=−n i na ∆0.

Slika 3.4. Plastično ponašanje materijala

17

Izraz s prethodne stranice vrijedi za plastično ponašanje materijala samo kada nema

rasterećenja, a općeniti izraz za J integral koji uzima u obzir plastične deformacije, unutrašnje

sile i toplinske deformacije, kada je naprezanje po stranicama pukotine jednako nuli, glasi:

J=∫A¿ {[σ ij

∂ u j

∂ x1

−W δ li] ∂q∂ x1

+[σ ij

∂ εijp

∂ x1

−∂W p

∂ x1

+α σ ii∂ θ∂ x1

−F i

∂ u j

∂ x ]q }dA

Za slučaj elastičnog ponašanja materijala, zanemarujući unutrašnje sile u tijelu, toplinske

deformacije, izraz se svodi na:

J=∫A¿ [σ ij

∂u j

∂ x1

−W δli ] ∂ q∂ x i

dA

što je istovjetno Riceovom J integralu koji je neovisan o liniji integriranja.

Analogno izvedenom integralu za dvodimenzijske probleme, može se izvesti izraz za J

integral u prostoru. Slika prikazuje pukotinu u prostoru gdje za određenu poziciju ω na fronti

pukotine računamo vrijednost J integrala.

Slika 3.5. Fronta pukotine ω

18

Konstruiramo li oko pukotine dva valjka jednakih duljina ∆ L, a polumjera r0 i r1, moguće je

definirati težinski prosjek vrijednosti J integrala po površinama valjaka, umjesto po linijama

integriranja kao kod dvodimenzijskih problema. Analogno izrazu za prostorni problem tako

pišemo:

J ∆ L=∫S¿ [σ ij

∂u j

∂ x1

−W δli ]qmidS

gdje je S¿=S1+S+¿+S−¿−S 0¿ ¿. Isto tako, analogno izrazu za prostornu pukotinu pišemo:

J ∆ L=∫V ¿ {[σ ij

∂ u j

∂ x1

−W δ li] ∂ q∂ xi

+[σ ij

∂ εijp

∂ x1

−∂W p

∂ x1

+α σ ii∂ θ∂ x1

−F i

∂ u j

∂ x1]q }dV

Kako bi se izložena teorija integrala energijske domene primijenila u metodi konačnih

elemenata, za dvodimenzijske je probleme potrebno definirati površinu po kojoj se integracija

odvija.

Za trodimenzijske probleme je potrebno umjesto površine integriranja definirati volumen

integriranja.

Funkcija q, navedena u izrazima mora biti definirana u svim čvorovima elemenata koji tvore

površinu ili volumen integriranja. Shih je dokazao da je vrijednost J integrala neovisna o

obliku te funkcije, a za probleme ravninskog stanja naprezanja ili deformacije q=1 na ∆0 i

q=0 na ∆1. Vrijednost q unutar konačnog elementa se može interpolirati prema:

q ( x i )=∑I =1

n

N I q I

gdje je n broj čvorova elementa, q I su vrijednosti u čvorovima, a N I su funkcije oblika

elementa.

19

Zanemarujući unutrašnje sile u tijelu, toplinske deformacije te naprezanje na stranicama

pukotine, diskretizirani oblik integrala energijske domene primjenjiv u metodi konačnih

elemenata izgleda ovako:

J= ∑A iliV

∑P=1

m {[(σ ij

∂u j

∂ x1

−W δli) ∂ q∂ x i ]det( ∂ x j

∂ξk)}ωg

pri čemu m označava broj Gaussovih ili integracijskih točaka po elementu, a ωg je težinski

faktor. Vrijednosti navedene u izrazu se izračunavaju u integracijskim točkama elemenata.

20

4. OPĆE RIJEŠENJE INTEGRACIJE J INTEGRALA U METODI KONAČNIH ELEMENATA

J integral se može izračunati integriranjem po liniji oko vrha pukotine s tim da takva

linija može prolaziti kroz čvorove ili integracijske točke konačnih elemenata. Kako su

vrijednosti naprezanja u integracijskim točkama točnije od onih u čvorovima elemenata,

uputnije je definirati liniju integriranja kroz integracijske točke u elementu.

Slika 4.1. Linija integriranja Γ za J integral koja okružuju vrh pukotine i prolazi kroz integracijske točke unutar konačnih elemenata

Prednost ove metode:

- može primijeniti i na linearno elastično i elastoplastično ponašanje materijala

- neovisnost o liniji integriranja omogućuje izračun J integrala i na većoj udaljenosti

od vrha pukotine što kod numeričkih metoda doprinosti točnosti

21

- za trodimenzijske je probleme integriranjepotrebno provesti po površini integriranja

4.1. Oblikovanje dvodimenzijske mreže konačnih elemenata

Pri vrhu pukotine pravokutni se elementi svode na trokutne, međutim čvorovi koji

zauzimaju istu točku u ravnini nisu međusobno vezani. Nije potrebno niti pomicati čvorove

koji leže na polovici stranica elementa na četvrtinu duljine stranice od vrha pukotine kao što

je to slučaj s elestičnim ponašanjem materijala. Ovakav način oblikovanja mreže osigurava

1/r singularnost deformacije u elementu što je poželjno ponašanje kod plastičnih problema.

Slika 4.2. Svođenje pravokutnog konačnog elementa u trokutasti i raspored trokutnih konačnih elemenata oko vrha pukotine

Također, budući da čvorovi koji zauzimaju istu točku u ravnini nisu vezani, pri

deformaciji se mreže konačnih elemenata u vrhu pukotine može izračunati pomak otvaranja

vrha pukotine (CTOD)

Slika 4.3. Deformirana mreža konačnih elemenata pri vrhu pukotine kod plastičnog ponašanja materijala

22

U oblikovanju mreže konačnih elemenata oko pukotine najčešće se pribjegava zrakastom

širenju elemenata od vrha pukotine ,tako se može točnije zabilježiti polje naprezanja i

deformacija oko pukotine. Gušća mreža oko vrha pukotine potrebna je kod plastičnog

ponašanja materijala budući da je to mjesto gdje dolazi do tečenja materijala, a dati će i

točnije rezultate.

Slika 4.4. Primjer modeliranja dvodimenzijske mreže konačnih elemenata oko vrha pukotine

4.2. Oblikovanje trodimenzijske mreže konačnih elemenata

Dvodimenzijska mreža koja sadrži elemente specifične za modeliranje pukotine i koja

okružuje vrh pukotinezatim proširi se niz liniju koja predstavlja frontu pukotine u prostoru

čime se konačnim elementima opiše tijelo oblika torusa u prostoru. Oko tako dobivenih

elemenata dodaju se prizmatični konačni elementi drugog reda s 20 čvorova čime se tvori

"blok" elemenata koji u sebi sadrži pukotinu. Pri simuliranju širenja pukotine dovoljno

nanovo omrežiti samo navedeni blok elemenata koji sadrži pukotinu, ne i cijelu konstrukciju.

23

Slika 4.5. Parametarsko modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže konačnih

elemenata. Osjenčano područje predstavlja površinu pukotine.

24

Literatura

1. Vukelić G., Brnić J., J-integral as possible criterion in material, Engineering Review

Vol. 31, Issue 2, 91-96, 2011.

2. Irwin, G.R., Fracture dynamics, Fracturing of Metals, ASME, 1948, Cleveland

3. Rice, J.R., A path-independent integral and the approximate analysis of strain

concentration as notches and cracks, J of App. Mech., ASME, 35, 1968

4. Rice, J.R., Rosengarten, G.F., Plane strain deformation near a crack tip in a power-law

hardening material, J of mechanics and physics of solids, 16, 1968

5. Hutchinson, J.W., Paris, P.C., Stability analysis of J-controlled crack growth, Elastic-

Plastic Fracture, ASTM STP 668, ASTM, 1979

25