Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

GEOMETRIJA5. Ravninska geometrija, 2.del

Matija Cencelj

Geometrija, Pedagoska fakulteta UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Peti aksiom nase ravninske geometrije podaja lastnosti velikostikota (ki je nas zadnji nedefinirani pojem). Se prej pa se enadefinicija.

Definicija

Poltrak−→AD lezi med poltrakoma

−→AB in

−→AC, ce je tocka D v

notranjosti kota ∠BAC.

A

C

B

D

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Peti aksiom nase ravninske geometrije podaja lastnosti velikostikota (ki je nas zadnji nedefinirani pojem). Se prej pa se enadefinicija.

Definicija

Poltrak−→AD lezi med poltrakoma

−→AB in

−→AC, ce je tocka D v

notranjosti kota ∠BAC.

A

C

B

D

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Peti aksiom nase ravninske geometrije podaja lastnosti velikostikota (ki je nas zadnji nedefinirani pojem). Se prej pa se enadefinicija.

Definicija

Poltrak−→AD lezi med poltrakoma

−→AB in

−→AC, ce je tocka D v

notranjosti kota ∠BAC.

A

C

B

D

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Na prvi pogled izgleda, da je definicija pojma lezati vmesodvisna od tocke D, s katero smo definirali poltrak. Kmalu pabomo pokazali, da ni tako: ce je namrec

−→AD =

−−→AD′ je D v

notranjosti kota ∠BAC natanko tedaj, ko je v notranjosti istegakota tudi tocka D′.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Na prvi pogled izgleda, da je definicija pojma lezati vmesodvisna od tocke D, s katero smo definirali poltrak. Kmalu pabomo pokazali, da ni tako: ce je namrec

−→AD =

−−→AD′ je D v

notranjosti kota ∠BAC natanko tedaj, ko je v notranjosti istegakota tudi tocka D′.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Na prvi pogled izgleda, da je definicija pojma lezati vmesodvisna od tocke D, s katero smo definirali poltrak. Kmalu pabomo pokazali, da ni tako: ce je namrec

−→AD =

−−→AD′ je D v

notranjosti kota ∠BAC natanko tedaj, ko je v notranjosti istegakota tudi tocka D′.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom o kotomeruZa vsak kot ∠BAC obstaja realno stevilo µ(∠BAC), ki murecemo velikost kota ∠BAC, in zanj veljajo naslednje lastnosti.

1 0◦ ≤ µ(∠BAC) < 180◦ za vsak kot ∠BAC.2 µ(∠BAC) = 0◦ ⇔

−→AB =

−→AC

3 (konstrukcija kota) Za vsako realno stevilo r , 0 < r < 180,in za vsako polravnino H, ki jo omejuje premica

←→AB,

obstaja natanko en tak poltrak−→AE , da je E ∈ H in

µ(∠BAE) = r◦.4 (vsota kotov) Ce lezi poltrak

−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC,

veljaµ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom o kotomeruZa vsak kot ∠BAC obstaja realno stevilo µ(∠BAC), ki murecemo velikost kota ∠BAC, in zanj veljajo naslednje lastnosti.

1 0◦ ≤ µ(∠BAC) < 180◦ za vsak kot ∠BAC.2 µ(∠BAC) = 0◦ ⇔

−→AB =

−→AC

3 (konstrukcija kota) Za vsako realno stevilo r , 0 < r < 180,in za vsako polravnino H, ki jo omejuje premica

←→AB,

obstaja natanko en tak poltrak−→AE , da je E ∈ H in

µ(∠BAE) = r◦.4 (vsota kotov) Ce lezi poltrak

−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC,

veljaµ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom o kotomeruZa vsak kot ∠BAC obstaja realno stevilo µ(∠BAC), ki murecemo velikost kota ∠BAC, in zanj veljajo naslednje lastnosti.

1 0◦ ≤ µ(∠BAC) < 180◦ za vsak kot ∠BAC.2 µ(∠BAC) = 0◦ ⇔

−→AB =

−→AC

3 (konstrukcija kota) Za vsako realno stevilo r , 0 < r < 180,in za vsako polravnino H, ki jo omejuje premica

←→AB,

obstaja natanko en tak poltrak−→AE , da je E ∈ H in

µ(∠BAE) = r◦.4 (vsota kotov) Ce lezi poltrak

−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC,

veljaµ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom o kotomeruZa vsak kot ∠BAC obstaja realno stevilo µ(∠BAC), ki murecemo velikost kota ∠BAC, in zanj veljajo naslednje lastnosti.

1 0◦ ≤ µ(∠BAC) < 180◦ za vsak kot ∠BAC.2 µ(∠BAC) = 0◦ ⇔

−→AB =

−→AC

3 (konstrukcija kota) Za vsako realno stevilo r , 0 < r < 180,in za vsako polravnino H, ki jo omejuje premica

←→AB,

obstaja natanko en tak poltrak−→AE , da je E ∈ H in

µ(∠BAE) = r◦.4 (vsota kotov) Ce lezi poltrak

−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC,

veljaµ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom o kotomeruZa vsak kot ∠BAC obstaja realno stevilo µ(∠BAC), ki murecemo velikost kota ∠BAC, in zanj veljajo naslednje lastnosti.

1 0◦ ≤ µ(∠BAC) < 180◦ za vsak kot ∠BAC.2 µ(∠BAC) = 0◦ ⇔

−→AB =

−→AC

3 (konstrukcija kota) Za vsako realno stevilo r , 0 < r < 180,in za vsako polravnino H, ki jo omejuje premica

←→AB,

obstaja natanko en tak poltrak−→AE , da je E ∈ H in

µ(∠BAE) = r◦.4 (vsota kotov) Ce lezi poltrak

−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC,

veljaµ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V 3. tocki zgornjega aksioma je seveda natanko en tak poltrak(ne pa morda tocka E , veliko tock doloca isti poltrak).

Podobno kot smo definirali skladnost daljic definiramo tudiskladnost kotov.

Definicija

Kota ∠BAC in ∠EDF sta skladna, ce veljaµ(∠BAC) = µ(∠EDF ).

Opomba: v podobnih tecajih geometrije ponavadi merimo kotev stopinjah, kar oznacimo s simbolom ◦, vcasih bomo ta simboltudi spustili. Seveda bi lahko merili kote tudi v radianih (kotponavadi delamo v analizi) ali kakih drugih enotah.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V 3. tocki zgornjega aksioma je seveda natanko en tak poltrak(ne pa morda tocka E , veliko tock doloca isti poltrak).

Podobno kot smo definirali skladnost daljic definiramo tudiskladnost kotov.

Definicija

Kota ∠BAC in ∠EDF sta skladna, ce veljaµ(∠BAC) = µ(∠EDF ).

Opomba: v podobnih tecajih geometrije ponavadi merimo kotev stopinjah, kar oznacimo s simbolom ◦, vcasih bomo ta simboltudi spustili. Seveda bi lahko merili kote tudi v radianih (kotponavadi delamo v analizi) ali kakih drugih enotah.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V 3. tocki zgornjega aksioma je seveda natanko en tak poltrak(ne pa morda tocka E , veliko tock doloca isti poltrak).

Podobno kot smo definirali skladnost daljic definiramo tudiskladnost kotov.

Definicija

Kota ∠BAC in ∠EDF sta skladna, ce veljaµ(∠BAC) = µ(∠EDF ).

Opomba: v podobnih tecajih geometrije ponavadi merimo kotev stopinjah, kar oznacimo s simbolom ◦, vcasih bomo ta simboltudi spustili. Seveda bi lahko merili kote tudi v radianih (kotponavadi delamo v analizi) ali kakih drugih enotah.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V 3. tocki zgornjega aksioma je seveda natanko en tak poltrak(ne pa morda tocka E , veliko tock doloca isti poltrak).

Podobno kot smo definirali skladnost daljic definiramo tudiskladnost kotov.

Definicija

Kota ∠BAC in ∠EDF sta skladna, ce veljaµ(∠BAC) = µ(∠EDF ).

Opomba: v podobnih tecajih geometrije ponavadi merimo kotev stopinjah, kar oznacimo s simbolom ◦, vcasih bomo ta simboltudi spustili. Seveda bi lahko merili kote tudi v radianih (kotponavadi delamo v analizi) ali kakih drugih enotah.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

DefinicijaKot ∠BAC je

pravi kot, ce je µ(∠BAC) = 90◦,∠BAC je ostri kot, ce je µ(∠BAC) < 90◦ in∠BAC je topi kot, ce je µ(∠BAC) > 90◦.

Pripomnimo se tole: vsaj intuitivno je jasno, da taka funkcija µobstaja za kote v Kartezijevi ravnini R× R, ni pa je tako lahkonatancno definirati.Mi tega ne bomo niti poskusali, saj razvijamo aksiomatskipristop h geometriji in zato tudi ni potrebno definirati velikostikota, ampak se zadovoljimo s tem, da ta pojem obstaja.V kasnejsih poglavjih se bomo ubadali z modeli za geometrijoin takrat bomo definirali velikost kota v Katezijevi ravnini.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom kotomera nam podaja bijekcijo med koti z enim fiksnimpoltrakom (

−→AB) in realnimi stevili v intervalu [0,180). Prvi je

podoben aksiom zasnoval Birkhoff.

10

3040

5060

90120

150 C

D

E

BA

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom kotomera nam podaja bijekcijo med koti z enim fiksnimpoltrakom (

−→AB) in realnimi stevili v intervalu [0,180). Prvi je

podoben aksiom zasnoval Birkhoff.

10

3040

5060

90120

150 C

D

E

BA

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Aksiom kotomera nam podaja bijekcijo med koti z enim fiksnimpoltrakom (

−→AB) in realnimi stevili v intervalu [0,180). Prvi je

podoben aksiom zasnoval Birkhoff.

10

3040

5060

90120

150 C

D

E

BA

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Opazimo veliko podobnost med aksiomom ravnila (ki podajabijekcijo med mnozico R in tockami na premici) in aksiomomkotomera. V obeh primerih gre za to, da lahko nekegeometrijske lastnosti merimo.

Podobno kot je Evklid izhajal iz ravne palice in sestila, miizhajamo iz malo sodobnejsih (a se vedno zelo preprostih)orodij – ravnila in kotomera, ki sta oba opremljena z merilnoskalo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Opazimo veliko podobnost med aksiomom ravnila (ki podajabijekcijo med mnozico R in tockami na premici) in aksiomomkotomera. V obeh primerih gre za to, da lahko nekegeometrijske lastnosti merimo.

Podobno kot je Evklid izhajal iz ravne palice in sestila, miizhajamo iz malo sodobnejsih (a se vedno zelo preprostih)orodij – ravnila in kotomera, ki sta oba opremljena z merilnoskalo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V tem razdelku, ki je bolj tehnicne narave, si bomo ogledalinekatere rezultate, ki sledijo iz nasih aksiomov, pa v njih nisoeksplicitno navedeni.Te rezultate bomo pogosto uporabljali v nadaljevanju tegapoglavja in v naslednjih poglavjih, zato se splaca, da jihpodrobneje preucimo.

Najprej se posvetimo pojmu ‘biti vmes’(ali tudi na kratko ‘bitimed’), ki si ga bomo pogledali posebej za tocke in posebej zapoltrake, ob tem pa pokazali tudi zvezo med obema.

Za kasneje se tudi spomnimo, da vse to delamo na podlagipetih aksiomov ravninske geometrije (in nic vec).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V tem razdelku, ki je bolj tehnicne narave, si bomo ogledalinekatere rezultate, ki sledijo iz nasih aksiomov, pa v njih nisoeksplicitno navedeni.Te rezultate bomo pogosto uporabljali v nadaljevanju tegapoglavja in v naslednjih poglavjih, zato se splaca, da jihpodrobneje preucimo.

Najprej se posvetimo pojmu ‘biti vmes’(ali tudi na kratko ‘bitimed’), ki si ga bomo pogledali posebej za tocke in posebej zapoltrake, ob tem pa pokazali tudi zvezo med obema.

Za kasneje se tudi spomnimo, da vse to delamo na podlagipetih aksiomov ravninske geometrije (in nic vec).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V tem razdelku, ki je bolj tehnicne narave, si bomo ogledalinekatere rezultate, ki sledijo iz nasih aksiomov, pa v njih nisoeksplicitno navedeni.Te rezultate bomo pogosto uporabljali v nadaljevanju tegapoglavja in v naslednjih poglavjih, zato se splaca, da jihpodrobneje preucimo.

Najprej se posvetimo pojmu ‘biti vmes’(ali tudi na kratko ‘bitimed’), ki si ga bomo pogledali posebej za tocke in posebej zapoltrake, ob tem pa pokazali tudi zvezo med obema.

Za kasneje se tudi spomnimo, da vse to delamo na podlagipetih aksiomov ravninske geometrije (in nic vec).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V tem razdelku, ki je bolj tehnicne narave, si bomo ogledalinekatere rezultate, ki sledijo iz nasih aksiomov, pa v njih nisoeksplicitno navedeni.Te rezultate bomo pogosto uporabljali v nadaljevanju tegapoglavja in v naslednjih poglavjih, zato se splaca, da jihpodrobneje preucimo.

Najprej se posvetimo pojmu ‘biti vmes’(ali tudi na kratko ‘bitimed’), ki si ga bomo pogledali posebej za tocke in posebej zapoltrake, ob tem pa pokazali tudi zvezo med obema.

Za kasneje se tudi spomnimo, da vse to delamo na podlagipetih aksiomov ravninske geometrije (in nic vec).

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o vmesnosti za tockeNaj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na ` inf : `→ R koordinatna funkcija na `. Tedaj tocka C lezi vmesmed tockama A in B natanko tedaj, ko velja

ali f (A) < f (C) < f (B) ali f (A) > f (C) > f (B) .

Dokaz: Naj bo ` premica, A, B in C tri paroma razlicne tocke na` in f : `→ R koordinatna funkcija na ` (hipoteza). Ce jef (A) < f (C) < f (B), velja (algebra)

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| ,

torej je po definiciji res tocka C vmes med A in B. Podobno gredokaz v primeru, ko je f (A) > f (C) > f (B). Tako smo dokazalipol izreka – namrec implikacijo⇐.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokazimo se implikacijo⇒. Naj bo torej tocka C med tockamaA in B. Tedaj velja

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| .

Ce izpustimo absolutne vrednosti enakost se vedno velja

f (C)− f (A) + f (B)− f (C) = f (B)− f (A) .

To pa pomeni, da morata biti v enakosti z absolutnimivrednostmi obe razliki (f (C)− f (A) in f (B)− f (C)) istegapredznaka. Ce sta obe pozitivni, velja f (A) < f (C) < f (B), ceobe negativni pa f (A) > f (C) > f (B).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokazimo se implikacijo⇒. Naj bo torej tocka C med tockamaA in B. Tedaj velja

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| .

Ce izpustimo absolutne vrednosti enakost se vedno velja

f (C)− f (A) + f (B)− f (C) = f (B)− f (A) .

To pa pomeni, da morata biti v enakosti z absolutnimivrednostmi obe razliki (f (C)− f (A) in f (B)− f (C)) istegapredznaka. Ce sta obe pozitivni, velja f (A) < f (C) < f (B), ceobe negativni pa f (A) > f (C) > f (B).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokazimo se implikacijo⇒. Naj bo torej tocka C med tockamaA in B. Tedaj velja

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| .

Ce izpustimo absolutne vrednosti enakost se vedno velja

f (C)− f (A) + f (B)− f (C) = f (B)− f (A) .

To pa pomeni, da morata biti v enakosti z absolutnimivrednostmi obe razliki (f (C)− f (A) in f (B)− f (C)) istegapredznaka. Ce sta obe pozitivni, velja f (A) < f (C) < f (B), ceobe negativni pa f (A) > f (C) > f (B).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokazimo se implikacijo⇒. Naj bo torej tocka C med tockamaA in B. Tedaj velja

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| .

Ce izpustimo absolutne vrednosti enakost se vedno velja

f (C)− f (A) + f (B)− f (C) = f (B)− f (A) .

To pa pomeni, da morata biti v enakosti z absolutnimivrednostmi obe razliki (f (C)− f (A) in f (B)− f (C)) istegapredznaka. Ce sta obe pozitivni, velja f (A) < f (C) < f (B), ceobe negativni pa f (A) > f (C) > f (B).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokazimo se implikacijo⇒. Naj bo torej tocka C med tockamaA in B. Tedaj velja

|f (C)− f (A)|+ |f (B)− f (C)| = |f (B)− f (A)| .

Ce izpustimo absolutne vrednosti enakost se vedno velja

f (C)− f (A) + f (B)− f (C) = f (B)− f (A) .

To pa pomeni, da morata biti v enakosti z absolutnimivrednostmi obe razliki (f (C)− f (A) in f (B)− f (C)) istegapredznaka. Ce sta obe pozitivni, velja f (A) < f (C) < f (B), ceobe negativni pa f (A) > f (C) > f (B).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Neposredno iz tega izreka sledi naslednja trditev.

PosledicaNaj bodo A, B in C tri take paroma razlicne tocke, da B lezi napoltraku

−→AC. Tedaj velja

A ∗ B ∗ C ⇐⇒ AB < AC .

Posledica

Ce so A, B in C tri paroma razlicne kolinearne tocke, natankoena lezi med drugima dvema.

Dokaz: Vsaka koordinatna funkcija preslika tri paroma razlicnetocke v tri paroma razlicna realna stevila x , y in z, ki so linearnourejena, torej je natanko eno od teh stevil vmes med drugimadvema steviloma. Po izreku je tedaj ustrezna tocka vmes meddrugima dvema tockama. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Neposredno iz tega izreka sledi naslednja trditev.

PosledicaNaj bodo A, B in C tri take paroma razlicne tocke, da B lezi napoltraku

−→AC. Tedaj velja

A ∗ B ∗ C ⇐⇒ AB < AC .

Posledica

Ce so A, B in C tri paroma razlicne kolinearne tocke, natankoena lezi med drugima dvema.

Dokaz: Vsaka koordinatna funkcija preslika tri paroma razlicnetocke v tri paroma razlicna realna stevila x , y in z, ki so linearnourejena, torej je natanko eno od teh stevil vmes med drugimadvema steviloma. Po izreku je tedaj ustrezna tocka vmes meddrugima dvema tockama. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Neposredno iz tega izreka sledi naslednja trditev.

PosledicaNaj bodo A, B in C tri take paroma razlicne tocke, da B lezi napoltraku

−→AC. Tedaj velja

A ∗ B ∗ C ⇐⇒ AB < AC .

Posledica

Ce so A, B in C tri paroma razlicne kolinearne tocke, natankoena lezi med drugima dvema.

Dokaz: Vsaka koordinatna funkcija preslika tri paroma razlicnetocke v tri paroma razlicna realna stevila x , y in z, ki so linearnourejena, torej je natanko eno od teh stevil vmes med drugimadvema steviloma. Po izreku je tedaj ustrezna tocka vmes meddrugima dvema tockama. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Neposredno iz tega izreka sledi naslednja trditev.

PosledicaNaj bodo A, B in C tri take paroma razlicne tocke, da B lezi napoltraku

−→AC. Tedaj velja

A ∗ B ∗ C ⇐⇒ AB < AC .

Posledica

Ce so A, B in C tri paroma razlicne kolinearne tocke, natankoena lezi med drugima dvema.

Dokaz: Vsaka koordinatna funkcija preslika tri paroma razlicnetocke v tri paroma razlicna realna stevila x , y in z, ki so linearnourejena, torej je natanko eno od teh stevil vmes med drugimadvema steviloma. Po izreku je tedaj ustrezna tocka vmes meddrugima dvema tockama. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Neposredno iz tega izreka sledi naslednja trditev.

PosledicaNaj bodo A, B in C tri take paroma razlicne tocke, da B lezi napoltraku

−→AC. Tedaj velja

A ∗ B ∗ C ⇐⇒ AB < AC .

Posledica

Ce so A, B in C tri paroma razlicne kolinearne tocke, natankoena lezi med drugima dvema.

Dokaz: Vsaka koordinatna funkcija preslika tri paroma razlicnetocke v tri paroma razlicna realna stevila x , y in z, ki so linearnourejena, torej je natanko eno od teh stevil vmes med drugimadvema steviloma. Po izreku je tedaj ustrezna tocka vmes meddrugima dvema tockama. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Z izrekom o vmesnosti in posledicama smo pokazali, da senasa definicija (B je med A in C, ce AB + BC = AC) vmesnostiujema z vmesnostjo, ki jo podajajo koordinatne funkcije napremici.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Tedaj je M je sredisce daljiceAB, ce je M med A in B in je AM = MB.

Sredisce daljice je na daljici, zato velja AM + MB = AB in zatoAM = 1/2(AB).Dokazimo, da sredisce daljice obstaja in je eno samo.

Izrek o obstoju in enolicnosti sredisca daljice

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena tocka M, ki jesredisce daljice AB.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Z izrekom o vmesnosti in posledicama smo pokazali, da senasa definicija (B je med A in C, ce AB + BC = AC) vmesnostiujema z vmesnostjo, ki jo podajajo koordinatne funkcije napremici.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Tedaj je M je sredisce daljiceAB, ce je M med A in B in je AM = MB.

Sredisce daljice je na daljici, zato velja AM + MB = AB in zatoAM = 1/2(AB).Dokazimo, da sredisce daljice obstaja in je eno samo.

Izrek o obstoju in enolicnosti sredisca daljice

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena tocka M, ki jesredisce daljice AB.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Z izrekom o vmesnosti in posledicama smo pokazali, da senasa definicija (B je med A in C, ce AB + BC = AC) vmesnostiujema z vmesnostjo, ki jo podajajo koordinatne funkcije napremici.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Tedaj je M je sredisce daljiceAB, ce je M med A in B in je AM = MB.

Sredisce daljice je na daljici, zato velja AM + MB = AB in zatoAM = 1/2(AB).Dokazimo, da sredisce daljice obstaja in je eno samo.

Izrek o obstoju in enolicnosti sredisca daljice

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena tocka M, ki jesredisce daljice AB.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Z izrekom o vmesnosti in posledicama smo pokazali, da senasa definicija (B je med A in C, ce AB + BC = AC) vmesnostiujema z vmesnostjo, ki jo podajajo koordinatne funkcije napremici.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Tedaj je M je sredisce daljiceAB, ce je M med A in B in je AM = MB.

Sredisce daljice je na daljici, zato velja AM + MB = AB in zatoAM = 1/2(AB).Dokazimo, da sredisce daljice obstaja in je eno samo.

Izrek o obstoju in enolicnosti sredisca daljice

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena tocka M, ki jesredisce daljice AB.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Z izrekom o vmesnosti in posledicama smo pokazali, da senasa definicija (B je med A in C, ce AB + BC = AC) vmesnostiujema z vmesnostjo, ki jo podajajo koordinatne funkcije napremici.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Tedaj je M je sredisce daljiceAB, ce je M med A in B in je AM = MB.

Sredisce daljice je na daljici, zato velja AM + MB = AB in zatoAM = 1/2(AB).Dokazimo, da sredisce daljice obstaja in je eno samo.

Izrek o obstoju in enolicnosti sredisca daljice

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena tocka M, ki jesredisce daljice AB.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: vaja!Dokazimo izrek, ki povezuje vmesnost tock in separacijoravnine.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: vaja!Dokazimo izrek, ki povezuje vmesnost tock in separacijoravnine.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

IzrekNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je tocka C med tockama A in B, sta B in C na isti stranipremice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki izreka.

ACB

`

Dokazati moramo BC ∩ ` = ∅. Najprej opazimo, da A ni med Bin C, saj ni na daljici BC. Premici ` in

←→AB imata skupno le eno

tocko in to je A, ki pa ni v BC. Torej res ` ∩ BC = ∅. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je C tocka na poltraku

−→AB in C 6= A, sta B in C na isti strani

premice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki. Ce je C = B,je trditev ocitna. Ce pa je C 6= B in C ∈

−→AB, A 6= C, torej velja ali

A ∗C ∗ B ali A ∗ B ∗C. V prvem primeru nam zgornji izrek pove,da sta B in C na isti strani `, v drugem pa nam isti izrek pove,da sta C in B na isti strani ` (v izreku zamenjamo vlogi B in C).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je C tocka na poltraku

−→AB in C 6= A, sta B in C na isti strani

premice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki. Ce je C = B,je trditev ocitna. Ce pa je C 6= B in C ∈

−→AB, A 6= C, torej velja ali

A ∗C ∗ B ali A ∗ B ∗C. V prvem primeru nam zgornji izrek pove,da sta B in C na isti strani `, v drugem pa nam isti izrek pove,da sta C in B na isti strani ` (v izreku zamenjamo vlogi B in C).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je C tocka na poltraku

−→AB in C 6= A, sta B in C na isti strani

premice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki. Ce je C = B,je trditev ocitna. Ce pa je C 6= B in C ∈

−→AB, A 6= C, torej velja ali

A ∗C ∗ B ali A ∗ B ∗C. V prvem primeru nam zgornji izrek pove,da sta B in C na isti strani `, v drugem pa nam isti izrek pove,da sta C in B na isti strani ` (v izreku zamenjamo vlogi B in C).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaNaj bo ` premica, A tocka na njej, B pa tocka zunaj premice `.Ce je C tocka na poltraku

−→AB in C 6= A, sta B in C na isti strani

premice `.

Dokaz: Naj bodo `, A, B in C kot v predpostavki. Ce je C = B,je trditev ocitna. Ce pa je C 6= B in C ∈

−→AB, A 6= C, torej velja ali

A ∗C ∗ B ali A ∗ B ∗C. V prvem primeru nam zgornji izrek pove,da sta B in C na isti strani `, v drugem pa nam isti izrek pove,da sta C in B na isti strani ` (v izreku zamenjamo vlogi B in C).

�

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaVmesnost za poltrake je dobro definirana – ce je tocka D vnotranjosti kota ∠BAC, je tudi vsaka tocka poltraka

−→AD razen

tocke A v notranjosti kota ∠BAC.

Dokaz: Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke in D tocka vnotranjosti kota ∠BAC. Torej je D na isti strani premice

←→AB kot

tocka C, zato je tudi vsaka tocka poltraka−→AD razen tocke A na

isti strani premice←→AB po prejsnji posledici. Na isti nacin

premislimo, da je D tudi na isti strani premice←→AC kot tocka B in

po prejsnji posledici to velja tudi za vsako tocko poltraka−→AD

razen tocke A same. Po definiciji notranjosti kota pa to pomeni,da so vse tocke poltraka

−→AD razen tocke A v notranjosti kota

∠BAC. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaVmesnost za poltrake je dobro definirana – ce je tocka D vnotranjosti kota ∠BAC, je tudi vsaka tocka poltraka

−→AD razen

tocke A v notranjosti kota ∠BAC.

Dokaz: Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke in D tocka vnotranjosti kota ∠BAC. Torej je D na isti strani premice

←→AB kot

tocka C, zato je tudi vsaka tocka poltraka−→AD razen tocke A na

isti strani premice←→AB po prejsnji posledici. Na isti nacin

premislimo, da je D tudi na isti strani premice←→AC kot tocka B in

po prejsnji posledici to velja tudi za vsako tocko poltraka−→AD

razen tocke A same. Po definiciji notranjosti kota pa to pomeni,da so vse tocke poltraka

−→AD razen tocke A v notranjosti kota

∠BAC. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaVmesnost za poltrake je dobro definirana – ce je tocka D vnotranjosti kota ∠BAC, je tudi vsaka tocka poltraka

−→AD razen

tocke A v notranjosti kota ∠BAC.

Dokaz: Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke in D tocka vnotranjosti kota ∠BAC. Torej je D na isti strani premice

←→AB kot

tocka C, zato je tudi vsaka tocka poltraka−→AD razen tocke A na

isti strani premice←→AB po prejsnji posledici. Na isti nacin

premislimo, da je D tudi na isti strani premice←→AC kot tocka B in

po prejsnji posledici to velja tudi za vsako tocko poltraka−→AD

razen tocke A same. Po definiciji notranjosti kota pa to pomeni,da so vse tocke poltraka

−→AD razen tocke A v notranjosti kota

∠BAC. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaVmesnost za poltrake je dobro definirana – ce je tocka D vnotranjosti kota ∠BAC, je tudi vsaka tocka poltraka

−→AD razen

tocke A v notranjosti kota ∠BAC.

Dokaz: Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke in D tocka vnotranjosti kota ∠BAC. Torej je D na isti strani premice

←→AB kot

tocka C, zato je tudi vsaka tocka poltraka−→AD razen tocke A na

isti strani premice←→AB po prejsnji posledici. Na isti nacin

premislimo, da je D tudi na isti strani premice←→AC kot tocka B in

po prejsnji posledici to velja tudi za vsako tocko poltraka−→AD

razen tocke A same. Po definiciji notranjosti kota pa to pomeni,da so vse tocke poltraka

−→AD razen tocke A v notranjosti kota

∠BAC. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

PosledicaVmesnost za poltrake je dobro definirana – ce je tocka D vnotranjosti kota ∠BAC, je tudi vsaka tocka poltraka

−→AD razen

tocke A v notranjosti kota ∠BAC.

Dokaz: Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke in D tocka vnotranjosti kota ∠BAC. Torej je D na isti strani premice

←→AB kot

tocka C, zato je tudi vsaka tocka poltraka−→AD razen tocke A na

isti strani premice←→AB po prejsnji posledici. Na isti nacin

premislimo, da je D tudi na isti strani premice←→AC kot tocka B in

po prejsnji posledici to velja tudi za vsako tocko poltraka−→AD

razen tocke A same. Po definiciji notranjosti kota pa to pomeni,da so vse tocke poltraka

−→AD razen tocke A v notranjosti kota

∠BAC. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Posledica (Z-izrek)

Naj bo ` premica, A in D pa razlicni tocki na `. Ce sta B in Etocki na razlicnih straneh premice `, je

−→AB ∩

−→DE = ∅.

AB

`

ED

Dokaz: Razen krajisc poltrakov vse tocke poltraka−→AB lezijo na

eni strani premice `, vse tocke poltraka−→DE pa na drugi strani.

Po aksiomu o separaciji ravnine sta obe strani premicedisjunktni, torej bi ta poltraka lahko imela skupno le krajisce, topa ni v skladu s predpostavko izreka. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Posledica (Z-izrek)

Naj bo ` premica, A in D pa razlicni tocki na `. Ce sta B in Etocki na razlicnih straneh premice `, je

−→AB ∩

−→DE = ∅.

AB

`

ED

Dokaz: Razen krajisc poltrakov vse tocke poltraka−→AB lezijo na

eni strani premice `, vse tocke poltraka−→DE pa na drugi strani.

Po aksiomu o separaciji ravnine sta obe strani premicedisjunktni, torej bi ta poltraka lahko imela skupno le krajisce, topa ni v skladu s predpostavko izreka. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Posledica (Z-izrek)

Naj bo ` premica, A in D pa razlicni tocki na `. Ce sta B in Etocki na razlicnih straneh premice `, je

−→AB ∩

−→DE = ∅.

AB

`

ED

Dokaz: Razen krajisc poltrakov vse tocke poltraka−→AB lezijo na

eni strani premice `, vse tocke poltraka−→DE pa na drugi strani.

Po aksiomu o separaciji ravnine sta obe strani premicedisjunktni, torej bi ta poltraka lahko imela skupno le krajisce, topa ni v skladu s predpostavko izreka. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Posledica (Z-izrek)

Naj bo ` premica, A in D pa razlicni tocki na `. Ce sta B in Etocki na razlicnih straneh premice `, je

−→AB ∩

−→DE = ∅.

AB

`

ED

Dokaz: Razen krajisc poltrakov vse tocke poltraka−→AB lezijo na

eni strani premice `, vse tocke poltraka−→DE pa na drugi strani.

Po aksiomu o separaciji ravnine sta obe strani premicedisjunktni, torej bi ta poltraka lahko imela skupno le krajisce, topa ni v skladu s predpostavko izreka. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Pokazimo, da sta pojma vmesnosti za tocke in poltrakeusklajena.

IzrekNaj bodo A, B in C nekolinearne tocke in naj bo D tocka napremici

←→BC. Tedaj je tocka D med tockama B in C natanko

tedaj, ko je poltrak−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC.

A B

D

C

D?

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Pokazimo, da sta pojma vmesnosti za tocke in poltrakeusklajena.

IzrekNaj bodo A, B in C nekolinearne tocke in naj bo D tocka napremici

←→BC. Tedaj je tocka D med tockama B in C natanko

tedaj, ko je poltrak−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC.

A B

D

C

D?

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Pokazimo, da sta pojma vmesnosti za tocke in poltrakeusklajena.

IzrekNaj bodo A, B in C nekolinearne tocke in naj bo D tocka napremici

←→BC. Tedaj je tocka D med tockama B in C natanko

tedaj, ko je poltrak−→AD med poltrakoma

−→AB in

−→AC.

A B

D

C

D?

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v predpostavki izreka.Najprej privzemimo, da je D med B in C. Tedaj sta C in D na ististrani premice

←→AB in podobno tocki B in D na isti strani premice←→

AC. Torej je D v notranjosti kota ∠BAC in s tem poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. S tem smo dokazali eno implikacijo (⇒).

Pokazimo se drugo implikacijo (⇐). Naj bo poltrak−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(Posledica), torej sta B in D na isti strani premice←→AC, zato C ni

na daljici BD (aksiom o separaciji). Podobno dokazemo, da Bni na daljici CD. Torej so B, C in D tri take razlicne kolinearnetocke, da C ni med B in D in B ni med C in D. Torej ostane leena moznost (Posledica), da je D med B in C. �Dokazimo se eno tehnicno lemo.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

LemaNaj bodo A, B, C in D stiri paroma razlicne tocke, naj bosta Cin D na isti strani premice

←→AB in D naj ne bo na poltraku

−→AC.

Tedaj je ali C v notranjosti kota ∠BAD ali pa je D v notranjostikota ∠BAC.

A B

C′ C

D

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo A, B, C in D kot v predpostavki leme.Predpostavimo, da D ne lezi v notranjosti kota ∠BAC indokazimo, da je tedaj C v notranjosti kota ∠BAD. Ker sta C inD na isti strani

←→AB in D ni v notranjosti kota ∠BAC, morata biti

po definiciji kota B in D na razlicnih straneh premice←→AC. Po

aksiomu o separaciji ravnine imamo torej BD ∩←→AC 6= ∅. Naj bo

C′ = BD ∩←→AC. Po prejsnjem izreku je C′ v notranjosti kota

∠BAD. Odtod sledi, da sta D in C′ na isti strani premice←→AB.

Ker tocki C in C′ lezita na isti strani premice←→AB kot tocka D, A

ne more lezati med C in C′, torej−→AC in

−−→AC′ nista nasprotna

poltraka. To pa pomeni, da je−→AC =

−−→AC′, torej je C v notranjosti

kota ∠BAD. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek – vmesnost poltrakov

Naj bodo A, B, C in D take stiri paroma razlicne tocke, da C inD lezita na isti strani premice

←→AB. Tedaj velja

µ(∠BAD) < µ(∠BAC)⇐⇒−→AD je med

−→AB in

−→AC.

A B

D

C

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek – vmesnost poltrakov

Naj bodo A, B, C in D take stiri paroma razlicne tocke, da C inD lezita na isti strani premice

←→AB. Tedaj velja

µ(∠BAD) < µ(∠BAC)⇐⇒−→AD je med

−→AB in

−→AC.

A B

D

C

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz: Naj bodo tocke A, B, C in D kot v privzetku izreka.Najprej dokazimo smer⇐, naj bo torej poltrak

−→AD med

poltrakoma−→AB in

−→AC. Tedaj je D v notranjosti kota ∠BAC

(posledica pred Z-izrekom). Po aksiomu o kotomeru (tc. 4) jetedaj µ(∠BAC) = µ(∠BAD) + µ(∠DAC) in (tc. 1 in 2)µ(∠DAC) > 0, torej dobimo µ(∠BAD) < µ(∠BAC). S tem smodokazali pol izreka. Dokazimo se smer⇒. Denimo, da

−→AD ni

med poltrakoma−→AB in

−→AC. Pokazati moramo

µ(∠BAD) ≥ µ(∠BAC). Ce je D na poltraku−→AC, je

µ(∠BAD) = µ(∠BAC). Sicer pa je po prejsnji lemi C vnotranjosti kota ∠BAD. Tedaj pa sledi iz prve polovice tegaizreka, da je µ(∠BAD) > µ(∠BAC). �

S tem izrekom pa lahko dokazemo obstoj in edinostrazpolovitve kota.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke. Poltrak−→AD je

razpolovitev kota ∠BAC, ce je tocka D v notranjosti kota BAC invelja µ(∠BAD) = µ(∠DAC).

V zgornji situaciji pa recemo premici←→AD tudi simetrala kota

∠BAC.

A B

D

C

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke. Poltrak−→AD je

razpolovitev kota ∠BAC, ce je tocka D v notranjosti kota BAC invelja µ(∠BAD) = µ(∠DAC).

V zgornji situaciji pa recemo premici←→AD tudi simetrala kota

∠BAC.

A B

D

C

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Naj bodo A, B in C tri nekolinearne tocke. Poltrak−→AD je

razpolovitev kota ∠BAC, ce je tocka D v notranjosti kota BAC invelja µ(∠BAD) = µ(∠DAC).

V zgornji situaciji pa recemo premici←→AD tudi simetrala kota

∠BAC.

A B

D

C

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o obstoju in edinosti razpolovitve kota

Ce so A, B in C tri nekolinearne tocke, obstaja natanko enpoltrak, ki razpolovi kot ∠BAC.

Dokaz: vaja!

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o obstoju in edinosti razpolovitve kota

Ce so A, B in C tri nekolinearne tocke, obstaja natanko enpoltrak, ki razpolovi kot ∠BAC.

Dokaz: vaja!

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek o precki

Ce je 4ABC trikotnik in D tocka v notranjosti kota BAC, potemobstaja tocka G ∈

−→AD ∩ BC.

A B

C

DG?

Dokaz: Naj bosta trikotnik 4ABC in tocka D kot v predpostavkiizreka. Izberimo tocki E in F , da bo E ∗ A ∗ B in F ∗ A ∗ D (tolahko naredimo zaradi aksioma ravnila) in naj bo ` =

←→AD. Ker je

D v notranjosti kota BAC, niti B niti C nista na `. Zato lahkouporabimo Paschev aksiom za trikotnik 4EBC, da ugotovimo,da mora ` presekati ali EC ali BC.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

C

F

D

AE B`

Dokaz bomo naredili takole: pokazali bomo, da poltrak−→AD

preseka ali EC ali BC (ne pa njemu nasprotni poltrak−→AF ), nato

pa pokazali tudi, da−→AD ne preseka EC. Pokazati moramo torej:

−→AF ∩ EC = ∅,−→AF ∩ BC = ∅,−→AD ∩ EC = ∅,

kar bomo vse pokazali z uporabo Z-izreka.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

C

F

D

AE B`

Dokaz bomo naredili takole: pokazali bomo, da poltrak−→AD

preseka ali EC ali BC (ne pa njemu nasprotni poltrak−→AF ), nato

pa pokazali tudi, da−→AD ne preseka EC. Pokazati moramo torej:

−→AF ∩ EC = ∅,−→AF ∩ BC = ∅,−→AD ∩ EC = ∅,

kar bomo vse pokazali z uporabo Z-izreka.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

C

F

D

AE B`

Dokaz bomo naredili takole: pokazali bomo, da poltrak−→AD

preseka ali EC ali BC (ne pa njemu nasprotni poltrak−→AF ), nato

pa pokazali tudi, da−→AD ne preseka EC. Pokazati moramo torej:

−→AF ∩ EC = ∅,−→AF ∩ BC = ∅,−→AD ∩ EC = ∅,

kar bomo vse pokazali z uporabo Z-izreka.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Ker je A vmes med F in D, morata F in D lezati na razlicnihstraneh premice

←→AB. Ker pa je D v notranjosti kota BAC, sta C

in D na isti strani←→AB, torej sta F in C na nasprotnih straneh

←→AB.

Po Z-izreku je tedaj−→AF ∩

−→EC = ∅. Ker je EC ⊂

−→EC, dobimo−→

AF ∩ EC = ∅.Pokazali smo, da sta C in F na nasprotnih straneh

←→AB. Odtod

sledi spet po Z-izreku, da je−→AF ∩

−→BC = ∅, zaradi BC ⊂

−→BC

dobimo torej−→AF ∩ BC = ∅.

Ker je A med E in B, sta E in B na razlicnih straneh premice←→AC (po aksiomu o separaciji ravnine). Ker je D v notranjosti∠BAC, pa sta D in B na isti strani

←→AC, torej sta E in D na

razlicnih straneh←→AC. Torej po Z-izreku spet

−→AD ∩

−→CE = ∅ in

zaradi EC ⊂−→CE dobimo

−→AD ∩ EC = ∅, s cimer smo zakljucili

nas dokaz. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V nekem smislu lahko imamo izrek o precki za obrat izreka, kipovezuje vmesnost tock na daljici z vmestnostjo poltrakov izneke zunanje tocke. Oba izreka lahko povezemo v naslednjiizrek.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V nekem smislu lahko imamo izrek o precki za obrat izreka, kipovezuje vmesnost tock na daljici z vmestnostjo poltrakov izneke zunanje tocke. Oba izreka lahko povezemo v naslednjiizrek.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

V nekem smislu lahko imamo izrek o precki za obrat izreka, kipovezuje vmesnost tock na daljici z vmestnostjo poltrakov izneke zunanje tocke. Oba izreka lahko povezemo v naslednjiizrek.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Izrek

Tocka D je v notranjosti kota ∠BAC, ce in samo ce, poltrak−→AD

seka notranjost daljice BC.

Dokaz: (⇒) Naj bo D v notranjosti kota ∠BAC. Tedaj−→AD seka

notranjost daljice BC po izreku o precki.(⇐): Naj

−→AD seka notranjost daljice BC v tocki E . Tedaj je E v

notranjosti kota ∠BAC (izrek). Tedaj je tudi D v notranjosti tegakota. �MacLane je ta izrek vzel za aksiom (namesto nasega aksiomao separaciji ravnine) in ga imenoval aksiom o zveznosti, kerimplicira Birkhoffov aksiom o zveznosti.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Lotili se bomo rahle posplositve aksioma o kotomeru (namrec4. tocke o sestevanju kotov). Najprej pa definicija.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta sokota, ce sta−→AB in

−→AC nasprotna

poltraka.

Naslednji izrek se pogosto vzame za aksiom (o sokotih).

Izrek o sokotih

Ce sta ∠BAD in ∠DAC sokota, je µ(∠BAD)+µ(∠DAC) = 180◦.

Definicija

Kota ∠BAD in ∠DAC sta suplementarna, ceµ(∠BAD) + µ(∠DAC) = 180◦.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Preden se lotimo dokaza izreka o sokotih (ki ga lahko krajseizrazimo kot: sokota sta suplementarna), si posebej dokazimose eno lemo.

Lema

Ce velja C ∗ A ∗ B in je D v notranjosti kota ∠BAE , je E vnotranjosti kota ∠DAC.

Dokaz leme: Naj bodo A, B, C, D in E kot v predpostavki leme.Da je E v notranjosti kota ∠DAC, moramo pokazati, da sta E inD na isti strani

←→AC in, da sta E in C na isti strani premice

←→AD.

Ker je D bv notranjosti kota ∠BAE , sta E in D na isti strani←→AB=←→AC. PO izreku o precki mora

−→AD presekati notranjost

daljice BE . Torej B in E lezita na nasprotnih straneh premice←→AD (aksiom o separaciji ravnine). Ker je C ∗A ∗B, sta C in B nanasprotnih straneh premice

←→AD, torej sta C in E na isti strani←→

AD. �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Dokaz izreka o sokotih: Naj bosta ∠BAD in ∠DAC sokota. Torejsta−→AB in

−→AC nasprotna poltraka. Poenostavimo simbole: ne

bomo vec pisali stopinj in naj bo α = µ(∠BAD) inβ = µ(∠DAC). Pokazati moramo α+ β = 180. Denimo, da bibilo α+ β < 180. Po aksiomu kotomera obstaja tocka E na ististrani

←→AB kot D, za katero je µ(∠BAE) = α+ β. Po izreku o

vmesnosti poltrakov je D v notranjosti ∠BAE . Torej velja

µ(∠BAD) + µ(∠DAE) = µ(∠BAE)

in zato µ(∠DAE) = β. Po lemi je E v notranjosti ∠DAC, torejµ(∠DAE) + µ(∠EAC) = µ(∠DAC). Torej µ(∠EAC) = 0, to panasprotuje aksiomu o kotomeru, torej α+ β 6< 180.

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Denimo, da bi bilo α+ β > 180. Izberimo tocko F na isti strani←→AB kot D tako, da bo µ(∠BAF ) = (α+ β)− 180. Ker jeβ < 180, je α+ β − 180 < α. Po izreku o vmesnosti poltrakov jeF v notranjosti ∠BAD. Torej

µ(∠BAF ) + µ(∠FAD) = µ(∠BAD)

in zato µ(∠FAD) = 180− β. Po lemi je D v notranjosti ∠FAC.Torej

µ(∠FAD) + µ(∠DAC) = µ(∠FAC) .

Odtod sledi µ(∠FAC) = 180, to pa nasprotuje aksiomu okotomeru, torej tudi α+ β 6> 180 in zato res α+ β = 180. �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Premici ` in m sta pravokotni, ce obstajajo take tocke A ∈ ` ∩m,B ∈ ` in C ∈ m, da je kot ∠BAC pravi kot. Oznaka za to je` ⊥ m.

S pomocjo izreka o sokotih takoj vidimo, da premici ` in m, kista pravokotni vsebujeta stiri poltrake, ki ustvarijo stiri razlicneprave kote.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Simetrala daljice AB je premica`, ki gre skozi sredisce daljice AB in ` ⊥

←→AB.

Izrek

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena simetraladaljice AB.

Dokaz: vaja! �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Premici ` in m sta pravokotni, ce obstajajo take tocke A ∈ ` ∩m,B ∈ ` in C ∈ m, da je kot ∠BAC pravi kot. Oznaka za to je` ⊥ m.

S pomocjo izreka o sokotih takoj vidimo, da premici ` in m, kista pravokotni vsebujeta stiri poltrake, ki ustvarijo stiri razlicneprave kote.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Simetrala daljice AB je premica`, ki gre skozi sredisce daljice AB in ` ⊥

←→AB.

Izrek

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena simetraladaljice AB.

Dokaz: vaja! �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Premici ` in m sta pravokotni, ce obstajajo take tocke A ∈ ` ∩m,B ∈ ` in C ∈ m, da je kot ∠BAC pravi kot. Oznaka za to je` ⊥ m.

S pomocjo izreka o sokotih takoj vidimo, da premici ` in m, kista pravokotni vsebujeta stiri poltrake, ki ustvarijo stiri razlicneprave kote.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Simetrala daljice AB je premica`, ki gre skozi sredisce daljice AB in ` ⊥

←→AB.

Izrek

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena simetraladaljice AB.

Dokaz: vaja! �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Premici ` in m sta pravokotni, ce obstajajo take tocke A ∈ ` ∩m,B ∈ ` in C ∈ m, da je kot ∠BAC pravi kot. Oznaka za to je` ⊥ m.

S pomocjo izreka o sokotih takoj vidimo, da premici ` in m, kista pravokotni vsebujeta stiri poltrake, ki ustvarijo stiri razlicneprave kote.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Simetrala daljice AB je premica`, ki gre skozi sredisce daljice AB in ` ⊥

←→AB.

Izrek

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena simetraladaljice AB.

Dokaz: vaja! �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Premici ` in m sta pravokotni, ce obstajajo take tocke A ∈ ` ∩m,B ∈ ` in C ∈ m, da je kot ∠BAC pravi kot. Oznaka za to je` ⊥ m.

S pomocjo izreka o sokotih takoj vidimo, da premici ` in m, kista pravokotni vsebujeta stiri poltrake, ki ustvarijo stiri razlicneprave kote.

Definicija

Naj bosta A in B razlicni tocki. Simetrala daljice AB je premica`, ki gre skozi sredisce daljice AB in ` ⊥

←→AB.

Izrek

Ce sta A in B razlicni tocki, obstaja natanko ena simetraladaljice AB.

Dokaz: vaja! �Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Kota ∠BAC in ∠DAE sta sovrsna, ali tvorita sovrsni par, ce

sta si poltraka−→AB in

−→AE nasprotna in sta si tudi

−→AC in

−→AD

nasprotna;

ali pa sta si poltraka−→AB in

−→AD nasprotna in sta si tudi

poltraka−→AC in

−→AE nasprotna.

IzrekSovrsna kota sta skladna.

Dokaz: vaja! �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Kota ∠BAC in ∠DAE sta sovrsna, ali tvorita sovrsni par, ce

sta si poltraka−→AB in

−→AE nasprotna in sta si tudi

−→AC in

−→AD

nasprotna;

ali pa sta si poltraka−→AB in

−→AD nasprotna in sta si tudi

poltraka−→AC in

−→AE nasprotna.

IzrekSovrsna kota sta skladna.

Dokaz: vaja! �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del

Velikost kotaVmesnost in izrek o precki

Definicija

Kota ∠BAC in ∠DAE sta sovrsna, ali tvorita sovrsni par, ce

sta si poltraka−→AB in

−→AE nasprotna in sta si tudi

−→AC in

−→AD

nasprotna;

ali pa sta si poltraka−→AB in

−→AD nasprotna in sta si tudi

poltraka−→AC in

−→AE nasprotna.

IzrekSovrsna kota sta skladna.

Dokaz: vaja! �

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 5. Ravninska geometrija, 2.del