arhitektura geometrija

Upload: nebojsa-redzic

Post on 12-Oct-2015

152 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

  • VYSOK UEN TECHNICK V BRNBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

    FAKULTA ARCHITEKTURYSTAV NAVRHOVN I.

    FACULTY OF ARCHITECTUREDEPARTMENT OF DESIGN I.

    ARCHITEKTURA, GEOMETRIE A VPOETNTECHNIKA

    ARCHITECTURE, GEOMETRY AND COMPUTERS

    DIZERTAN PRCEDOCTORAL THESIS

    AUTOR PRCE Ing. arch. JAN FORETNKAUTHOR

    VEDOUC PRCE Ing. arch. HANA RYAV, CSc.SUPERVISOR

    BRNO 2010

  • Vysok uen technick v Brn

    Fakulta architektury

    Po 273/5, 63900 Brno 39

    Zadn dizertan prce

    slo dizertan prce: Akademick rok: 2009/2010stav: stav navrhovn I.Student(ka): Foretnk Jan, Ing. arch.Studijn program: Architektura a urbanismus (P3501) Studijn obor: Architektura (3501V002) Vedouc dizertan prce: Ing. arch. Hana Ryav, CSc.Konzultanti dizertan prce:

    Nzev dizertan prce:

    Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Zadn dizertan prce:

    Clem disertan prce je analyzovat vztah architektonick praxe a geometrie v dob nstupuvyuit vpoetn techniky. Najt zpsob modelovn sloitjch geometrickch a algebraickchkivek a ploch pouvanch v architektue pomoc modernch CAD systm. Navrhnout aplikacizskanch poznatk do vuky budoucch architekt.

  • Rozsah grafickch prac:

    Doktorand se bude vnovat geometrii objekt (bod, kivky, plochy a tlesa) z nsledujcchhledisek:- definice, geometrick a analytick vlastnosti;- konstrukce v syntetick geometrii;- modelovn v CAD systmech;- reln uplatnn v architektue (u vybranch staveb t zpsobu realizace).

    Seznam odborn literatury:

    - FOLEY, James D. a kol. Computer graphics: principles and practice [Potaov grafika:principy a praxe]. 2. vydn. Addison-Wesley, 1995. ISBN 0201848406.- HAAS, Felix. Architektura 20. stolet. 3.vyd. Praha: SPN, 1983.- KARGEROV, Marie, KOPINCOV, Edita, MERTL, Petr a NEVRL, Karolina. Geometriea grafika pro CAD. Praha: VUT, fakulta strojn, 2003. ISBN 80-01-02680-9.- MOLL, Ivo a kol. Deskriptivn geometrie pro I. ronk FAST VUT v Brn [CD-ROM]. Verze1.3. Brno: ECON publishing, s.r.o., 2002. ISBN 80-86433-08-0.- SALOMON, David. Curves and surfaces for computer graphics [Kivky a plochy v potaovgrafice]. New York: Springler Science+Business Media, 2006. ISBN 0-387-24196-5.- VALA, Josef. Deskriptivn geometrie - 1. st. Brno: VUT, 1981.- VALA, Josef. Deskriptivn geometrie - 2. st. Brno: VUT, 1991.

    Termn zadn dizertan prce: 30.11.2006

    Termn odevzdn dizertan prce:

    Dizertan prce se odevzdv v rozsahu stanovenm vedoucm prce; souasn se odevzdv 1 vstavn panelformtu B1 a dizertan prce v elektronick podob.

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Foretnk Jan, Ing. arch. Ing. arch. Hana Ryav, CSc. doc. Ing. arch. Iva Poslun, Ph.D.

    Student(ka) Vedouc prce Vedouc stavu

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -V Brn, dne 30.11.2006 prof. Ing. arch. Vladimr lapeta, DrSc.

    Dkan fakulty

  • Abstrakt Tmatem tto disertan prce je geometrie, jej praktick vyuit v architektonick praxi

    (pedevm jej aplikace ve vpoetn technice bhem nvrhu a realizace staveb) a zpsob jej vuky na kolch architektury v souasnosti.

    Disertan prce systematizuje a popisuje konstrukce a vlastnosti geometrickch objekt, jejich modelovn v CAD systmech a pklady jejich pouit v praxi, v nkterch ppadech vetn zpsobu realizace. Geometrick objekty jsou systematicky lenny od bodu pes kivky a plochy a po tlesa.

    Zvrem prce je nvrh pravy vuky geometrie na kolch architektury tak, aby podporovala rozvoj prostorov pedstavivosti na kor drilu a zskan znalosti byly pmo vyuiteln v architektonick praxi.

    Doplkov vzkum (v ploze) analyzuje souasn stav vuky geometrie na vybranch evropskch kolch architektury. Vzkum byl zamen na obsah a formu vybranch kurz a jejich vliv na rozvoj prostorov pedstavivosti.

    Klov slova Architektura, geometrie, konstrukce kivek, konstrukce ploch, konstrukce tles, CAD

    modelovn, prostorov pedstavivost.

  • Abstract The topic of this thesis is geometry, its practical usage in architects profession (especially

    its application in computer design and realization of buildings) and its current way of teaching at schools of architecture.

    The thesis systematically describes geometric objects construction and properties, its modelling in CAD systems and examples of its usage in architecture, in some cases including the way of its realization. Geometric objects are systematically organized into chapters about point, curves, surfaces and solids.

    The outcome of the thesis is a concept of geometry courses modification in the way that they encourage the spatial imagination development instead of drill and the gained knowledge is directly useful in architects profession.

    A supplementary research (in appendix) analyses the state-of-the-art of teaching of geometry at selected schools of architecture in Europe and its effect to spatial imagination development. The research was focused at contents and form of the selected geometry courses and its influence to spatial imagination.

    Key words Architecture, geometry, construction of curves, construction of surfaces, construction of

    solids, CAD modelling, spatial imagination.

  • Bibliografick citace FORETNK, Jan. Architektura, geometrie a vpoetn technika. Brno: Vysok uen technick v Brn, Fakulta architektury, 2010. 168 s. Vedouc dizertan prce Ing. arch. Hana Ryav, CSc.

  • Prohlen Prohlauji, e jsem zpracoval tuto disertan prci Architektura, geometrie a vpoetn technika samostatn, pod vedenm kolitele a za pouit zdroj uvedench v seznamu pouitch zdroj. Prohlauji, e jsem jako autor tto doktorsk disertan prce neporuil autorsk prva tetch osob (11 Autorskho zkona 121/2000Sb.). V Brn dne 22. dubna 2010 ........................................................

  • Podkovn kolitelce Han Ryav za veden prce Patricku Labarque, Dirku Huylebrouckovi a Johanu Verbeke za konzultace Hugovi Van de Vondele za pomoc pi zpracovn dotaznku Karin Desmet, Jan Pvratsk, Zdeku Andresovi, Jan Slabkov, Han afov, Martin Milikov, Katarn Mszrosov, Vladime Hjkov, Martinu Peternellovi za pomoc pi organizovn testu Kathy Corthals, Katarn Varsov a Milanu Kotenovi za peklady Magdalen Musilov za pomoc pi zpracovn dat Martinu Urubkovi za pomoc s NEXISem partnerce Din a rodin za bezmeznou podporu a trplivost

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 10/168

    Obsah

    1 vod ....................................................................................................................................15 1.1 Cl prce .......................................................................................................................15 1.2 Obsah a struktura prce ................................................................................................15 1.3 Vymezen zkladnch pojm ........................................................................................17

    1.3.1 Geometrie...........................................................................................................17 1.3.2 CAD ...................................................................................................................17 1.3.3 Prostorov pedstavivost....................................................................................18

    2 Geometrick zklady .........................................................................................................19 2.1 Euklidovsk prostor a souadnicov soustavy .............................................................19 2.2 Geometrick transformace ...........................................................................................20

    2.2.1 Zmna souadnicov soustavy ...........................................................................20 2.2.2 Posunut .............................................................................................................21 2.2.3 Otoen (rotace) .................................................................................................22 2.2.4 Zrcadlen (osov / rovinn soumrnost) ............................................................23 2.2.5 Zvten/zmenen (zmna mtka) ..................................................................23 2.2.6 Skldn transformac ........................................................................................25

    2.3 Promtn ......................................................................................................................25 2.3.1 Rovnobn promtn .......................................................................................26 2.3.2 Stedov promtn.............................................................................................27

    3 Modelovn objekt bod.................................................................................................30 4 Modelovn kivek .............................................................................................................32

    4.1 Pmka ..........................................................................................................................35 4.1.1 Polopmka.........................................................................................................36 4.1.2 seka................................................................................................................37

    4.2 Kueloseky .................................................................................................................38 4.2.1 Krunice.............................................................................................................39 4.2.2 Elipsa .................................................................................................................42 4.2.3 Parabola .............................................................................................................48 4.2.4 Hyperbola...........................................................................................................52 4.2.5 Analytick vyjden kueloseek .....................................................................55

    4.3 Dal kivky ..................................................................................................................56 4.3.1 etzovka...........................................................................................................56 4.3.2 Sinusoida............................................................................................................60 4.3.3 Spirly................................................................................................................63 4.3.4 Cyklick kivky..................................................................................................67

    4.4 Kivky volnch tvar ...................................................................................................70 4.4.1 Interpolan kivky.............................................................................................71 4.4.2 Bzierovy kivky................................................................................................74 4.4.3 B-spline kivky ..................................................................................................81 4.4.4 Kivky volnch tvar v potaov grafice........................................................88 4.4.5 Empirick a geometrick kivky v architektue.................................................91

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 11/168

    5 Modelovn ploch...............................................................................................................95 5.1 Geometrick modelovn 3D ploch..............................................................................99

    5.1.1 Translan plochy.............................................................................................100 5.1.2 Taen plochy ..................................................................................................102 5.1.3 Rotan plochy .................................................................................................105 5.1.4 roubov plochy ..............................................................................................109 5.1.5 Pmkov plochy ..............................................................................................112 5.1.6 Geometricky definovan plochy v CADu .......................................................118

    5.2 Reprezentace ploch pomoc volnch ploch................................................................121 5.2.1 Bzierovy plochy .............................................................................................121 5.2.2 NURBS plochy ................................................................................................126 5.2.3 Voln plochy v CAD systmech......................................................................128 5.2.4 Empirick plochy v architektue......................................................................131

    5.3 Reprezentace ploch pomoc polygonln st (mesh).................................................137

    6 Modelovn tles...............................................................................................................140 6.1 Modelovn tles v CADu..........................................................................................140

    6.1.1 Zpsoby modelovn tles ...............................................................................140 6.1.2 Modely tles.....................................................................................................142

    7 Zvr .................................................................................................................................144 Pouit zdroje........................................................................................................................146 Ploha: doplkov vzkum kurz geometrie ...................................................................154

    P.1 Popis vzkumu ...........................................................................................................154 P.1.1 3Dtest ...............................................................................................................154 P.1.2 Doplkov dotaznk.........................................................................................158 P.1.3 Zastnn koly..............................................................................................158

    P.2 Vsledky vzkumu.....................................................................................................158 P.2.1 Fakulta architektury VUT v Brn (2006) ........................................................158 P.2.2 Fakulta architektury VUT v Brn (2009) ........................................................160 P.2.3 Fakulta stavebn VUT v Brn ..........................................................................161 P.2.4 Sint-Lucas Architectuur Brussel/Gent .............................................................162 P.2.5 Fakultt fr Bauingenieurwesen TU Wien ......................................................164 P.2.6 Fakulta architektury VUT v Praze ................................................................164 P.2.7 Fakulta architektury TU v Liberci ...................................................................165 P.2.8 Fakulta architektury STU v Bratislav ............................................................165 P.2.9 Filozofick fakulta UP v Olomouci .................................................................166

    P.3 Zvr a souhrnn vsledky.........................................................................................167 Pouit zdroje ....................................................................................................................168

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 12/168

    Seznam ilustrac obr. 1 Kartuzinsk souadnicov systm................................................................................19 obr. 2 Posunut..........................................................................................................................21 obr. 3 Otoen ...........................................................................................................................22 obr. 4 Zrcadlen ........................................................................................................................23 obr. 5 Zmna mtka ...............................................................................................................24 obr. 6 Sloen transformace .....................................................................................................25 obr. 7 Uebn pomcka ku prmtnickmu zobrazovn plonch a tlesnch tvar...........27 obr. 8 Stedov promtn .........................................................................................................28 obr. 9 Odvozen vztahu pro vzdlenost dvou bod pomoc Pythagorovy vty........................31 obr. 10 Tena, oskulan krunice a normla ...........................................................................33 obr. 11 Singulrn body kivky.................................................................................................35 obr. 12 Pmka ..........................................................................................................................35 obr. 13 Kueloseky .................................................................................................................38 obr. 14 Krunice .......................................................................................................................39 obr. 15 Thaletova vta a jej zobecnn ....................................................................................40 obr. 16 Krunice v architektue ................................................................................................41 obr. 17 Elipsa............................................................................................................................42 obr. 18 Geometrick vlastnosti elipsy ......................................................................................43 obr. 19 Konstrukce elipsy.........................................................................................................44 obr. 20 Aproximace elipsy pomoc krunic .............................................................................45 obr. 21 Elipsografy ...................................................................................................................46 obr. 22 Elipsa v architektue.....................................................................................................47 obr. 23 Parabola........................................................................................................................48 obr. 24 Konstrukce paraboly ....................................................................................................49 obr. 25 Parabolograf .................................................................................................................50 obr. 26 Parabola v architektue.................................................................................................51 obr. 27 Definice hyperboly.......................................................................................................52 obr. 28 Geometrick vlastnosti hyperboly................................................................................53 obr. 29 Konstrukce hyperboly ..................................................................................................54 obr. 30 Hyperbolograf ..............................................................................................................54 obr. 31 Hyperbola v architektue..............................................................................................55 obr. 32 etzovka.....................................................................................................................57 obr. 33 etzovka v architektue..............................................................................................58 obr. 34 Analza etzovky a paraboly u realizovanch staveb ................................................60 obr. 35 Sinusoida ......................................................................................................................61 obr. 36 Aproximace sinusoidy..................................................................................................62 obr. 37 Sinusoida v architektue ...............................................................................................62 obr. 38 Konstrukce spirl .........................................................................................................64 obr. 39 Logaritmick spirly ....................................................................................................65 obr. 40 Zlat spirla ..................................................................................................................66 obr. 41 Spirly v architektue ...................................................................................................67 obr. 42 Konstrukce evolventy...................................................................................................68

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 13/168

    obr. 43 Konstrukce cykloidy ....................................................................................................69 obr. 44 Hypocykloida ...............................................................................................................69 obr. 45 Cyklick kivky v architektue.....................................................................................70 obr. 46 Interpolan a aproximan kivky ...............................................................................70 obr. 47 Kubick interpolan kivky.........................................................................................71 obr. 48 Spline kivky v rznch grafickch programech .........................................................72 obr. 49 Spline kivka ................................................................................................................72 obr. 50 Fergusonovy kubiky.....................................................................................................73 obr. 51 Linern Bzierova kivka............................................................................................74 obr. 52 Kvadratick Bzierova kivka......................................................................................75 obr. 53 Kubick Bzierova kivka............................................................................................76 obr. 54 Algoritmus Boor de Casteljau ...................................................................................77 obr. 55 Vliv vhy na tvar racionln Bzierovy kivky ............................................................78 obr. 56 Kueloseky jako Bzierova kivky v CADu ..............................................................79 obr. 57 Navazovn Bzierovch kivek ..................................................................................80 obr. 58 Porovnn Bzierovy a Fergusonovy kubiky ...............................................................81 obr. 59 Vliv zmny polohy dcho bodu b-spline kivky na jej tvar .....................................82 obr. 60 Vliv stupn b-spline kivky na jej tvar........................................................................83 obr. 61 Vliv uzlovho vektoru b-spline kivky na jej tvar ......................................................84 obr. 62 Uzaven B-spline kivka.............................................................................................87 obr. 63 Krunice definovan pomoc NURBS .........................................................................88 obr. 64 Zadvn libovoln kivky v CADu.............................................................................90 obr. 65 Kivky volnch tvar v architektue ............................................................................93 obr. 66 Dlen bod na ploe ....................................................................................................97 obr. 67 mluva o orientaci plochy ...........................................................................................97 obr. 68 Porovnn translan a taen plochy.........................................................................100 obr. 69 Translan plocha .......................................................................................................100 obr. 70 Porovnn translan a klnov plochy .......................................................................101 obr. 71 Translan plochy v architektue ................................................................................102 obr. 72 Taen plocha.............................................................................................................103 obr. 73 Taen plocha s promnnm profilem.......................................................................103 obr. 74 Taen plochy se dvma dcmi kivkami ...............................................................103 obr. 75 Taen plochy v architektue .....................................................................................105 obr. 76 Rotan plochy nzvoslov ......................................................................................106 obr. 77 Rotan plochy ...........................................................................................................107 obr. 78 Rotan plochy v architektue ....................................................................................108 obr. 79 roubov plochy.........................................................................................................110 obr. 80 roubov plochy v architektue..................................................................................111 obr. 81 Pmkov plochy ........................................................................................................113 obr. 82 Pmkov plochy v architektue .................................................................................115 obr. 83 Montpelliersk oblouk v Rhinoceru...........................................................................118 obr. 84 Dvojit pmkov plochy jako bi-linern Bzierovy plochy.....................................122 obr. 85 Translan a klnov plochy jako bi-kvadratick Bzierovy plochy..........................122 obr. 86 Konstrukce Hacarovy plochy jako bi-kvadratick Bzierovy plochy........................123

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 14/168

    obr. 87 Translan a klnov plochy jako racionln bi-kvadratick Bzierovy plochy .........124 obr. 88 sti rotanch ploch jako racionln bi-kvadratick Bzierovy plochy....................124 obr. 89 Konstrukce sti kulov plochy jako racionln bi-kvadratick Bzierovy plochy ...125 obr. 90 Pklad NURBS plochy ..............................................................................................126 obr. 91 Koule jako NURBS plocha ........................................................................................127 obr. 92 Vynen parametricky zadanch ploch v CADu ......................................................130 obr. 93 Empirick plochy v architektue ................................................................................134 obr. 94 Tos elipsoid jako mesh ..........................................................................................137 obr. 95 Render mesh...............................................................................................................138 obr. 96 Nkter zkladn geometrick tlesa..........................................................................140 obr. 97 Modelovn tles ........................................................................................................142 obr. P.1 Otzky 3Dtestu..........................................................................................................155 obr. P.2 Souhrnn vsledky 3Dtestu ......................................................................................167

    Seznam tabulek tab. 1 Rozdlen promtn .......................................................................................................26 tab. 2 Zorn hel.......................................................................................................................29 tab. 3 Standardn podoba rovnic kueloseek ..........................................................................56 tab. 4 Vliv tvaru obloukovho nosnku na prbh ohybovch moment M ............................59 tab. 5 Speciln ppady spirl ..................................................................................................63 tab. 6 Cyklick kivky ..............................................................................................................68 tab. 7 Pehled geometricky definovanch ploch ......................................................................99 tab. 8 Vybran translan plochy ............................................................................................100 tab. 9 Speciln rotan plochy ...............................................................................................106 tab. 10 Speciln ppady roubovch ploch...........................................................................109 tab. 11 Speciln ppady pmkovch ploch ..........................................................................112 tab. 12 Geometricky definovan plochy v CADu ..................................................................119 tab. P.1 Zamen otzek 3Dtestu...........................................................................................157 tab. P.2 Vsledky FA VUT v Brn (2006) .............................................................................159 tab. P.3 Vsledky FA VUT v Brn (2009) .............................................................................160 tab. P.4 Vsledky FAST VUT v Brn ....................................................................................162 tab. P.5 Vsledky Sint-Lucas Architectuur Gent-Brussel, Belgie..........................................163 tab. P.6 Vsledky FF UP v Olomouci ....................................................................................166 tab. P.7 Souhrnn vsledky 3Dtestu.......................................................................................167

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 15/168

    1 vod

    1.1 Cl prce Clem disertan prce bylo systematizovat a popsat konstrukce geometrickch objekt

    pouvanch v architektue a jejich aplikaci v modelovn v CAD systmech (vetn sloitjch geometrickch a algebraickch kivek a ploch), se zamenm na mon vyuit poznatk ve vzdlvn budoucch architekt. Nedlnou soust tto analzy byl vbr a rozbor vhodnch ilustranch pklad aplikace jednotlivch geometrickch objekt v architektue (od historick po soudobou).

    Tento vzkum ml odhalit nedostatky v pprav architekta ve vztahu k dnen praxi, tj. ve vztahu k vpoetn technice a realizaci staveb. Zskan poznatky mly pomoci urit, kter geometrick konstrukce a postupy jsou potebn k modelovn architektury v CADu a kter jsou dnes zbyten, protoe jejich znalost pedstavuje pouze dril, kter je prv vpoetn technikou nahrazen. Ambic tto prce nebylo objevit nov geometrick vlastnosti, matematick modely ani konstrukce.

    Souasn stav vuky geometrie na kolch architektury byl analyzovn v rmci doplkovho vzkumu. Protoe obvykle deklarovanm clem vuky geometrie je mj. rozvoj prostorov pedstavivosti poslucha jako jedn z dleitch schopnost architekta, byl vzkum vybranch kurz zamen nejen na jejich obsah a formu, ale tak na jejich vliv na prostorovou pedstavivost student.

    Tento vzkum ukzal, e vuka geometrie je v souasnosti na eskch kolch architektury zamena na deskriptivn geometrii a na rozdl od nkterch evropskch kol stle klade draz i na sloit geometrick konstrukce na kor informac pouitelnch v praxi. Doplkov vzkum vetn podrobnch vsledk je popsn v ploze.

    V zvru prce navrhuji jak vyut zskan poznatky ve vuce na kole architektury.

    1.2 Obsah a struktura prce V disertan prci se zabvm geometrickmi objekty, jejich geometrickmi vlastnostmi a

    konstrukc, modelovnm v CAD systmech a jejich pouitm v architektue. V vodn kapitole se v nezbytn me vnuji potebnm geometrickm zkladm, tj.

    definici Euklidovskho prostoru a Kartezinsk souadnicov soustavy, geometrickm transformacm a promtn.

    Dle je prce lenna podle jednotlivch skupin geometrickch objekt na tyto kapitoly: bod; kivky (kapitola je dle lenna podle druh kivek pmka, kueloseky, etzovka,

    sinusoida, spirly, cykloidy a kivky volnch tvar);

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 16/168

    plochy (kapitola je dle lenna podle zpsobu popisu ploch geometrick reprezentace, reprezentace pomoc volnch ploch, reprezentace pomoc polygonln st);

    tlesa (v kapitole strun popisuji rzn zpsoby modelovn tles v CAD systmech). Jednotlivm objektm se vnuji podrobn z nsledujcch hledisek: definice, geometrick a analytick vlastnosti; konstrukce v syntetick geometrii; modelovn v CAD systmech; reln uplatnn v architektue.

    Jednotliv hlediska nejsou striktn oddlena, poznatky se navzjem dopluj. Text je zpracovn formou syntzy z dostupnch materil.

    Kivky a plochy v architektue Protoe architektura je tvoena hmotou (z geometrickho hlediska tlesy), kivky ani

    plochy v geometrickm slova smyslu se v architektue neobjevuj. Pozorovatel vak vnm plochy ohraniujc tlesa, u nkterch ploch i kivky, kter tyto plochy tvo.

    U jednotlivch kapitol modelovn ploch a kivek jsou uvedeny pklady jejich aplikace v architektue (u kivek jsem zpravidla volil vlcov plochy, kde jsou tvoc kivky nejlpe patrn). Vnuji se t zpsobu realizace nkterch vybranch staveb.

    V tomto pehledu nejsou zahrnuty pmky a rovinn plochy. Pehled je zamen na geometrii, jeho kolem nen podat ucelen pehled teorie a historie architektury.

    Modelovn objekt v CAD systmech Kad CAD systm vyuv pro tvorbu geometrickho modelu zkladnch prvk (primitiv,

    entit, objekt), jako je bod, seka, krunice, kivka, plocha, tleso a dal. Kad program me vyuvat jinou sadu tchto zkladnch objekt. Tyto objekty maj definovan matematick model, kterm CAD systm vytvo geometrickou podobu objektu na zklad uivatelem zadanch geometrickch vlastnost (nap. dc body kivky nebo zkladna, vka a umstn hranolu). Zpravidla je monost objektu tak piadit dal vlastnosti, jako je barva, tlouka ry, typ ry nebo vlastnosti pro vizualizaci jako materil, chovn pi osvtlen a podobn[25].

    Jednotliv zkladn objekty, jejich zpsob pouit v CAD systmech (pedevm v programech AutoCAD a Rhinoceros), jsou osvtleny v jednotlivch kapitolch o modelovn kivek, ploch a tles.

    Geometrick a analytick vlastnosti a geometrick konstrukce kivek a ploch CAD systmy umouj pm modelovn nkterch geometrickch objekt, pesto

    znalost jejich geometrickch a analytickch vlastnost zjednoduuje a zpesuje prci pi modelovn sloitjch sestav objekt.

    U objekt, kter v danm CAD systmu nelze modelovat pmo, je teba pout geometrick konstrukce.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 17/168

    Z tchto dvod se v textu vnuji tak analytickm i geometrickm vlastnostem a geometrickm konstrukcm kivek a ploch, v me nezbytn nutn k danmu elu.

    1.3 Vymezen zkladnch pojm

    1.3.1 Geometrie st matematiky zabvajc se studiem vlastnost rovinnch a prostorovch tvar. Slovo

    vzniklo jako sloenina eckch slov g (zem) a metrein (mit)[69]. Z geometrickch discipln nutno zmnit pedevm analytickou, euklidovskou (syntetickou) a deskriptivn geometrii.

    Syntetick geometrie Syntetick geometrie pracuje se samotnmi geometrickmi objekty a jejich obrazy (tj.

    syntetickmi reprezentacemi) a pro een prostorovch loh pouv geometrickch konstrukc[55].

    Analytick geometrie Analytick geometrie objekty reprezentuje sly (pesnji mnoinou bod uritch

    vlastnost, kter jsou dan selnou charakteristikou), geometrick konstrukce nahrazuje aritmetickmi vpoty[55].

    Deskriptivn geometrie Deskriptivn (tj. popisn) geometrie vytv jednoznan nzorn obrazy trojrozmrnch

    objekt a naopak dv monost zptn dan obrazy jednoznan prostorov interpretovat [65].

    V tto kapitolce neme chybt ryvek z Ottova slovnku naunho [66]: Geometrie deskriptivn (mictv zobrazujc) jest vda o geometricky uritm zobrazovn. Pedmtem zobrazen takovho mohou bti tlesa hmotn, kter v prostoru bu skuten se nalzaj, nebo kter teprve sdlna bti maj, jako i tvary geometrick, kter abstrakc z pedmt hmotnch byly vyvozeny. el pak zobrazen me bt dvoj: bu aby se obrazem vyjdil pojem o tvaru, velikosti a poloze pedmtu zobrazenho, aneb aby se obrazem vzbudil dojem co mon pbuzn dojmu psobenmu pedmtem skutenm.

    Deskriptivn geometrie vyuv metody syntetick geometrie.

    1.3.2 CAD Zkratka z Computer Aided Design (nvrh pomoc potae). Jedn se o potaem

    podporovan een loh v konstrukci a technick pprav vroby. CAD programy slou k provdn vkres, k usnadnn prce konstruktr pi nvrhu stroj a zazen, architektm pro projekci staveb; umj vymodelovat i prostorov model a zobrazit ho. Tchto program je ada, nap. AutoCAD, Rhinoceros, Microstation, Nemetchek a dal, z nich nkter jsou specializovan pro architekty).

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 18/168

    Vstupy z CAD program (systm) mohou slouit jako podklad pro CAM (Computer Aided Manufacturing potaem zen vroba). Souhrnn nzev je CAE (Computer Aided Engineering) [69].

    CAD pouv metody analytick geometrie.

    1.3.3 Prostorov pedstavivost Prostorov vnmn a pedstavivost definuje psycholog L. L. Thurston ve sv prci z konce

    30. let 20. stolet [49] jako schopnost vnmat (rozpoznvat) prostorov vztahy a tvary a v mysli s nimi zachzet. Prostorovou pedstavivost povauje za jednu ze sloek (dlch schopnost) inteligence, kterch definoval sedm: verbln mylen (porozumn), slovn plynulost, zachzen s sly, prostorov pedstavivost, pam, pohotovost vnmn a sudek.

    Dal psychologov povauj prostorovou pedstavivost za vlohu i schopnost. Vloha je vrozen pedpoklad, genetick podmnn dispozice dleit pro rozvoj schopnosti. Schopnost se z vlohy rozvj cvienm. Nadn je mimodn vyvinutou vlohou, talent mimodn vyvinutou schopnost [29].

    Z pedchozch definic je zejm, e pojem prostorov pedstavivosti v sob zahrnuje adu rznch dlch schopnost, kter mohou bt u rznch jedinc vyvinuty rzn, napklad:

    prostorov porozumn, pochopen, interpretace geometrick pochopen (prostorov ten, psan, een-mylen) prostorov orientace (ve mst, na dlnin kiovatce, v letadle, v tunelu) een 3D puzzle prostorov ctn prostorov tvorba

    Pedstavivost a fantazie Pedstava je vyvolan obraz objektu, kter ji byl nkdy v minulosti vnmn. Fantazie je

    vytvoen obrazu neho, co nikdy vnmno nebylo (je vsledkem snn, reprodukc popisu podanho druhou osobou nebo vsledkem tvoivosti). Mylen a pam sehrvaj pi vytven pedstav a fantazi nejdleitj roli [29].

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 19/168

    2 Geometrick zklady

    2.1 Euklidovsk prostor a souadnicov soustavy Euklidovsk prostor je nejastji pouvan geometrick prostor, kde je kadmu bodu

    jednoznan piazena trojice relnch sel a naopak, kad trojici relnch sel je piazen prv jeden bod prostoru.

    Zpsob jednoznanho piazen trojice sel kadmu bodu je dn tzv. souadnicovou soustavou. Je pouvno nkolik druh souadnicovch soustav: kartezinsk, polrn, vlcov a sfrick.

    Euklidovsk prostor a souadnicov systmy se pouvaj jak v syntetick, tak analytick geometrii, tedy i v CAD systmech (zde jsou rozmry prostoru omezen podle typu pouitch promnnch). Nejastji pouvanou souadnicovou soustavou je kartezinsk pravohl soustava, ostatnmi se dle zabvm.

    Kartezinsk pravohl souadnicov soustava je urena svm potkem O, co je libovoln zvolen pevn bod v prostoru, a temi na sebe kolmmi pmkami (nazvanmi osy) x, y, z, kter se protnaj v potku O. Dle je urena zvolenou kladnou orientac os a jednotkovou dlkou. Mme-li takto zvolenou souadnicovou soustavu, meme kadmu bodu Euklidovskho prostoru A piadit jeho souadnice A[xA,yA,zA], viz obr. 1a)[55].

    obr. 1 Kartuzinsk souadnicov systm

    b) Pozitivn kartezinsk soustava: palec prav ruky ukazuje smr osy x, ukazovk osy y a prostednk osy z.

    c) Negativn kartezinsk soustava: palec lev ruky ukazuje smr osy x, ukazovk osy y a prostednk osy z.

    a) Souadnice bodu A.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 20/168

    Kladn orientace os v kartezinsk souadnicov soustav me bt zvolena dvoj: pozitivn (prav) a negativn (lev). Pozitivn je standardn a je pouvna v CAD systmech. Bn pouvanou mnemotechnickou pomckou je pravidlo prav ruky (obr. 1bc).

    Kartezinsk souadnicov systm lze pout rovn v dvourozmrnm prostoru.

    2.2 Geometrick transformace Geometrick transformace prostoru je zobrazen geometrickho prostoru na sebe sama, ve

    kterm je kadmu bodu prostoru piazen prv jeden bod prostoru podle pevn danho pravidla.

    Linern geometrick transformace je takov transformace, kdy obrazem kad pmky je pmka.

    Mezi zkladn geometrick transformace pat posunut, rotace, zmna mtka a zrcadlen. Jednotliv transformace lze skldat.

    Transformaci lze aplikovat jen na st geometrickho prostoru (na jednotliv objekty) nebo na cel geometrick prostor (na souadnicov systm). Ob tyto monosti maj irok vyuit v potaovm modelovn.

    2.2.1 Zmna souadnicov soustavy Aplikuje-li se posunut a/nebo otoen (viz kap. 2.2.2 a 2.2.3) na vlastn souadnicovou

    soustavu, nezmn se geometrie jednotlivch objekt ani jejich vzjemn uspodn, pouze jejich umstn vi souadnicov soustav (tj. souadnice jednotlivch bod).

    Akoliv se zd vznam takov operace jako zbyten, u modelovn objekt v CADu m zmna souadnicov soustavy nezastupiteln msto.

    Teoreticky lze aplikovat na souadnicovou soustavu i jin geometrick transformace (zrcadlen, zmna mtka), co ale nen prakticky vyuiteln.

    Zmna souadnicov soustavy v CADu: CAD systmy zjednoduuj modelovn objekt tak, e vyuvaj tzv. kreslc rovinu

    (pojem se me v jednotlivch programech liit) rovinu xy. Kreslc rovina je vyuvna v nsledujcch ppadech:

    Pokud nen zadna tet (z) souadnice bodu (numericky nebo pichycenm viz kap. 3), kreslme v tto rovin (tj. z=0).

    ada nstroj vyuv jako zkladnho nastaven prv kreslc rovinu. Nap. pi otoen (kap.2.2.3) je osa oten kolm k tto rovin a sta zadat bod; u zrcadlen (kap. 2.2.4) je rovina zrcadlen kolm na tuto rovinu a sta zadat dva body; u modelovn vlcovch ploch (kap. 5.1.6, tab. 12) mohou bt dc pmky v zkladnm nastaven kolm ke kreslc rovin.

    Rovinn objekty jsou kresleny v rovin rovnobn s kreslc rovinou. Z uvedench ppad je zejm, e me bt praktick zmnit rovinu kreslen (pomoc

    zmny souadnicov soustavy). V CAD programech je zmna souadnicov soustavy pouvna pouze ke zmn kreslc roviny, vechny body zstvaj i nadle definovny

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 21/168

    vzhledem k pvodn souadnicov soustav, kter se nazv globln (world coordinate system). K t se lze kdykoli vrtit.

    V AutoCADu je zmnn souadnicov soustava nazvna uivatelsk (user coordinate system) a jej zmna se provd pomoc pkazu UCS. Souadnicovou soustavu lze posunout (jej potek), otoit (rznmi zpsoby), pizpsobit (objektu, pohledu) a dal monosti (krok zpt, dopedu, uloen).

    V Rhinoceru je pouit pojem kreslc rovina (construction plane), pracuje se s n pomoc pkazu CPlane. Monosti jsou prakticky stejn jako v AutoCADu.

    2.2.2 Posunut Posunutm se rozum takov transformace, kdy vechny body jsou posunuty o stejnou

    vzdlenost ve stejnm smru (o vektor posunut). Jinmi slovy souadnice vech bod se zmn o stejnou hodnotu.

    obr. 2 Posunut

    Analytick zpis pro posunut bodu ve 3D: A[xA,yA,zA] A[xA+x,yA+y,zA+z], kde x, y, a z jsou souadnice vektoru posunut.

    Posunut objektu v CADu: Pi posunut objektu je teba zadat vektor posunut, nejastji urenm dvou bod, tj.

    bodem a jeho posunutm obrazem. Pmo vektor posunut lze zadat numericky tak, e jako prvn bod zvolit potek souadnicov soustavy 0,0,0 a jako druh souadnice vektoru x,y,z. Ppadn lze zvolit prvn bod libovoln a druh bod zadat ve tvaru pro relativn souadnice @x,y,z. Nstroj pro posunut me obsahovat volbu pro zadn numerick hodnoty vektoru posunut.

    V AutoCADu je pro posunut pkaz MOVE (pro zadn vektoru posunut je monost Displacement), v Rhinoceru Move (lze omezit pohyb na vertikln).

    Pkaz COPY (Copy) zachov pvodn objekty.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 22/168

    2.2.3 Otoen (rotace) Pi otoen jsou vechny body otoeny po krunici o urit orientovan hel. Vechny

    krunice maj stejn sted (sted oten). Ot-li se objekt v prostoru, mus leet vechny krunice na rovnobnch rovinch, mus bt tedy dna pmka, na kterou budou vechny roviny kolm. Tato pmka je spojnice vech sted oten a nazv se osou oten.

    Otoen je tedy dno orientovanm hlem a osou (v rovin stedem) oten.

    obr. 3 Otoen

    Analytick zpis pro otoen bodu ve 2D: Analytick rovnice pro oten jsou sloitj ne pro posunut, pro zjednoduen uvdm

    rovnice pro otoen v rovin, kde stedem oten je potek O[0,0]: A[xA,yA] A[xAcos yAsin, xAsin + yAcos] [25], kde je orientovan hel otoen.

    Otoen objektu v CADu: Pi oten objektu je teba zadat osu oten a hel otoen. Ten lze zadat numericky

    (kladn smr je proti smru hodinovch ruiek) nebo pomoc dvou bod (pvodnho a jeho obrazu) a zadan osy oten.

    Zpravidla se zadv sted oten osa oten jm prochz a je kolm na rovinu kreslen (xy). V ppad oten podle jinak orientovan osy je nutn bu pout jin pkaz nebo zvolit jinou souadnicovou soustavu (kap. 2.2.1).

    K otoen je v AutoCADu pkaz ROTATE. Zadv se sted oten a pot hel otoen. hel se zadv numericky nebo jako jeden bod (v tomto ppad je pvodn hel 0 pmka rovnobn s osou x). Pvodn hel lze urit pomoc monosti Reference.

    Pro oten podle libovoln zadan osy je pkaz ROTATE3D. V Rhinoceru jsou toton pkazy Rotate a Rotate3D. Zadv se sted (osa) oten,

    hodnota hlu otoen nebo dva body.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 23/168

    2.2.4 Zrcadlen (osov / rovinn soumrnost) Zrcadlen je transformace, pi n obrazy bod le na kolmici k rovin zrcadlen

    (soumrnosti) a jsou od tto roviny stejn vzdlen jako jejich vzory. Ve dvourozmrnm prostoru je zrcadlen analogick podle osy zrcadlen (soumrnosti).

    obr. 4 Zrcadlen

    Analytick zpis zrcadlen bodu ve 3D: Pokud je rovinou zrcadlen pdorysna (rovina xy): A[xA,yA,zA] A[xA,yA,-zA]. Pokud je rovinou zrcadlen nrysna (rovina zx): A[xA,yA,zA] A[xA,-yA,zA]. Pokud je rovinou zrcadlen bokorysna (rovina yz): A[xA,yA,zA] A[-xA,yA,zA].

    Zrcadlen objektu v CADu: Pi zrcadlen objektu je teba urit rovinu zrcadlen. Zpravidla se zadv dvma body jako osa zrcadlen rovina zrcadlen j prochz a je

    kolm na rovinu kreslen (xy). V ppad zrcadlen podle jin roviny lze bu pout jin pkaz nebo zvolit jinou souadnicovou soustavu (kap. 2.2.1).

    K zrcadlen v AutoCADu se pouv pkaz MIRROR, kde se zadv osa zrcadlen (lze zmnit rovinu kreslen, kap. 2.2.1) nebo MIRROR3D, kde zadvme rovinu zrcadlen (temi body nebo jako rovinu rovnobnou s nkterou nrysnou v uivatelskm souadnicovm systmu).

    V Rhinoceru je jeden pkaz Mirror, obecn rovina zrcadlen se zadv monost 3Points.

    2.2.5 Zvten/zmenen (zmna mtka) Pi zmn mtka se vzdlenost vech bod od danho bodu (stedu zmny mtka)

    nsob faktorem zmny mtka n>0. Je-li n1 jedn se o zvten. Pi n=1 jsou transformovan objekty identick jako jejich vzory.

    Pi zmn mtka lze pout ti rzn faktory n, m, k pro ti rzn, vzjemn kolm vzdlenosti bodu od stedu zvten. Takovto zvten se nazv nestejnomrn. Smry

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 24/168

    tchto vzdlenost nemus bt shodn se smrem os souadnicov soustavy, v tom ppad je teba smr urit, nebo zmnit souadnicovou soustavu.

    Nestejnomrn zvten v rovin lze zskat tak pomoc kolm osov afinity v rovin, pokud vzory a obrazy le na stejn stran od osy afinity. Faktor zmny mtka ve smru osy afinity je 1.

    obr. 5 Zmna mtka

    Analytick zpis zmny mtka: Zmna mtka podle potku: A[xA,yA,zA] A[nxA, nyA, nzA] Nestejnomrn zmna mtka podle potku rovnobn s osami souadnicovho

    systmu: A[xA,yA,zA] A[nxA, myA, kzA]

    Zvten objektu v CADu: Pi zmn mtka se uruje sted zvten a pomr zvten (zpravidla numericky nebo

    jako pomr dvou zadanch vzdlenost). V ppad nestejnomrn zmny mtka se smr zvten uruje bu dvojic bod (sted zvten a bod) nebo podle smru os kreslc roviny.

    Zvten se v AutoCADu provd pomoc pkazu SCALE. Zadv se sted zvten a faktor n. Ten lze zadat numericky nebo pomoc Reference (dv dlky uren zvolenmi body). Nestejnomrn zvten AutoCAD nepodporuje, co lze omezen obejt trikem pes bloky.

    Rhinoceros m pro zmnu mtka pkaz Scale (zadvaj se pmo dv rzn dlky pomoc dvou referennch bod a stedu zvten). Pomoc pkazu Scale1D lze zvtit objekt v jednom smru (smr zvten uren stedem zvten a bodem, v obou dalch smrech je faktor roven 1), Scale2D ve dvou smrech (ve smrech rovnobnch s osami kreslc roviny se stejnm faktorem, vertikln se nemn) nebo ScaleNU (ti rzn faktory zmny mtka, smr je uren podle smru os kreslc roviny).

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 25/168

    2.2.6 Skldn transformac Transformace lze libovoln opakovat, vzhledem k tomu, e u kad transformace se jedn

    o jednoznan zobrazen, vsledkem je opt jednoznan zobrazen. Obecn stejn transformace v jinm poad maj jin vsledek. Sloen transformace me

    bt rovn jinou zkladn transformac (obr. 6). Zdnliv sloit sloen transformace mohou nkdy een naopak usnadnit. Analytick

    zpis otoen kolem obecnho stedu lze napklad zskat rozloenm na jednodu transformace: posunut stedu oten do potku, otoen kolem potku a posunut zpt. Zrcadlen a posunut me bt zrcadlen kolem jin osy, ale pouit dvou transformac me bt jednodu ne hledn tto osy.

    obr. 6 Sloen transformace

    2.3 Promtn Promtnm se rozum jednoznan zobrazen (transformace) vech bod prostoru do

    roviny. Tato rovina je oznaovna jako prmtna (me se jednat nap. o papr nebo plochu monitoru). Pehled monch druh promtn je uveden v tab. 1.

    Pi danm promtn kadmu bodu odpovd jednoznan jeden obraz bodu. Naopak kadmu obrazu bodu nelze jednoznan piadit bod v prostoru. Z tchto dvod je v deskriptivn geometrii teba pracovat s dalmi doplujcmi daji, jako s prmtem pdorysu bodu, ktou vky bodu, sdruenm prmtem apod. Takto doplnn promtn se nazv jednojednoznan[52].

    CAD systmy modeluj v prostoru a kad bod je uren temi souadnicemi (viz kap. 3). Promtn je pouito pouze jako vstup modelu na dvourozmrn zobrazovac zazen

    a) Sloenm dvou zrcadlen je otoen objektu o dvojnsobek hlu, kter svraj ob roviny zrcadlen, osa oten je v jejich prniku.

    b) Sloenm dvou zrcadlen s rovnobnmi rovinami zrcadlen je posun objektu o

    dvojnsobek jejich vzdlenosti.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 26/168

    (monitor, tiskrna) nebo pi vizualizaci. Nen tedy nutn, aby promtn bylo jednojedno-znan.

    Detailn znalosti jsou nutn pro konstrukce v deskriptivn geometrii, CAD systmy provdj (kolm rovnobn a stedov) promtn automaticky a nutn je pouze zkladn znalost (pedevm pro sprvn nastaven). V tomto textu promtn tedy pouze strun popisuji, detailn popis vetn konstrukc lze nalzt v literatue (nap. [52] nebo [25]).

    tab. 1 Rozdlen promtn

    podle zakiven promtacch ar

    podle uspodn promtacch ar

    podle hlu promtacch ar k promtac rovin

    podle polohy objektu vzhledem k promtac rovin

    zvltn

    horn, pedn a bon pohled pdorysy a ezy Mongeovo promtn ktovan promtn

    kolm

    obecn

    axonometrie

    zvltn

    kavalrn perspektiva vojensk perspektiva

    rovnobn

    ikm

    obecn

    ikm axonometrie zvl

    tn

    pp

    ady

    axon

    omet

    rie:

    izom

    etrie

    , bim

    etrie

    pmky

    stedov

    stedov promtn linern perspektiva stereoskopick perspektiva

    kivky panoramatick perspektiva speciln topografick projekce

    2.3.1 Rovnobn promtn Pi rovnobnm promtn jsou vechny promtac pmky rovnobn, a to bu kolm na

    prmtnu, nebo pod jinm hlem (ikm). Rovnobn promtn zachovv rovnobnost pmek, rozmry objekt v rovnobnch rovinch zkresluje stejn. V rovinch rovnobnch s prmtnou jsou objekty znzornny ve skuten velikosti.

    Pokud je promtn kolm a prmtna je umstna ve speciln poloze vzhledem k objektu, tj. rovnobn s nkterou dleitou rovinou, je prmtem pdorys (prmtna je vodorovn) nebo nrys a bokorys (tj. ezy a ortogonln pohledy). Vhodou je zobrazen hlavnch st

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 27/168

    objektu ve skuten velikosti, ppadn nezkreslench v mtku. Jednojednoznanosti se dosahuje bu pidnm jedn i vce sdruench prmten (Mongeovo promtn, ve stavebn praxi jsou sdruenmi prmty pdorys a ez) nebo ktovnm jedn ze souadnic bod (ktovan promtn, nap. vrstevnice ternu).

    obr. 7 Uebn pomcka ku prmtnickmu zobrazovn plonch a tlesnch tvar

    Pomcka pracovala se temi vzjemn sklopnmi prmtnami, pdorysna byla opatena tercovou st, nrysna a bokorysna st tvercovch otvor. Na prmtny se sponami upevovaly nrysy zobrazovanch tles. Jak tlesa,

    tak nrysy bylo nutn mti na sklad v rznch tvarech a velikostech[16].

    Pokud je promtn kolm a prmtna vzhledem k objektu je v obecn poloze, je prmt nazvn axonometrie. Jednojednoznanosti se dosahuje zobrazenm dvojice bod, tj. axonometrickm zobrazenm bodu a jeho pdorysu. Vhodou je vytvoen pomrn dobrho prostorovho dojmu pi zachovn rovnobnosti a snadn vynen prmtu.

    Ze ikmch promtn se v praxi vyuv pouze tzv. kavalrn a vojensk perspektiva (nejedn se o stedov promtn). Vojensk perspektiva promt na pdorysnu, kavalrn perspektiva na nrysnu. Horizontln i vertikln vzdlenosti se zobrazuj bez zkreslen. Ob promtn lze pout k rychlmu vynesen konceptu.

    Promtn v CAD systmech je vdy stedov, rovnobnho je dosaeno dostaten velkou distanc[25]. CAD systmy umouj pouze kolm promtn. Rovnobn promtn je ureno pozic kamery (camera) a smrnho bodu (target), tj. smrem promtn, viz nastaven stedovho promtn.

    2.3.2 Stedov promtn Stedov promtn nezachovv rovnobnost a zkresluje vzdlenosti. Pokud je obraz

    vzhledem k prmtn dl ne sted promtn, je obraz o 180 otoen. Vhodou je zobrazen vzdlenjch objekt jako mench a vytvoen dobrho prostorovho dojmu z obrazu. Stedov promtn je podobn promtn skutenosti v lidskm oku.

    Stedov promtn je dno stedem promtn S a prmtnou. Bod prmtny H lec na kolmici k prmtn ze stedu S se nazv hlavn bod, pmka SH se nazv hlavn pmka a vzdlenost SHf = se nazv distance nebo t ohniskov vzdlenost.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 28/168

    Zorn hel (viz obr. 8) je vse prostoru, kter se promtne na prmtnu. Je dn tvarem a velikost prmtny a ohniskovou vzdlenost. Pokud je prmtna obdlnkov (monitor, arch papru, polko filmu) lze horizontln zorn hel vyjdit jako ( )fa2arctan2= a vertikln zorn hel jako ( )fb2arctan2= , kde f je ohniskov vzdlenost (t distance), tj. vzdlenost prmtny od stedu promtn, a je ka prmtny a b je vka prmtny.

    Pro lidsk zrak je bn zorn hel cca 60. Pokud je zorn hel stedovho promtn men ne tato hodnota, jedn se o pirozen zobrazen a nazv se linern perspektiva.

    V CAD systmech se stedov promtn zpravidla zadv pomoc stedu promtn S (je oznaovn jako camera), smrnho bodu urujcho smr hlavn pmky (target, nejedn se o hlavn bod) a ohniskovou vzdlenost (focal length nebo lens length). Ohniskov vzdlenost se zpravidla udv pepotan na velikost polka kinofilmu (viz tab. 2). Zadvme tak v podstat zorn hel.

    V AutoCADu se rovnobn a stedov promtn pepn pomoc promnn PERSPECTIVE. Pro nastaven lze pout pkaz DVIEW, jm lze zadat pozici stedu promtn (monost camera), pozici smrnho bodu (target) a ohniskovou vzdlenost (zoom). Monost distance nemn ohniskovou vzdlenost, ale vzdlenost stedu promtn od smrnho bodu (pokud tuto hodnotu zmnme, je sted promtn piblen/oddlen od smrnho bodu). Pkaz nastavuje tak smr rovnobnho promtn.

    V Rhinoceru se monosti zobrazen nastavuj pkazem ViewportProperties. Pomoc tohoto pkazu lze tak pepnout rovnobn a stedov promtn, jinak jsou monosti stejn jako v AutoCADu.

    obr. 8 Stedov promtn

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 29/168

    tab. 2 Zorn hel

    ohniskov vzdlenost f 20mm 28mm 35mm 50mm 80mm 150mm 300mm

    horizontln zorn hel 84,0 65,5 54,4 39,6 25,4 13,7 6,9

    vertikln zorn hel 61,9 46,4 37,8 27,0 17,1 9,1 4,6

    V tabulce je vyjdena velikost zornho hlu v zvislosti na ohniskov vzdlenosti (distanci) pro kinofilm, kde velikost polka (prmtny) je horizontln a=36mm a vertikln b=24mm.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 30/168

    3 Modelovn objekt bod Bod je bezrozmrn element, nem dlku, plochu ani objem. Euklides pvodn definoval

    bod jako to, co nem sti[14]. Bod je zkladnm geometrickm prvkem, vechny ostatn geometrick objekty jsou

    mnoinou bod. Bod se zpravidla vyznauje kkem (ppadn malm kroukem) a popisuje velkm

    tiskacm psmenem. Pestoe bod nakreslen tukou nebo na monitoru m svoji tlouku, jedn se pouze o reprezentaci bezrozmrnho bodu.

    V trojrozmrnm Euklidovskm prostoru s kartezinskou soustavou souadnic je kad bod uren trojic souadnic A[xA,yA,zA]. Viz tak kapitola 2.1, obr. 1.

    Nkter zvltn body maj vlastn nzev a ppadn i oznaen, pat mezi n napklad: urujc bod pmky krajn bod seky nebo polopmky vrchol (nap. u mnohohelnku) oznauj se dle abecedy A, B, C, nebo K, L, M sted (krunice, seky a dal) S ohnisko (elipsa) F prsek P bod dotyku T tit T dc bod kivky P potek souadnicov soustavy O

    Bod v CADu: V CAD systmech, kter zpravidla pouvaj kartezinsk souadnicov systm, je bod

    uren trojic souadnic. Bod je tedy zadvn jako trojice sel, nap. bod lec v potku souadnicov soustavy se zadv jako 0,0,0. Bod lze tak urit pmo na kreslc ploe polohovacm zazenm (my, tabletem). Aby takto zadan bod byl pesn, umouje vtina CAD systm se pichytit na ji dve definovan body (body, konce ar, stedy, prseky apod.). Krom toho umouj kvli zrychlen zadvn i dalmi zpsoby, nap. relativn souadnice od pedchozho bodu, bod na pomysln spojnici apod.

    Pro bod je vylenn zvltn objekt, tento objekt je zpravidla vyuvn pouze jako pomocn.

    Ostatn objekty jsou definovny pomoc urujcch bod (koncov body, sted apod.). Tyto body se zadvaj analogicky.

    V AutoCADu i Rhinoceru je pro bod zvltn objekt point. Zadv se pkazem POINT / Point. Body je mono vytvoit tak pkazy jako DIVIDE / Divide (rozdlen kivky na stejn dly), MEASURE (rozdlen kivky podle zadan vzdlenosti), ClosestPt (nejbli bod lec na jinm objektu od zadanho bodu) a dalmi.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 31/168

    Zadn souadnic bodu (obecn, nejen pro vytvoen objektu point) v obou programech: absolutn: 2,4,-3 (souadnice x, y, z), relativn: @2,4,-3 (vzdlenost x, y, y od pedchozho zadanho bodu) vlcov (polrn) a sfricky nkter pkazy mohou vyadovat pouze 2D zadn (bez souadnice z).

    Dle AutoCAD i Rhinoceros umouj pichycen k rznm jinm bodm (object snap / osnap), zadn bodu na pomysln pmce jdouc z tchto bod nebo z poslednho zadanho bodu (object snap tracking a polar tracking / smarttrack) pod hly zadanmi v nastaven. Je tak mon nastavit pichycen k pomysln mce (snap mode).

    Praktick je zadvn bodu pomoc polohovacho zazen po jednotlivch souadnicch (coordinate filter) .x,.y,.z, ppadn .xy,.yz,.zx.

    Souadnice bodu v AutoCADu lze zjistit pkazem ID, v Rhinoceru EvaluatePt. Vzdlenost dvou bod:

    Vzdlenost dvou bod lze urit pomoc Pythagorovy vty (viz obr. 9) jako

    ( ) ( ) ( )222 BABABA zzyyxxAB ++= . Vzdlenost dvou bod v AutoCADu se m pkazem DIST, v Rhinoceru Distance.

    obr. 9 Odvozen vztahu pro vzdlenost dvou bod pomoc Pythagorovy vty

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 32/168

    4 Modelovn kivek Kivka (ra) je jednorozmrn spojit tvar. Lze ji tak popsat jako tvar, kter vznikne

    jako trajektorie spojitho pohybu bodu v prostoru.

    Analytick zpis kivky: Z matematickho hlediska se jedn o mnoinu bod, jejich souadnice x, y, z vyhovuj

    parametrickm rovnicm: x = x(t) y = y(t) z = z(t), kde t je parametr, Rt .

    Pro zjednoduen se uvd t v tzv. vektorovm tvaru[25]: ( ) ( ) ( ) ( )( )tztytxtB ,,= .

    (Napklad pmku zadanou parametrickmi rovnicemi txxx mP += , tyyy mP += , tzzz mP += lze zapsat ve vektorovm tvaru jako ( ) mtPtB += , viz kapitola 4.1)

    Kivky bvaj zpravidla omezen, potom 21,ttt . V potaov grafice se zpravidla pouv parametr 1,0't . Lze dokzat, e k parametrickm rovnicm jakkoli kivky na intervalu 21,ttt lze najt jin parametrick rovnice, kter na intervalu 1,0't reprezentuj stejnou kivku[25]. Pro ppad seky viz t kapitola 4.1.2.

    Analytick zpis kivky ve 2D[25]: Pi prci v rovin (v dvourozmrnm prostoru) lze krom parametrickch rovnic kivky

    pout zpis v explicitnm nebo implicitnm tvaru. parametrick rovnice: x = x(t), y = y(t), 21,ttt ,

    nap. )2,0;sin2;cos3 == ttytx explicitn tvar y=f(x), nap. 232 9 xy =

    implicitn tvar f(x,y)=0, nap. 0149

    22

    =+ yx Vechny ti uveden pklady jsou rzn analytick zpisy stejn elipsy (m sted

    v potku, velikost hlavn poloosy rovnobn s osou x je 3 a velikost vedlej poloosy je 2, viz kap. 4.2.5).

    Explicitn tvar neme popsat kadou kivku co je patrn z pkladu (u elipsy se jedn v podstat o dv funkce lic se znamnkem).

    V potaov grafice se vyuv parametrick zpis.

    Dlen kivek[53]:

    Algebraick kivky, u nich znme analytick vyjden (parametrick rovnice, explicitn nebo implicitn tvar)

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 33/168

    Geometrick kivky, u nich znme geometrick vztahy Empirick ostatn kivky, od ruky.

    Orientace kivky: Kivka je orientovna ve smru pohybu bodu (vzhledem ke zvyujc se hodnot parametru

    t). Orientace kivky nachz uplatnn pi uren orientace plochy (vod kapitoly 5) a u tvorby geometrickch ploch v CAD systmech v ppad, e jsou zadny vtm potem tvocch kivek (kap. 5.1.6).

    Tena, oskulan krunice a normla[53]:

    Tena kivky v bod A je pmka proloen tmto bodem a dalm bodem kivky A', kter je s bodem A soumezn (tzn. body A a A' jsou nekonen blzko). Geometricky se jedn o pmku, kter se kivky dotk prv v jednom bod a neprotn ji v okol tohoto bodu (vjimkou je inflexn bod, viz dle). Ten vektor v bod A m stejn smr jako tena, jeho velikost reprezentuje rychlost pohybu bodu po kivce vzhledem k parametru t (jedn se o prvn derivaci parametrickch rovnic kivky)[18].

    Oskulan krunice kivky v bod A je krunice proloen bodem A kivky a dvma body A' a A'' s nm soumeznmi. Oskulan krunice le v oskulan rovin.

    Normla kivky v bod A je pmka, kter prochz bodem A a je kolm k ten. V prostoru je nekonen mnoho norml kivky v bod A a vytvej normlovou rovinu. Normla, kter le v oskulan rovin, se nazv hlavn normla (prochz stedem oskulan krunice). Normla kolm k hlavn normle se nazv binormla.

    Frenetv trojhran kivky v bod A je tvoen tenou, hlavn normlou a binormlou.

    obr. 10 Tena, oskulan krunice a normla

    Na obrzku je roubovice (prostorov kivka, viz kap.4.3.3) a jej tena (mode), hlavn normla s oskulan krunic (erven) a binormla (zelen). Tekovan je vykreslen pdorys roubovice a erchovan jej osa.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 34/168

    Kivost, torze[25]:

    Kivost kivky v bod A udv mru zakiven kivky v jeho okol, tj. mru zmny smru teny. Je pevrcenou hodnotou polomru oskulan krunice (nap. oskulan krunice pmky je pmka, kterou lze povaovat za krunici s nekonenm polomrem; kivost je nulov).

    Torze kivky v bod A udv mru zmny smru binormly. Kivky s nulovou torz jsou rovinn.

    Spojitost: (Pozn.: een spojitost je problmem diferenciln matematiky, v tomto textu jsou

    popsny pouze geometrick dopady.) Geometrick spojitost m nsledujc geometrick vznam a stupn[18]: Geometrick spojitost G0 kivka je spojit v bod A, pokud tento bod m soumezn

    body z obou stran (tj. nen izolovan ani krajn, kivka v nm nen peruena). Geometrick spojitost G1 kivka je hladk v bod A, pokud se v tomto bod mn

    smr teny plynule (tj. m v tomto bod pouze jednu tenu, bod nen bodem vratu ani lomu).

    Geometrick spojitost G2 kivka m v bod A geometrickou spojitost druhho stupn, pokud se v tomto bod mn plynule kivost.

    Geometrick spojitost m vznam u vnmn vzhledu kivek. Pokud je kivka v nkterm bod pouze G0 spojit, je vnmna jako dv kivky. m vy je d geometrick spojitosti kivky vy (alespo G2 ve vech bodech), tm psob kivka plynulejm dojmem.

    Parametrick spojitost pot navc s rychlost pohybu bodu vzhledem k parametru t (ten si lze pedstavit jako as):

    Parametrick spojitost C0 stejn jako G0. Parametrick spojitost C1 rychlost pohybu bodu se mn plynule (tj. v bod A m

    kivka pouze jeden ten vektor). Parametrick spojitost C2 zrychlen pohybu bodu se mn plynule.

    Parametrick spojitost m vznam pedevm tehdy, pokud kivka pedstavuje pohyb (objektu, kamery) v animaci. V tomto ppad potaov programy uruj rychlost pohybu podle parametru t, pokud je kivka C2 spojit, jsou vyloueny skokov pohyby[18].

    Kivka je Gn nebo Cn spojit, pokud m tuto spojitost ve vech svch bodech. Cn spojitost zpravidla zahrnuje i Gn spojitost, co neplat obrcen. Parametricky zadan kivky jsou zpravidla spojit[18], vjimkou mohou bt nap. NURBS kivky s neuniformnm uzlovm vektorem (viz kap. 4.4.3.2). Spojitost m vznam zejmna u navazovn kivek, kde je teba zajistit spojitost i v mst spojen[25], nap. kapitola 4.4.2.3.

    Zvltn body: Kivky obecn mohou mt tyto zvltn (singulrn) body (obr. 11)[53]:

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 35/168

    Nsobn bod (dvojnsobn a vcensobn bod) dvma (nebo vce) rznm hodnotm intervalu t odpovd jeden bod. Tena kivky ve vcensobnm bod me bt odlin pro rzn hodnoty intervalu[55].

    Izolovan bod bod, kter nem dn soumezn bod Bod lomu bod, kter m dv rzn teny, kivka je v nm pouze G0 spojit. Bod vratu bod, kter m jednu tenu, pesto v nm kivka nen G1 spojit, protoe

    se jej smr mn o 180. Inflexn bod (bod obratu) bod, ve kterm se mn kivost znamnko, je G2 spojit,

    kivost je v nm nulov. Tena kivky v tomto bod kivku protn. Vechny ostatn body kivky se nazvaj regulrn.

    obr. 11 Singulrn body kivky

    A dvojit bod, B bod lomu, C bod vratu, D inflexn bod Na obrzku je znzornna kubick b-spline kivka s 15 dcmi body a neuniformnm uzlovm vektorem (viz

    kap. 4.4.3). Mode jsou znzornny teny v singulrnch bodech.

    4.1 Pmka Pmka je pm jednorozmrn tvar (nem dnou tlouku), kter se obma smry

    rozpn donekonena (obr. 12a)[59]. Pmka je jednoznan uren dvma body.

    obr. 12 Pmka

    Oznaen pmky:

    podle bod, ktermi prochz verzlkami se symbolem pmky nad nimi nap. AB vlastn oznaen pmky minuskami nap. a

    Analytick zpis pmky: 3D parametricky:

    a) pmka

    c) seka b) polopmka

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 36/168

    txxx mP += tyyy mP +=

    tzzz mP += , kde t je nezvisl promnn, ( ) ,, tt R x, y a z jsou souadnice jednotlivch bod B pmky xP, yP a zP jsou souadnice pmky pokud t=0 (bod P) a xm, ym a zm jsou souadnice vektoru m, kter je rovnobn s pmkou. Zjednoduen vektorov zpis m tvar: ( ) mtPtB +=

    2D parametricky (analogicky k pedchozmu): txxx mP += tyyy mP +=

    2D explicitn: x=my+b Tato rovnice vyjaduje souadnici x dan pmky v zvislosti na souadnici y, m je sklon pmky a b prsek osy y. Porovnnm s pedchozm zpisem zjistme, e:

    PPm

    m myxbyx

    m == a

    CAD: Pmka nen v CAD systmech obvyklm objektem, protoe neumouj pracovat

    s nekonen velkmi sly. Pesto AutoCAD nabz objekt xline, kter je ve skutenosti jen velmi dlouhou sekou. Tento objekt se zadv pkazem XLINE pomoc dvou bod, ppadn ve smru osy x nebo osy y pomoc jednoho bodu a je pouvn jako pomocn objekt ke konstrukci dalch objekt.

    4.1.1 Polopmka Polopmka je st pmky vymezen jednm na n lecm bodem. Jednm smrem se

    rozpn do nekonena. Polopmka je jednoznan uren dvma body krajnm bodem a jednm bodem na n lecm (obr. 12b).

    Polopmku oznaujeme podle krajnho a pomocnho bodu kapitlkami s oznaenm

    polopmky nad nimi nap. AB . V parametrickm zpise je omezen parametr ) ,at .

    CAD: Polopmka (stejn jako pmka) nen v CAD systmech obvykl. AutoCAD nabz

    pomocn objekt ray, zadv se pkazem RAY pomoc dvou bod (potek a smr).

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 37/168

    4.1.2 seka seka je st pmky vymezen dvma body na n lecmi (obr. 12c). Je nejkrat

    spojnic dvou bod. seky se oznauj podle krajnch bod verzlkami se symbolem seky nad nimi nap.

    AB . seky mohou bt oznaovny tak minuskami, zpravidla pokud se jedn o sti jinch geometrickch tvar, nap. strany trojhelnka a, b, c.

    Parametrick zpis seky Parametrick rovnice jsou stejn jako pro pmku, tj.:

    txxx mP += tyyy mP += , kde 21,ttt , protoe seka je omezena dvma body.

    Parametrick rovnice seky AB lze vyjdit ze znmch souadnic bod A(xA,yA) a B(xB,yB). Interval parametru t lze zvolit (viz vod kapitoly 4), tedy 1,0t . seka zan v bod A, tedy pro t = 0 je x = xA a y = yA:

    PmPA xxxx =+= 0 PmPA yyyy =+= 0

    seka kon v bod B, tedy pro t = 1 je x = xB a y = yB: 1+= mPB xxx , tj. ABPBm xxxxx == 1+= mPB yyy , tj. ABPBm yyyyy ==

    Dosazenm zskanch hodnot xP, yP, xm a ym do pvodnch rovnic lze vyjdit parametrick

    rovnice seky AB : ( )txxxx ABA += ( )tyyyy ABA += , kde 1,0t .

    Dlka seky

    Dlka seky se zpravidla oznauje dvma svislmi arami kolem oznaen seky AB .

    Dlka seky je stejn jako vzdlenost bod A a B AB (viz kapitola 3).

    Plat, e bod C le na sece AB prv tehdy, kdy |AC|+|CB|=|AB|.

    Sted seky

    Sted seky S je bod, pro kter plat: SBASABS = , Soumrnost seky

    seka je soumrn podle svho stedu, osy, kter prochz dvma body seky nebo prochz stedem a je na n kolm.

    Skldn seek Spojenm vce seek v jejich krajnch bodech vznikne lomen ra, ppadn uzaven

    mnohohelnk. Geometrickm vlastnostem tchto tvar se v tto prci vce nevnuji.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 38/168

    CAD: CAD programy obsahuj nstroje pro kreslen jednotlivch seek, lomench ar i

    mnohohelnk. Ty mohou bt reprezentovny rznmi nebo stejnmi objekty, co ovlivuje i monosti jejich editace, viz nsledujc pklady pro AutoCAD a Rhinoceros.

    V AutoCADu je pro seku objekt line a pro lomenou ru objekt polyline (rovinn lomen ra me obsahovat i segmenty krunic, ale ne segmenty jinch kivek), 2D polyline (rovinn lomen ra, lze ji zaoblit, viz kap. 4.4.4) a 3D polyline (prostorov lomen ra, lze ji zaoblit).

    Zadvaj se pkazy LINE, PLINE a 3DPOLY. Line, polyline a 2D polyline lze vzjemn rozbjet a spojovat pomoc EXPLODE a JOIN, mnit typ objektu lze pomoc PEDIT. Tyto monosti jsou pro 3D polyline omezen. Zaoblovn lomench ar a jejich dal pravy se provd pkazem PEDIT. Lomen ry lze uzavt (close).

    Mnohohelnky lze zadat pkazem RECTANG (obdlnk) a POLYGON (pravideln mnohohelnk). Tyto pkazy vytvo objekt polyline.

    Rhinoceros m podobn pkazy (Line, Polyline, Rectangle, Polygon), ale reprezentuje je jinak, vechny kivky (vetn seek, lomench ar, kueloseek a ar volnch tvar) definuje jako objekt curve, co je prostorov NURBS kivka (viz kap. 4.4.3.2). Spojovn (Join), rozbjen (Explode) a editace (nap. CloseCrv uzaven nebo InsertLineIntoCrv napmen sti kivky) lze dky tomu aplikovat pro vechny typy kivek.

    4.2 Kueloseky Mezi kueloseky pat krunice, elipsa, parabola a hyperbola. Lze je definovat analyticky

    (kap. 4.2.5), geometricky pomoc ohnisek, nebo jako ez kuele rovinou (viz obr. 13). V nsledujcch kapitolch se vnuji geometrickm vlastnostem kueloseek, jejich konstrukci a aplikaci v architektue.

    obr. 13 Kueloseky

    a) krunice; b) elipsa; c) parabola; d) hyperbola

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 39/168

    4.2.1 Krunice Definice krunice

    Krunice je mnoina bod, kter m stejnou vzdlenost r od danho bodu S (obr. 14a). Krunice je prnikem kuele s rovinou, kter je kolm na osu rotace kuele a neprochz

    jeho vrcholem (obr. 13a).

    obr. 14 Krunice

    Nzvoslov spojen s krunic (obr. 14b+c)

    Polomr (oznaen zpravidla r) vzdlenost vech bod od stedu krunice; t nzev pro seku mezi stedem krunice a libovolnm bodem krunice.

    Prmr (d) seka spojujc dva protilehl body krunice (jejm stedem je sted krunice S).

    Tena (t) pmka, kter se dotk krunice v prv jednom bod; je kolm na polomr v tomto bod.

    Sena pmka, kter protn krunici ve dvou bodech. Ttiva seka spojujc dva rzn body krunice. Oblouk (krunice) st krunice mezi dvma rznmi body krunice. Kruh mnoina vech bod uvnit krunice (jedn se o plochu). Kruhov vse st kruhu vymezen dvma polomry a obloukem. Kruhov se st kruhu vymezen ttivou a obloukem. Obvod krunice (o) dlka krunice; o=2r. Obsah (plocha) kruhu (S) S=r.

    Geometrick vlastnosti krunice Krunice je uzaven kivka. Krunice je rovinn kivka (s nulovou torz), je G2 spojit a m konstantn kivost. Krunice je symetrick podle svho stedu a podle vech svch prmr. Krunice m konstantn kivost a nulovou torzi.

    a) Definice krunice c) Nzvoslov kruhu b) Nzvoslov krunice

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 40/168

    Thaletova vta: Vechny obvodov hly sestrojen nad prmrem krunice jsou prav. Zobecnn Thaletovy vty: Stedov hel (hel, kter svr sted a dva body krunice)

    je dvojnsobek obvodovho hlu (hel, kter svr tet bod krunice s tmito dvma body viz obr. 15).

    obr. 15 Thaletova vta a jej zobecnn

    Krunice v CADu CAD systmy obsahuj nstroje pro modelovn krunic a oblouk krunice. Krunice lze zpravidla zadvat nejen pomoc stedu a polomru (bodem nebo numericky),

    ale i dalmi zpsoby, nap. koncovmi body prmru, temi body nebo pomoc teen. Oblouk lze zpravidla zadvat stedem krunice a koncovmi body nebo temi body. Oblouk lze zskat tak vymezenm sti krunice.

    V AutoCADu i Rhinoceru jsou pro modelovn krunic pkazy CIRCLE / Circle a pro modelovn oblouk pkazy ARC / Arc. V AutoCADu jsou vytvoeny objekty circle a arc, oblouky me obsahovat tak objekt polyline. V Rhinoceru je vdy vytvoen objekt curve (NURBS kivka, viz 4.4.3.2).

    Krunice v architektue Krunice je jedna z nejstarch geometrickch kivek v architektue. Je pouvna jako

    formln tvar, ppadn i konstrukn prvek. Krunice v architektue dle antropologickch vzkum dajn vychz z tvaru ohnit[09],

    v kadm ppad je j pisuzovn velk symbolick vznam v rznch kulturch. V souladu s pythagorejskou geometri bvala povaovna za nejdokonalej geometrick tvar[31]. Nejvraznj pouit je pedevm u kultovnch (Stonehenge, Anglie cca 3500 p. Kr., obr. 16a), sakrlnch staveb (svatyn Atheny Pronaia, Delfy, ecko Theodorus z Phocaea, cca 375 p. Kr., obr. 16b, romnsk rotundy, synagoga a idovsk centrum v Tel Avivu, Izrael Mario Botta, 1998), nhrobcch a mauzolech (Hadrinovo mauzoleum v m 139 a.d.) a symbolech moci (Triumfln oblouk Arc de Triomphe de l'Etoile v Pai Jean-Franois-Thrse Chalgrin, 1836). Uplatnn nael kruhov pdorys tak u obytnch staveb od primitivnch obydl a po modern vily (vila J. Mayese v Glen Ellyn, USA Don Erickson, 1954, obr. 16d), u vkovch staveb (Renaissance Center v Detroitu, USA John Portman, 1977, obr. 16c), veejnch staveb (Gymnzium Flha, Nmecko Allmann, Sattler a Wappner, 1996) a v dalch ppadech. Pouit krunice je t v detailech staveb okna apod.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 41/168

    obr. 16 Krunice v architektue

    Segment krunice, nejastji plkrunice, jako nejjednodu oblouk umooval stavitelm peklenout vt rozpony ne architrv (tj. pm prvek), pestoe se nejedn o staticky nejvhodnj tvar (viz tab. 4). Pklady najdeme ve starovkm m (nap. akvadukt Pont du Garde ve Vers-Pont-du-Gard ve Francii nebo msk most pes eku Tajo v Alcntae ve panlsku) nebo v romnsk architektue (Kamenn most v Psku obr. 16e). Pklady najdeme i v dalch obdobch, od gotiky (gotick klenba je sloen ze dvou segment krunice) pes klacisismus a po styly 20. stolet (nap. Pavilon A na Brnnskm vstaviti ml bt dle pvodnho nvrhu Josefa Kalouse zaklenut plkruhovou klenbou). Krunice je t tvoc kivkou kulovch kopul (vce kap. 5.1.3).

    Oproti jinm kivkm (vyjma pmky) m krunice tu geometrickou vhodu, e jej kivost je ve vech bodech stejn. Jej konstrukce je tedy relativn snadn, nebo lze pout

    a) Stonehenge, Anglie, cca 3500 p. Kr. Vnj val je krunice o polomru 100 m, vnitn kamenn stavba je krunice polomr 33 m[58].

    b) Svatyn Atheny Pronaia, Delfy, ecko, Theodorus z Phocaea, cca 375 p. Kr.

    Kruhov pdorys m prmr 15 m[57].

    d) Vila Jacka Mayese, Glen Ellyn, USA, Edward Donald Erickson, 1954.

    Dm byl zboen.

    c) Renaissance Center v Detroitu, USA, John Portman, 1977.

    e) Kamenn most v Psku, 1270. est pvodnch oblouk je plkruhovch o rozpt 8 m, krajn z roku

    1768 je kruhov segment o rozpt 13 m[23].

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 42/168

    identickch prvk. Z tohoto dvodu bylo pro konstrukce ve tvaru krunic nejastji pouvanm materilem zdivo (kamenn, cihlov).

    4.2.2 Elipsa Definice elipsy

    Elipsa je mnoina vech bod roviny, kter maj od dvou rznch pevnch bod tto roviny F1 a F2 stejn souet vzdlenost 2a, piem 2a>|F1F2| [39] (obr. 17a).

    Elipsa je prnikem kuele s rovinou. hel, kter rovina svr s osou kuele, mus bt men ne 90 a vt ne polovina vrcholovho hlu kuele. Rovina neprochz vrcholem kuele (obr. 13b).

    obr. 17 Elipsa

    Nzvoslov spojen s elipsou (obr. 17b)

    Ohniska elipsy (oznaen zpravidla F1 a F2) z definice elipsy. Sted elipsy (S) sted seky F1F2. Excentricita nebo t linern vstednost elipsy (e) vzdlenost ohnisek od stedu;

    e=|F1S|=|F2S|. Hlavn osa (o1) seka, kter spojuje dva protilehl body elipsy A a B a prochz

    ohnisky. Body A a B se nazvaj hlavn vrcholy elipsy. Dlka hlavn osy je 2a, protoe |F1A|+|F2A|=2a (z definice) a zrove |F1A|=|F2B|. Hlavn poloosou se nazvaj seky AS nebo BS, dlka hlavn poloosy je a.

    Vedlej osa (o2) seka, kter spojuje dva protilehl body elipsy C a D, je kolm na hlavn osu, a prochz stedem elipsy. Body C a D se nazvaj vedlej vrcholy elipsy. Dlka vedlej osy je 2b. Vedlej poloosou se nazvaj seky CS nebo DS, dlka

    vedlej poloosy je 22 eab = . Prvodie bodu elipsy spojnice bodu elipsy s jejmi ohnisky

    Vybran geometrick vlastnosti elipsy Elipsa je uzaven kivka. Elipsa je rovinn kivka (s nulovou torz), je G2 spojit a m promnnou kivost.

    a) Definice elipsy b) Excentricita elipsy

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 43/168

    Elipsa je soumrn podle svho stedu a hlavn i vedlej osy. Elipsa je nejen ez rotanho kuele, ale tak rotanho vlce, pokud rovina ezu nen

    kolm na osu vlce. Tena elipsy v bod M pl vnj hel (neobsahuje sted elipsy) prvodi bodu M,

    viz obr. 18a). Normla elipsy v bod M pl vnitn hel prvodi bodu M (hel F1MF2), viz obr.

    18a). Paty vech kolmic z ohnisek na teny le na krunici se stedem ve stedu elipsy a

    polomrem a. Tato krunice je nazvna vrcholovou. Viz obr. 18b).

    obr. 18 Geometrick vlastnosti elipsy

    Konstrukce elipsy Elipsu lze zkonstruovat rznmi zpsoby: po bodech, pomoc hyperoskulanch krunic ve

    vrcholech, pomoc aproximanch oblouk, jako obal teen nebo pomoc elipsografu. Pi konstrukci elipsy po bodech je sestrojen dostaten poet bod elipsy a elipsa

    vykreslena od ruky nebo pomoc kivtka. Pro sestrojen bod lze pout tyto metody: Proukov konstrukce rozdlov[39] na prouku jsou nakresleny body KLM tak, e

    |KL|=ab a |LM|=a. Pokud bod L le na hlavn ose a bod K na vedlej ose, le bod M na elipse viz obr. 19a).

    Proukov konstrukce soutov[39] na prouku jsou nakresleny body KML tak, e |KM|=a a |ML|=b. Pokud bod L le na hlavn ose a bod K na vedlej ose, le bod M na elipse viz obr. 19b).

    Trojhelnkov konstrukce elipsy[39] body lze sestrojit dle obr. 19c) pomoc krunic o polomrech a a b se stedem v S.

    Pmo pomoc definice hlavn osa je rozdlena na dv dlky, kter jsou krutkem vyneseny z ohnisek[11].

    a) Tena a normla elipsy b) Vrcholov krunice elipsy

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 44/168

    obr. 19 Konstrukce elipsy

    Pi konstrukci pomoc obalu teen[11] se vyuv geometrickch vlastnost vrcholov krunice na obr. 18b). Vykresl se vrcholov krunice a k n se pikld pravohl trojhelnk tak, aby jedna jeho strana prochzela ohniskem a jeho vrchol leel na vrcholov krunici. Druh strana je pak tenou elipsy. Pesn bod dotyku nemus bt znm, protoe pi sestrojen dostatenho potu teen lze elipsu vynst (rukou, kivtkem) pouze z obalu tchto teen.

    Metoda konstrukce elipsy pomoc hyperoskulanch krunic je vhodn pro elipsy s malou excentricitou. Pi konstrukci[39] jsou vyneseny tyto krunice dle obr. 19d). Elipsu je mono dokreslit rukou nebo kivtkem.

    Hyperoskulan krunice popisuj pesn kivost elipsy ve vrcholech, maj vak tu nevhodu, e se neprotnaj. Z tohoto pohledu je praktitj konstrukce pomoc ty

    c) Trojhelnkov konstrukce

    d) Hyperoskulan krunice ve vrcholech elipsy

    a) Proukov konstrukce rozdlov b) Proukov konstrukce soutov

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 45/168

    aproximanch krunic. Tato metoda bv anglicky nazvna quadrarc (voln peloeno jako tyoblouk).

    Pro tyto oblouky (na obr. 20 jsou oznaeny km a kn; vzhledem k symetrii elipsy jsou pouze v jedn jej tvrtin) plat nsledujc podmnky:

    Prochz vrcholy elipsy a jejich stedy le na hlavnch, resp. vedlejch osch. Oblouky km a kn maj v bod pechodu P spolenou tenu, resp. normlu (m je

    zajitna spojitost G1, nikoli G2), take jejich stedy Sm a Sn a bod pechodu P le na jedn pmce. Geometricky lze dokzat, e tato podmnka je splnna pokud je tato pmka tenou vodc krunice kv a bod pechodu P le na pechodovm oblouku kp dle obr. 20a) [07]. Analyticky lze dokzat, e mus bt splnna podmnka

    ( )( )( )abn

    abnbam ++=

    22 , kde m, n jsou vzdlenosti sted Sm, Sn od stedu elipsy a b, a

    jsou velikosti poloos elipsy[26]. Specilnm ppadem s jednoduchou konstrukc je tzv. Francouzsk konstrukce (obr. 20e).

    Pmku SmSnL zskme jako osu seky LB, piem bod L le na pmce CB a |CL|=ab. [07] Aproximac elipsy se zabvali umlci a matematici ji od renesance, pro zajmavost je na

    obr. 20d) uvedena tzv. Serliova konstrukce II., publikovan Sebastianem Serliem, ve spisech Tutte lOpere dArchitettura v letech 15371575 [45]. Vtina tchto konstrukc ovem umoovala aproximovat pouze elipsy o danm pomru hlavn a vedlej osy.

    obr. 20 Aproximace elipsy pomoc krunic

    Na obrzku a)b)c) je patrn geometrick podmnka aproximace elipsy tymi oblouky, jejich teny na sebe navazuj (body Sm, Sn a P le na jedn pmce, ta je tenou kv viz text). Dle je na tomto obrzku porovnn t

    rznch ppad pechodovho bodu P. V ppad a) le bod P pmo na elipse (tekovan). Na obrzku d) je tzv. Serliova konstrukce II. [45]

    Na obrzku e) je zjednoduen, tzv. Francouzsk konstrukce. [07]

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 46/168

    Elipsograf je pomcka, kter umouje elipsu vykreslit plynule podobn jako krutko krunici. V minulosti elipsografy vyuvaly rznch geometrickch vlastnost:

    z definice metodou provzku a dvou pendlk (pklad na obr. 21a); rozdlov proukov metody (pklad na obr. 21b) skutenosti, e elipsa je zvltnm ppadem hypocykloidy, viz obr. 44b) (pklad na

    obr. 21c) Elipsografy modern konstrukce se stle vyrb.

    obr. 21 Elipsografy

    a) Elipsograf; b) Nvod na vrobu elipsografu z asopisu Popular Science; c) Brownv elipsograf

    Elipsa v potaov grafice Grafick programy zpravidla umouj kreslit elipsy, a to nejen CAD systmy, ale i

    vektorov a rastrov programy pro grafiku jako Adobe Illustrator a Adobe Photoshop. CAD systmy umouj zadvn pomoc stedu, vrchol, dlek os, ppadn ohnisek

    (Rhinoceros). Zptn lze zpravidla urit jen vrcholy a sted. Elipsa je v nich definovna bu jako samostatn objekt (AutoCAD) nebo jako obecn

    NURBS kivka s tm, e je systm schopen rozeznat, e se jedn o elipsu (Rhinoceros). CAD systmy umouj kreslit t eliptick oblouky (sti elips). V AutoCADu pro kreslen elipsy pouijeme pkaz ELLIPSE. Zadvme ji bu pomoc

    hlavn osy (vrcholy A a B) a vedlej poloosy (vrchol C nebo D) nebo pomoc stedu S a hlavn poloosy (vrchol A nebo B) a vedlej poloosy (vrchol C nebo D). Tmto pkazem lze kreslit i eliptick oblouk.

    Elipsa je definovan jako objekt ellipse (oblouk i cel elipsa). AutoCAD rozezn i elipsu vzniklou jako vsledek prnik (ez).

    Elipsa v architektue Elipsa m v architektue skromnj zastoupen ne krunice, ale jej pouit nabz vt

    dynaminost a jin prostorov inek. Elipsa v architektue bv asto nahrazovna nkterou formou ovlu (Colloseum v m 80 a.d.; nmst sv. Petra ve Vatiknu Gian Lorenzo Bernini, 1667, obr. 22a). Ovl ze ty oblouk (viz obr. 18) byl asto volen proto, e nabz

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 47/168

    pouze dv rzn kivosti, zatmco u elipsy se kivost mn plynule. Ovl od elipsy je bez geometrick analzy tko rozpoznateln.

    Vtho rozen se elipsa dokala v baroku v sakrlnch stavbch (i v detailech) a v modern architektue. Logickm tvarem je u stadion, protoe kombinuje tvar atletick drhy s podmnkou dobr viditelnosti (Nrodn fotbalov stadion v Brn Atelier Brno, studie 2008). Uplatnn nachz i u dalch typologickch druh stejn jako v ppad krunice, by v men me: u kol (Z Ktiny Karel Doleel a Ludmila Kramoliov, 2000, obr. 22c), konferennch center (Tokyo International Forum Rafael Violy, 1996, obr. 22b), vkovch staveb (Lipstick Building v New Yorku Philip Johnson a John Burgee, 1986) a dalch.

    obr. 22 Elipsa v architektue

    c) Zkladn kola ve Ktinch, Karel Doleel a Ludmila Kramoliov, 2000. Pdorys koly vychz z elipsy, a=90m, b=54m[10]. Na hornm obrzku vlevo je poutn kostel Jmna Panny Marie ve Ktinch od J. Santiniho, kola je vpravo v poped na snmku shora je lpe vidt elipsa v pdoryse.

    b) Tokyo International Forum, Japonsko,Rafael Violy, 1996.

    Stavb dominuje velk eliptickprosklen hala Glass Hall[45].

    a) Nmst sv. Petra, Vatikn, Gian Lorenzo Bernini, 1667. Pestoe se bn uvd, e zkladem tvaru nmst je elipsa, ve skutenosti Bernini jak ze symbolickch, tak praktickch

    dvod nahradil elipsu tymi oblouky [31][26].

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 48/168

    Elipsa se vraznji neobjevuje ani v konstrukn loze jako nosn oblouk. Pouze v baroku jsou nkter klenby eliptick. Eliptick prez byl zvolen tak na letiti Charlese de Gaulla v Pai na terminlu 2E (Paul Andreu, 2004). Byla ale zvolena vt st elipsy ne polovina (m ve spodn sti konstrukce vznikaj velk ohybov momenty) a tk elezobetonov konstrukce. Necel rok po oteven dolo ke zcen sti konstrukce. Bhem rekonstrukce bylo zasteen nahrazeno leh ocelovou konstrukc.

    4.2.3 Parabola Definice paraboly

    Parabola je mnoina vech bod roviny, kter maj stejnou vzdlenost od pmky r a pevnho bodu F, kter nele na pmce r [39] (obr. 23a).

    Parabola je prnikem kuele s rovinou, pokud tato rovina svr s osou kuele hel rovn polovin vrcholovho hlu kuele (tj. je rovnobn s nkterou z tvocch pmek kuele) a neprochz vrcholem kuele (obr. 13c).

    obr. 23 Parabola

    Nzvoslov spojen s parabolou Ohnisko (F) a dc pmka (r) z definice paraboly. Parametr paraboly (p) vzdlenost ohniska od dc pmky. Osa paraboly (o) prochz ohniskem a je kolm na dc pmku Vrchol paraboly (V) bod paraboly, kde je nejmen vzdlenost od ohniska (a zrove

    dc pmky) nachz se v prseku paraboly a osy a pl vzdlenost dc pmky od ohniska.

    Prvodie bodu paraboly spojnice bodu s ohniskem a kolmice z tohoto bodu na dc pmku.

    a) Definice paraboly. b) Geometrick vlastnosti paraboly.

  • Architektura, geometrie a vpoetn technika

    Jan Foretnk strana 49/168

    Vybran geometrick vlastnosti paraboly (obr. 23b)

    Parabola je oteven kivka, v matematickm pojet se rozpn donekonena na ob strany.

    Parabola je rovinn kivka (s nulovou torz), je G2 spojit a m promnnou kivost. Parabola je soumrn podle osy. Tena paraboly v bod M pl vnj hel (obsahuje vrchol) prvodi bodu M (hel

    FMR). Normla paraboly v bod M pl vnitn hel prvodi bodu M. Paty vech kolmic z ohniska k tenm le na vrcholov pmce. Tato pmka je

    rovnobn s dc a prochz vrcholem. seka s ko