PID Denetleyicileri: Teorisi, Tasarımı ve Ayarı

1.Giriş u Kontrol Değişkeni y Proses Değişkeni Referans Değeri e Hata Değeri (

Şekildeki basit kontrol çevrim bloğu 2 önemli yapı içermektedir (denetleyici ve proses).

Proses tek girişlidir ve bu giriş ‘kontrol değişkeni’ olarak adlandırılır. Proses çıkışı ise ’proses değişkeni’ olarak adlandırılır. Bu değer algılayıcılar yardımıyla ölçülür.

Proses değişkeninin sahip olması istenen değer ‘ayar noktası’ ya da ‘referans değer’ olarak adlandırılır.

‘Denetleme hatası’, referans değer ile proses değişkeni arasındaki farkı tanımlar ve e ile gösterilir.

Kontrol sistemlerinde proses değişkeninin değerinin bozucu etki varlığında bile referans değerde olması hedeflenir. Bu da ancak geri besleme varlığında mümkündür.

Denetleyicinin ayarlanabilen birkaç parametresi bulunur. Kontrol çevrim performansı da ayarlanan bu parametrelerin seçimine göre değişecektir. Denetleyici parametrelerinin bulunması işlemine ‘ayarlama (tuning)’ denir.

Ayarlama için iki farklı yöntem seçilebilir: - Deneme Yoluyla: Başta keyfi değerler seçilir ve bu değerlerle oynayarak sistem davranışı gözlenir. Parametreler sistem istenilen değere ulaşana kadar iyileştirilir.

- Matematiksel Yöntemle: Öncelikle sistemin matematiksel modeli elde edilmeye çalışılır. Daha sonra bu matematiksel model yardımıyla daha önce geliştirilmiş kontrol tasarım yöntemleri kullanılarak parametreler belirlenir.

2.Statik Modeller Statik proses karakteristiği, sürekli durumda proses girişi (u) ile proses çıkışı (y) arasındaki ilişkiyi veren eğridir. Her proses incelemesi statik proses modelin

belirlenmesiyle başlamalıdır. Böylece, proses çıkışında istenilen değerlere göre kontrol çıkışının değişim aralığı bulunur.Bu da bize algılyacı ve aktüatör seçimi için önemli bir bilgi sunar.

Statik model birkaç farklı biçimde elde edilebilir. - Açık Döngü Deneyi: Giriş değeri belirli bir değere sabitlenir ve çıkış, sürekli duruma ulaştığında ölçülür. Bu işlem çalışma aralığındaki her bir değer için tekrarlanır. - Kapalı Döngü Deneyi: Sabit bir referans değer için kontrol değişkeni ölçülür (kalıcı durumda) ve bu ölçüm tüm referans değer seçimleri için tekrarlanır.

3.Dinamik ModelDinamik modelde çıkış ile giriş arası ilişki geçici durumda incelenir. Bu

inceleme sadece doğrusal-zamanla değişmeyen sistemlere uygulanabilmektedir. Bunun nedeni de toplamsallık kuralının sadece bu sistemler için geçerli olmasıdır. Keyfi giriş cevaplarının tamamen basit sinyal türünden girişler biçiminde ifade edilebilmesi doğrusal-zamanla değişmeyen sistemlerin bir özelliğidir.

Bir sistemi karakterize edebilmek için pek çok sinyal kullanılabilir. Biz burada geçici durum tepkisini ve frekans cevabını ayrı ayrı inceleyeceğiz.

-Geçici Durum Tepkisi: Geçici durum analizinde sistem dinamikleri basit sinyallere verilen tepkilere benzetilerek karakterize edilir. Tipik olarak bu sinyaller, birim basamak, puls ve birim darbedir. Çünkü toplamsallık kuralı gereği sinyaller, genlikleri farklı sinyallerin toplamları veya farkları cinsinden ifade edilebilir.

Örneğin eğer s(t) birim basamak tepkisi ve u(t) giriş sinyali ise birim basamak tepkesi darbe tepkesine dönüştürülebilir.

-Frekans Tepkesi: Bir diğer dinamik model karakteri oluşturma yöntemi ise frekans tepkisinin incelenmesidir. Bunun için sinüs sinyali tercih edilir. Kararlı doğrusal bir sistem girişine sinüs sinyali verdiğimizde, çıkışta farklı genlik ve faza sahip ancak aynı frekansta bir sinüs sinyali bekleriz. Dolayısıyla giriş çıkış arasındaki ilişki genlik ve faz farkı cinsinden ifade edilebilir.

Giriş sinyali frekansı 0’dan sonsuza giderken, sinyalin genliği ve faz farkının arasındaki ilişkiyi gösteren grafiğe Nyquist eğrisi adı verilir.

Bu eğride fazın olduğu en düşük frekans, ‘kritik frekans (ultimate frequency)’ değeri olarak adlandırılır.

4. Birim Basamak YöntemiBir prosesin dinamiği, prosesin darbe, adım, rampa ve diğer belirli sinyallere

verdiği cevaba göre belirlenebilir. Doğrusal bir sistemin dinamiği geçici durum deneyi ile elde edilebilir. PID denetleyici ayarında sıklıkla bu yöntem kullanılmaktadır.

- Birim Basamak Tepkesi: Birim basamak deneyi yapılırken öncelikle sistem dinlenir hale gelene kadar

beklenir. Daha sonra kontrol değişkeni ani olarak değiştirilir ve sonuç olarak proses değişkeni kaydedilir.

Birim basamak tepkesi, proses dinamiklerinin yorumlanması için oldukça basit bir yöntem olduğundan pek çok ayarlama yönteminde kullanılmaktadır.

Ayrıca bu yöntemle matematiksel modeller elde edilebilir ve bu modele göre sisteme uygun kontrol tasarımı yapılabilir.

Açık döngü birim basamak yönteminin çıkış örnekleri bir sonraki slaytta verilmiştir.

-İki Parametreli Model: En basit proses dinamiği parametrik modelidir. İlk parametre proses

kazancıdır. Diğeri ise zaman ilişkisini belirten oturma zamanı ‘dir. Basamak tepkisi aşağıda verilen grafikte alanı şu şekilde ifade edilebilir:

K statik proses kazancıdır. Bu durumda kabaca aşağıdaki gibidir:

Statik kazanç ve ortalama oturma zamanı kullanılarak proses modeli aşağıdaki gibi yaklaşık olarak ifade edilebilir:

Bu model oturma zaman yaklaşım modeli olarak adlandırılır.Diğer yaklaşımda ise sistem bir integratör ve zaman gecikmesiyle iki

parametreli olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Bu ifade a ve L parametresi ile karakterize edilebilir ve bu parametreler grafiksel olarak kolaylıkla bulunabilir. a/L ifadesi s(t) ‘ nin en büyük eğime sahip teğetidir. Dikkat edildiğinde modelin kararsız sistemler için de uygun olduğu görülmektedir. Ayrıca bu model Ziegler-Nichols ayar prosedür için temel bir ifadedir.

Örnek: Transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi verilen yapıya iki farklı modelle yaklaşalım:

Grafikten elde edilen parametrelere göre aşağıdaki modellere ulaşılır:

Grafiklerden de görüldüğü gibi modeli kalıcı durumda ve yüksek frekansta, diğer model ise geçici durumda ve orta frekanslarda daha iyi sonuç vermektedir.

𝐺2𝑎

𝐺2𝑏

G(s)

-Üç Parametreli Model:Parametre sayısını arttırarak daha iyi yaklaşım yapılabilir. Aşağıda üç

parametreli bir model örneği vardır:

Bu model PID denetleyici ayarında en çok kullanılan modeldir. Modelde T zaman sabitini, L ise ölü zamanı ifade eder.

Modelin adım tepkesi aşağıdaki gibidir:

Bu eşitliğin yardımıyla ortalama oturma zamanına aşağıdaki gibi ulaşılabilir:

L ve T değeri proses çıkış grafiğinden bulunabilir. Örnek bir grafik bir sonraki slaytta bulunmaktadır.

T ‘nin grafikten bulunmasında iki farklı yol tercih edilmektedir. Birisinde eğimin K doğrusunu ve zaman eksenini kestiği noktalar arası uzaklık olan IACI uzaklığı, diğerinde ise proses değişkeninin K değerinin %63’üne ulaştığı B noktasına kadar olan IABI uzaklığı T ‘ye eşittir.

Örnek: Transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi verilen yapıya iki farklı modelle yaklaşalım:

Grafikten elde edilen parametrelere göre aşağıdaki modellere ulaşılır:

modelinde C noktası modelinde ise B noktası kullanılmıştır.

’nın zaman sabitinin daha büyük olduğu grafikten de görülmektedir.

𝐺3𝑎

𝐺3𝑏

G(s)

-Bir Diğer Üç Parametreli Model:Bir önceki slaytta tanımlanan 3 parametreli model PID çalışmalarında en

çok kullanılan model olmasına karşın gerçek modelleri tam olarak karşılayamaz. Bu nedenle S-biçimli adım tepkisine daha uygun olan yeni bir 3 parametreli model aşağıda kullanılmıştır.

Bu modelin neden olacağı adım tepkisi şu şekildedir:

Bu model S-şekilli adım tepkisi verir ve gerçek modele paydası birinci derece olan modellere göre daha iyi yaklaşır. Diğer 3 parametreli modeldeki gibi statik kazanç K ve ölü zaman L belirlenir. Eşitlik nümerik olarak çözülerek belirli bir an için T parametresi belirlenebilir.

Örnek: Transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi verilen yapıya iki farklı modelle yaklaşalım:

Grafikten elde edilen parametrelere göre aşağıdaki modele ulaşılır:

Bu modelde T sabiti %63 ‘lük değere karşılık gelen B noktası hesaplanarak bulunmuştur.

-İntegral Elemanı İçeren Sistem Modelleri:Bazı kontrol sistem prosesleri integral elemanlıdır ya da bu sistemlerin çok

büyük zaman sabitleri vardır. Bu durumda sistem açık döngü deneyinde kalıcı duruma asla ulaşamaz. PID ayarında bu sistemleri ayrıca değerlendirmek oldukça kullanışlı olacaktır.

Darbe Tepkisi: Eğer sistem integral elemanı içeriyorsa, birim basamak tepkisi cevabında sistem asla kalıcı duruma ulaşamaz. Bu durumda sistem, asimptotik olarak değişim gösterecektir. Ancak eğer giriş darbe fonksiyonu olursa cevap kalıcı duruma ulaşabilecektir. Bu nedenle dinamikleri belirleyebilmek için girişe küçük genişlikli bir darbe vereceğiz. Cevabın darbe alanlarıyla bölünmesiyle birim basamak tepkisi modeline ulaşılacaktır.

Darbe tepkisiyle elde edilen modelin 1/s ile çarpılmasıyla integratör içeren sistemin modeline ulaşılabilir.

Bu işlem aşağıda bir örnekle açıklanacaktır:

Örnek: Sisteme τ genişlikli birim basamak genlikli bir darbe verdiğimizi düşünelim. Bu durumda prosesin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır:

Birim Basamak Tepkisi: Adım tepkisi yöntemine uygun modeller de integral elemanı içeren yapılarda kullanılabilir. İlk ihtimal adım tepkisinin türevinin alınması ve bir önce anlatılan darbe tepkisi yönteminin uygulanmasıdır.

Daha önce bahsedilen aşağıdaki iki parametreli model de bu yapılarda kullanılabilir.

Bu yapı yüksek frekanslarda oldukça kötü bir yaklaşım sunar ancak alçak frekanslarda modele oldukça uygun cevap verir.

Yüksek frekanslarda daha iyi yaklaşım sunacak model aşağıda verilmiştir:

Modelin adım tepkisi aşağıdaki gibidir:

Kazanç ve oturma zamanı (L+T) aşağıdaki grafikten bulunabilir.

Ölü zaman L ve zaman sabiti T , bir önceki slaytta verilen adım tepkisi fonksiyonu belirli bir nokta için uygulanarak bulunabilir.

Osilasyonlu Sistem Modelleri: Bu tip sistemlerin birim basamak cevapları aşağıdaki gibidir:

Bu tip sistemlere kabaca iki parametreli modellerle yaklaşılabilir ancak bu durumda oldukça kötü sonuçlar alınır çünkü iki parametreli model osilasyon yapısı sunmaz. Bu nedenle 3 parametreli yeni bir model aşağıda verilmiştir.

Bu model statik kazanç K, doğal frekans ω ve bağıl sönümlenme ζ olmak üzere 3 parametre içermektedir. Bu parametreler adım tepkisinden yaklaşık olarak belirlenebilir.

Osilasyon periyodu ve sönüm oranı d ilk önce grafikten belirlenir. Daha sonra aşağıdaki eşitlikler yardımıyla ω ve ζ parametrelerine ulaşılır.

6. Frekans TepkisiNyquist eğrisindeki kritik noktaları belirlemede kullanılan iki yöntem

aşağıda sunulmuştur. Her iki yöntem de uygun frekansta sinüsler üretmek için geri besleme kullanımı fikrine dayanır.

- Ziegler Nichols Frekans Tepkisi Yöntemi:Ziegler ve Nichols Nyquist eğrisinden deneysel olarak kritik noktanın

belirlenmesi için bir yöntem sunmuştur.Yöntem basitçe, her geri beslemeli sistemin uygun bir kazanç değeri

seçildiğinde osilasyona sokulabileceği fikrine dayanır.

Prosesin, kazanç ayarlanarak kararlılık sınırına getirildiği varsayılsın. Bu durumda kontrol sinyali ve proses çıkışı ‘lik faz farkı olan sinüslerdir. Oransal kazanç nedeniyle matematiksel ilişkiler aşağıdaki gibi olacaktır:

Basit olması için giriş referans değerinin sıfır olduğunu varsayalım. Sistemin osilasyonda kalabilmesi için sistemi kararlılık sınırına getirecek kazanç değerine kritik kazanç() denir.

Ziegler Nichols frekans tepki yöntemi basit bir uygulama olması nedeniyle avantajlıdır ancak bunun yanında bu deneyi otomatikleştirmek ya da osilasyon genliğini kontrol altında tutmak oldukça zordur. Ayrıca endüstriyel prosesleri kararlılık sınırında çalıştırmak tehlikeli olabilir.

- Röleli Geri Besleme:Nyquist eğrisindeki kritik noktaları belirlemek için uygun osilasyonlar

üretecek alternatif bir yöntem de röleli geri beslemedir. Bunun için sistem aşağıdaki gibi bağlanır.

Pek çok sistemde kontrol sinyali kare dalga olduğunda osilasyon gerçekleşir ve proses çıkışı sinüs benzeri bir dalga halini alır.

Giriş ve çıkış arasındaki bu ilişki aşağıda gösterilmiştir.

Proses girişinin ve çıkışının zıt fazlarda olduğuna dikkat ediniz.

Sistemin nasıl çalıştığını anlamak için röleli çıkışın Fourier serisi ile açıldığını ve sistemin yüksek harmonik etkilerini azalttığını düşünelim. Bu durumda giriş için sadece ilk harmonik değerlendirmeye alınacaktır. Giriş ve çıkışın zıt fazda olması, osilasyon frekansının kritik frekansta olduğunu gösterir. Eğer d rölenin genliği ise kare dalganın ilk harmoniği genlikli olacaktır.

a’ nın proses çıkışındaki osilasyon genliği olduğunu düşünelim. Bu durumda:

Röle deneyinin kolaylıkla otomatize edilebileceğine dikkat ediniz. Osilasyon genliği röle çıkışıyla orantılı olduğundan genliğin röle ile kontrol edilmesi oldukça kolaydır. Ayrıca kararlı bir osilasyonun oldukça hızlı bir şekilde elde edilebildiğine de dikkat ediniz.