renteformler kjeld tyllesen peØ, cbs

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 1

Renteformler

Kjeld Tyllesen

PEØ, CBS

Erhvervsøkonomi / Managerial Economics


Atomvidenskab er svært – men dog intet at regne imod rentesregning!

Meget frit efter Albert Einstein


Det er ikke svært!

I konventionelle lærebøger er der 4 formler

Jeg vil gennemgå 5 renteformler

Men de 5 formler er alle sammensat af kun 2 forskellige grund-formler

Det betyder, at hvis vi bare kan 2 formler – og så kan kombinere dem lidt – så har vi dem alle sammen!!

(+ ”tilsvarende” Excel-formler, på dansk og engelsk)


TidStart

Vores variabel er TID

Hvis vi investerer 1 kr.

”r” er prisen på penge i én periode

Så er ”r” den udbetaling (rente), som gør, at du er indifferent mellem at låne (= have til disposition) 1 kr. i dag og (1 + r) ved udgangen af periode 1

Så er ”r” den indbetaling (afkast), som gør, at du er indifferent mellem at have 1 kr. i dag og (1 + r) kr. ved udgangen af periode 1

Hvis man låner 1 kr.

= dags dato (= d.d.) = tidspunkt 0


I begge tilfælde kaldes ”r” for kalkulationsrenten, og denne er behandlet i en særskilt film

I det efterfølgende tager vi udgangspunkt i kalkulationsrenten ved en investering

– men det kunne lige så godt være ved et finansieringsprojekt


TidStart

1 kr. (1 + r) kr.

= (1 + r)2 kr.= (1 + r)1 kr.

* (1 + r) kr. * (1+r) kr.

1= (1 + r)N kr.

2 N

1. formel:

Så (1 + r)N kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved starten af periode 1 investerer 1 kr. til r % pr. periode

Der er altså tale om én investering på 1 kr. primo periode 1 – og så ikke mere!

(1 + r)1 (1+r)N-1

0

Hvis vi investerer 1 kr. ved periodens start, hvor stort et beløb har vi så ”på kontoen” ved udgangen af periode N?

Vi hæver eller indsætter ikke beløb – ej heller de tilskrevne renter - i forløbet

(1+r)N-1 N-1

(1 + r)N

7

Et eksempel, 100 kr. investeres i periode 0:

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

r = 4%

N Beløb0 100,001 104,002 108,163 112,494 116,995 121,676 126,537 131,598 136,86

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

Beløb ult. periode N

4%

Perioder, N

Kr.

r = 7%

N Beløb0 100,001 107,002 114,493 122,504 131,085 140,266 150,077 160,588 171,82

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00


7%4%

Perioder, N

Kr.

r = 10%

N Beløb0 100,001 110,002 121,003 133,104 146,415 161,056 177,167 194,878 214,36

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00


7%4%10%

Perioder, N

Kr.

Værdien ult. Periode N af det beløb, der investeres på tidspunkt 0 (= primo periode 1) stiger altså eksponentielt - ikke lineært - i slutværdi, når r stiger, og også når N stiger.

R stiger nu til 7% per periodeR stiger nu til 10% per periode


TidStart

? kr. ? *(1 + r) kr.

= ? * (1 + r)2 kr.= ? * (1 + r)1 kr.

* (1 + r) kr. * (1+r) kr.

1= ? * (1 + r)N kr.

2 N

2. formel:

? * (1 + r)1 ? * (1+r)N-1

0

Hvad skal vi investere ved starten af periode 1, hvis vi ved udgangen af periode N ønsker at have 1 kr.?

? * (1 + r)N kr. = 1 kr. => ? = 1

(1 + r)N

= (1 + r)-N

Vi hæver eller indsætter ikke beløb i forløbet

? * (1+r)N-1

Så vi har, at

(1 + r)-N


Så (1 + r)-N kr. er det beløb, som man skal investere ved starten af periode 1 (= tidspunkt 0) til r % pr. periode, når man ved slutningen af periode N ønsker at have 1 kr. ”på kontoen”

Der er altså tale om én investering på (1 + r)-N kr. primo periode 1 – og så ikke mere!

Så ’2’ = ’1’-1

Så ’2’ er altså lig med ’1’, der er ”vendt på hovedet”

Så der er altså reelt kun tale om én - og samme - formel!


Et eksempel, vi vil ha’ 100 kr. ult. periode N:

r = 4%

N Beløb0 100,001 96,152 92,463 88,904 85,485 82,196 79,037 75,998 73,07

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

f(x) = 0.0665571200227492 x² − 3.89669339567709 x + 100R² = 0.99999943891161

Beløb, som skal investeres tidspunkt 0

4%Linear (4%)Polynomial (4%)

Periode N

Kr.

r = 7%

N Beløb0 100,001 93,462 87,343 81,634 76,295 71,306 66,637 62,278 58,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00f(x) = 99.4938073875618 x -̂0.225855990879854R² = 0.918890209936209

f(x) = 0.17883581495553 x² − 6.64582133192764 x + 100R² = 0.999995271454799f(x) = 0.0665571200227492 x² − 3.89669339567709 x + 100R² = 0.99999943891161

Beløb, sdom skal inevsters tidspunkt 0

4%Polynomial (4%)7%Power (7%)Polynomial (7%)

Periode N

Kr.

r = 10%

N Beløb0 100,001 90,912 82,643 75,134 68,305 62,096 56,457 51,328 46,65

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Beløb, som skal investeres tidspunkt 0

4%7%10%

Periode N

Kr.

Jo højere rente, jo mindre skal der investeres dags dato (= tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N.

Jo længere investerings-periode (N), jo mindre skal der investeres dags dato (= tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N.

Ikke lineært

Ikke lineært


3. formel: (1 + r)N – 1 r

Nu skiftes der betalingsmønster til at investere det samme beløb med regelmæssige mellemrum – og det kaldes en annuitet!

Som standard forudsætning er annuiteter ”efterbetalte”, hvilket vil sige, at de betales ultimo hver periode – og ikke primo

Det kan vi selvfølgelig også ”justere for” – altså regne ud – så vi udregner for forudbetalte annuiteter (betales alle primo) - men det gør vi ikke lige her


TidStart 1 kr.

1 3 N

(1+r)N-1 kr.

0

Hvis vi investerer 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvor meget har vi så ”stående på kontoen” ved udgangen af periode N?

Vi hæver ikke renterne i forløbet

1 kr.

2

(1+r)N-2 kr.1 kr. (1+r)N-3 kr.

1 kr. (1+r)N-4 kr.

4 N-1

1 kr. (1+r)1 kr.

∑ = (1 + r)N – 1 r

1 kr.


Dette kaldes også ”Annuitets-forrentningsfaktoren”.

Så (1 + r)N – 1 kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved rudgangen af periode N, når man ved slutningen af hver periode investerer 1 kr. til r % pr. periode

Dette er ”den anden grundformel”; altså ’nr. 2’

Denne formel viser, hvad du har stående ult. Periode N, når du skal på pension, hvis du ult. i hver af de N perioder har indsat 1 kr. på en konto til en fast forrentning på r %

14

Et eksempel, 100 kr. investeres ult. hver periode, til en fast rente:


0 2 4 6 8 10 12kr 0.00

kr 200.00

kr 400.00

kr 600.00

kr 800.00

kr 1,000.00

kr 1,200.00

kr 1,400.00

kr 1,600.00

kr 1,800.00

f(x) = 0.026512447288174 x³ + 1.16607882419918 x² + 45.0597193560469 x + 1000R² = 0.999999996226217

Beløb ult. periode 10.

10Polynomial (10)

%

Kr.

0 2 4 6 8 10 12kr 0.00

kr 1,000.00

kr 2,000.00

kr 3,000.00

kr 4,000.00

kr 5,000.00

kr 6,000.00

kr 7,000.00

f(x) = 0.921354030507462 x³ + 8.51030026195071 x² + 195.270787524706 x + 2000R² = 0.999999007151099

f(x) = 0.026512447288174 x³ + 1.16607882419918 x² + 45.0597193560469 x + 1000R² = 0.999999996226217

Beløb ult. periode 10, 20.

10Polynomial (10)20Polynomial (20)

%

Kr.

0 2 4 6 8 10 12kr 0.00

kr 2,000.00

kr 4,000.00

kr 6,000.00

kr 8,000.00

kr 10,000.00

kr 12,000.00

kr 14,000.00

kr 16,000.00

kr 18,000.00

f(x) = 8.06489809294955 x³ + 2.87394091643301 x² + 506.159044996895 x + 3000R² = 0.999981437611068

f(x) = 0.921354030507462 x³ + 8.51030026195071 x² + 195.270787524706 x + 2000R² = 0.999999007151099

f(x) = 0.026512447288174 x³ + 1.16607882419918 x² + 45.0597193560469 x + 1000R² = 0.999999996226217

Beløb ult. periode 10, 20, 30.

10Polynomial (10)20Polynomial (20)30Polynomial (30)

%

Kr.

EksponentieltEksponentielt

Jo længere periode, jo større beløb ultimo periode N Jo højere rente, jo større beløb ultimo periode N


4. formel

Så nu kombinerer vi Formel 2 og 3

For hvad er alle de penge, som vi har stående på pensionstidspunktet ult. periode N - (1 + r)N – 1 - reelt værd i dag? r

Formel 3 er ” Annuitets-forrentningsfaktoren” og giver os værdien ult. periode N af en indbetaling på 1 kr. ult. hver periode

Og Formel 2 - (1 + r)-N - giver os værdien i dag af 1 kr., som står på kontoen ult. periode N

(1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r * (1 + r)N r

2 forskellige udtryk for det samme


Så når vi nu indbetaler 1 kr. ult. hver periode, har vi ult. periode N

Og dette beløb vil være (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. værd i dag, rprimo periode 1

Så (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 r r * (1 + r)N

(1 + r)N – 1 kr. r

Så Formel 4 = Formel 3 * Formel 2, altså ’4’ = ’3’ * ’2’ =

Værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder, altså en annuitet


(1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r r * (1 + r)N r

Hvis vi ønsker at forkorte dette udtryk med faktoren (1 + r)N får man, at

Så 1 – (1 + r)-N angiver også værdien dags dato af en r

indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder


Og denne værdi d.d. er på 1 – (1 + r)-N , så det beløb kan du få rudbetalt, når du underskriver lånedokumenterne!

Dette kan også kaldes for ”Annuitets-diskonteringsfaktoren”

Hvis jeg lover at betale banken - eller realkreditinstituttet - 1 kr. ult. hver af N perioder, så har dette løfte – afgivet i form af underskrift på et lånedokument – en økonomisk værdi her og nu – primo periode 1

PS: I forhold til virkeligheden mangler der dog nogle gebyrer etc.

Denne formel er også relevant at anvende, når man vurderer Realkreditlån

1919

TidStart 1 kr.

1 3 N

(1+r)N-1 kr.

0

1. Hvis vi indbetaler 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvilket beløb har vi så ved udgangen af periode N?

Vi hæver ikke renterne i forløbet

1 kr.

2

(1+r)N-2 kr.1 kr. (1+r)N-3 kr.

1 kr. (1+r)N-4 kr.

4 N-1

1 kr. (1+r)1 kr.

∑ = (1 + r)N – 1 r

1 kr.

=> (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r r * (1 + r)N r


Formel 4 er derfor opbygget således, i 2 trin:

* (1 + r)-N

2. Og dette beløb føres så tilbage til tidspunkt 0

20

Et eksempel, 100 kr. indbetales ult. hver/periode:


0 2 4 6 8 10 120.00

200.00

400.00

600.00

800.00

1,000.00

1,200.00

f(x) = − 0.0430081229141369 x³ + 2.04914682886595 x² − 54.7535761881748 x + 1000R² = 0.999999909959821

Nutidsværdi, K0, 10 perioder

10Polynomial (10)

%

Kr.

Jo højere rente, jo lavere nutidsværdi, altså K0.

0 2 4 6 8 10 120.00

500.00

1,000.00

1,500.00

2,000.00

2,500.00

f(x) = − 0.381339489737119 x³ + 12.92570250252 x² − 206.111483617601 x + 2000R² = 0.999997996118492

f(x) = − 0.0430081229141369 x³ + 2.04914682886595 x² − 54.7535761881748 x + 1000R² = 0.999999909959821

Nutidsværdi, K0, 10, 20 perioder


%

Kr.

Jo længere periode, jo større beløb ultimo perioden.

Ikke lineært – og værdierne nærmer sig hinanden

Ikke lineært

0 2 4 6 8 10 120.00

500.00

1,000.00

1,500.00

2,000.00

2,500.00

3,000.00

3,500.00

f(x) = − 1.29022957121892 x³ + 36.8450246991388 x² − 445.721879264339 x + 3000R² = 0.999987557033913

f(x) = − 0.381339489737119 x³ + 12.92570250252 x² − 206.111483617601 x + 2000R² = 0.999997996118492

f(x) = − 0.0430081229141369 x³ + 2.04914682886595 x² − 54.7535761881748 x + 1000R² = 0.999999909959821

Nutidsværdi, K0, 10, 20, 30 perioder


%

Kr.

Så ved 10% er stigningen i nutidsværdi meget lille, selv om der betales i 10 år mere, 20 => 30 år!


5. formel

I formel 4 fandt vi værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr., som blev foretaget ult. hver periode

Men ligesom vi foran ”vendte” ’1’ om og fik ’2’, vender vi ’4’ om og stiller nu spørgsmålet:

Hvis vi i hver af N perioder ønsker at foretage en indbetaling ult. perioden hvilket beløb skal denne ydelse så være på, hvis vi ønsker, at værdien heraf skal være på 1 kr. primo periode 0 (= dags dato)

– og alle indbetalte beløb skal være lige store (altså en annuitet)?

r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

2 forskellige udtryk for det samme


Eller: Hvilken annuitet ult. N perioder giver en nu-værdi (= K0) på 1 kr.?

(1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N = K0 af en annuitet på 1 kr., jf. # 4 => r * (1 + r)N r

(1 + r)N – 1 * ? = 1 – (1 + r)-N * ? r * (1 + r)N r

? = r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

r . 1 – (1 + r)-N

Tid N0 1 2 N-1

r . 1 – (1 + r)-N

r . 1 – (1 + r)-N

r . 1 – (1 + r)-NK0 = 1 kr.

= K0 af en annuitet på ? kr.

Og K0 af ? skal være lig med 1 kr.

Og hvad bliver ? så ?

= 1 =>


r * (1 + r)N = r =(1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

Den annuitetsydelse, der betales ult. i hver af N perioder og giver en K0-værdi på 1 kr.

Som det ses, er ’4’-1 = ’5’

Ved at vende ’4’ (= K0) på hovedet, får man altså ’5’ (= annuitetsydelsen)


Et eksempel, 100 kr. i Ko-værdi:

0 2 4 6 8 10 120.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

f(x) = 0.00753404200735296 x² + 0.552371290784301 x + 10R² = 0.999999805273829

Annuitet over 10 år

10Polynomial (10)

%

Kr.

Jo højere rente, jo højere annuitets-ydelse for at opnå en K0-værdi på 100 kr.

0 2 4 6 8 10 120.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

f(x) = 0.0141870512156581 x² + 0.533752604512896 x + 5R² = 0.999997298211208

f(x) = 0.00753404200735296 x² + 0.552371290784301 x + 10R² = 0.999999805273829

Annuitet over 10, 20 år


%

Kr.

Jo længere periode, jo mindre annuitetsydelse ultimo hver periode.

0 2 4 6 8 10 120.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

f(x) = 0.0191986877865867 x² + 0.537933872159944 x + 3.3333R² = 0.999986131182636

f(x) = 0.0141870512156581 x² + 0.533752604512896 x + 5R² = 0.999997298211208

f(x) = 0.00753404200735296 x² + 0.552371290784301 x + 10R² = 0.999999805273829

Annuitet over 10, 20, 30 år


%

Kr.

Ikke lineært Ikke lineært

Men nedsættelsen af ydelsen fra 20 => 30 år er slet ikke så stor som ved 10 => 20 år!


Så lad os lige repetere de 5 formler – som altså i virkeligheden kun er 2 forskellige, som i tillæg kombineres på forskellig vis


1.

1

(1 + r)N

2. (1 + r)-N

- er det éngangs-beløb, som man skal investere ved starten af periode 1 til r % pr. periode, når man ved slutningen af periode N ønsker at have 1 kr.

= ’1’-1

TidStart

1 3 N0 2 4 N-1?

- er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved starten af periode 1 investerer et éngangs-beløb på 1 kr. til r % pr. periode

1Tid

Start

1 3 N0 2 4 N-1?


3. (1 + r)N – 1 r

- er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved slutningen af hver periode investerer 1 kr. til r % pr. periode

1Tid

Start

1 3 N0 2 4 N-1?1 1111


1Tid

Start

1 3 N0 2 4 N-1? 1 1111

4. (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r * (1 + r)N r

- er værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder, altså en annuitet

= ’3’ * ’2’

Eller =NV(rente; nper; ydelse; fv; type)


5. r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

- er den annuitetsydelse, der betales ult. N perioder og giver en K0-værdi på 1 kr.

TidStart

1 3 N0 2 4 N-1?1 ?????

= ’4’-1


Nutidsværdi: =NV(rente; nper; ydelse) Engelsk: =PV()

Ydelse: =YDELSE(rente; nper; nv) Engelsk: =PMT()

Rente: =RENTE(nper; -ydelse; nv) Engelsk: =RATE()

Antal terminer: =NPER(rente; -ydelse; nv) Engelsk: =NPER()

Slutværdi: =FV(rente; nper; ydelse) Engelsk: =FV()

I tillæg: Excel-formler til brug i Investering og Finansiering

Effektiv forrentning: =IA(betalinger0-N) Engelsk: =IRR()

Kapitalværdi0: =NUTIDSVÆRDI(rente; betalinger1-N) + Betaling0

Engelsk: =NPV()

For annuiteter

Hvis man vil finde: Brug:


”Tak for nu!”

Så nu mangler jeg blot at sige

renteformler kjeld tyllesen peØ, cbs

Documents