IZVIJANJE

U mašinstvu, izvijanje je matematička nestabilnost koja vodi ka lomu konstrukcije. Teoretski, izvijanje je uzrokovano razdvajanjem u

rješenju jednačina statičke ravnoteže. U određenoj fazi pod sve većim opterećenjem, dodatno opterećenje je u mogućnosti da se održi u

jednom od dva stanja ravnoteže: u nedeformiranom ili bočno deformiranom stanju.

U praksi, izvijanje je opisano iznenadnim lomom mašinskog elementa podvrgnutom visokim pritiscima, gdje su stvarni pritisci na mjestu

loma manji od konačnih pritisnih napona koje je materijal sposoban izdržati. Matematička analiza izvijanja često se koristi za osovinsko

opterećenje ekscentričnosti koja uvodi sekundarni moment savijanja, a koji nije dio osnovne primjenjene sile kojom je element opterećen.

Kako se primjenjeno opterećenje povećava na elementu, kao što je stub, ono će u konačnici postati dovoljno veliko da izazove nestabilnost

elementa i tada se kaže da je element izvijen. Dodatna opterećenja će uzrokovati značajne (i donekle nepredvidljive) deformacije, što može

dovesti do potpunog gubitka teretne nosivosti elementa. Ako deformacije koje slijede izvijanje nisu katastrofalne, element će i dalje nositi

teret koji je uzrokovao njegovo izvijanje. Ako je izvijeni element dio većeg sklopa komponenti, kao što su zgrade, bilo koje opterećenje koje

djeluje na konstrukciju poslije uzroka izvijanja elementa, rasporedit će se unutar konstrukcije.

Stubovi i štapovi

Stub pod koncentričnim osovinskim opterećenjem izlaže karakteristične deformacije izvijanja

Slika 1. Ekscentričnost aksijalne snage rezultira u djelovanju momenta savijanja na gredu.

Odnos efektivne dužine stuba prema najmanjem radijusu okretanja poprečnog presjeka dijela naziva seomjer vitkosti (ponekad označen

grčkim slovom lambda, λ). Ovaj odnos pruža način razvrstavanja stubova. Omjer vitkosti je važan po pitanju dizajna. Sve slijedeće

vrijednosti su približne vrijednosti korištene radi pogodnosti.

Kratki čelični stub je onaj kod kojeg omjer vitkosti ne prelazi 50; čelični stubovi srednje dužine imaju omjer vitkosti između cca. 50

do 200, i uglavnom su okarekterizirani ograničenjem snage materijala, dok se za duge čelične stubove može pretpostaviti da imaju

omjer vitkosti veći od 200 i njihovo ponašanje dominira modulom elastičnosti materijala.

Kratki betonski stub je onaj koji ima omjer nepoduprte dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog presjeka jednak ili manji od

10. Ako je omjer veći od 10, onda se smatra dugim stubom (ponekad i kao vitki stub).

Drveni štapovi mogu biti klasificirani kao kratki stubovi ako je omjer dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog presjeka jednak

ili manji od 10. Razdvajajuća linija između srednjih i dugih drvenih štapova može biti lahko procijenjena. Jedan način definiranja donje

granice dugih drvenih štapova bi bio postavljanje istog kad bi najmanja vrijednost omjera dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog

presjeka upravo prelazila određenu konstantu K materijala. Pošto K zavisi od modula elastičnosti i dopušteni napon pritiska je paralelan

površini, može se vidjeti da ova proizvoljna granica može varirati zavisno od vrste drveta. Vrijednost K je data u mnogim konstruktorskim

priručnicima.

Ako je napon na štap djelovao kroz centar gravitacije (centroid) poprečnog presjeka istog, to se onda zove aksijalni napon. Napon na bilo

kojoj drugoj tački na presjeku je poznat kao ekscentrični napon. Kratki štap pod dejstvom aksijalnog napona će puči zbog direktne

kompresije prije nego se izvije, ali duži štapovi opterećeni na isti način će se slomiti zbog izvijanja (savijanja), jer je izvijajući efekt tako velik

da se aksijalno opterećenje može zanemariti. Srednje dugi štapovi će se slomiti zbog kombinacije pritisnog i savojnog napona.

Godine 1757, matematičar Leonhard Euler je izveo formulu koja daje maksimalno osovinsko opterećenje koje dugi, vitki, idealni stub može

nositi bez izvijanja. Idealan stub je onaj koji je savršeno ravan, homogen i bez početnog napona. Maksimalno opterećenje, ponekad se

naziva kritično opterećenje, uzrokuje da stubovi budu u stanju nestabilne ravnoteže; tj, uvođenje najmanje bočne sile će uzrokovati da stub

pukne od izvijanja. Formula koju je izveo Euler za stubove bez razmatranja bočnih sila dat je u nastavku. Međutim, ako se uzme u obzir

vrijednost bočnih sila, kritično opterećenje ostaje približno isto.

gdje su:

 = maksimalna ili kritična sila (vertikalno opterećenje stuba),

 = modul elastičnosti,

 = površinski moment inercije,

 = nepodržana dužina stuba,

 = faktor efektivne dužine stuba, čija vrijednost zavisi od uslova na kraju podrške stuba, kao ispod:

Za oba kraja prikovana (zglobno, slobodno za okretati),   = 1,0.

Za oba kraja fiksna,   = 0,50.

Na jednom kraju fiksno, a drugi kraj prikovan,   = 0,699....

Na jednom kraju fiksno, a drugi kraj se može bočno slobodno kretati,   = 2,0.

 je efektivna dužina stuba.

Pregled ovih formula otkriva slijedeće zanimljive činjenice u vezi sa nosivom sposobnošću vitkih stubova.

1. Elastičnost , a ne pritisna čvrstoća, materijala stuba opisuje kritični napon.

2. Kritični napon je direktno proporcionalan drugom momentu površine poprečnog presjeka.

3. Granični uvjeti imaju značajan utjecaj na kritični napon vitkih štapova. Granični uvjeti određuju način izvijanja i razmak između

tački pregiba na otklonskom stubu. Pregibne tačke na otklonskom obliku stuba su one kod kojih krivulje stuba mijenjaju znak i također one

koje imaju unutrašnji moment savijanja jednak nuli. Što su zajedno bliže pregibne tačke, veći je ukupni kapacitet štapa.

Demonstracija modela ilustrira različite "Eulerove" načine izvijanja. Model pokazuje kako stanja izvijanja utječu na kritični napon vitkog stubca. Treba zapaziti da

je svaki stub jednak, nezavisno od graničnih uvjeta.

Snaga stuba može dakle biti povećana razmještanjem materijala kako bi se povećao moment inercije. Ovo se može uraditi bez povećanja

težine stuba distribuiranjem materijala što dalje moguće od glavne ose površine poprečnog presjeka, držanjem materijala dovoljno debelim

da se spriječi lokalno izvijanje. Ovo nosi dobro poznatu činjenicu da je cjevasti dio mnogo efikasniji nego čvrsti dio za stubnu upotrebu.

Sljedeći djelić informacije koji može biti prikupljen iz ove jednačine je efekt na dužinu pri kritičnom naponu. Za datu veličinu stuba,

udvostručavanje nepodržane dužine dijeli dozvoljeni napon sa četiri. Uzdržanost ponuđena na krajevima spojeva stuba također utječe na

kritični napon. Ako su spojevi savršeno kruti, kritični napon će biti četiri puta veći za isti stub gdje nema otpora rotaciji (u čijem slučaju je

stub idealiziran kada ima šarke na krajevima).

Pošto je radijus okretanja definiran kao kvadratni korijen omjera stubnog momenta intercije oko ose za površinu poprečnog presjeka,

formula iznad može biti modificirana kao što slijedi. Korištenjem Eulerove formule za krajeve sa šarkom, i mijenjajući A·r2 sa I, dobije se:

gdje su:

 - dopušteni napon na stub

 - omjer vitkosti.

Pošto su strukturni stubovi često srednje dužine, nemoguće je dobiti idealan stub, sama Eulerova formula ima malu praktičnu primjenu na

stvarni dizajn. Problemi koji uzrokuju odstupanje od čistog ponašanja Eulerovog stuba uključuju nesavršenosti u geometriji u kombinaciji sa

plastičnosti/nelinearnom naponskom stanju materijala stuba. Naknadno, veći broj empirijskih formula stuba je razvijen da se podudara sa

podacima testiranja, od kojih svi utjelovljuju omjer vitkosti. Za dizajn, odgovarajući faktori sigurnosti se ubacuju u ove formule. Jedna od

takvih formula je Perry-Robertsonova formula koja predviđa kritični napon izvijanja baziran na početnoj (maloj) krivulji. Rankine-Gordonova

formula je također bazirana na eksperimentalnim rezutatima i navodi da će se stub izviti pri sili Fmax datoj sa:

gdje je:

Fe - Eulerov maksimalni napon,

Fc - maksimalni pritisni napon.

Ova formula obično proizvodi konzervativnu procjenu sile Fmax.

Samoizvijanje

Slobodnostojeći vertikalni stub, sa gustoćom  , Youngovim modulom elastičnosti   i radijusom   izvit će se pod svojom vlastitom

težinom ako visina pređe određenu kritičnu vrijednost:[1][2][3]

gdje su:

g - gravitaciono ubrzanje,

I - drugi moment površine poprečnog presjeka grede

B - prva nula Besselove funkcije prvog reda -1/3, što je jednako 1.86635086...

Izvijanje pod mrtvim zateznim opterećenjem

Slika 2. Elastični gredni sistem pokazuje izvijanje pod zateznim mrtvim opterećenjem.

Obično, izvijanje i nestabilnost su u uskoj vezi sa kompresijom, ali su nedavno Zaccaria, Bigoni, Noselli i Misseroni (2011.)[4] pokazali da se

izvijanje i nestabilnost mogu pojaviti u elastičnim konstrukcijama podvrgnutim mrtvim zateznim opterećenjima. Primjer je konstrukcija sa

jednim stepenom slobode kretanja pokazana na sl. 1, gdje je kritični napon također prikazan. Slijedeći primjer koji uključuje savijanje

strukture napravljene od grednih elemenata koju upravlja jednačina Eulerove elastičnosti je prikazana na sl. 2. U oba slučaja, nema

elemenata podloženih kompresiji. Nestabilnost i izvijanje pri zatezanju je povezana prisutnošću klizača, spoju između dvije šipke,

dopuštajući samo relativno klizanje među spojenim dijelovima. Pogledati video za više detalja.

Ograničenja, zakrivljenost i višestruko izvijanje

Slika 3. Konstrukcija sa jednim stepenom slobode kretanja pokazuje zatezni (pritisni) napon izvijanja kao povezan sa činjenicom da se desni kraj pomjera duž

kružnog profila nazvan 'Ct' (označen 'Cc').

Izvijanje elastične strukture jako zavisi od zakrivljenosti ograničenja na osnovu kojih su krajevi strukture propisani za kretanje.[5] U principu,

čak i sistem sa jednim stepenom slobode kretanja (pogledati sl. 3) može ispoljavati zatezno (ili pritisno) izvijajuće opterećenje što se odnosi

na činjenicu da se jedan kraj mora kretati duž kružnog profila nazvan 'Ct' (označen 'Cc').

Slika 4. Konstrukcija sa jednim stepenom slobode kretanja sa 'S'-oblikom dvokružnog profila pokazuje višestruke bifurkacije (i zatezne i pritisne).

Dva kružna profila mogu biti uređeni u profilu 'S'-oblika, kao što prikazuje sl. 4; u tom slučaju prekidnost ograničenja zakrivljenosti je

predstavljena, što dovodi do višestrukih razdvajanja. Napomena: konstrukcija jednog stepena slobode kretanja pokazana na sl. 4. ima dva

opterećenja izvijanja (jedan zatezni i jedan pritisni). Pogledati video za više detalja.

Nestabilnost usljed podrhtavanja

Konstrukcijski predmet pratilac (nekonzervativnog) opterećenja može trpiti nestabilnosti koje nisu tip izvijanja i prema tome nisu

prepoznatljivi statičkim pristupom.[6] Naprimjer, tzv. 'Ziegler stub' je prikazan na sl. 5.

Slika 5. Skica 'Zieglerovog stuba', sistem sa 2 stepena slobode kretanja podložen pratećim naponom (sila P ostaje uvijek paralelna štapu BC), izlažući se

lepršanju i divergenciji nestabilnosti. Dva štapa, linearne masene gustoće ρ, su kruti i povezani preko 2 rotacione opruge krutosti k1 i k2.

Ovaj sistem sa dva stepena slobode kretanja ne prikazuje kvazistatičko izvijanje, ali postaje dinamički nestabilan. Da se ovo primjeti,

napominje se da su jednačine kretanja:

i njihova linearizirana verzija je:

Slika 6. Redoslijed deformiranih oblika u intervalima zaredom strukture skicirane u sl. 5 i podvrgnuti su lepršanju (gornji dio) i divergenciji (donji dio)

nestabilnosti.

Nestabilnost podrhtavanja odgovara vibracijskom kretanju povećanja amplitude i prikazana je na sl. 6. (gornji dio) zajedno sa odstupanjem

nestabilnosti (donji dio) koja se sastoji u eksponencijalnom rastu.

Nedavno, Bigoni i Noselli (2011)[7] su eksperimentalno pokazali da podrhtavanje i odstupanje nestabilnosti mogu direktno utjecati na suho

trenje (frikciju); pogledati video za više detalja.

Razni oblici izvijanja

Izvijanje je stanje koje definira tačku u kojoj ravnotežna konfiguracija postaje nestabilna pod parametarskim promjenama opterećenja i

može se manifestirati u nekoliko različitih pojava. Sve se mogu klasificirati kao oblici račvanja.

Postoje četiri osnovna oblika račvanja povezana sa gubitkom strukturne stabilnosti ili izvijanja u slučaju struktura sa jednim stepenom

slobode. Oni se sastoji iz dva tipa viljuškastog izvijanja, jednog prijevojno-čvornog izvijanja (često označeno kao granična tačka) i drugog

transkritičnog izvijanja. Viljuškasta izvijanja su najčešće proučavani oblici i opisuju izvijanje stubova i podupirača, ponekad poznato kao

Eulerovo izvijanje; izvijanje ploča, ponekad poznato kao lokalno izvijanje, koje je veoma poznato kao relativno sigurno (oba su superkritične

pojave) i izvijanje ljuski, koje je veoma poznato kao veoma opasno (podkritična pojava).[8] Koristeći koncept potencijalne energije, ravnoteža

je definirana kao stacionarna tačka sa uvažavanjem stepeni slobode kretanja date strukture. Kasnije je moguće odrediti da li je ravnoteža

stabilna, ako je stacionarna tačka lokalni minimum; ili nestabilna, ako je pak maksimum, tačka infleksije ili prijevojna tačka (za strukture sa

više stepeni slobode kretanja) – pogledati animacije ispod.

Slike ispod: Animacije varijacija ukupne potencijalne energije (crveno) za različite vrijednosti opterećenja, P (crno), u generičkih strukturnih

sistema sa naznačenom račvanju ili ponašanju izvijanja.

Dva račvanja prijevojne tačke (granične tačke).

 

Superkritično viljuškasto račvanje (stabilno-simetrična tačka izvijanja).

 

Subkritično viljuškasto račvanje (nestabilno-simetrična tačka izvijanja).

 

Transkritično račvanje (asimetrična tačka izvijanja).

Kod Eulerovog izvijanja,[9][10] primjenjeno opterećenje je malim iznosom preko kritičnog opterećenja, konstrukcija se deformira u izvijenu

konfiguraciju koja je slična originalnoj konfiguraciji. Naprimjer, Eulerov stub na slici će se početi povijati kada je blago iznad kritičnog

napona, ali se neće odjednom slomiti.

Kod konstrukcija koje trpe granicu nestabilnosti tačke, ako je napon povećan infinitezimalno iznad kritičnog napona, konstrukcija trpi veliku

deformaciju u različitoj konfiguraciji stabilnosti koja nije slična originalnoj konfiguraciji. Primjer ovog tipa izvijanja je preklopni okvir (na slici)

koji 'puca' u svoju konfiguraciju izvijanja.

Točkovi bicikla

Konvencionalni točak bicikla sastoji se od tankog vijenca koji se drži ispod visokopritisnog napona od strane (otprilike okomito) unutrašnje

veze velikog broja krakova. To se može smatrati kao opterećeni stub koji je savijen u krug. Ako kračni napon poraste iznad sigurnog nivoa,

točak spontano gubi oblik na karakteristični prevojni oblik (ponekad nazivan "taco" ili "pringl") kao što je trodimenzionalni Eulerov stub. To je

obično čisto elastična deformacija i obod će nastaviti svoj pravilan ravan oblik ako se napetost krakova djelomično smanji.

Površinski materijali

Grčenje od dejstva sunca kod pruga

Izvijanje je također nepoželjno kod materijala kolovozne konstrukcije, posebno od betona, pošto je asfaltfleksibilniji. Toplotno zračenje od

sunca se apsorbira u površinu ceste, utičući na njenu ekspanziju, forsirajući susjedne komade da se guraju međusobno. Ako je napon

dovoljno veliki, kolovoz se može podići i pući bez upozorenja. Prelazeći preko izvijene sekcije može biti vrlo neprikladno za vozače

automobila, opisano kao trčanje preko brzinskog grba sa autoputnim brzinama.

Jednako, šine željeznice se također raširuju kada su pod uticajem toplote, i mogu pući od izvijanja, pojave koja se zove sunčano grčenje.

Često je uobičajeno da se šine pomjeraju bočno, često povlačeći željezničke pragove zajedno sa sobom.

Energetska metoda

Često je veoma teško odrediti tačan napon izvijanja kod kompleksnih konstrukcija koristeći Eulerovu formulu, zbog poteškoća u određivanju

konstante K. Dakle, maksimalno opterećenje izvijanja često se aproksimira pomoću uštede energije. Ovaj način obračuna maksimalnog

opterećenja izvijanja se često naziva metoda energije u strukturnoj analizi.

Prvi korak u ovoj metodi je da se predloži funkcija pomjeranja. Ova funkcija mora zadovoljiti najvažnije granične uvjete, kao što su

pomjeranje i rotacija. Što je tačnija funkcija pomjeranja, tačniji je i rezultat.

U ovoj metodi, postoje dvije jednačine koje se koriste (za male deformacije) da aproksimiraju "unutrašnju" energiju (potencijalna energija

čuvana u elastičnoj deformaciji konstrukcije) i "vanjsku" energiju (rad koji utječe na sistem vanjskim silama).

gdje je   funkcija pomjeranja i indeksi   i   označavaju prvi i drugi izvod pomjeranja, respektivno. Zakon očuvanja energije daje:

Savojno-uvojno izvijanje

Javlja se u samo članovima kompresije i može se opisati kao kombinacija savijanja i uvrtanja elementa. I mora se uzeti u obzir za potrebe

dizajna, pošto su da su oblik i poprečni presjeci vrlo kritični. To se uglavnom javlja u kanalima, strukturnim nosačima, dvostrukim ugaonim

oblicima i jednakokrakim uglovima.

Bočno-uvojno izvijanje

Kada je jednostavno podržana greda opterećena savijanjem, gornja strana je opterećena pritiskom, a donja je opterećena zatezanjem.

Kada je član vitkog elementa podvrgnut aksijalnoj sili, lom se dešava zbog savijanja ili uvijanja (torzije) prije nego zbog direktnog pritiska

materijala. Ako greda nije podržana na bočnim stranama (npr., okomito na ravan savijanja), i ako se savijanje poveća do kritične granice,

greda će se slomiti zvog bočnog izvijanja od pritiska prirubnice. U široko-prirubničkim odjeljcima, ako kompresija prirubnicu izvija bočno,

poprečni presjek će se također uganuti uvijanjem, rezultirajući lomom, sa naponom poznatim kao bočno-uvojno izvijanje.

Modifikacijski faktor (Cb)

 - apsolutna vrijednost maksimalnog momenta labavog segmenta,

 - apsolutna vrijednost maksimalnog momenta na četvrtini tačke labavog segmenta,

 - apsolutna vrijednost maksimalnog momenta na centru labavog segmenta,

 - apsolutna vrijednost maksimalnog momenta na tri četvrtine labavog segmenta,

Plastično izvijanje

Izvijanje će se generalno pojaviti malo prije proračunatog elastičnog uvijanja konstrukcije, zbog nelinearnog ponašanja materijala. Kada je

pritisni napon blizu napona izvijanja, konstrukcija će se značajno poviti i materijal stuba će se prekinuti od linearnog naponsko-

deformacionog ponašanja. Naponsko-deformaciono ponašanje materijala nije striktno linearno čak i ispod napona tečenja, i značajno kako

napon prilazi naponu tečenja. Ova manja krutost smanjuje otpornost na izvijanje strukture i pojavljuje se na opterećenju manjem od

predviđenog sa pretpostavkom linearnog elastičnog ponašanja.

Preciznija aproksimacija opterećenja izvijanja može se imati upotrebom tangentnog modula elastičnosti, Et, na mjestu elastičnog modula

elastičnosti. Tangentni modul je linijski izvedena tangenta na krivulji napon-deformacija na posebnoj vrijednosti naprezanja. Nacrti od

tangentnog modula elastičnosti za razne materijale su dostupni u standardnim referencama.

Dinamično izvijanje

Ako je stub iznenadno opterećen, a zatim otpuštan, može izdržati veća naprezanja nego pri statičkom (sporo primjenjenom) opterećenju

izvijanja. Ovo se može desiti u dugom, neukliještenom stubu (štapu) korištenom kao slobodnohodni čekić. Trajanje pritiska na kraju sudara

je vrijeme potrebno da naponski talas proputuje uz štap prema drugom (slobodnom) kraju i nazad prema dolje kao talas olakšanja. Najveće

izvijanje se pojavljuje pored kraja sudara na talasnoj dužini mnogo manjoj od dužine štapa, i opterećenje izvijanja na napon mnogo puta

statički opterećenog stuba. Kritično stanje da amplituda izvijanja ostane manje od 25 puta efektivne pravosti štapa, nesavršenost na

talasnoj dužini izvijanja je:

 - napon,

 - dužina štapa,

 - brzina elastičnog talasa, i

 - manja bočna dimenzija pravougaonog štapa.

Zbog toga što izvijanje talasne dužine zavisi samo od   i  , ova ista formula važi za tanke cilindrične debljine ljuske  .[12]

Izvijanje tankih cilindričnih ljuski izloženih aksijalnim naprezanjima

Rješenje Donnell-ove diferencijalne jednačine osmog reda daje različite primjere izvijanja tankog cilindra pod pritiskom. Ali ova analiza, koja

je u skladu sa teorijom malih otklona, daje znatno veće vrijednosti nego što je prikazano eksperimentima. Dakle, uobičajeno je da se nađu

kritična opterećenja izvijanja za različite strukture koje su cilindričnog oblika od predstojeće dizajnirane krivulje, gdje su kritična opterećenja

izvijanja od sile Fkr iscrtana u odnosu R/t, gdje je R - radijus, a t - debljina cilindra za različite vrijednosti L/R, gdje je L - dužina cilindra. Ako

su zarezi prisutni na cilindru, kritični naponi izvijanja kao i predizvijajući režim će biti izmijenjeni. Prisutnost ili nedostatak podupirača od

zareza će također utjecati na napon izvijanja.

Izvijanje cijevi i posuda pod pritiskom izložene vanjskom nadpritisku

Cijevi i posude pod pritiskom izložene vanjskom nadpritisku, izazvane naprimjer hlađenjem unutar cijevi i kondenzacijom u vodi sa

naknadnim velikim padom pritiska, rizikuju pojavu izvijanja usljed usljed pritisnih naprezanja obruča. Pravila dizajna za proračun potrebne

debljine zida ili prstenova za ojačanje su dati u različitim kodovima za cijevi i posude pod pritiskom.

SMICANJE-KLIZANJE

micanje ili klizanje[1] jeste vrsta deformacije tijela pod djelovanjem sile na njeg, u kojem sila djeluje paralelno sa unutrašnjim ili vanjskim

površinama tijela. Površine tijela prelaze jedna preko druge međusobno. To odgovara deformaciji smicanja tijela geometrijskih figura u

trodimenzionalnom prostoru. Varijabla koja označava smičući napon je   (tau).

Smicanje se, uz uvijanje, svrstava u tangencijalne napone.

Fizička veličina tangencijalnog napona se mjeri kao sila podijeljena sa površinom. SI jedinica je Paskal (Pa), odnosno N/m²

- Njutn po kvadratnom metru. U SAD-u, tangencijalni napon se mjeri u funtima po kvadratnom inču (psi). Za površinu se uzima ona površina

koja se opire djelovanju smicanja, a ne površina na koju djeluje sila.

Klasičan primjer tangencijalnog napona - smicanje površina na vijku.

Obično smicanje

Princip smicanja

Kao ilustracija, može se zamisliti knjiga: okvirovi su paralelni jedan drugom, formiraju knjige kičmu i čine ugao jednak 90°.

Prilikom smicanja, smicajna sila F sa naponom smicanja τ i površinom poprečnog presjeka A ima odnos:

.

Napon smicanja ima dimenziju pritiska, to je sila po površini, međutim sila djeluje duž površine.

Tangens ugla smicanja  , napon smicanja uzrokovan silom i modul klizanja imaju slijedeći odnos:

Konstanta proporcionalnosti G se zove modul klizanja (također: modul smicanja).

Osim toga, vrh knjige je pomjeren za vrijednost Δx. Iz trigonometrijskog odnosa se može zaključiti (prema slici):

Za male vrijednosti ugla   usvaja se:

Smicanje kod grede

Formula za računanje smičućeg napona na gredi je:

,

gdje je:

V smicajna sila na tom mjestu

Q statički moment površine

t debljina materijala okomitog na smicanje

I drugi moment površine poprečnog presjeka.

Ova formula je poznata pod nazivom Formula Jouravskog.

Smicanje udarnim opterećenjem

Maksimalni smicajni napon koji nastaje pri udari čvrste okrugle šipke iznosi:

gdje je:

U - promjena kinetičke energije

G - modul klizanja

V - volumen šipke

te je:

 maseni moment inercije

 ugaona brzina

Smicanje u fluidima

Viskozni, newtonov fluid (uključujući zrak i vodu), koji se kreće duž čvrste granice, vršiti će tangencijalno naprezanje na toj granici. Uslov

koji kaže da nema "proklizavanje" fluida na toj granici diktira to da je brzina fluida na toj granici (relativno u odnosu na granicu) jednaka nuli,

međutim, na nekoj visini iznad granice, brzina toka mora biti jednaka onoj brzini fluida. Regija između ove dvije tačke naziva se granični

sloj. Taj tangencijalni napon može se izraziti kao

gdje je:

 - dinamička viskoznost fluida,

 - brzina fluida duž granice,

 - visina granice.

Smicanje kod materijala

Kod kristalnih sirovina se pri smičućem opterećenju preko granice elastičnosti kristalni nivoi pomjeraju jedan prema drugom. Ovakve

smicajne površine mogu također ponovo nastati. Konzistentnost se na početku može održati. Pri još većem opterećenju, konzistentnost

izdaje i sirovina se na taj način raspada/kida.

Smicajno opterećenje se ne pojavljuje samo pri vanjskom opterećenju, nego i pri izmjeni termičkog opterećenja zbog zaostalih napona

(nehomogeno stvrdnjavanje kao kod zavarivanja), ili pri stalnim naponima (na primjer oplata koja se drugačije skuplja nego osnovna

sirovina).

Smicanje u geologiji

U geologiji razlika između dva kraja formiraju čisto smicanje (također koaksijalno smicanje ili čista kompresija) i jednostavno

smicanje(također nekoaksijalno smicanje). Jednostavno smicanje uključuje u poređenju sa čistim smicanjem, dodatnu komponentu

rotacije. Ove dvije komponente se koriste kako bi govorili o transpritisku (kompresija plus bočni napon) i transzatezanju (ekstenzija plus

bočni napon) tektonike.

Smicanje kod motora s unutrašnjim sagorijevanjem

Motor s unutrašnjim sagorijevanjem se podmazuje uljem. Zbog sile smicanja koja nastaje u motoru, npr. u pumpi za ulje ili

između prstena klipacilindra i zida, molekule ulja se uništavaju tokom vremena - zbog starosti ulja. Isto se odnosi i na maziva - aditive.

SAVIJANJE

Savijanje I-profila

Mehanika kontinuuma

|

Savijanje (ili fleksija) opisuje ponašanje vitkih konstrukcijskih elemenata, opterećenih vanjskim silama okomito ili uzdužno na osu

elementa. Opterećenje koje djeluje na konstrukciju je moment savijanja, a to je sila koja djeluje na nekoj udaljenosti od posmatranog

uklještenja (krak):

gdje je:

 - moment savijanja (Nm)

 - sila koja savija (N)

 - udaljenost sile od ukliještenja (m)

Pretpostavlja se da konstrukcioni element ima barem jednu od dimenzija dosta manju (obično 1/10, ili manje, od druge dvije).[1] Kada

je dužina elementa dosta veća od širine i debljine, element se naziva greda. Šipke za vješalice u ormaru se ugibaju pod težinom

gardarobe koja visi na njima i primjer je savijanja u svakodnevnici. S druge strane, ljuska je struktura bilo koje geometrijske forme gdje

su dužina i širina istog reda veličine, ali debljina konstrukcije (poznata kao "zid") znatno je manja. Primjer ljuske koja trpi savijanje jeste

kratka cijev tankih zidova, ali velikog prečnika, koja je ukliještena na krajevima, a opterećena bočno.

U nedostatku uvjeta, termin "savijanje" je dvosmislen jer može doći do lokalnog savijanja u svim objektima. Stoga, da bi korištenje

termina bilo preciznije, inženjeri ga koriste za određene objekte, kao što su savijanje greda,[2] savijanje šipki,[3] savijanje ljuski,[4] savijanje ploča[5] itd.

Kvazistatičko savijanje gredaKad je opterećena transverzalnim naponom, greda se deformira i naponi se razvijaju unutar nje. U kvazistatičkom slučaju veličina

kraka savijanja i naponi koji se razvijaju smatraju se nepromjenljivim u vremenu. U horizontalnoj gredi ukliještenoj na krajevima i

opterećenoj nadolje u sredini materijal na unutrašnjoj strani grede je pritisnut, a materijal na vanjskoj strani je zategnut. Postoje dva

oblika unutrašnjeg naprezanja uzrokovanih vanjskim opterećenjima:

Napon smicanja paralelan bočnim operećenjem plus dopunski napon smicanja u ravnima pod pravim uglom na pravac

opterećenja;

Direktan napon pritiska u gornjem području grede i direktni napon zatezanja u donjem području grede.

Posljednje dvije sile čine spreg sila ili moment jer su jednake po veličini i suprotnog su smjera. Ovaj moment savijanja opire se

ulegnutoj deformaciji grede koja trpi savijanje. Naponska raspodjela grede može se predvidjeti sasvim precizno, čak i kad se koriste

neke pojednostavljene pretpostavke.[1]

Euler-Bernoullijeva teorija savijanja

Element savijene grede: vlakna čine koncentrične lukove, na vrhu su vlakna pritisnuta, a na dnu zategnuta.

Momenti savijanja kod grede

Kod Euler-Bernoullijeve teorije savijanja vitkih greda, glavna pretpostavka je da 'ravne sekcije ostaju ravne'. Drugim riječima, bilo

kakva deformacija usljed smicanja preko odjeljka se ne evidentira (kao da nema smicanja). Također, ova linearna raspodjela je

primjenljiva samo ako je maksimalni napon manji od napona tečenja materijala. Za napone koji prelaze granicu tečenja, pogledajte

članakplastično savijanje. Na granici tečenja, maksimalni napon u dijelu (na najudaljenijim tačkama od neutralne ose grede) definira

se kao savojna čvrstoća.

Euler-Bernoullijeva jednačina za kvazistatičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog presjeka pod primjenom

poprečnog opterećenja   je:[1]

gdje je:

 - Youngov modul elastičnosti,

 - površinski moment inercije poprečnog presjeka,

 - otklon od neutralne ose grede.

Nakon što je rješenje za izmještanje grede dobijeno, moment savijanja ( ) i poprečna sila ( ) u gredi mogu se izračunati

pomoću odnosa:

Jednostavno savijanje grede se često analizira s Euler-Bernoullijevom jednačinom grede. Uvjeti za korištenje jednostavne

teorije savijanja su:[6]

1. Greda je predmet čistog savijanja. To znači da su poprečne sile jednake nuli, a da nema uvojnog ili aksijalnog

opterećenja.

2. Materijal je izotropan i homogen.

3. Materijal ispunjava Hookeov zakon (linearno je elastičan i neće se plastično deformisati).

4. Greda je u početnom trenutku ravna sa presjekom koji je konstantan cijelom dužinom.

5. Greda ima osu simetrije u ravni savijanja.

6. Proporcije grede su takve da će se prije prekinuti savijanjem nego drobljenjem, gužvanjem ili bočnim izvijanjem.

7. Presjeci grede ostaju ravni prilikom savijanja.

Otklon grede skrenut simetrično i princip superpozicije.

Pritisne i zatezne sile se razvijaju u smjeru ose grede pod savojnim opterećenjima. Te snage izazivaju naprezanja grede. Najveći napon

pritiskase nalazi se nalazi na gornjem rubu grede, dok se maksimalna sila istezanja nalazi na donjem rubu grede. Pošto naponi između ovih

dviju suprotnih strana variraju linearno, postoji tačka na linearnom putu između njih gdje nema napona savijanja. Položaj ovih tačaka se

naziva neutralna osa. Zbog ovog područja bez napona i susjednih područja sa niskim naponom, koristeći jedinstven presjek grede na

savijanje nije posebno efikasno sredstvo podržavanja opterećenja, jer se ne koristi puni kapacitet grede dok je na ivici kolapsa. Široko-

prirubne grede (I-profil) i rešetkasti nosači efikasno rješavaju ovu neefikasnost jer minimiziraju količinu materijala u ovoj podnaponskoj regiji.

Klasična formula za određivanje napona savijanja u gredi rpri jednostavnom savijanju je:[7]

 - napon savijanja

M - moment savijanja oko neutralne ose

y - normalna udaljenost do neutralne ose

Ix - drugi momenta površine oko neutralne ose 'x'.

Proširenja Euler-Bernoullijeve teorije savijanja grede

Plastično savijanje

Jednačina   važi jedino kada je napon u ekstremnim vlaknima (najudaljeniji dio grede od neutralne ose) ispod granice

razvlačenja materijala od kojeg je greda napravljena. Pri većim opterećenjima distribucija napona postaje nelinearna, i duktilni materijali će

na kraju ući u 'plastično tečenje', stanje gdje je veličina napona jednaka naponu tečenja svuda u gredi, uz prekid u neutralnoj osi, gdje se

mijenja napon od zatezanja do pritiska. Ovo stanje plastičnog tečenja se obično koristi kao granični uvjet kod dizajniranja metalnih

konstrukcija.

Složeno ili asimetrično savijanje

Jednačina iznad vrijedi samo ako je presjek simetričan. Za homogene grede s asimetričnim dijelovima, aksijalni napon u gredi je dat sa:

[8]

gdje su   koordinate tačke na poprečnom presjeku na kojima je napon potrebno odrediti kao što je prikazano desno,   i   su

momenti savijanja oko y i z težišnih osa,   i   su drugi momenti površine (razlikuju se od momenata inercije) oko y i z osa, a   je

proizvod momenata površine. Koristeći jednačinu moguće je izračunati napon savijanja na bilo kojoj tački poprečnog presjeka grede bez

obzira na smjer momenta ili oblika poprečnog presjeka. Napomena:   se ne mijenjaju od jedne tačke do druge

na poprečnom presjeku.

Velika deformacija savijanja

Za velike deformacije tijela, napon u poprečnom presjeku se izračunava primjenom proširene verzije ove formule. Prvo, slijedeće

pretpostavke moraju biti:

1. Pretpostavka ravnih pregrada - prije i poslije deformacije se smatra dio tijela ostaje ravnim (tj. nije se kovitlao).

2. Smicanje i normalni naponi u ovom dijelu koji su okomiti na vektor normale presjeka nemaju nikakav utjecaj na napone koji su

paralelni sa osom ovog dijela.

Razmatranje velikog savijanja treba biti provedeno kada je prečnik savijanja   manji od deset visina odjeljka h:

Uz te pretpostavke napon kod velikih savijanja se računa kao:

gdje su:

 - normalna sila

 - površina poprečnog presjeka

 - moment savijanja

 - lokalni prečnik savijanja (na trenutnom dijelu)

 - moment površine inercije duž x-ose, na mjestu   (pogledati Steinerovu teoremu)

 - pozicija duž y-ose na dijelu površine gdje je napon   izračunat.

Kada prečnik   teži u beskonačno i  , prvobitna formula se vraća:

.

Timoshenkova teorija savijanja

Deformisanje Timoshenkove grede. Normala rotira za ugao  koji nije jednak  .

1921, Stephen Timosenko je poboljšao Euler-Bernoullijevu teoriju greda dodavanjem efekta smicanja unutar jednačine grede. Kinematske

pretpostavke Timoshenkove teorije su:

normale na ose grede ostaju ravne nakon deformacije

nema promjene u debljini grede nakon deformacije

Međutim, normale na ose ne moraju ostati okomite na ose nakon deformacije.

Jednačina za kvazistatičko savijanje linearno elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim

pretpostavkama je[9]

 - površinski moment inercije poprečnog presjeka,

 - površina poprečnog presjeka,

 - modul klizanja i

 - faktor korekcije klizanja/smicanja.

Za materijale sa Poissonovim koeficijentom ( ) blizu 0,3 - faktor korekcije za pravougaoni poprečni presjek je približno:

Rotacija ( ) normale je opisana izrazom:

Moment savijanja ( ) i sila smicanja ( ) su dati preko sljedećih formula:

Dinamičko savijanje gredaDinamičko savijanje greda,[10] također poznato i kao fleksiono vibriranje greda, prvi put je istraživao Daniel Bernoulli krajem 18.

vijeka.Bernoullijeva jednačina kretanja vibrirajuće grede je težila da precjenjuje prirodne frekvencije greda i bila je poboljšana marginalno od

straneRayleigh-a 1877. dodavanjem rotacije srednje ravni. 1921. Stephen Timoshenko je još poboljšao teoriju dodavanjem efekta smicanja

na dinamički odgovor savijanja greda. Ovo je dopustilo teoriji da bude korištena za probleme uključivanja visokih frekvencija vibracije gdje

je dinamička Euler-Bernoullijeva teorija neadekvatna. Euler-Bernoullijeva i Timoshenko teorije za dinamičko savijanje greda nastavljaju da

se naširoko koriste u inženjerstvu.

Euler-Bernoullijeva teorija

Euler-Bernoullijeva jednačina za dinamičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog poprečnog presjeka pod primjenom

poprečnog opterećenja   je:[9]

gdje je:

 - Youngov modul elastičnosti,

 - površinski moment inercije poprečnog presjeka,

 - otklon od neutralne ose grede i

m - masa po jedinici dužine grede.

Slobodne vibracije

Za situaciju u kojoj ne postoji poprečno opterećenje na gredu, jednačina savijanja ima oblik:

Slobodne, harmonijske vibracije grede onda mogu biti izražene kao:

a jednačina savijanja se može zapisati kao

Opće rješenje navedenih jednačina je:

gdje su   konstante, a 

Režimni oblici za konzolne I-profilne grede

Jednostruko bočno savijanje Jednostruko uvijanje Jednostruko vertikalno savijanje

Dvostruko bočno savijanje Dvostruko uvijanje Dvostruko vertikalno savijanje

Timoshenko-Rayleighova teorija

1877, Rayleigh je predložio poboljšanje za dinamičku Euler-Bernoullijevu teoriju greda uključujući efekt rotacije inercije poprečnog presjeka

grede. Timoshenko je poboljšao osnovu te teorije 1922. dodavanjem efekta smicanja u jednačini grede. Smična deformacija normalna na

sredinu površine grede je dozvoljena u Timoshenko-Rayleigh teoriji.

Jednačina za savijanje linearne elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim pretpostavkama je:[9][11]

gdje je   polarni moment inercije poprečnog presjeka,   je masa po jedinici dužine grede,   je gustoća grede,   

je površina poprečnog presjeka,   je modul klizanja, i   je korekcioni faktor klizanja. Za materijale Poisonovog koeficijenta ( ) blizu 0,3

- faktori korekcije su približno:

Slobodne vibracije

Za slobodne, harmonijske vibracije, Timoshenko-Rayleigh jednačine imaju oblik:

Ova jednačina se može riješiti uz napomenu da svi izvodi moraju imati isti oblik da se ponište a time što rješenje obrasca   može biti

očekivano. Ovo zapažanje dovodi do karakteristične jednačine:

Rješenja ove četverostepene jednačine su:

gdje je:

Opće rješenje Timoshenko-Rayleigh gredne jednačine za slobodne vibracije se onda mogu pisati kao:

Kvazistatičko savijanje ploča

Deformacija tanke ploče naglašavajući pomjeranja, sredine površine (crvena) i normale na sredinu površine (plava)

U definiranje osobina greda je da je jedna od dimenzija mnogo veća od druge dvije. Struktura se zove ploča kada je ravna i jedna od njenih

dimenzija je mnogo manja od druge dvije. Postoji nekoliko teorija koje pokušavaju opisati deformacije i napon na ploče pod primjenom

opterećenja od kojih su dva bila u širokoj upotrebi. To su:

Kirchhoff-Love teorija ploča (također se zove klasična teorija ploča)

Mindlin-Reissner teorija ploča (također nazivana teorija smicanja ploča prvog reda)

Kirchhoff-Love teorija ploča

Pretpostavke Kirchhoff-Love teorije su:

ravne linije normalne na sredinu površine ostaju ravne nakon deformacije

ravne linije normalne na sredinu površine ostaju normalne na sredinu površine nakon deformacije

debljina ploče se ne menja tokom deformacije.

Ove pretpostavke ukazuju na to da je:

gdje je   pomak tačke u ploči, a   pomak od srednje površine.

Jednačine pomaka:

Jednačine ravnoteže su:

gdje je   primenjeno opterećenje normalno na površinu ploče.

Što se tiče pomaka, jednačine ravnoteže za izotropne, linearno elastične ploče u odsustvu vanjskog opterećenja se mogu zapisati kao:

U direktnom tenzorskom zapisu:

OTPORNOST MATERIJALA

Otpornost materijala je jedna od grana primjenjene mehanike koja proučava probleme:

- čvrstoće

- krutosti

- stabilnosti

pojedinih djelova tehničkih konstrukcija od čvrstog deformabilnog materijala.

Čvrstoća je sposobnost prenošenja opterećenja bez pojave loma.

Krutost je otpornost konstrukcije na deformisanje (promjena zapremine i oblika)

Stabilnost je sposobnost konstrukcije i njenih elemenata da pod zadatim opterećenjem zadrži prvobitni oblik elastične ravnoteže.

Dimenzionisanje elemenata konstrukcije obuhvata proračune:

- čvrstoće,

- krutosti i

- stabilnosti.

- Proračun čvrstoće- sastoji se od određivanja najmanjih dimenzija pojedinih elemenata konstrukcije pod djelovanjem zadatog

opterećenja.

- Proračun krutosti – obuhvata određivanje deformacija konstrukcija pod djelovanjem zadatog opterećenja, koja moraju ostati u

dopuštenim granicama određenim uslovima upotrebe same konstrukcije,

- Proračun stabilnosti- sastoji se u određivanju opterećenja pod kojima konstrukcija i njezini elementi zadržavaju prvobitni

elastični oblik.

Opšte pretpostavke otpornosti materijala

• Materijal je kontinuiran (neprekinut),

• Materijal je homogen – fizikalno mehaničke osobine u svim tačkama su jednake,

• Materijal je izotropan - fizikalno mehaničke osobine u svim smjerovima su jednake,

• Materijal je elastičan,

• Između napona i deformacija postoji linearna zavisnost do određene granice koja se zove granica proporcionalnosti,

• Deformacije tjela su male itd.

TEORIJA NAPREZANJA

Ako se tjelo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i FE nalazi u stanju ravnoteže, onda svaki dio tog tijela mora biti uranotežen.

Ako to tjelo presječemo ravni p onda je potrebno u presječenoj ravnini dodati unutrašnju silu koja je jednaka rezultanti djelovanja vanjskih

sila odbačenog djela tijela da bi tjelo ostalo u ravnoteži.

Ako se traži granična vrijednost izraza, kada DA teži nuli, dobiće se

Ukupni napon može se razložiti na dvije komponente pošto on u opštem slučaju nije okomit na presjek, slijedi

- komponenta koja se projecirana na normalu označava se sa s

- komponenta koja se projecirana na tangentu označava se sa t

Deformacija se javlja kao posledica naponskog stanja koje izazivaju vanjske sile.

U opštem slučaju razlikuju se dvije vrste deformacija:

- linearna deformacija (istezanje, pritisak, savijanje i izvijanje)

- ugaona deformacija (smicanje i uvijanje)

VRSTE NAPREZANJA TIJELA

1. Osno ili aksialno opterećenje.

Smicanje

Savijanje

Uvijanje

Izvijanje

Opterećenja

Spoljašnje opterećenje u funkciji vremena može biti:- mirno (statičko),- jednosmjerno promjenljivo,- neizmjenično promjenjljivo,- udarno

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNOG POPREČNOG PRESJEKA

ANALITIČKO ODREĐIVANJE TEŽIŠTA TJELA

Težište površine

Statički moment presjeka s obzirom na bilo koju os jednak je proizvodu površine poprečnog presjeka i pripadajuće koordinate težišta.Slijedi

Za bilo koju težišnu os statički moment presjeka jednak je nulu

Posebna

pretpostavka ove

teorije je da

normale do

sredine površine

ostaju ravne i

neproširive,

normalne na

sredinu površine

nakon

deformacije.

Pomjeranja ploče

su data sa:

gdje su   

normale.

Relacije zateznog

izmještanja koji

rezultiraju iz ovih

pretpostavki su

gdje je   korekcioni faktor

za zatezanje.

Ravnotežne jednačine su

je:

Dinamičko savijanje pločaizvor]

Dinamika tankih Kirchhoffovih ploča[urediizvor]

Dinamička teorija ploča određuje

prostiranje talasa u pločama, kao i

proučavanje stojećih talasa i načina

vibracije. U jednačine koji regulišu

dinamično savijanje Kirchhoffovih ploča

su:

gdje je, za ploču sa

gustoćom 

i

Figure ispod pokazuju načine vibriranja okruglih

tanjira/ploča.

način k = 0, p 

 

način k = 0, p 

 

način k = 1, p 

Također pogledajteizvor]