udskiftningsmodeller grundmodeller kjeld tyllesen peØ, cbs

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

UdskiftningsmodellerGrundmodeller

Kjeld Tyllesen

PEØ, CBS

Erhvervsøkonomi / Managerial Economics

1

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 2

I de traditionelle fremstillinger i lærebøger fokuseres der straks på følgende 3 alternativer

- Ingen udskiftning, kun til udløb

- Udskiftning med tilsvarende anlæg

- Udskiftning med et nyt anlæg

Men som redegjort for i filmen ”Udskiftningsmodeller – Overblik” er dette en alt for simpel betragtning, for hermed er udskiftningspolitikken jo valgt på forhånd!

Problemstillingen er, at vi skal fastlægge den fremtidige udskiftningspolitik for et eksisterende anlæg i vores besiddelse

3 modeller


Når vi for det enkelte projekt skal bestemme dets videre forløb, har vi altså følgende 3 muligheder, nemlig

- Ingen udskiftning, kun til udløb- Udskiftning med tilsvarende anlæg- Udskiftning med et nyt anlæg

Og hvornår skal dette, indenfor den enkelte kategori, finde sted?

Hertil skal vi som sædvanligt bruge en offerbetragtning

Sådan gør vi også, når det i optimeringsmodellerne er Q, der er den uafhængige variabel

Offerbetragtning


Som det også er tilfældet ved pris-/mængdeoptimering, kan der ved udregningerne her anlægges en

Marginal-

eller en

Totalbetragtning

Her skal vi imidlertid finde det økonomisk set optimale tidspunkt for aktivets levetid og eventuelle udskiftning, så nu bliver det Tiden, der er vores uafhængige variable

Tidspunkt


Her er den grundlæggende betragtning:

Når vi befinder os primo en periode, hvad ofrer vi så af økonomiske værdier ved at fortsætte med det eksisterende anlæg 1 periode længere?

Vi starter med at anlægge en Marginalbetragtning, baseret på en

Offerbetragtning med tiden som variabel

på både 1. Udbetalinger

og på 2. Indbetalinger

Vores analyse er således baseret på en periodevis betragtning - 1 periode af gangen, ”step-by-step”

Først ser vi på 1. Udbetalingerne

Marginalbetragtning


Ved at fortsætte i 1 periode mere, ofrer vi hermed

1. Ændring i scrapværdiNår aktivet bruges i 1 periode mere, ændrer det typiskværdi; p.gr.a. slid, forældelse m.v. – eller værdistigning

2. Renten af den likviditet (= scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså når beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget

3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i denkommende periode

Og summen af disse 3 elementer er lig med MC m.h.t. tid!

Det skal understreges, at de ovenfor anførte betragtninger om MC skal anvendes ved starten af hver eneste periode (tid), incl. den første!

MC m.h.t. tid


Når vi arbejder med Udskiftningsmodeller, er MC tilsvarende defineret som ”ændringen i de totale udbetalinger, når TIDEN forøges med 1 enhed (= 1 periode)”

Så det er altså det gamle velkendte definition, som vi anvender, men her med tiden som uafhængig variabel

MC kender vi fra andre steder i Managerial Economics, nemlig når Q er den uafhængige variabel. Så er MC defineret som ”ændringen i de totale omkostninger, når Q forøges med 1 enhed”

Med tiden som variabel

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 8Q

Kr.

Så når vi har Q som den uafhængige variable, er vi vant til at se følgende MC-kurve:

MCN

Men ved Udskiftningsmodeller ser MC således ud:

Tid (N)

MCQ

MC grafisk


Startende med N = 0 vil MCN typisk først falde p.gr.a. et aftagende fald i scrapværdi og dermed også i den ofrede renteindtægt

Men scrapværdien kan i periodens forløb også stige – f.eks. fodboldspillere, Rembrandt, veteranbiler m.v.

Drift, reparation og vedligehold vil i begyndelsen være relativt lave, men vil efterhånden, som anlægget bliver ældre, stige og bevirke, at den samlede værdi af MCN stiger

Det skal understreges, at i MC skal der IKKE inkluderes udbetalinger, der er afhængige af den producerede mængde så som materialer, lønninger m.v.

Disse skal i stedet ”løsrives” fra aktivet og modregnes i de marginale (én periode mere) indbetalinger fra salget af produktionen

I MC skal ikke medtages…


Når Q er den uafhængige variabel, er

TC = ∑ MC

Her produceres og sælges alle Q jo indenfor samme periode, så her er tid (og dermed diskontering af beløb) slet ikke relevant at bringe ind i beregningerne

Men da Tiden nu er den uafhængige variabel, kan vi ikke bare addere alle MC sådan som ovenfor

For 1 kr. i dag er jo (1 + r) kr. værd om 1 periode – og vice versa!

Og ud fra MC kan vi finde TC

Fra MC til TC


Når Tiden altså er den uafhængige variable, skal alle MC-værdier (beløb) derimod tilbagediskonteres til d.d. (= periode 0)

Så med tiden som variabel er ”at lægge alle MC-beløb sammen” det samme som at tilbagediskontere MC-beløbene til periode 0 og dermed finde K0

t=N

Så TCN = K0 = ∑ MCt * (1 + r)-t

t=0

Nu har vi fastlagt MC og TC med tiden som uafhængig variabel

Det kan også udtrykkes som at finde K0-værdien ved en kapitalværdiberegning, der udelukkende indregner de ofrede udbetalingsstrømme, der kan henføres til det anlæg, som analyseres

TCN = K0 = …


Med Q som den uafhængige variabel er ATC = TC/Q

Når det nu er Tiden (N), der er den uafhængige variabel, bliver

ATCN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

Altså med andre ord:Med tiden som den uafhængige variabel bliver ATCN = K0, der er omskrevet til en annuitet over N perioder

Sådan her er det altså, når det er Q, der er den uafhængige variabel,

ATC = ∑ MC = Totale omkostninger Q Q

Nu skal vi fastlægge ATC - og stadig med Tiden som uafhængig variabel

ATC = f(tid)


Kr.

MC

Tid

Og så får MC og ATC følgende indbyrdes beliggenhed:

ATC

Og også her viser det sig, at med tiden som variabel vil MC skære ATC, hvor denne har minimum

Sådan er det jo også med Q som variabel!

Indbyrdes beliggenhed af MC og ATC


Alt dette kan også ses med fokus på ATC

Når Q er den uafhængige variabel, så vi foran, at

TCN = MCt og TCN = QN * ATCN

Og når Tiden er den uafhængige variabel, er

TCN = K0 = MCt * (1 + r)-t og TCN = K0 = ATCN * (1 + r)N - 1 . (1 + r)N * r

Så når man med Q som uafhængig variabel går fra MC eller ATC til TC, adderer man MC’erne eller multiplicerer ATC med Q

Så når man med Tiden som uafhængig variabel går fra MC eller ATC til TC, udregner man nutidsværdien, K0

t=N

∑ t=0

t=N

∑ t=0

TCN = ∑MCt


Kr.MC

Tid

ATC

Relationen mellem MC og ATC kan på et givet vilkårligt tidspunkt, N, illustreres således:

K0 = ATCN * (1 + r)N - 1 = ATCN * 1 – (1 + r)-N. r * (1 + r)N r

I sidst anførte tilfælde bruger man ”annuitetsdiskonteringsfaktoren” til at udregne K0 = TC. Husk at

Så ATCN (= det røde areal) * 1 – (1 + r)-N

r

antager (selvfølgelig)den samme værdi som

t=N

∑ t=0

MC (= det blå areal) * (1 + r)-t

Annuitetsdiskonteringsfaktoren


Nu har vi forklaret MC- og ATC-kurvernes beliggenhed og vist, at den indbyrdes beliggenhed er den samme med Q og med Tid (N) som variabel

Lad os lige repetere: Ved at fortsætte i 1 periode mere, ofrer vi hermed

1. Ændring i scrapværdiNår aktivet bruges i 1 periode mere, ændrer det typiskværdi; p.gr.a. slid, forældelse m.v. – eller værdistigning

2. Renten af den likviditet (= scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså når beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget

3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i den kommende periode (her ses der bort fra specifikke produkt- og produktionsomkostninger)

MC m.h.t. tid


Til de enkelte elementer ovenfor i MC m.h.t. tiden skal der knyttes følgende kommentarer:

Ad 1. Ændring i scrapværdi

Dette element i MC repræsenterer den reelle økonomiske netto værdiændring, der sker i løbet af én tidsperiode, N

Og Δ ScrapværdiN = ScrapværdiN – ScrapværdiN-1

1. Ændring i scrapværdi

Og summen af disse 3 elementer er lig med MC m.h.t. tid!

Det skal understreges, at de ovenfor anførte betragtninger om MC skal anvendes ved starten af hver eneste periode (tid), incl. den første!


Denne ”afskrivning” skal dog på ingen måde forveksles med skatte- og/eller regnskabsmæssige afskrivninger, som ganske vist er udtryk for det samme, men beregnes efter ret mekaniske regelsæt, der ikke nødvendigvis afspejler udviklingen i den reelle økonomiske scrapværdi

Men husk, at udskiftningsmodeller skal anvendes på alle de aktiver, som virksomheden er i besiddelse af på et givet tidspunkt

P.gr.a. slid og ælde og den tekniske udvikling vil et aktiv ofte tabe i værdi fra begyndelsen til slutningen af perioden. Det vil være tilfældet med mange maskiner, biler, bygninger etc., og nogle gange betegnes dette værdifald også som ”afskrivning”

”Afskrivning”


Ad 2. Ofret Rente af den likviditet (= Scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså hvor beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget

Når vi står ved periodens start og skal beslutte os for, om vi skal fortsætte med det eksisterende anlæg, vil vi jo ha’ alternativet at sælge anlægget (til scrapværdien ved periodens start) og i stedet investere det hermed frigjorte likvide beløb til r%

Tænk bare på parcelhuse i midten af ’00’erne. Ejerne boede i dem, sled på dem og brugte dem, og samtidig steg den økonomiske værdi af husene; væsentlige friværdier opstod!

Og fodboldspillere, veteranbiler, maleri af Rembrandt, udlejningsejendomme, specialmaskiner etc. kan ofte blive mere værd, selv om de samtidig bliver brugt og slidt i løbet af perioden

2. Ofret rente


3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i den kommende periode

Så når vi vælger at fortsætte én periode mere med det eksisterende anlæg, ofrer vi jo dermed netop denne alternative rente, så

Ofret renteN = ScrapværdiN-1 * r

Denne post vil typisk være lav i begyndelsen af aktivets levetid – altså for små værdier af N – men vil stige, efterhånden som aktivet bliver ældre og kræver flere økonomiske ressourcer for at forblive i drift

Bemærk, at det ofrede rentebeløb i periode N beregnes af Scrapværdien ved periodens start, altså af ScrapværdiN-1

3. Rep., drift & vedl.hold


Bemærk, at denne post ikke omfatter de materialer, lønninger m.v., som anvendes til den pågældende produktion og varierer med Q. De skal som tidligere nævnt i stedet fratrækkes i MR (se også nedenfor)

Nu er der redegjort for MC m.h.t. tid

Men i ”næste periode” er der også 2. Indbetalinger

Her er den grundlæggende betragtning – tilsvarende 1. Udbetalinger

Når vi befinder os primo en periode, hvad indbringer det os så i økonomiske værdier at fortsætte med det eksisterende anlæg 1 periode længere?

Dette er vores MR m.h.t. tid

Så vores MR – Marginal Revenue – m.h.t. tid – er det beløb, som vi modtager ved at eje det pågældende aktiv 1 periode mere!

MR m.h.t. tid


Dette vil som udgangspunkt være den indbetalte omsætning

Til produktion af varer og/eller serviceydelser ved hjælp af det pågældende anlæg vil der medgå en række udbetalinger, hvis størrelse således er afhængige af den producerede mængde Q

Disse skal altså IKKE inkluderes i aktivets ”Drift, reparation og Vedligehold”

Disse udbetalinger skal i stedet fratrækkes i den indbetalte Omsætning, og dermed fremkommer Dækningsbidrag/Driftsresultat, som vi her vil benævne ”MCon (m.h.t. tid)”, der er det begreb, vi vil anvende frem over

MCon kendes også fra den øvrige del af Erhvervsøkonomi/Managerial Economics og er også her defineret således:

I MR skal modregnes…


Udviklingen i indbetalingerne/periode for en række af disse faktorer vil være afhængig af det konkret valgte projekt (maskine, bil, ejendom etc.) – altså af den enkelte ”pind” i det totale forløb

Derfor skal indbetalingerne/periode analyseres, kortlægges og indregnes i de marginal-/grænsebetragtninger, der skal bruges til at fastlægge den optimale udskiftningspolitik for det enkelte projekt, altså en total-betragtning pr. projekt

Dækningsbidrag/Driftsresultat vil udvikle sig over tid, afhængig af udvikling i afsætningen, priser, produktionen, det tekniske og økonomiske udviklingsstade m.m.m.

MCon = MR – MC med Q som den uafhængige variabel

MCon = MR - MC


Lad os nu lige repetere:

Vi skal altså fastlægge den totalt set optimale udskiftningspolitik indenfor den valgte interessehorisont

Vi bruger en Marginalbetragtning

Det betyder, at for hele forløbet af ”pinde” - hvert eneste projekt - skal vi

- fastlægge alle relevante indbetalinger og datere dem

- fastlægge alle relevante udbetalinger og datere dem

- anvende en offerbetragtning på såvel MC som MCon m.h.t. tid

- bestemme det tidspunkt, hvor anlægget marginalt set er mest fordelagtigt

Lad os repetere


Nu er det en oplagt risiko ved marginalbetragtningen, at man ved mere komplicerede forløb af ind- og udbetalinger godt kan miste det totale overblik

Hvis f.eks. udbetalingerne i én eller flere perioder er større end de samme perioders værdier for MCon, skal man så stoppe projektet?

Grænsebetragtningen siger jo, at man skal ophøre med projektet, når MCon < MC

Men hvis dette sker, vil det tabte – og måske mere til – alligevel så kunne blive indvundet i senere perioder?

Risici ved MC-betragtningen


Derfor skal man altså i alle tilfælde supplere marginalbetragtningen med anvendelsen af en

Endvidere har man, hvis det aktuelle projekt indgår i en tidsmæssig sekvens af udskiftninger, altid brug for at finde K0 af det aktuelle projekt med det beregnede udskiftningstidspunkt t = N

Derfor skal man, hvor forløbet af ind- og udbetalinger ikke fører til en entydig beslutning, i første omgang supplere med en total K0-beregning til at finde den optimale værdi af t = N, altså det optimale tidspunkt for udskiftning (= levetid)

For jf. vores totalmodel til beregning af den optimale udskiftningspolitik skal denne singulære K0-værdi indgå i de totale beregninger af K0 for alternative sekventielle udskiftningsforløb

Supplere med en total K0-beregning


Totalbetragtning

Her finder man

Ult. år N: K0 = - Anskaffelsespris

+ ∑ (MCont – (Drift & Vedligehold)t) * (1 + r)-t

+ ScrapværdiN * (1 + r)-N

t = 1

t = N

Ud fra K0, t kan man finde NettoindbetN jvf. ovenfor og også – hvis det er ønskeligt – finde Marginal Nettoindbett ved anvendelse af (1 + r)t som omregningsfaktor, således:

Marginal Nettoindbett = (K0, t – K0, t-1) * (1 + r)t

K0 af Netto Resultat1-N

K0 af Initialinvestering

K0 af Scrapværdi ult. år N

=> (MCon – D&V)N = K0, N * (1 + r)N * r (1 + r)N – 1

K0 omregnes til Nettoindbet.N (annuitet)

Totalbetragtning


Udløb

Nyt

Samme

Eksisterende anlæg

Udløb

Nyt

Samme

Udløb

Nyt

Samme

Udløb

Nyt

Samme

Udløb

Nyt

Samme

Udløb

Nyt

Samme

UdløbNytSammeUdløbNytSamme

UdløbNytSamme

UdløbNytSamme

UdløbNytSamme

UdløbNytSamme

Tid

I praksis vil det som oftest se således ud:

Som et nødvendigt led heri skal vi fastlægge den optimale levetid for det enkelte projekt (”pind”)

Men for fuldstæn-dighedens skyld:

Oversigt


A. Ingen udskiftning, kun til udløbB. Udskiftning med tilsvarende anlægC. Udskiftning med et nyt anlæg

Så for det enkelte projekt i det totale forløb har vi som tidligere nævnt følgende 3 muligheder

Og det fastlagte forløb og K0 for det enkelte projekt indgår derpå i beregningerne af Kapitalværdien - K0 - for det totale projektforløb – hvoraf der jf. figuren på foregående slide så kan være adskelligt mulige

- som så alle må sammenholdes ved brug af Kapitalværdimetoden for at finde det økonomisk set bedste alternativ

3 muligheder


Og vores konklusion fra denne analyse fastlægger dermed den optimale udskiftningspolitik

Nu er vi så ved at være ved vejs ende

Det har til tider været ret kompliceret, så for lige at tilføje lidt, der kan komplicere analysen yderligere, skal det nævnes, at

- Der er en dynamisk sammenhæng mellem valg af anlæg og så MCon = MR – MC, idet såvel MR som MC vil være afhængig af det valgte aktiv

- Udskiftningspolitikken også er afhængig af den forventede kommercielle succes for det producerede produkt/service

- Der også er en dynamisk sammenhæng mellem udbetalingerne til Reparation, drift og vedligehold, og så udviklingen i Scrapværdi ved projektets udløb

Endnu mere komplekst


”Tak for nu!”

Men lige nu mangler jeg blot at sige

Så der er meget at regne på, og vores modeller kan og vil så blive endnu mere komplicerede. Vi må i så fald finde andre og mere avancerede værktøjer til at assistere os med løsningen

- Og i beregningerne skal der også tages højde for eventuelle forskelle i output. Nye maskiner vil jo ofte producere større og/eller bedre kvantiteter pr. tidsenhed!

Afslutning

udskiftningsmodeller grundmodeller kjeld tyllesen peØ, cbs

Documents