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Planimetría

Planimetría

Mario Arturo Rincón VillalbaWilson Ernesto Vargas Vargas

Carlos Javier González Vergara

Dirección Sección de Publicaciones Dirección Ecoe EdicionesRubén Eliécer Carvajalino C. Álvaro Carvajal

Coordinación editorial Matilde Salazar Ospina

Coordinación editorial Andrea del Pilar Sierra

Irina Florián O.César Leonardo Trujillo Rodríguez

Corrección de estiloKaren GrisalesDiagramaciónOscar J. Arcos

Sección de PublicacionesEditorial UD

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Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito del Fondo de Publicaciones de la Universidad Distrital.Hecho en Colombia.

Rincón Villalba, Mario Arturo Planimetría / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. --

Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas : Ecoe Ediciones, 2012. 284p. – (Colección tierra y vida) Incluye bibliografía ISBN 978-958-44-6733-1

1. Levantamiento de planos 2. Topografía I. Vargas Vargas, Wil-son Ernesto II. González Vergara, Carlos Javier III. Título IV. SerieCDD: 526.9 ed. 20CO-BoBN– a814933

Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia

© Universidad Distrital Francisco José de Caldas © Ecoe ediciones Ltda. © Centro de Investigaciones y Desarrollo Científi co© Mario Arturo Rincón Villalba

Wilson Ernesto Vargas VargasCarlos Javier González Vergara

ISBN: 978-958-872-352-5 Primera edición: julio de 2012 Reimpresión: Septiembre de 2015

Contenido

Presentación 21Introducción 25

Topografía 25

Tipos de levantamientos 25

Funciones del profesional en topografía 26

Geodesia 26

Planimetría y altimetría 26

Mediciones en topografía 26

Unidades de medida 27

Redondeo de números 29

Cifras signifi cativas 29

Exactitud y precisión 29

Medición con cinta 30

Materialización de puntos 32Errores y equivocaciones 32Errores en mediciones con cinta 32Precisión de mediciones con cinta 33

Levantamiento con cinta 37

Defi nición 37

Aplicaciones 37

Conceptos básicos 37

Medición con cinta 37Determinación de ángulos con cinta 38Medición de perpendiculares con cinta 39

Área por fi guras geométricas 39

Metodología 44

En campo 44En ofi cina 44

Ejemplo práctico 45

Cartera de campo 45Carteras de cálculo 47

Cálculo de ángulos 47Corrección de ángulos 47Cálculo de áreas 48Cálculo de áreas 48

Ejercicios planteados 50

Levantamiento con cinta y brújula 57

Defi nición 57

Aplicaciones 57


Ángulo 57Azimut y rumbo 58Brújula 60Declinación magnética 60Inclinación magnética 61Atracción local 61

Metodología 61




Ajustar los ángulos internos 66Determinar la atracción local de todas las líneas 66

Cálculo de áreas por fi guras geométricas 69


Ajuste de ángulos y azimutes 71Determinación atracción local 72Cálculo de área por fi guras geométricas 73

Levantamiento por radiación 79

Defi nición 79

Aplicaciones 80


Coordenadas polares 80

Coordenadas rectangulares 81

Paso de coordenadas polares a rectangulares 82

Paso de coordenadas rectangulares a polares 83

Metodología 85



Cartera de campo 87

Carteras de cálculo 88

Cálculo de proyecciones 88

Cálculo de coordenadas 89

Cálculo de área 89

Ejercicio planteado 90

Cálculo de área por coordenadas 93

Levantamiento por doble radiación 97

Defi nición 97

Aplicaciones 97

Conceptos básicos 97Ley de senos 97

Metodología 98




Cálculo de distancias desde (A) a cada punto 103Cálculo de coordenadas de los detalles 103Cálculo de dimensiones del terreno y direcciones –Azimutes–

entre los puntos 104Cálculo de áreas por coordenadas 104


Cálculo de distancias 107Cartera de cálculos de coordenadas 108Cálculo de área por coordenadas 109

Poligonales 113

Defi nición 113

Aplicaciones 113

Metodología 113

Tipo de poligonales 114

Poligonales Abiertas 114Poligonales cerradas 114Poligonal punto a punto 115

Métodos para realizar poligonales 117

Por ceros atrás 117Por azimut directo 119Por defl exiones 120

Medición de ángulos 122

Método de directo e inverso 122

Método de reiteración 123

Método por repetición 124Levantamiento poligonal abierta

Método ceros atrás 127

Defi nición 127

Metodología 127




Cálculo de azimut de partida 131Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal 131Cálculo de las proyecciones de la poligonal 132Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal 132Cálculo de las coordenadas de los detalles 133Cálculo de área por coordenadas 134

Ejercicios Planteados 135

Levantamiento poligonal cerrada Método ceros atrás 141

Aplicaciones 141


Error en ángulo 141Error máximo 141Error en distancia 142

Metodología 143


Ejercicio práctico 144

Cálculo y ajuste de los ángulos de la poligonal 146Cálculo del Azimut Inicial 146Cálculo de las proyecciones 147Corrección de las Proyecciones 148Datos estadísticos de la poligonal 151Cálculo de detalles 151


Cálculo de los detalles 154Cálculo de las áreas 155

Levantamiento poligonalpunto a punto. Método ceros atrás 159

Defi nición 159

Metodología 160




Cálculo de azimut de partida 162Cálculo de azimut de llegada 163Cálculo de los ángulos fi cticios del polígono cerrado 163Ajuste de los ángulos observados 166Cálculo de los azimutes de la líneas de la poligonal 166Cálculo de las proyecciones de la poligonal 167

Ajuste de las proyecciones de la poligonal 167Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal 168Cálculo de las coordenadas de los detalles 169Cálculo de área por coordenadas 169


Levantamiento poligonal cerrada Método azimut directo 179

Defi nición 179

Aplicaciones 179


Error en azimut 179Error máximo 179Corrección de azimutes 180Error en distancia 180Precisión (P) 180

Metodología 181

En campo 181


Cálculo de la poligonal 183Cálculo y ajuste de los azimutes de la poligonal 183Cálculo de azimut inicial 183Error en azimut 184Cálculo de proyecciones 184Corrección de Proyecciones 185Cálculo de coordenadas 185Datos estadísticos de la poligonal 186Cálculo de detalles 187


Cálculo de área por coordenadas 192

Levantamiento poligonal Punto a punto. Método azimut directo 195

Defi nición 195

Metodología 196




Corrección de los azimutes 198Cálculo de las proyecciones de la poligonal 198Ajuste de las proyecciones de la poligonal 199Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal 200Cálculo de las coordenadas de los detalles 200Cálculo de área por coordenadas 201

Ejercicio Planteado 202

Levantamiento poligonal abierta Método deflexiones 209

Defi nición 209

Metodología 210




Cálculo de azimut de partida 212Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal 213Cálculo de las proyecciones de la poligonal 213Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal 214Cálculo de las coordenadas de los detalles y áreas 214Ejercicio planteado 215

Levantamiento poligonal cerrada Método deflexiones 221

Defi nición 221

Aplicaciones 221


Ángulo de defl exión 221Error en ángulos de defl exión 221Error en distancia 222Precisión (P) 222

Metodología 222



Cálculo de la poligonal 226Cálculo y corrección de los ángulos de defl exión 226Cálculo de azimut inicial 226Cálculo de azimutes de la poligonal 227Cálculo de proyecciones 227Corrección de proyecciones 228Cálculo de coordenadas 229Datos estadísticos de la poligonal 229

Cálculo de detalles 230


Replanteo 237

Defi nición 237

Aplicaciones 237

Tipos de trabajos topográfi cos en una construcción 238


Replanteo de control horizontal 239Replanteo de control vertical 239De alineación vertical 239

Puntos de referencia para la construcción –puntos de control– 239

Metodología 239


Cálculo de áreas 247

Defi nición 247

Métodos de cálculo 247

Figuras geométricas 248Utilizando malla de puntos 250Utilizando papel milimetrado 252Por coordenadas 253Utilizando planímetro 255

Dibujo topográfico 259

Defi nición 259

Proyecciones empleadas en los planos 260

Formatos y plegado de planos 260

Sistema DIN 260Sistema ASA 261El pliego 262

Rotulación a mano 263

Letras mayúsculas y minúsculas verticales 263Letras mayúsculas y minúsculas inclinadas 263Reglas generales 263Líneas de guía 264Centrado del texto 264Ejemplo letras verticales 265Ejemplo letras inclinadas 265

Registros de trabajo en campo 265

Croquis a pulso 267

Escala 268

Escalas gráfi cas 269Dimensiones de la escala gráfi ca 270

Realización del plano de levantamientos topográfi cos con cinta y con cinta y brújula

270

Cuando es por triángulos 271Cuando se ha trazado un polígono 271

Realización de un plano por coordenadas 273

Bibliografía 281

Presentación

21

Presentación

Este texto fue elaborado como resultado de la docencia e investigación realizada por los autores en el área de TOPOGRAFÍA Y VÍAS.

Este documento reúne los conceptos teóricos y prácticos en el área de planime-tría. Dentro del mismo se realiza la descripción de los diferentes métodos para la realización de levantamientos topográfi cos planimetritos y se detalla el desarrollo de dichos procesos, determinando en cada uno de ellos las bases teóricas, aplicaciones y especifi caciones. Para esto se desarrolló un ejemplo de cada caso. Además, se plantean ejercicios para cada capítulo que complementan el desarrollo de los temas.

Con el fi n de que el libro pueda ser implementado como guía práctica y de eva-luación, por los docentes de topografía en diferentes centros de educación técnica o superior, se ha adaptado el desarrollo de los ejercicios planteados de forma encade-nada al número de identifi cación del estudiante, logrando de esta manera garantizar el desarrollo individual de los ejercicios. Por lo anterior, los datos iniciales de cada ejercicio se ciñen a las letras A, B, C y D, las cuales están vinculadas con el número de identifi cación del estudiante.

Nombre del Estudiante: ________________________________________________

Código del Estudiante: _______________________________________

Documento de Identidad A B C D

Introducción

25

Introducción

Topografía

Si se analiza la palabra topografía desglosándola del griego, Topos “topo” –lugar– y Graphe “grafía” –descripción–.

“Topografía” signifi caría, “ciencia que se encarga de la descripción de la tierra”. Una defi nición más acertada es la siguiente: es la ciencia por medio de la cual se establecen las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima de ella y de-bajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y elevaciones.

El desarrollo de esas actividades se conoce como levantamiento topográfi co; este tiene como principales objetivos realizar la representación grafi ca de diferentes terrenos y objetos, y el cálculo de áreas y de volúmenes. Los levantamientos proporcionan infor-mación detallada de la ubicación y elevaciones de los diferentes elementos encontra-dos sean naturales o artifi ciales.

En topografía, la tierra se toma como una proyección. Para la realización de cálculos se tienen las siguientes hipótesis: la línea más corta entre dos puntos de la superfi cie terrestre es una línea recta, las direcciones de la plomada en dos o más puntos de la superfi cie terrestre son paralelas (realmente se dirige hacia el centro de esta), se toma-rán superfi cies de referencia imaginarias y serán planas.

La topografía está basada esencialmente en la geometría plana, geometría del espa-cio, trigonometría y matemáticas en general.

Tipos de levantamientos

Levantamientos topográfi cos, de control, catastrales, urbanos, hidrográfi cos, de ru-tas, de construcción, de minas, solares, industriales, por satélite, judiciales, fotogra-métricos, sísmicos, de energía y en general levantamientos según obra a construirse.

Planimetría

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Funciones del profesional en topografía

Localización de objetos, localización de los límites de terrenos –sean de índole público o privado–, elaboración de planos, replanteo –localización en terreno de diseños gene-rados en planos–, replanteo y localización de viaductos, control planimétrico y alti-métrico de obras, participación en procesos cartográfi cos, aplicaciones en proyectos ambientales, diseño y construcción de diferentes obras de ingeniería.

Geodesia

Esta ciencia tiene fi nalidades muy similares a la topografía; pero en la geodesia se tiene en cuenta la curvatura terrestre –la forma geométrica a la cual se asemeja la for-ma de la tierra es una elipse en revolución girando sobre su semieje menor “elipsoide”–, por lo anterior el grado de precisión de la geodesia es mayor que el de topografía.

Planimetría y altimetría

La topografía se divide en dos ramas: planimetría y altimetría. La planimetría no con-sidera las diferencias de nivel y todos los elementos los proyecta a un plano horizontal. La altimetría si considera las diferencias de nivel o relieve de los terrenos y de los ele-mentos artifi ciales o construidos por el hombre.

Mediciones en topografía

Las principales medidas que se realizan en topografía son: • Distancias horizontales –son las medidas principales o base en la planimetría te-

mática estudiada en el curso de topografía 1–, medidas verticales –necesarias para establecer las diferencias de nivel y medidas inclinadas– y mediciones directas –entre dos puntos de la superfi cie terrestre–

• Ángulos horizontales – medidos en planos horizontales– y verticales – medidos en planos verticales–

Introducción

27

Figura 0.1: Medición de Distancias

Unidades de medida

Son las relativas a longitud, área, volumen y ángulo.Sistema inglés: la unidad de longitud es el pie. Se usa en Estados Unidos, Liberia y

Birmania.Sistema métrico: la unidad de longitud es el metro. Se utiliza en el resto del mundo,

por lo que es conocido como el Sistema Internacional de Unidades (SI).En el sistema métrico se utiliza el metro y todas sus subdivisiones y múltiplos – mm,

dm, Dm, Hm, Km, Mm–.

Planimetría

28

Relaciones de equivalencia1 yarda = 3 pies1 pie = 0.3048006 metros.1 pulgada = 2.54 centímetros1 metro = 39.37 pulgadas1 pértiga = 16.5 pies1 vara = aproximadamente 33 pulgadas1 cadena de gunter = 66 pies = 100 eslabones1 milla = 5280 pies = 80 cadenas de gunter1 braza = 6 pies1 milla náutica = 6076.10 pies1 acre = 43560 pies

Área: En el sistema ingles se utiliza el pie cuadrado y las yardas cuadradas, en áreas gran-

des se usa el acre que tiene 43560 pies cuadrados, también se utiliza el arpent = 0.85 acres.

En el sistema métrico las áreas se especifi can mediante el metro cuadrado, en áreas grandes se utiliza la hectárea equivalente a 10000 metros cuadrados o la fanegada que equivale a 6400 metros cuadrados.

Volumen:En el sistema inglés se utiliza el pie cúbico, la yarda cúbica y el acre-pie equivalente

a 43560 pies cúbicos.En el sistema métrico el volumen se expresa en metros cúbicos.Angular:La unidad de ángulo utilizada en topografía es el grado (°), defi nido como 1/360 del

ángulo central de una circunferencia, 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos.Un Radián es el ángulo subtendido por un arco de circunferencia cuya longitud es

igual al radio del círculo.2p Radianes = 360°, 1 Rad. 57° 17’ 44.8” y 0.01745 = 1°También se ha utilizado aunque muy poco el gon que es equivalente al grado cen-

tesimal, donde la circunferencia se divide en 400 grados centesimales, 100 minutos centesimales son iguales a 1 grado centesimal y 100 segundos centesimales con iguales a 1 minuto centesimal.

Introducción

29

Redondeo de números

Redondear en topografía es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la respuesta solo contenga aquellos que sean signifi cativos o necesarios en cálculos sub-secuentes.

1. Cuando el número a eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este dígito: 43.65749 redondeado a tres decimales será 43.657. Este procedimiento se conoce como truncar número.

2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se usará el siguiente número par para el dígito precedente: 32.3775 será 32.378; así 32.3785, al ser redondeado, también será 32.378. Esto se conoce como aproximar número.

3. Cuando el díigito a eliminar sea mayor que 5 se escribirá el número con el dígito procedente aumentado en una unidad. Así 45,6786 será 45.679. Esto se conoce como aproximar número.

En Colombia cuando se desarrolla un proyecto topográfi co, las distancias se miden al milímetro (tres cifras decimales midiendo en metros) y los ángulos al segundo.

Cifras significativas

Dígitos positivos seguros más uno que es un dígito redondeado o estimativo, lo que en cierta medida lo hace cuestionable. Por ejemplo, una distancia que se midió con una cinta cuya graduación más pequeña es de 0.002 metros y está registrada como 23.468 se dice que tiene cinco cifras signifi cativas, los cuatro primeros dígitos son seguros y el último es redondeado, ó sea, cuestionable. Es indispensable que las medidas se tomen con el número correcto de cifras signifi cativas de acuerdo a la precisión que se desee alcanzar.

Exactitud y precisión

Exactitud es el grado de perfección o absoluta aproximación al valor verdadero de una medición.

Precisión es el grado de refi namiento o consistencia con la que se mide una deter-minada cantidad varias veces. Sería la cercanía entre una medición y otra; si se miden varias veces y los valores obtenidos son muy cercanos entre si se dice que la precisión es alta. En topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud pues nunca se

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30

podrá conocer la medida exacta de una magnitud, siempre habrá errores al realizar dicha medida o medidas.

Medición con cinta

Las distancias que se marcan en los planos son horizontales. Entonces en terreno se deben medir horizontales o con datos auxiliares convertirlas a horizontales.

a. En terreno horizontal: se coloca la cinta paralela al terreno y se efectúa la medida; si la cinta no alcanza para medir la distancia entre dos puntos se alinean desde los dos puntos a medir y se ponen puntos intermedios para dividir la distancia en franjas e ir midiendo dichas franjas hasta alcanzar la distancia total (los puntos intermedios se materializan con piquetes o estacas si es en zona blanda y para zona dura se pintan marcas en forma de cruz o por medio de puntillas). El alineamiento de los puntos intermedios puede hacerse a ojo utilizando jalones o con hilo y plomada o también puede emplearse el teodolito con lo que será más preciso. Se debe tensionar la cinta y realizar la medición varias veces para su comprobación.

b. En terrenos inclinados e irregulares: se debe medir por tramos poniendo la cinta horizontal. Se hace más práctico y se obtienen mejores resultados si se va mi-diendo de arriba hacia abajo donde la persona de arriba coloca el cero sobre el punto y la persona de abajo sostiene la cinta horizontal y se lee en ella con el hilo plomeado sobre el punto.

Introducción

31

Figura 0.2: Medición en terreno plano

Figura 0.3: Medición en terreno inclinado

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32

Materialización de puntosa. En zona blanda: los puntos se deben materializar con estaca y puntilla, se determi-

na el sitio del punto, se quita la cobertura vegetal haciendo un cuadrado de unos 15 por 15 centímetros; teniendo en cuenta que el punto quede aproximadamente en la mitad de dicho cuadrado, se clava la estaca con la tira de plástico, se clava la puntilla en la estaca y luego se pinta la estaca.

b. En zona dura: los puntos se materializan con puntilla si van a ser puntos que tienen una duración alta y teniendo en cuenta que sea permitido; si son solo pun-tos para realizar una labor y después se pueden perder, se marcan con pintura o crayola según el caso.

Errores y equivocacionesLos errores que se pueden cometer realizando diferentes labores en topografía tienen diferentes fuentes como son:

Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto.Errores instrumentales: no existen equipos o instrumentos que hayan sido construi-

dos de manera perfecta.Errores naturales: son ocasionados por temperatura, viento, humedad, variaciones

magnéticas entre otras.Los errores pueden ser: los errores sistemáticos que son acumulativos y permanecen

de igual signo e igual magnitud; por ejemplo, una cinta mal patronada. Los errores accidentales cuyo valor, magnitud y dirección son causas accidentales.

Errores en mediciones con cintaCinta mal patronada, cinta no horizontal, alineamiento imperfecto, cinta no recta, variación en la tensión, mala comunicación entre el cadenero y el anotador, catenaria.

En cualquier tipo de medida que se esté realizando se recomienda hacer una estima-ción a ojo para verifi car que la medida se parezca a la realidad; también es recomenda-ble medir varias veces para realizar comprobación.

En mediciones con cinta si se realizan varias mediciones el valor más probable será el promedio de dichas mediciones o media aritmética.

Introducción

33

Precisión de mediciones con cintaPara determinar la precisión en medidas realizadas con cinta se deben tener en cuenta las siguientes defi niciones:

Error residual (v): es la diferencia entre el valor de una observación y el valor de la media (promedio). Por lo cual cada observación tiene un error residual. La suma de todos los errores residuales de las observaciones con su respectivo signo debe ser igual a cero.

Error probable (r): es un error tal, que la posibilidad de cometer un error que de-termine una cantidad mayor a la real es igual a la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad menor a la real.

2

0.6745*1vr

n∑= ±

− (0.1)

Donder = error probablev = error residualn = número de observaciones o medidas

Error probable de la media (ro)

2

0 0.6745**( 1)vr

n n∑= ±

− (0.2)

Dondero = error probablev = error residualn = número de observaciones o medidas El valor más aproximado será la media ± el error probable de la media.Precisión (P): la precisión se calcula con los valores de la media y el error probable

de la media.

1 OrP X

−= (0.3)

Planimetría

34

Donde:P = Precisiónro = Error probable_

X = Media o promedio.La precisión requerida en mediciones con cinta en terrenos irregulares debe ser

mayor a 5000.Ejercicio:

No DistanciaMedia_

X Error Residual (v) Error Residual al Cuadrado (v2)

1 27.726 27.7373 -0.0113 0.000127692 27.732 -0.0053 0.000028093 27.736 -0.0013 0.000001694 27.740 0.0027 0.000007295 27.746 0.0087 0.000075696 27.748 0.0107 0.000114497 27.733 -0.0043 0.00001849

∑= 0.000 ∑v2= 0.00037343

ro = 0.002P = 13868.La distancia sería:27.737 +- 0.002

Levantamiento con Cinta

37

Levantamiento con cinta

Definición

Es el levantamiento topográfi co (planimétrico) de un terreno, utilizando única-mente la cinta y equipo menor; con el fi n de determinar el área total del terreno

y de los diferentes elementos que lo componen y poder realizar los planos corres-pondientes. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea desde cuando aún no se habían inventado los instrumentos para medir ángulos.

Aplicaciones

El levantamiento con cinta se utiliza cuando se requiere de un levantamiento topográ-fi co y no se tienen más elementos que los ya mencionados. Se debe aclarar que este tipo de levantamientos no tienen mucha precisión y que depende directamente de la calidad de las medidas que se tomen. Se emplea para levantamientos de baja exten-sión, arquitectónicos, ya que para levantamientos de grandes extensiones proporciona baja precisión y el trabajo en campo se torna largo y dispendioso.

Conceptos básicos

La medida de distancias horizontales es uno de los principales componentes de los trabajos planimétricos ya que las distancias que se marcan en los diferentes planos son horizontales. Estas medidas se pueden realizar de forma directa o indirecta; aun-que se obtienen mejores resultados si se hacen de forma directa.

Medición con cinta La medición con cinta depende del tipo de terreno y de los obstáculos que se encuen-tren en dicho proceso.

Planimetría

38

Realizando mediciones con cinta se pueden presentar diferentes tipos de errores como los mencionados en el capítulo anterior.

Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto.

Determinación de ángulos con cinta

Se requiere medir el ángulo que se forma en el vértice A, sobre el alineamiento AB y desde A se mide una distancia R (puede ser cualquier distancia que depende de cada necesidad y del tipo de terreno; entre más grande sea esa distancia se pueden obtener mejores resultados), se marca el punto y esa misma distancia R se mide sobre el alinea-miento AC; también se marca el punto, luego se mide la distancia entre los dos puntos, distancia que para el caso se llamará C.

Figura 1.1: Medición de Ángulos con Cinta

A

C

C

R

R

/2

C/2

B

Con los datos obtenidos en campo se procede a calcular el ángulo de la siguiente manera:

22

C

SenR

α = 2 2

CSenR

α =

1

2 2CSenR

α − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 12*

2CSenR

α −⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.1)


39

Donde:α = ánguloC = cuerdaR = radio

Medición de perpendiculares con cinta

I. Se va a determinar una perpendicular en un punto (p) del alineamiento AB, se mide una distancia X hacia un lado y se materializa, se mide esa misma distan-cia X hacia el otro lado y se materializa desde los dos puntos materializados se miden radios iguales que sean mayores X y el encuentro de los radios marcará el punto para trazar la perpendicular al punto inicial.

II. Caso contrario al anterior; se quiere proyectar un punto (p) que caiga perpendicu-lar al alineamiento AB: desde el punto se mide una distancia D que coincida a un lado del alineamiento AB, se hace lo mismo hacia el otro lado del alineamiento y en la mitad de esos dos puntos estará el punto para que se forme la perpendicular.

III. Medidas 3 y 4 en los catetos y medida de 5 en la hipotenusa (múltiplos o sub-múltiplos de esos valores) garantizan un ángulo recto. Se deben tener tres per-sonas formando el triángulo con la cinta tensionada y otra que garantice que uno de los catetos esté sobre el alineamiento.

Figura 1.2: Medición de perpendiculares con cinta

A р Bx x BA

p

D D

x/2 x/2X

5 4

3

Área por figuras geométricas

Consiste en dividir el terreno en fi guras geométricas, a las que se les miden los lados y los ángulos para calcular sus áreas y así al realizar la sumatoria de áreas, se determina el área total. La fi gura que más se utiliza es el triángulo debido a la facilidad de cálculo de su área por diferentes metodologías. Se debe tratar de que las fi guras geométricas se ajusten de la mejor manera a la forma del terreno.

Planimetría

40

A continuación se describen algunas fórmulas para calcular el área de algunas fi gu-ras geométricas muy útiles en topografía.

Cuadrado

A = l * l

1

1

1

1

Rectángulo

A = b * hh

b

Círculo

A = π * r2

r


41

TriánguloCasos frecuentes

H

B

a

b

α

b a

c

*2

B HA =

* *2

a b senA α= ( ( )( )( ))A S S a S b S c= − − −

2

a b cS + +=

Donde:A = Área en m2 del triánguloa, b, c son los lados del trianguloα = Ángulo formado entre los lados a y b

Caso especialSe conocen los siguientes datos: dos ángulos y el lado entre ellos.180 ( )φ α β= − +

b csen senβ φ

= ::::::

.c senbsen

βφ

=

hsenb

α = :::::: h bsenα=

abh

c

csenh sensen

β αφ

=

*2c hArea =

2

2c sen senArea

senβ α

φ=

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42

b1 b2

h

Trapecio

1 2 *2

b bA h+=

Donde:A = área en m2 del trapeciob1 = base mayorb2 = base menorh = altura

Fórmula de los trapeciosSe tiene una zona o terreno dividida por cierto número de trapecios todos con la

misma h.

AT = Área Total A1 A2 A2 A2

a bc d e

h h h h

AT = A1 + A2 + A3 + A4

1 *( )2hA a b= +

2 *( )

2hA b c= +

3 *( )

2hA c d= +

4 *( )

2hA d e= +

( 2 2 2 )2hAT a b c d e= + + + +

( )2a eAT h b c d+= + + +


43

Fórmula de Simpson

Δ1 Δ2

Y1 Y2 Y3

h h

Área Total = área del trapecio + área del segmento de parábola (1)

ÁreaTrapecio = 1 3 *22

Y Y h+ , que al multiplicar y dividir por 3 queda:

1 3(3 3 )3hAreaTrapecio Y Y= + (2)

El área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo; con las mismas bases y vértices.

2 11 ( )*2hArea Y YΔ = −

2 32 ( )*2hArea Y YΔ = −

AreaΔ = AreaΔ1 + AreaΔ2

2 1 2 3( )* ( )*2 2h hArea Y Y Y YΔ = − + −

2 1 3(2 )2hArea Y Y YΔ = − −

Planimetría

44

Luego el área del segmento de parábola es:

2 1 34 (2 )3 2h Y Y Y⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= 2 1 32 (2 )3h Y Y Y− − = 2 1 3(4 2 2 )

3h Y Y Y− − (3)

Al reemplazar (2) y (3) en (1) se tendrá:

1 3 2. ( 4 )3hAreaTotal Y Y Y= + + `

Generalizando:

1. ( 2 4 )3 n impares pareshAreaTotal Y Y Y Y= + + +

Metodología

En campoSi el terreno tiene forma regular se divide en fi guras geométricas, con el fi n de que en campo se midan sus ángulos y dimensiones necesarias para poder calcular el área y rea-lizar la representación correspondiente en un plano. Si el terreno no tiene una forma regular –este caso es el que más se presenta–, se traza un polígono que abarque la mayor parte del terreno o que siga de manera mas cercana la forma del terreno –en campo se materializan los vértices de dicho polígono–, lo que este por fuera o por dentro del terre-no se toma por el método de izquierdas o derechas que consiste en medir las distancias –líneas perpendiculares– desde los puntos del terreno al polígono trazado.

Se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas.

Para calcular el área total del terreno se calcula el área del polígono y las áreas que se generaron con las perpendiculares, se sumarán o restarán según sea el caso

En oficinaSegún los datos obtenidos en campo, se calcula el área del polígono; para lo cual se deben promediar las distancias –se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas– y corregir los ángulos de


45

acuerdo a la sumatoria teórica del polígono efectuado. Luego, de acuerdo a las fi guras geométricas que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de cada una de ellas, para que fi nalmente se pueda determinar el área total del terreno sumando o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso.

Ejemplo práctico

Cartera de campo

Av. Troncal

D.1

D.5

D.2

D.3

1

8

D.42

4

5

3

67

Z. Verde

Z. Dura

Z. Anden

Planimetría

46

Levantamiento topográfico con cinta

Fecha:

Lugar:

Comisión: Topógrafo:

Anotador:

Auxiliares:

Equipo: Cinta métrica No.

. . Radio Cuerda Distancias

D.1 D.5 10.00013.140

49.316 49.310

D.2 10.000 67.619 67-621

D.2 D.1 15.00024.668

67.618 67.616

D.3 15.000 42.208 42.222

D.3 D.2 8.0006.519

42.205 42.213

D.4 8.000 42.933 42.930

D.4 D.3 10.00017.646

42.927 42.930

D.5 10.000 43.588 43.585

D.5 D.4 11.00011.485

43.586 43.588

D.1 11.000 49.317 49.315


. . Distancia Izquierda Derecha Observaciones

D.1 D.2

1 33.402 11.438 Circunferencia

2 42.477 23.934 Al. D.4

3 56.677 4.118 Z. dura

D.2 D.3

3 0.000 11.691 Z. verde

4 10.000 11.258 Z. verde

5 20.000 12.210 Z. verde

6 30.000 11.499 Z. verde

7 31.724 11.961 Z. verde

8 13.544 31.961 Al D.4


47

Carteras de cálculo

Cálculo de ángulos

Fórmula Tabla 1.1 Cálculo de ángulos

12*2CSenR

α −⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Ángulo No Valor

1 82º 08’ 35”2 110º 37’ 29”3 48º 05’ 17”4 123º 50’ 32”5 62º 56’ 21”

• Los ángulos se aproximan al segundoEl ángulo cuatro es externo del polígono; el interno será el congruente 360 - 123º 50

32” = 236º 09 28”

Corrección de ángulos

Tabla 1.2 Corrección de ángulos

Angulo No Valor Corrección Ángulo Corregido

1 82º 08’ 35” 0º 00’ 34” 82º 0909”2 110º 37’ 29” 0º 00’ 34” 110º 38 03”3 48º 05’ 17” 0º 00’ 34” 48º 05 51”4 236º 09’ 28” 0º 00’ 34” 236º 10 02”5 62º 56’ 21” 0º 00’ 34” 62º 56 55”

El ángulo 4 corregido será 360 - 236º 10’ 02” = 123º 49’ 58”∑ Teórica = (n-2)* 180= 540°La sumatoria teórica de los ángulos internos de un polígono = (n-2)*180 donde n es el

numero de ángulos. La explicación de esta fórmula está en que si se divide en triángu-los un polígono se van a formar siempre (n-2) triángulos y la sumatoria de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180°.

Por lo anterior, la sumatoria teórica de los ángulos externos de un polígono es 360n – ((n-2)*180)) = (n+2)*180∑ Observada = 539º 57’ 10”Error = ∑ Teórica - ∑ Observada = 0º 02’ 50”Error máximo permisible 10’ por ángulo (para este ejemplo 0º 50’ 00”Corrección = Error / n = 0º00’ 34”

Planimetría

48

Cálculo de áreas

Promedio de distancias

Tabla 1.3 Promedio de distancias

Δ ◙ Distancia

1 2 67.6192 3 42.2123 4 42.9304 5 43.5875 1 49.315

Cálculo de áreas

Área total del terreno = área polígono

Figura 1.3 Cálculo de área

4

31

D5

D3

D1 D2b

h

ab

ba

D4

2


49

Tabla 1.4 Cálculo de área del polígono

No Figura Elementos Fórmula Resultado (m 2 )

1 D5-D1 = 49.415 Triángulo D5-D4 = 43.587 A = (a*b*sen)/2 957.168 =62º 5655” 2 D1-D2= 67.619 Triángulo h = 23.934 A = b*h/2 809.197 3 D3-D2 = 42.212 Triángulo D3-D4 = 42.930 674.380 =48º 05 51” A = (a*b*sen)/2 4 Triángulo D4-D3 = 42.930 D4-D5 = 43.587 777.167 =123º 49 58” A = (a*b*sen)/2

Total 3217.912

Área de zona dura

Tabla 1.5 Cálculo del área de la zona dura

No Elementos Fórmula Resultado (m 2 )

1

Triángulo

b = 10.942h = 4.118 A = (b*h)/2 22.530

2 Trapeciosunidos conigual (h)

h = 10.000a = 11.691b = 11.258c = 12.210d = 11.499

A = (a+2b+2c+d)*h/2 350.630

3 Trapecio b1= 11.499 b2 = 11.961 A = (b1+b2)*h/2 20.223 h = 1.724 4 Triángulo b = 10.488

h = 11.961 A =(b*h)/2 62.723

5 Círculo r = 11.438 A = ∏*r 411.008Total 867.114

Área de anden = igual al triángulo (4) = 777.167 m2

Área de zona verde = área total – área zona dura – área andenArea ZV = 3217.912m2 – 867.114m2 – 777.167m2 = 1573.631m2

La realización del plano se explica en el capítulo 15 “Dibujo topográfi co”

Planimetría

50

Ejercicios planteados

24

13

5

D.4

D.2

D.3

D.1

6

7

10

11

12

9

Convenciones

Zona verde

Escaleras

8


51


Fecha:

Lugar:


Anotador:

Auxiliares:

Equipo: Cinta métrica No. 2

. . Distancia Radio Cuerda Observaciones

D.1 D.4 7.624 3.0004.2A8

D.2 9.472 3.000

D.2 D.1 9.470 3.0004.17B

D.3 10.049 3.000

D.3 D.2 10.047 3.0003.5C7

D.4 9.942 3.000

D.4 D.3 9.945 3.0004.890

D.1 7.627 8.000

Detalles

. . Distancia Radio Cuerda Observaciones

D.1 D.2

1 1.824 1.4AB Limite

2 2.8CD 0.874 Límite

3 4.25B 1.67A Límite

4 5.9C3 0.7D2 Límite

5 7.34A 1.22B Límite

Planimetría

52

Cálculo y ajuste de los ángulos

DELTA PUNTO RADIO CUERDA ÁNGULO CORRECCIÓN ÁNG. CORR.


53

Cálculo del área por fi guras geométricas

No. FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO

ÁREA PARCIAL

ÁREA TOTAL

Planimetría

54

Cálculo del área por fi guras geométricas

No. FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO

ÁREA PARCIAL

ÁREA TOTAL

Levantamiento con cinta y brújula

57


Definición

Este levantamiento es utilizado para levantamientos de poca extensión, similar al levantamiento con cinta. La diferencia es que los ángulos son tomados con apoyo

de la brújula.

Aplicaciones

Levantamientos catastrales, levantamientos preliminares.

Conceptos básicos

ÁnguloPor defi nición un ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo está compuesto por línea de referencia, sentido y amplitud, según como se indica en la gráfi ca 2.1

Figura 2.1: Elementos de un ángulo

Líne

a de

Ref

eren

cia

Sentido

Amplitud

Planimetría

58

En topografía estos elementos corresponden a:4. Línea de referencia: es la norte que puede ser de tres tipos: real, magnética y ar-

bitraria5. Sentido: regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj.6. Amplitud: es el valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o

azimut.

Azimut y rumboEn Topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes de la siguiente manera, ya que el cero está en sentido hacia la norte, ver Figura 2.2

Figura 2.2: Numeración de los cuadrantes

N

IIV

III II

Rumbo: es el ángulo comprendido entre cada uno de los cuatro cuadrantes, medido desde la línea Norte-Sur, el valor angular está entre 0º y 90º y la nomenclatura corres-ponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este–Oeste.


59

Figura 2.3: RumboN

IW

S

EIIIII

IV

θ θ

θ θ

Para el primer cuadrante el rumbo sería N θ E, para el segundo S θ E, para el tercero S θ W y para el cuarto N θ W.

Azimut: es una dirección medida partir de la línea norte, su valor esta entre 0º y 360º, la nomenclatura corresponde solo el valor angular.

Figura 2.4: Azimut

N

IV

III

I270°II

90°

180°

θ

θ

θ

θ

0°

Planimetría

60

BrújulaEs un instrumento utilizado por muchos profesionales para encontrar direcciones por medio de los polos magnéticos, antes del teodolito los topógrafos la utilizaban para medir ángulos. La brújula consta básicamente de una caja con un círculo graduado para me-dir rumbos magnéticos o azimutes magnéticos. La cual contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético. Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo de la línea, se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo de la línea; antes de tomar la lectura se debe verifi car que la brújula se encuentre nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verifi car levantamien-tos ya realizados.

Figura 2.5: Brújula

Fuente: elaboración propia

Declinación magnética Es el ángulo que forma el meridiano magnético con el meridiano verdadero. Para cada punto de la tierra tiene un valor diferente y variable ya que el norte magnético varía inexplicablemente por cambios en los campos magnéticos de la tierra. Varía


61

en una dirección y luego en otra, en un periodo de 160 años realiza el ciclo completo conocido como variación secular. También existen variaciones anuales y variaciones diarias que son cambios despreciables teniendo en cuenta la precisión de las lecturas de la brújula. La declinación puede ser E o W de acuerdo hacia dónde se desvie la aguja con respecto a los polos geográfi cos de la tierra.

Inclinación magnética Debido a la atracción que ejercen los polos sobre la aguja, esta tiende a inclinarse y no mantenerse horizontal. Dicho grado de inclinación es la inclinación magnética. Las brújulas corrigen esa inclinación por medo de contrapesos que son bobinas de alambre de cobre que se ubican en el otro extremo de polo, según el hemisferio don-de se encuentre el aparato. Si se está en el hemisferio norte el contrapeso estará en el extremo sur de la aguja.

Atracción local La dirección que toma la aguja se ve alterada por otras fuerzas magnéticas diferentes al campo magnético terrestre –objetos metálicos, de hierro, acero, corrientes eléctricas y otros metales–, si esas fuerzas son muy grandes no será posible utilizar la brújula ade-cuadamente. Todas las direcciones tomadas desde un mismo punto estarán afectadas por la misma atracción local. Para eliminar la atracción local se toman las direcciones con la brújula de una línea en cada extremo y la diferencia en valores de azimut debe ser 180º.

Metodología

En campo• Reconocimiento del terreno: como primer paso se debe recocer la totalidad del

terreno y hacer el gráfi co correspondiente, actividad que se convierte en la princi-pal del trabajo, ya que este gráfi co servirá de base para todo el proceso del levan-tamiento, tanto en campo como en ofi cina.

• Trazo del polígono base: se debe trazar y materializar un polígono que inscriba la mayor parte del terreno a levantar. Para minimizar la toma de detalles se debe trazar utilizando la mayor cantidad de linderos del terreno.

Planimetría

62

• Toma de azimut y distancias del polígono: con el polígono materializado siguiendo el mismo procedimiento descrito en el capítulo anterior se miden cada una de las distancias del polígono, y con ayuda de la brújula se toman los azimutes o rumbos, de acuerdo al tipo de brújula, armándose sobre cada uno de los deltas y visar los deltas anterior y siguiente, la visual se puede dar con los jalones y cerca a la brújula evitar equipos o elementos que puedan generar campo magnético.

• Toma de detalles: los detalles adicionales, ya sea para completar el área total o para georreferenciar detalles puntuales, como árboles, postes, entre otros, se to-man por el método de izquierdas y derechas, metodología descrita en el capítulo anterior.

En oficina• Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con base en los azimutes se determinan

los ángulos internos, y de acuerdo a la sumatoria teórica se determina el error y la corrección para cada ángulo asignándole el mismo peso a cada ángulo.

• Determinación de la atracción local: con base en los azimutes tomados en campo, y determinando los azimutes calculados, se determina la atracción que es la dife-rencia entre los azimutes de campo y los calculados.

• Ajuste de los azimutes del polígono: con base en la línea de menor atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimutes corregidos o ajusta-dos de las demás líneas del polígono.

• Área por fi guras geométricas: con base en el polígono ajustado y los datos de iz-quierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales.


63

Ejemplo práctico

Cartera de campo

0,5

10 9

6

D.1.

12

34

5

D.2.

D.3.

D.4.

Avenida Circunvalar

Entrada parqueadero

Z. dura

Z. verde

78

N

Planimetría

64


Fecha:

Lugar:


Anotador:

Auxiliares:

Instrumento: Cinta No.

. . Distancia Azimut Observaciones

D.1 D.5 42.560 225

D.2 60.000 93

D.2 D.1 60.000 270

D.3 31.135 138

D.3 D.2 31.130 320

D.4 30.693 252

D.4 D.3 30.685 76

D.5 81.658 272

D.5 D.4 81.640 91

D.1 42.565 43

Levantamiento topográfico con cinta y brújula

. . Distancia Izquierda Derecha Observaciones

D.1 D.2

1 10.569 12.201 Lindero

2 20.569 13.913 Lindero

3 30.569 15.900 Lindero

4 40.569 16.422 Lindero

5 50.569 10.565 Lindero

6 51.920 33.789 Al. V. D.4

D.2 D.3

7 7.205 8.388 Borde

8 7.205 15.032 Centro

D.4 D.5

9 15.898 10.496 Z. dura

10 72.446 7.34A 10.496 Z. dura Límite

planimetría - editorial udeditorial.udistrital.edu.co/contenido/c-368.pdf · poligonal punto a...

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