UNIVERZITET U BEOGRADUMATEMATIČKI FAKULTET

Seminarski radRana Grčka geometrija

-Tales-

Profesor: Zoran S. Lučić Student Fidahija Bećković

Br. Indexa 455/06 Beograd

Poreklo grcke geometrije

Počeci grčke matematike pojavljuju se u Joniji, pokrajini sa najvećim uticajem starih civilizacija. Razvoj se nastavlja u južnoj Italiji gde su stigli mnogi politički emigranti iz Jonije (Turske), a posle rata sa Persijancima i poraza Persije 490. god. p.n.e. kulturni i zanastveni centar postaje Atina.

Jedan od glavnih izvora o staroj grčkoj matematici su komentari Euklidovih Elemenata koje je napisao Proklo, zadnji veliki Grcki filozof, koji je ziveo u 5-om V. n.e.

Prema Proklovim rečima geometrija je ponikla u Egiptu iz praktične potrebe da se posle izlivanja Nila poplavljeno zemljište premeri i ponovo parceliše. Ovaj podatak može se naci u Herodotovoj Istoriji i Proklo ga je odatle svakako i preuzeo. Herodot kazuje da “svaki kome bi reka odnela nešto zemlje morao je to odmah da javi kralju. Tada bi ovaj poslao svoje činovnike da pregledaju i izmere za koliko se zemlja smanjila i da prema tome odrede koliku će porezu ubuduće plaćati. Izgleda mi da je u vezi s tim pronađena i geometrija i da je odatle kasnije dospela u Heladu.” [Istorija, II.109]

I Aristotel kaže da matematična umetnost najpre počinje u Egiptu, kao praktična potreba, zbog merenja zemlje, iako postoje činjenice da su u Egiptu postojali slobodni sveštenici, koji su mogli odvojiti vreme za teorijska proučavanja, i da su mogli geometriju da unaprede iz čisto praktične faze u nešto više, kao teoriju ili nauku o geometriji, ipak nije došlo do toga. “…umetnost geometrije u rukama sveštenika izgleda da nije unapređena dalje od čiste rutine”, potvrđuje Hit.

Grci nisu krili da su u Egiptu i Vavilonu pronašli materijal za svoju geometriju i svoju astronomiju. Iako su Tales i Pitagora, Demokrit i Eudoks kazali da su putovali u Egipat i Vavilon, a to su i potvrdili egipatski sveštenici, ipak ima nekoliko modernih filologa koji apsolutno odbijaju da prepoznaju da su Grci uzeli bilo sta bitno sa Istoka. Čak iako bi se izveštaji o ovim putovanjima prihvatili kao istorijske činjenice, opet dokazuju dovoljno, jer bi inače značilo da su Grci bili uskog uma i da nisu mogli prepoznati elemente vrednosti u stranoj kulturi.”[Waerden]

“Proklo u svom delu “Kratak pregled” razmatra pitanje porekla geometrije. Smatra se da i sledeće rečenice mogu biti njegove: “Od tada smo razmatrali početke umetnosti i nauka, sa preporukom na poseban ciklus (ozbiljno upućivanje od strane Aristotela), kroz koji je vasiona u sadašnjosti prolazi, i

kažemo da je, prema većini izveštaja, geometrija prva otkrivena u Egiptu, u smislu merenja površina. Potreba Egipćana za ovim je postojala zbog izlivanja Nila, koji je brisao granice bilo čije zemlje.”[Heath]

Mnogi grčki pisci, pored Prokla, slično objašnjavaju poreklo geometrije. Herodotus kaže da je Sesotris (Ramzes II, otprilike 1300 p.n.e.) podelio Egipćanima zemlju na jednake pravougaone delove, da plaćaju godišnju taksu; pa kada bi reka preplavila deo zemlje, i kada bi se vlasnik prijavio za određenu redukciju takse poslali bi zemljomere da potvrde da je bilo smanjenja u površini. “Ovo je po mom mišljenju”, nastavlja on “poreklo geometrije koja je kasnije presla u Grčku.”

Istu priču, malo proširenu, su ponavljali i drugi pisci, Heron iz Aleksandrije, Dnodorus Sikulus, i Strabo. Istina, sve ove izjave (čak iako je ono Proklusova direktno preuzela iz Eudemusove Istorije geometrije) mogu biti pronađene kod Herodotusa, a Herodotus ih je mogao formulisati kao svoj sopstveni zaključak o Egiptu.”

Egipćani su bili izuzetno pažljivi pri orjentaciji svojih hramova, upotrebljavali su konopce i kočiće za obeležavanje, što se može i videti na mnogim slikama. Prav ugao su dobijali, po pretpostavci Kantora, zatezanjem konopca koji je podeljen na tri dužine 3+4+5, u razmeri stranica pravouglog trougla. Kako pise Tomas Hit: “Izgleda da nema sumnje da su Egipćani znali da je trougao pravougli,sa stranama 3,4,5 i da su povezali da je kvadrat nad najvecom stranom jednak zbiru kvadrata nad druge dve; ako je ovako, oni su bili upoznati sa poslednjim slučajem poznatog stava Pitagore.” Tako da se o pitanju autorstva Pitagorine teoreme dosta raspravljalo tokom istorije, i ostalo je nerazjašnjeno. Tako ser Tomas Hit kaže: “Ne bih išao tako daleko da odričem Pitagori zasluge za otkriće naseg stava; ne, želim da verujem u tradiciju da je to zaista bio on. Želim da verujem da je tradicija u pravu i da je stav zaista njegov.”

Verden jako lepo objašnjava zašto su bas Grci začetnici geometrije.” Sigurno nije slučajno da su Jonjani bili buktinja Grčke civilizacije. Zar nisu stanovali na podrucju vezanom sa velikim istocnim imperijama, zar nisu godinama bili potčinjeni kraljevima Lidije i Persije? Oni su obilovali mogućnošću da se dobro upoznaju sa istočnom kulturom. Bliske veze, koje su politički i ekonomski povezivale Joniju i Malu Aziju postale su očigledne svakome ko je pročitao prvu knjigu Istorije od Herodota. I veze izmedju Grka i Egipta su bile veoma bogate. Brojni Grci su živeli u delti Nila. Čak je grčki grad Naukratis, koje je osnovan za vreme vladavine Psametikusa (663-609 p.n.e.), pod Amasisom (569-525 p.n.e.), uspostavio trgovinski monopol za ceo Egipat.”

Tokom narednog perioda je bilo povoljnijih i manje povoljnih perioda za Grke. Dolazilo je do mnogih političkih promena, pronalaženja novih trgovinskih puteva, i obnavljanja starih. Preokret je bila bitka u Halisu, kada “je došlo do iznenadnog prekida, zbog pomračenja sunca 585, koje je predskazao Tales sa Mileta. “Dan se pretvorio u noć”, pise Herodot. Vojnici su bili preplašeni do te mere, da nisu bili radi da nastave borbu.

Mir je bio zaključen između zavađenih strana, gde su i Sicilija i Vavilonija bile uključene. Od tada su tri velike imperije odrzale ravnotežu sila: Lidija, Medija i “Novo Vavilonsko carstvo”, koje su osnovali kraljevi Haldeje. Kulturne i trgovinske veze su otvorne u oba pravca, celo zaleđe je postalo pristupačno Grcima.” [Waerden]

“Izjava Herodotusa pokazuje da je bilo i kulturnih promena sa Grcima; Giomon i Polis, i podela dana na 12 sati, u Grčku dolazi iz Vavilona. Polos je verovatno bio sunčanik u vidu polulopte. Gnomon je takodje sunčanik, koji se sastoji od vertikalnog štapa, koji baca svoju senku na horizontalni disk.

Nema sumnje u ispravnost izjave koja se tiče Gnomona, jer postoji tekst na klinastom pismu koji sadrži tablicu za dužine senki štapa u raznim periodima dana.

Izjava, koja se odnosi na podelu na 12 sati, po kojoj Grci dele dan od izlaska do zalaska sunca, je takođe ispravna, poznato je iz drugog teksta iz Nineveha, koji sadrži tablicu za trajanje od 1/12, 2/12, 3/12, …12/12 perioda dnevne svetlosti za

različite periode godine, izražene u terminima astronomskih vremenskih jedinica (“bern” i “us”). “[Waerden] Imena znakova Zodijaka sa kojima su se Grci upoznali oko 550, takođe poticu iz Vavilona.

Politička ravnoteža je ponovo poremećena, kada je Cirus potčinio ceo Istok. Mnogi Jonjani su napustili zemlju. U to vreme se i Pitagora selio sa Samosa do Krotona. “Centar teže sveta matematike i filozofije se pomerio iz Jonije u Italiju. “[Waerden] Ubrzo je persijska imperija obnovila ekonomske i kulturne veze sa Grcima. Persijski kraljevi Cirus i Darijus su bili veoma tolerantni i nisu remetili kulturu i religiju potčinjenih naroda.

“Vavilonski sveštenici-astronomi su sistematski nastavili posmatranje Meseca i planeta za vreme persijske vladavine. Bez ovih pazljivo belezenih posmatranja, koja su kasnije uticala na vavilonsku teoretsku astronomiju, za vreme doba Seleucidsa, naslednika Aleksandra Velikog, bilo bi nemoguće. Grci su takodje, pokazali veliki interes za ova posmatranja; Kalisfenes, Aristotelov učenik, koji je pratio Aleksandra velikog do Vavilona, poslao je svom rođaku Aristotelu vavilonska posmatranja, na njegov zahtev. Hiparhus(150 p.n.e.) koristi Vavilonska posmatranja i periode Meseca, koje ce praktično bez promene, Ptolomej iskoristiti 300 godina kasnije.

Iz svega ovoga vidimo da su Grci rado učili od Vavilonjana i da su primljeno znanje još unapredili kasnije. Možda je ovo nije primenljivo na početno period grčke matematike, jer su Vavilonci već posedovali visoko razvijenu algebru i geometriju. Prirodan trenutak u kome plodni kontakti između Istoka i Zapada, zauzimaju mesto na početku 6. veka, je imponzantan trgovinski grad Milet na obali Male Azije, najvažniji centar Jonske kulture. A prvi Jonski prirodni filozof, prvi matematičar i astronom, je Tales sa Mileta.

Tales (oko 634-546 p.n.e.) ubrajan je među sedam mudraca. Sve ostale mudrace prevazišao je mnogostranošću svoje delatnosti jer, pored toga sto se bavio filozovijom, matematikom i astronomijom , bio je i hidrotehničar i nautički inženjern i trgovac, i političari, kako tvrdi Plutarh u Gozbi sedam mudraca, jedini među mudracima uzdigao iznad sfere praktične koristi. Prema Aristotelovoj tvrdnji, prvi je pokušao da raznovrstnost pojava svede na jednu pramateriju. Otklanjajući sve mitološke i teoloske činioce, a uvodeći prirodnu uzročnost i posledičnost on je prvi na racionalan način učinio pokušaj da objasni svu raznolikost i šarenilo prirode [27, str.473]

Tradicija pripisuje Talesu da je prvi dokazivao teoreme i da je, štaviše, umeo da dokaže pet geometrijskih stavova među kojima je i tvrđenje da je ugao nad prečnikom prav.

Prema Diogenovim rečima Tales “uopšte nije imao učitelja, jedino sto je posetio Egipat i družio se s tamošnjim sveštenicima” [25, I.27] Najverovatnije je bio zadivljen njihovom umetnošću praktičnog rešavanja geometrijskih zadataka i ostalim veštinama. Sa ovim je u skladu i Jamblihovo predanje o Talesovom savetu Pitagori da putuje u Egipat ne bi li naučio nešto od sveštenika hramova u Memfisu i Diospolisu [77,st.88]

Od njegovih dela ništa nije sačuvano, a ako i jeste ta su dela nestala već pre Aristotela, ali je verovatno da je nešto napisao iako ni o tome nije ostao nikakav trag.

Pripisuje mu se tačno predviđanje pomračenja sunca u maju 585 p.n.e. Poznato je i njegovo korišćenje svojstava sličnih trouglova za računanje udaljenosti broda od obale i visine piramide (koju je prema više izvora izmerio čekajući da senka čoveka bude jednaka njegovoj visini).

Platon je ispričao da je Tales pao u bunar dok je gledao u zvezde, i da se tome nasmejala zgodna Tračanka, robinja, govoreći: ”on želi da zna šta se dešava na nebu, ali ne primećuje šta je pred njegovim nogama”.

Bila bi greška izvesti zaključak iz ove anegdote da je Tales bio naučnik, stranac u ovom svetu, neka vrsta rasejanog profesora. Ustvari, on je bio veoma upućen u suštinu jonskog života svog vremena. Priča se da je zaradio vrlo mnogo novca u spekulaciji sa uljem i da je napravio novo korito reke da olakša prelazak Kroesusove armije. Pritom je savetovao svoje sugrađane protiv alijanse sa

Kroesusom.” (Waerden) Tales nije bio samo teoretičar i filozof, već i državnik i čovek praktičnog rasuđivanja, “mudrac” u potpunom smislu.

Pored Talesa, među onima koji su se bavili geometrijom pominje se i Ameristus, brat pesnika Stezikorusa. I tako je dobio reputaciju bavljenja geometrijom , po rečima Hipija sa Elija. ( Proklo, o Eukl.I.str.65.11-15)

Pesnik Stezikorus živeo je oko 630-550g.pne. Njegov brat je dakle mogao biti skoro Talesov savremenik. Ne znamo ništa o njemu do jednog Proklovog pasusa, a čak i njegovo ime nije sigurno. U Frindlanovom izdanju Prokla, njegovo ime je Mamerkus, po jednom lažnom potpisu kasnijeg datuma.

Predviđanje sunčevog pomračenja

.“Herodot izveštava da se za vreme bitke na Halisu, dan odjednom preokrenuo u noć i da je Tales predvideo ovaj događaj Delanjima za tu godinu. Prema Diogenu Learciju, Henopanes je izrazio svoje divljenje Talesu za ovo predviđanje. Tako da pored Herodota, imamo starijeg svedoka Henopanesa za ovo Talesovo dostignuće. Danas je obično usaglašeno mišljenje da ovaj događaj ukazuje na Sunčevog pomračenja 585 p.n.e.

Kako je bilo moguće da Tales, koji je, prema svim našim izgovorima, prvi grčki astronom, predvideo pomračenje Sunca? Takav podvig zahteva iskustvo veće od 40 godina, bez obzira koliko se radi, Nije moguće za jednog čoveka da sam stekne ovo iskustvo. Ali Tales nije imao grčkog prethodnika. Zaključak je neizbežan da je morao crpeti iskustvo od Orijentalnih astronoma. Ovo najpre ukazuje na astronome Mesopotamije. Za koje znamo iz pisama asirskih dvorskih astrologa oko 700 koji su predviđali Sunčeva i Meseceva pomracenja ( sa promenljivim uspehom). Predviđanje Talesa se vrlo dobro uklapa sa ovim nizom predviđanja…” [Waerden]

Možemo pretpostaviti način na koji je on predskazao pomračenje Sunca. Vavilonci su oktrili, kao rezultat neprestanog posmatranja kroz vekove, period od 233 “lunations”, posle koji se pomračenja ponavljaju; i ovaj period je nesumnjivo , bio poznat Talesu, ili direktno ili preko Egipćana, posredno. Tales nije mogao znati uzrok pomračenja; nije mogao da da pravo objašnjenje za periode pomračenja Sunca, jer je on smatrao da je Zemlja kružni disk koji plovi vodom kao panj; i da je imao tačno objašnjenje za pomračenje sunca, nemoguće je da, od svih uspešnih jonskih filozofa, nijedan nije ostavio napredno objašnjenje, koje bi smo mi pronašli zapisano.” [Heath] “Štagod da se ustvari dogodilo,

predskazivanje Talesa ukazuje da je on bio upoznat sa vavilonskom astronomijom.” [Waerden]

“Druga Talesova dostignuća u astronomiji su veoma mala. Eudemus je njemu pripisao otkriće činjenice da period trajanja sunca nije uvek jednak sa dužinom dana; sto bi trebalo da znači da je on otrkio nejednaku dužinu trajanja četiri astronomske sezone, to su četiri dela “tropske” godine, podeljene po dugodnevnici i ravnodnevnici. Eudemus verovatno upućuje na pisane Talesove radove “Na dugodnevnici” i “Na ravnodnevnici”, koje spominje Diogen Learcije. Znao je za podelu godine na 365 dana, za koju je verovatno saznao od Egipćana.” [Heath]

Merenje visine piramide

“Ima više različitih objašnjenja Talesovog metoda za merenje visine piramide. Najstarija i najjednostavnija verzija dolazi od Heronimusa, Aristotelovog učenika, koju navodi Diogen Learcije: “Heronimus kaže da je on čak uspeo da izmeri piramide posmatranjem dužine njihove senke u momentu kada su naše senke jednake našoj visini”

Plini kaže : “Tales je dobio visinu piramida i svih drugih sličnih objekata, merenjem senke objekta u vreme kada su telo i njegova senka iste po dužinama.”

Plutarh je ulepšao priču dijalogom gde Nilohenus govori Talesu: “Pored drugih podviga tvojih, on (Amasis) je posebno zadovoljan tvojim merenjem piramide, jer si bez problema i bez pomoći bilo kog instrumenta, samo postavio štap na granicu senke koju je bacala piramida i tako napravio dva trougla, i pod uticajem sunčevih zraka ti si pokazao da piramida prema štapu ima isti odnost koji senka ima prema senci.”

Prva verzija je očigledno originalna, i postupak je više elementaran nego što je opšti metod, kako ističe Plutarh, prva verzija je verovatnija. Tales nije mogao da ne primeti da u vreme kada je senka određenog objekta jednaka svojoj

visini, da ista relacija važi i za sve druge objekte koji prave senku; ovo bi on verovatno zaključio indukcijom, posle izvođenja stvarnih merenja, u određenom broju slučaju, u vreme kada je on otkrio da je dužina senke jednog objekta jednaka njegovoj visini. Ali čak iako je Tales koristio više opštiji metod, na šta ukazuje Plutrh, taj metod nije sadržao u sebi ni jednu opštu teoriju sličnih trouglova ili proporcija.” [Heath]

Talesova geometrija

“Da li je Tales znao vavilonsku matematiku, takođe? Sledeću informaciju O Talesu je dao Proklo, komentator prve knjige Euklidovih Elemenata, koju je dobio iz Istorije matematike Eudemusove, verovatno izgubljene:

1.On je bio prvi koji je pokazao da je krug podeljen na dva jednaka dela svojim dijametrom

2.Osim nekoliko drugih teorema, on je upotrebljavao jednakost baznih uglova u jednakokrakom trouglu; on nije ove uglove nazivao jednakim vec “sličnim” u arhaičnom obliku.

3.On je otkrio, da su uglovi jednaki kada dve prave linije presečemo, prema Eudemusu.

4.Stav podudarnosti dva trougla, kojima su stranice i po dva ugla jednaka, Eudemus pripisuje Talesu, sa metodom za određivanje daljine između dva broda na moru, da bi demonstrirao vrednost njegovog metoda, i pokazao da je Tales učinio korisnom ovu teoremu podudarnosti.

Apsolutna tačnost rečenica (1) i (4) je dovedena u pitanje, cak iako dolaze iz najboljih izvora. Smatra se da struktura stare Talesove matematike nije mogla biti tako striktno logična, da bi on mogao dokazati tako jasnu stvar kao sto je jednakost delova na koje dijametar deli krug. Hit, eminentan engleski istoričar grčke matematike, primećuje da čak i kod Euklida, ovaj stav nije dokazan.” [Waerden]

“Ako uzmemo ove stavove ili teoreme kao ispravne, možemo primetiti da , kada je Tales rekao da je “prikazao” da je krug podeljen svojim prečnikom kada

je “formulisao” teoremu o jednakokrakom trouglu i”otkrio”bez naučnog dokaza, jednakost unakrsnih uglova, reč “prikazao” ne smemo uzeti suviše bukvalno. Čak ni Euklid nije “prikazao” da je krug prepolovljen svojim prečnikom, vec je samo

izneo kao činjenicu.” [Heath]

“On smatra da izjavu Eudemusa treba opravdati na sledeći način, da je on pogrešio što je preuzeo iz matematike Talesa istu spoljašnju strukturu, kao što je ona u matematici njegovog vremena ( oko 330-300 p.n.e.) u kojoj je svaki stav bio izveden striktno logičkim koracima iz prethodnog stava, definicija i aksioma.” [Waerden]

“Tales je dakle, verovatno primetio, pre nego dokazao osobinu (1); a to je možda, kao sto Kantor kaže bilo inicirano pojavom nekih kružnih objekata, podeljenih na jednak broj sektora, sa 2,4 ili 6 prečnika, kao sto je pronađeno u Egipatskim spomenicima ili naslikano na posudama, koje su doneli azijski kraljevi, koji su plaćali danak za vreme vladavine 18-te dinastije.

Smatra se da upotreba reči “slično” za opisivanje jednakih uglova u jednakokrakom trouglu (2), ukazuje na to, da Tales nije shvatao ugao kao veličinu, vec kao figuru, koj ima određen oblik.” [Heath]

“Kako je Tales mogao odrediti daljinu između brodova na moru? Prema Taneriju, to je stari metod, koje je stigao do nas, matod Rimskog zemljomera Markusa Junijusa Napsiusa, koje je ustvari veo primitivno pravilo:

Da bi pronašao udaljenost od A do proizvoljne tačke B, postavio bi u ravan normalu AC na AB, proizvoljne dužine i odredio njenu središnju tačku D. U tački C je konstruisao liniju CE normalnu na CA, u pravcu suprotnom od AB, tako da E bude kolinearna sa B i D. Tada CE ima istu dužinu kao AB.

Eudemus kaže da je teorema podudarnosti (4) ustvari korišćena u dokazu ovog metoda, isto kao i stav (3) o jednakosti unakrsnih uglova, takođe poznat Talesu. Dakle, moguće je da je ovo bio Talesov metod.” [Waerden]

Međutim “… u ovom slučaju, može doći do poteškoća da se nađe dovoljna količina slobodnog i ravnog prostora za konstrukciju i merenja.” [Heath]

Heat spominje udaljenost brodova od obale, a ne udaljenost između dva broda na moru. “ Nažalost možemo samo pretpostaviti da je sledeći metod korišćen. Pretpostavlja se da je Tales, posmatrajući brod sa vrha tornja na morskoj obali, praktično iskoristio ekvivalent proporcionalnosti strana dva slična pravougla trougla, malog i velikog.

Pretpostavimo da je B osnova tornja, C je brod. Samo je neophodno bilo, da čovek koji stoji na vrhu tornja ima instrument sa dva kraka koji formiraju prav ugao, da ga postavi tako da je jedan krak DA vertikalan i u pravoj liniji sa B, a drugi krak DE u pravcu broda, da uzme bilo koju tačku A na DA, i da tada obeleži na DE tacku E na mestu gde linija posmatranja od A do C seče krak DE. Tada AD (=1 ,recimo) i DE (=m ,recimo) koja je stvarno izmerena, kao i visina BD (=h ,recimo) od

D do podnožja tornja, pa zbog sličnih trouglova dobijamo da je BC=(h+1)*m/l “Još jedna teorema se pripisuje Talesu (slobodno je možemo pripojiti

prethodnim):5. “Pampilije, kako izveštava Diogen Learcije, kaže da je Tales bio prvi

koji je konstruisao krug oko pravouglog trougla i da je, u čast ovog pronalaska, žrtvovao bika-vola. Dakle, stav da je ugao upisan u krug, prav ugao, pripisuje se Talesu.” [Waerden]

“Ostali, međutim, uključujući Apolodorusa kažu da je to Pitagorino otkriće.” [Heath]

Hit kaze da “Postoji više poteškoća oko izjave Pampilija, koja kaže da je Tales prvi otkrio činjenicu da je ugao u polukrugu prav ugao. Pampilije je živeo u vreme vladavine Nera (54-68 n.e.) pa se smatra zakasnelim autoritetom. Datum Apolodorusa – “računarca” ili aritmeticara nije poznat, ali je on jedan od nekoliko autoriteta koji su pripisali teoremu Pitagori. Ali priča o Talesovom žrtvovanju vola, povodom ovog otkrić, je sumnjiva isto kao i Apolodorusov distih “kada je Pitagora otkrio taj poznati stav, svom snagom je ponudio sjajno zrtvovanje vola.” Ali pri citiranju Apolodorusovog distiha, Plutarh izražava sumnju, da je otkriće tako slavljeno, bilo zbog teoreme o kvadratu nad hipotenuzom, ili zbog otkrića problema “primene površine”; uglavnom nema nista o otkriću činjenice da je ugao u polukrugu prav. Mozda je Diogen Learcije pogrešio što je uopšte uveo Apolodorusa u priču…. Ali ako čak i prihvatimo Pampilijevu priču, i ako je Tales znao da je ugao u polukrugu prav on je bio u poziciji da zaključi da je zbir uglova bilo kog pravouglog trougla jednaka zbiru dva prava trougla.

Pretpostavimo da je BC prečnik polovine kruga, O je centar i A tačka na polukružnici, dalje pretpostavimo da znamo da je ugao BAC prav ugao. Spajajuci OA pravimo dva jednakokraka trougla OAB i OAC; a Tales zna da su uglovi na osnovici jednaki kod oba trougla. Stoga je zbir uglova OAB , OAC jednak zbiru uglova OBA, OCA. A prethodni zbir je jednak pravom uglu; dakle i drugi zbir je takođe jednak pravom uglu, i tri ugla trougla ABC su zajedno jednaki dva put navedenom zbiru, tj.jednaki su sa dva prava ugla.

Sledeće, što se lako može videti je to, da se bilo koji trougao može podeliti na dva pravougla trougla povlačenjem normale AD i tačke A do suprotne stranice BC. Tada su tri ugla svakog od pravouglih trouglova ABD i ADC jednaki sa dva

prava ugla. Ako saberemo zajedno sva tri ugla oba trougla dobijamo da je zbir sva tri trougla ABC zajedno sa uglovima ADB i ADC jednaka sa četiri prava ugla, i zbir kasnijih uglova jednak je sa dva prava ugla, proizilazi da je zbir sledećih uglova, uglova u A, B, C je jednak sa dva prava ugla. I trougao ABC je bilo koji trougao.

Dali je Tales mogao doći do ovog stava o polukrugu, bez znanja, da je zbir uglova bilo kog trougla jednak sa dva prava ugla? Izgleda moguće na sledeći način. Mnogi stavovi su bili, bez sumnje, prvo otkriveni pomoću crtanja figura i linija u njima, i opažane su očigledne relacije jednakosti između delova. To bi na primer, bilo veoma prirodno nacrtati pravougaonik, figuru sa četiri prava ugla (pronađeno je da je mogla biti crtana u praksi) i umetnuti dve dijagonale. Jednakost suprotnih strana bi , bez sumnje, u prvim počecima geometrije, uzeta kao očigledna ili proverena merenjem. Ako bi tada bilo pretpostavljeno da je pravougaonik figura sa svim pravim uglovima i svakom stranom jednakom svojoj suprotnoj, bilo bi sigurno lako izvesti posledice. Uzmimo prvo dva trougla ADC i BCD. Pošto je po hipotezi AD=BC i CD je zajednička, dva trougla imaju strane AD i DC jednake stranama BC i CD redom, i obuhvaćeni uglovi, koji su pravi uglovi, su jednaki; dakle trouglovi ADC i BCD su jednaki, i prema tome uglovi ACD (tj. OCD) i BCD (tj. ODC) su jednaki, odakle (prema Talesu poznatom tvrđenju) OD=OC. Slično u smislu jednakosti AB i CD mi smo dokazali jednakost OB i OC. Dakle, OB, OC, OD ( i OA) su sve jednake. Sledi, da krug sa centrom O i poluprečnikom OA prolazi kroz B, C, D takođe; posto su AO i OC u pravoj liniji, AC je dijametar kruga, o ugao ABC je po hipotenuzi prav ugao, je ugao u polukrugu. Tada proizilazi da bilo koji prav ugao, kao ABC koji na AC kao bazi, samo je neophodno da polovi AC u O i O će tada biti centar polukruga

nad AC kao dijametrom i prolazi kroz B. Pokazana konstrukcija bi bila konstrukcija kruga oko pravouglog trougla ABC, koja izgleda, dovoljno dobro odgovara Pampilijevoj frazi o opisivanju kruga oko trougla (koji je trebalo da bude) pravougli.” [Heath]

“S druge strane, ovaj stav se dovodi u vezu sa određenim izračunavanjima, koja se odnose na tetive i njiigove apoteme, koja su rađana u Vavilonskoj matematici; ali ova veza, naravno, ni u kom slučaju nije dovoljna da dokaže da je Tales znao Vavilonsku matematiku. Stvar se mora pogledati sa šire tačke gledišta i iskaze Prokla i Pampilija treba prostudirati bolje.” [Waerden]

Verden zaključuje “Ovako bi Eudemus trebalo da rasuđuje: Čisto logički, merenje udaljenosti između brodova na moru, zavisi od teoreme podudarnosti, pomenute u (4), dakle Tales je morao znati ovu teoremu i formulisati je eksplicitno. Smatra se, da je u stvarnosti Tales možda primenio ovaj stav podudarnosti a da nije bio svestan njega. Neki čak veruju da Tales nije ni u kom slučaju dokazao svoja otkrića, ali da ih je utvrdio empirijski, što je sasvim suprotno od onoga sto je Eudemus tačno rekao u (1).

Prva zamerka ovom gledištu je da Eudemus nije samo znao rezultate Talesove matematike, već i njihove spoljne forme, čak je znao i terminologiju koju je Tales koristio za jednakost uglova. Teško da možemo suditi sa jednostavnim ignorisanjem njegovog (Eudemusovog) suda, da je Talesova geometrija bila logički konstruisana, kao ona kasnijih matematičara – a to je očigledno i njegov sud, jer inače ne bi izveo zaključak (4) – i sigurno ne njegova eksplicitna izjava da je Tales dokazao stav (1). Samo na osnovu većeg znanja se može sasvim shvatiti antički istoričar.

Osim toga, cela Proklova kritika Eudemusove izjave, stoji i pada sa činjenicom da je Tales sa samog početka stare matematike. Smatra se: pošto je on prvi, mora da je otkrio teoreme empirijski. Ali mi sada znamo da matematika ne počinje sa Talesom, već, najmanje 1200 godine ranije, u Vavilonu. Ovo obara svaki razlog za nepoverenje za Talesove dokaze i za striktno logičnu strukturu, koju Eudemus njemu prepisuje.”

Tales je “ od Vavilonjana mogao čuti da je površina kruga 3r2, dok su Egipćani tvrdili da je (8/9*2r)2 . Kako je Tales razlikovao ispravno od

neispravnog, tj. Uspeo da približi netačno. Naravno dokazivanjem, postavljanjem u logički povezan sistem.

Sledi da treba napustiti tradicionalno verovanje da su najstariji grčki matematičari otkrivali geometriju isključivo sami i da ne duguju gotovo nista starijim kulturama, verovanje koje je bilo održivo samo dok se ništa nije znalo o vavilonskoj matematici. Ovo ni u kom slučaju ne smanjuje ugled Talesa naprotiv, njegovom geniju se ukazuje čast, priznanje što je to uradio, čast što je razvio logične strukture u geometriji, za pojavu dokaza u geometriji.

Zaista, to sto je karakteristično i apsolutno novo u grčkoj matematici, je razvoj misli od teoreme do teoreme. Očigledno grčka geometrija je imala ovaj karakter od početka, i Tales je taj kome se odaje priznanje. Materijal od koga je grčka matematika stvorena, nije nov”…” ali stil u kome je građevina uspravljena, je bio nov.” [Waerden]

Talesov značaj

Tales je prvi koji je ponudio objašnjenja za priridne pojave koja nisu imala veze sa mitologijom i crkvenim verovanjima. Njegove misli su bile nove, smele, i uzbudljive. Nije pričao u zagonetkama, i nije posezao za izmišljanjem nedefinisanih supstanci. Mnogi su pokušavali da ga diskredituju, ali njegove hipoteze su bile racionalne i naučno zasnovane.

Najbitnije stvari koje je Tales ostavio u nasleđe su: traganje za znanjem radi njega samog; razvoj naučnog metoda; razvoj praktičnih metoda u opšte principe; njegova radoznalost i direktan prilaz prirodnim pojavama. U šestom veku p.n.e. Tales je postavio pitanje: “ Od čega je sazdan kosmos ? ”.

Za odgovorom se i dalje traga.

Literatura

1.T.L.HEATH, A History of Greek Mathematics I, Dover, New York, 1981.

2. B.L. van der WAERDEN, Science Awakening, Noordhoff, Gronongen, 1954.

3. Z.LUCIC, Ogledi iz istorije geometrije, Preliminarna verzija

4.D.DRAGOVIC, Hronologija saznanja od 30 000. g. p.n.e. do 1. g.n.e.http://www.astronomija.co.yu