PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS INTEGRALSEMESTER GANJIL 2015/2016

Oleh: Beni Asyhar, S.Si., M.Pd.

TIPE SOAL A

1. Hitunglah integral tak tentu berikut!

(a)´ (Z2+1)

2

√Z

dz

Jawab:

ˆ(z2 + 1)2√

zdz =

ˆ (z4 + 2z2 + 1

)·z− 1

2 dz

=

ˆz

72 + 2z

32 + z−

12 dz

=2

9z

92 +

4

5z

52 + 2z

12 + C

(b) =´

3t 3√

(2t2 − 11)dt

Jawab:

Misalkan u = (2t2 − 11) maka du = 4t dt atau dt = du4t

ˆ3t 3√

(2t2 − 11)dt =

ˆ3t(2t2 − 11

) 13 dt

=

ˆ3

4(4t)

(2t2 − 11

) 13 dt

=3

4

ˆu

13 du

=3

4·34u

43 + C

=9

16u

43 + C

=3

4(2t2 − 11)

43 + C

2. Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = x3 pada selang [0,1]! Petunjuk: bagilah selang[0,1] menjadi n selang bagian yang sama, kemudian hitunglah luas daerah menggunakanpoligon dalam atau poligon luar dengan menganggap n mendekati ∞.

Jawab:

1

∆x = 1n , xi = i

n , f(xi).∆x =(in

)3(1n

)= i3

n4

Sehingga,

A (Sn) =

n∑i=1

i3

n4

=1

n4

n∑i=1

i3

=1

n4

[n(n+ 1)

2

]2=

1

n4

[n4 + 2n3 + n2

4

]=

1

4

[n4 + 2n3 + n2

n4

]=

1

4

[1 +

2

n+

1

n2

]Jadi,

limn→∞

A (Sn) = limn→∞

1

4

[1 +

2

n+

1

n2

]=

1

4

3. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh y = x+ 4 dan y = x2 − 2 dan tentukan luasnya!

Jawab:

Titik potong kurva adalah:

x+ 4 = x2 − 2 ⇔ x2 − x− 6 = 0 ⇔ (x+ 2) (x− 3) = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 3

∆A≈[(x+ 4)−

(x2 − 2

)]∆x =

(−x2 + x+ 6

)∆x

Sehingga,

A =

ˆ 3

−2

(−x2 + x+ 6

)dx

=

[−1

3x3 +

1

2x2 + 6x

]3−2

=

(−9 +

9

2+ 18

)−(

8

3+ 2− 12

)=

125

6

Jadi, luas daerah tersebut adalah 1256

2

4. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y = 4− x2,sumbu-x, garis x = 0, dan x = 2 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x menggunakan:

(a) Metode cakram/cincin

Jawab:

∆V≈π(4− x2

)2∆x = π

(16− 8x2 + x4

)∆x

V = π

ˆ 2

0

(16− 8x2 + x4

)dx

= π

[16x− 8

3x3 +

1

5x5]20

= π

[(32− 64

3+

32

5

)− (0)

]=

256

15π

(b) Metode kulit tabung

Jawab:

∆V≈2π�y(√

4− y)

∆y = 2π(16− 8x2 + x4

)∆x

V = 2π´ 40y(√

4− y)dy

Misalkan u = 4− y → y = 4− u dan dy = −du, sehingga:

V = 2π

ˆ 4

0

(4− u)(u

12

)(−du)

= −2π

ˆ 4

0

(4u

12 − u 3

2

)du

= −2π

[8

3u

32 − 2

5u

52

]40

= −2π

[8

3(4− y)

32 − 2

5(4− y)

52

]40

= −2π

[(0)−

(8

3(4)

32 − 2

5(4)

52

)]= −2π

[−128

15

]=

256

15π

3

TIPE SOAL B

1. Hitunglah integral tak tentu berikut!

(a)´ s(s+1)2√

sds

Jawab:

ˆs(s+ 1)2√

sds =

ˆs(s2 + s+ 1

)·s− 1

2 ds

=

ˆ (s3 + 2s2 + s

)·s− 1

2 ds

=

ˆs

52 + 2s

32 + s

12 ds

=2

7s

72 +

4

5s

52 +

2

3s

32 + C

(b)´

3y√2y2+5

dy

Jawab:

Misalkan u = (2y2 + 5) maka du = 4y dy atau dy = du4y

ˆ3y√

2y2 + 5dy =

ˆ3y(2y2 + 5

)− 12 dy

=

ˆ3

4(4y)

(2y2 + 5

)− 12 dy

=3

4

ˆu−

12 du

=3

4·2u 1

2 + C

=3

2u

12 + C

=3

2(2y2 + 5)

12 + C

2. Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = x3 +x pada selang [0,1]! Petunjuk: bagilah selang[0,1] menjadi n selang bagian yang sama, kemudian hitunglah luas daerah menggunakanpoligon dalam atau poligon luar dengan menganggap n mendekati ∞.

Jawab:

∆x = 1n , xi = i

n , f(xi).∆x =[(

in

)3 + i

n

] (1n

)= i3

n4 + in2

4

Sehingga,

A (Sn) =

n∑i=1

i3

n4+

i

n2

=1

n4

n∑i=1

i3 +1

n2

n∑i=1

i

=1

n4

[n(n+ 1)

2

]2+

1

n2

[n(n+ 1)

2

]=

1

n4

[n4 + 2n3 + n2

4

]+

1

n2

[n2 + n

2

]=

1

4

[n4 + 2n3 + n2

n4

]+

1

2

[n2 + n

n2

]=

1

4

[1 +

2

n+

1

n2

]+

1

2

[1 +

1

n

]Jadi,

limn→∞

A (Sn) = limn→∞

1

4

[1 +

2

n+

1

n2

]+

1

2

[1 +

1

n

]=

1

4+

1

2=

3

4

3. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh y = −x+ 2 dan y = x2 dan tentukan luasnya!

Jawab:

Titik potong kurva adalah:

−x+ 2 = x2 ⇔ x2 + x− 2 = 0 ⇔ (x+ 2) (x− 1) = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 1

∆A≈[(−x+ 2)−

(x2)]

∆x =(−x2 − x+ 2

)∆x

Sehingga,

A =

ˆ 1

−2

(−x2 − x+ 2

)dx

=

[−1

3x3 − 1

2x2 + 2x

]1−2

=

(−1

3− 1

2+ 2

)−(

8

3− 2− 4

)=

9

2

Jadi, luas daerah tersebut adalah 92

5

4. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y = 4− x2,sumbu-y, garis y = 0, dan y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y menggunakan:

(a) Metode cakram/cincin

Jawab:

Karena diputar sumbu-y, maka persamaan y = 4 − x2diubah menjadi x =√

4− y,sehingga:

∆V≈π(√

4− y)2

∆y = π (4− y) ∆y

V = π

ˆ 4

0

(4− y) dy

= π

[4y − 1

2y2]40

= π [(16− 8)− (0)]

= 8π

(b) Metode kulit tabung

Jawab:

∆V≈2π�x(4− x2

)∆x = 2π

(4x− x3

)∆x

Kemudian jika y = 0, maka x = 2, sehingga:

V = 2π

ˆ 2

0

(4x− x3

)dx

= 2π

[2x2 − 1

4x4]20

= 2π [(8− 4)− (0)]

= 8π

6