pembahasan uts kalkulus lanjut1(1)
DESCRIPTION
ayhiaTRANSCRIPT
-
PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013
1. Pilih 1 (a atau b).
a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh = 2 dengan r jari-jari dan h
tinggi. Jika h dipertahankan tetap di h = 10 inci, carilah laju perubahan V terhadap r pada
saat r = 6 inci!
Jawab:
Persamaan volume tabung lingkaran tegak adalah:
= 2.
Mencari laju perubahan V terhadap r, berarti mencari turunan parsial pertama terhadap
variabel r, yaitu:
=
2 = 2r
Jadi, laju perubahan V terhadap r pada saat r = 6 inci dan h = 10 inci adalah:
6,10
= 2. . 6.10 = 120 376.99 in2
b. Jika , = cos(22 2), tentukan 3(,)
2 !
Jawab:
=
(cos(22 2))
=
(cos(22 2)).
(22 2)
= sin 22 2 . 4
= 4 sin 22 2
2
2=
=
4 sin 22 2
= 4.
(sin 22 2 ).
22 2 + sin 22 2 .
(4)
= 4. [cos 22 2 . 4] + [sin 22 2 ]. (4)
= 162 . cos 22 2 4 sin 22 2
3
2=
2
2
=
162 . cos 22 2 4 sin 22 2
= 162 .
(cos 22 2 ) .
22 2 4.
(sin 22 2 ) .
22 2
= 162 . [sin 22 2 . 2 ] 4 . [cos 22 2 . (2)
= 322. sin 22 2 + 8 . cos 22 2
R
-
2. Selidikilah kekontinuan fungsi g yang didefinisikan
, =
2 + 2, , 0,0
0, , = 0,0
Jawab:
g dikatakan kontinu di (0,0) jika memenuhi syarat berikut:
i) g(0,0) = 0 (ada)
ii) Apakah limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0)
Berikut ini akan diselidiki dengan mengubah persamaan ke koordinat kutub.
lim , (0,0)
2 + 2= lim
0 cos . sin
2
= lim0
2 cos sin
= lim0
2 cos sin
= lim0
. cos sin
= lim0
cos sin
= 0 cos sin
= 0
Jadi, dapat disimpulkan bahwa limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0), yaitu 0.
iii) Dari i) dan ii) diperoleh
lim , (0,0)
2 + 2= 0 = (0,0)
Berdasarkan i) iii) dapat disimpulkan bahwa g kontinu di (0,0).
3. Diberikan fungsi , , = + 2. Carilah vektor gradien fungsi dan persamaan bidang
singgung yang terletak di p = (2,0,-3)!
Jawab:
Turunan parsial pertama fungsi f adalah:
=
+ 2 = + 2
=
+ 2 =
=
+ 2 =
Vektor gradien fungsi f di (2,0,-3) adalah:
, , = + 2 + + = + 2, ,
2,0,3 = 0. (3) + 2.2 + 2. (3) + 2.0 = 4 6 = 4,6,0
-
Persamaan bidang singgung fungsi f di (2,0,-3) adalah:
= 2,0,3 + 2,0,3 . 2, , + 3
= 4 + 4,6,0 . 2, , + 3
= 4 + 4 8 6
= 4 6 4
4. Misalkan fungsi h didefinisikan dengan , , = 3 22 dan titik p = (-2,1,3).
a. Tentukan turunan berarah fungsi h di titik p pada arah vektor a = i 2j + 2k!
b. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di titik p!
c. Berapa laju perubahan dari (b)?
Jawab:
a. Turunan berarah fungsi h di (-2,1,3) pada arah a = i 2j + 2k
Vektor satuan u pada arah a adalah:
=
=
2+2
12+ 2 2+2^2 =
2+2
9=
2+2
3=
1
3
2
3 +
2
3 =
1
3,2
3,
2
3
Turunan parsial pertama fungsi h adalah:
=
3 22 = 32
=
3 22 = 3 22
=
3 22 = 22
Turunan berarah fungsi h pada arah vektor satuan u adalah:
2,1,3 =1
3. 3. 2 2. 1 +
2
3 . 2 3 2.1.32 +
2
3. 2 . 12. 3
=1
3. 12 +
2
3 . 26 +
2
3. 6
=12
3+
52
3
12
3
=52
3
b. Vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di (-2,1,3).
2,1,3 = 3. 2 2. 1 + 2 3 2.1.32 + 2 . 12. 3
= 12 26 6
= 12,26,6
Sehingga vektor satuan fungsi h adalah:
12,26,6
12,26,6 =
12,26,6
122 + 26 2 + 6 2=
12,26,6
144 + 676 + 36= 12,26,6
856
c. Laju perubahan b) adalah 12,26,6 = 856 29.26
-
SKOR Soal 1. 10
Soal 2. 20
Soal 3. 30
Soal 4a. 20
Soal 4b. 15
Soal 4c. 5
Untuk soal kode L analog dengan kode R.
Beni Asyhar, S.Si, M.Pd