Tugas Aljabar Matriks II ( Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks)

Dosen Pengampu : Dra. Hj. Ade Rohayati, M.Pd

Disusun oleh :Fitri Sabrina

1100113Pend. Matematika A 2011

21 Februari 2012

1. Sifat penjumlahan matriks :Akan dibuktikan bahwa : A + B = B + A

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] + [b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ] =

[a11+b11 a12+b12 ⋯ a1n+b1na21+b22 a22+b22 ⋯ a2n+b2n

⋮ ⋮ ¿ ¿am2+bm2¿⋯¿amn+bmn¿]

=

[b11+a11 b12+a12 ⋯ b1n+a1nb22+a21 b22+a22 ⋯ b2n+a2n

⋮ ⋮ ¿ ¿bm2+am2¿⋯¿bmn+amn¿]

= [b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ] +

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿]

∴ Terbukti bahwa sifat komutatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks A + B = B + A dengan syarat A, B berordo sama (mxn)

2. Sifat penjumlahan matriks : Akan dibuktikan bahwa : A + (B + C) = (A + B) + C

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] + ([b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ] +

[ c11 c12 ⋯ c1nc21 c22 ⋯ c2n⋮ ⋮ ¿ ¿

cm2¿⋯¿cmn¿]) = [a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] + [b11+c11 b12+c12 ⋯ b1n+c1nb22+c21 b22+c22 ⋯ b2n+c2n

⋮ ⋮ ¿ ¿bm2+cm2¿⋯¿bmn+cmn¿ ]

= [ a11+b11+c11 a12+b12+c12 ⋯ a1n+b1n+c1na21+b22+c21 a22+b22+c22 ⋯ a2n+b2n+c2n

⋮ ⋮ ¿ ¿am2+bm2+cm2¿⋯¿amn+bmn+cmn¿]

∴ Terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks A + (B + C) = (A + B) + C

dengan syarat A, B berordo sama (mxn)

3. Sifat perkalian matriks : Akan dibuktikan bahwa : A(B + C) = AB + AC

[a11 ⋯ a1n⋮ ¿ ¿

⋯¿amn¿ ] ∙([b11 ⋯ b1n⋮ ¿ ¿

⋯¿bmn¿]+[c11 ⋯ c1n⋮ ¿ ¿

⋯¿cmn¿]) = [a11 ⋯ a1n

⋮ ¿ ¿⋯¿amn¿ ] ∙[b11+c11 ⋯ b1n+c1n

⋮ ¿ ¿⋯¿bmn+cmn¿ ]

= ¿

[a11b11+a1nbm1 ⋯ a11b1n+a1nbmn⋮ ¿ ¿

⋯¿am1b1n+amnbmn¿] +

[a11c11+a1ncm1 ⋯ a11c1n+a1n cmn⋮ ¿ ¿

⋯¿am1 c1n+amncmn¿] = ¿

∴ Terbukti bahwa sifat distributif berlaku pada operasi perkalian matriks A(B + C) = AB + AC dengan syarat A, B, dan C berordo sama (mxn)

4. Sifat transpose matriks : Akan dibuktikan bahwa : (A + B)T = AT + BT

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿]+[b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿]= [a11+b11 a12+b12 ⋯ a1n+b1na21+b22 a22+b22 ⋯ a2n+b2n

⋮ ⋮ ¿ ¿am2+bm2¿⋯¿amn+bmn¿]

= [a11+b11 a21+b22 ⋯ am1+bm1a12+b12 a22+b22 ⋯ am2+bm2

⋮ ⋮ ¿ ¿a2n+b2n¿⋯¿amn+bmn¿]

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] → [a11 a21 ⋯ am1a12 a22 ⋯ am2⋮ ⋮ ¿ ¿

a2n¿⋯¿amn¿] [b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ]→ [b11 b21 ⋯ bm1b12 b22 ⋯ bm2⋮ ⋮ ¿ ¿

b2n¿⋯¿bmn¿ ]∴ Terbukti bahwa sifat transpose matriks berlaku pada (A + B)T = AT + BT dengan syarat A, B berordo sama

(mxn)

Akan dibuktikan bahwa : (AT)T = A

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] → [a11 a21 ⋯ am1a12 a22 ⋯ am2⋮ ⋮ ¿ ¿

a2n¿⋯¿amn¿]= [a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿]

∴ Terbukti transpose matriks (AT)T = A

Akan dibuktikan bahwa : (A ∙ B)T = (B)T ∙ (A)T

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] ∙ [b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ]=

[a11b11+a12 b21+a1nbm1 a11b12+a12b22+a1nbm2 ⋯ a11b1n+a12b2n+a1nbmna21 b11+a22b21+a2nbm1 a21b12+a22b22+a2nbm2 ⋯ a21b1n+a22b2n+a2nbmn

⋮ ⋮ ¿ ¿am1b12+am2b22+amnbm2¿⋯¿am1b1n+am2b2n+amn bmn¿]

=

[a11b11+a12 b21+a1nbm1 a21b11+a22b21+a2nbm1 ⋯ am1b11+am2b21+amnbm1a11b12+a12b22+a1nbm2 a21b12+a22b22+a2nbm2 ⋯ am1b12+am2b22+amnbm2

⋮ ⋮ ¿ ¿a21b1n+a22b2n+a2nbmn¿⋯¿am1b1n+am2b2n+amn bmn¿]

=

[b11 a11+b21 a12+bm1a1n b11a21+b21a22+bm1a2n ⋯ b11am1+b21am2+bm1amnb12 a11+b22a12+bm2a1n b12a21+b22a22+bm2a2n ⋯ b12am1+b22am2+bm2amn

⋮ ⋮ ¿ ¿b1na21+b2na22+bmna2n¿⋯¿b1nam1+b2nam2+bn2amn¿]

= [b11 b21 ⋯ bm1b12 b22 ⋯ bm2⋮ ⋮ ¿ ¿

b2n¿⋯¿bmn¿ ] ∙ [a11 a21 ⋯ am1a12 a22 ⋯ am2⋮ ⋮ ¿ ¿

a2n¿⋯¿amn¿]∴ Terbukti transpose matriks (A ∙ B)T = (A)T ∙(B)T , dengan syarat A, B berordo sama (mxn)

Akan dibuktikan bahwa : (k ∙ A)T = k(A)T

k [a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] = [k .a11 k .a12 ⋯ k .a1nk .a21 k .a22 ⋯ k .a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

k .am2¿⋯¿k . amn¿]= [k .a11 k .a21 ⋯ k .am1k .a12 k .a22 ⋯ k .am2⋮ ⋮ ¿ ¿

k .a2n¿⋯¿k .amn¿] = k [a11 a21 ⋯ am1

a12 a22 ⋯ am2⋮ ⋮ ¿ ¿

a2n¿⋯¿amn¿] ∴ Terbukti transpose matriks (k ∙ A)T = k(A)T , di mana k adalah sebarang skalar

5. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka : Akan dibuktikan bahwa : A−1 dapat dibalik dan (A−1)-1

Karena AA−1 = A−1 A = I, maka A−1 dapat dibalik dan (A−1)-1 = A

∴ Terbukti bahwa A−1 dapat dibalik dan (A−1)-1

Akan dibuktikan bahwa : An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, ... = (AA ⋯ A)-1 , (n > 0)

Faktor n

= (A-1 A-1 ⋯ A-1)n

Faktor n ∴ Terbukti (An)-1 = (A-1)n

Akan dibuktikan bahwa : Untuk ∀ k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1k A-1

= 1k (kA)A-1

= 1k k (AA-1)

= 1 (I) = I

∴ Terbukti bahwa (1k A−1) (kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1k A-1

6. Sifat –sifat trase Akan dibuktikan bahwa : Trase (A + B) = Trase A + Trase B

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿]+[b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿] = [a11+b11 a12+b12 ⋯ a1n+b1na21+b22 a22+b22 ⋯ a2n+b2n

⋮ ⋮ ¿ ¿am2+bm2¿⋯¿amn+bmn¿]

= a11+b11 + a22+b22 + amn+bmn = ( a11 + a22 + amn) + (b11 + b22 + bmn )

∴ Terbukti bahwa Trase ( A + B) = Trase A + Trase B, dengan syarat A, B berordo sama (mxn) Akan dibuktikan bahwa : Trase ( Inxn ) = n , n= 2

= [1 00 1]

= 1 + 1= 2

∴ Terbukti bahwa Trase ( Inxn ) = n Akan dibuktikan bahwa : Trase ( A )T = Trase A

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] → [a11 a21 ⋯ am1a12 a22 ⋯ am2⋮ ⋮ ¿ ¿

a2n¿⋯¿amn¿] = a11 + a22 + amn → = a11 + a22 + amn

∴ Terbukti bahwa Trase (A)T = Trase A , dengan A adalah matriks persegi

Akan dibuktikan bahwa : Trase (k(A)) = k . Trase A

k[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] → [k .a11 k .a12 ⋯ k .a1nk .a21 k .a22 ⋯ k .a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

k .am2¿⋯¿k .amn¿] = k .a11 + k .a22 + k .amn

∴ Terbukti bahwa Trase (k(A)) = k . Trase A, k adalah sebarang skalar7. Sifat perkalian skalar

Akan dibuktikan bahwa : k (A + B) = k . A + k . B

k .[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] + [b11 b12 ⋯ b1nb21 b22 ⋯ b2n⋮ ⋮ ¿ ¿

bm2¿⋯¿bmn¿ ] =

[k (a¿¿11+b11)¿k (a¿¿12+b12)¿⋯ k (a1n+b1n )k (a21+b22) ¿

⋯¿k (a2n+b2n)¿⋮ ¿⋮ ¿¿ ⋮ ¿k (am1+bm1)¿k (am2+bm2)¿⋯¿k (amn+bmn)¿]∴ Terbukti bahwa perkalian skalar k (A + B) = k . A + k . B dengan A, B berordo sama (mxn) dan k sebarang

skalar Akan dibuktikan bahwa : A . -1 = −¿A

[a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ¿ ¿

am2¿⋯¿amn¿] . -1 =

[−1(a¿¿11)¿−1 (a12) ⋯ −1 (a1n )−1 (a21 ) −1(a¿¿22)¿⋯ ¿

⋮ ¿¿ ⋮ ¿−1 (am1 )¿−1 (am2 )¿⋯¿−1 (amn )¿ ]∴ Terbukti bahwa A . -1 = −¿A dengan A adalah matriks persegi