një vështrim mbi konceptet e...

1

Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit

Qëllimet: Pas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:

Të kuptoni konceptet bazë të probabilitetit si eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja.

Të kuptoni qasjet klasike, empirike dhe subjektive të probabilitetit dhe të bëni dallimet në mes të tyre.

Të kuptoni dhe përdorni disa nga rregullat e probabiliteteve për të përcaktuar probabilitetin që një ngjarje do të ndodhë.

Të kuptoni probabilitetin e kushtëzuar dhe probabilitetin e përbashkët.

Të konstruktoni dhe interpretoni diagramin në formë peme me ngjarjet vijuese.

Të përdorini Teoremën e Bayes-it dhe informatat plotësuese për të rishikuar probabilitetet.

Të njihni disa nga rregullat e llogaritjes së rasteve të mundshme (permutacionet, variacionet, kombinacionet).

Probabiliteti

Probabiliteti është një matës numerik për

gjasat se një ngjarje do të ndodhë.

Probabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në

mes të 0 dhe 1.

Shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve

reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/ duhet

të jetë i barabartë me 1.

E sigurt

E pamundur

0.5

1

0

0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A

1P(C)P(B)P(A) Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht

përjashtuese dhe te domosdoshme

2

Definicionet

Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe 1.

Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) i disa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien deri te paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disa vrojtime të mundshme.

Rezultati: Rezultati i pjesshëm i një eksperimenti.

Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumë rezultateve të një eksperimenti.

Hapësira e mostrës/ Rezultatet e mundshme

5-3

Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme

Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha

ngjarjeve të mundshme

p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):

P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):

3

Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës

Eksperimenti Rezultati

Hapësira e mostrës

Gjuajtja e monedhës Stema (S) , numri (N) S= { Stema, Numri}

Gjuajtja e zarit 1,2,3,4,5,6 S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}

Gjuajta e monedhës dy herë NN, NS, SN, SS S = {NN, NS, SN, SS}

Loja në lotari Fitim, Humbje S ={ Fitim, Humbje}

Dhënja e provimit Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}

Zgjedhja e studentëve Mashkull, Femër S= {Mashkull, Femër}

Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit

Qasjet e probabilitetit

Objektive

Probabiliteti klasik

Bazohet në rezultatet me gjasa

të barbarta

Probabiliteti empirik

Bazohet në frekuenca relative

Subjektive

Bazohet në informata të

disponueshme

4

Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit

Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt:

1. a priori probabiliteti klasik

2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative

3. Probabiliteti subjektiv

numri i rezultateve te favorshmeprobabiliteti

n numri rezultateve te mundshme

m

total i

Një vlerësim apo opinion individual rreth probabilitetit të

ndodhjes së ngjarjes.

=

Frekuenca e ngjarjes A fP A

Frekuencat totale f

Qasjet e probabilitetit

Probabiliteti klasik

Qasja klasike e probabilitetit apo shpesh i quajtur edhe probabiliteti a priori

aplikohet në rastet kur rezultatet e një eksperimenti kanë gjasa të barabarta të

ndodhin si dhe probabilitetet e tyre janë të njohura paraprakisht (apriori).

Sipas konceptit të probabiliteti klasik, probabiliteti i ngjarjes elementare dhe

ngjarjeve të përbëra, fitohet ashtu që numri i rezultateve të favorshme -m ( që

presim me ndodhë) vihen në raport me numrin e përgjithshëm të rezultateve të

mundshme n, gjegjësisht:

5-4

Numri i rezultateve në ngjarjen AP(A)

n Numri rezultateve të mundshme

m

total i

5

Shembull:

Kemi gjuajtur zarin me gjashtë faqe. Gjeni

probabilitetin për secilën ngjarje:

Ngjarja A: me ra numri 3

Ngjarja B: Me ra numri 7

Ngjarja C: me ra numri më i vogël se 5.

Ngjarja D: me ra numër qift.

Zgjidhje

Me rastin e hudhjes së zarit, ngjarjet elementare janë njëlloj të mundshme dhe

hapësira e mostrës përbëhet nga gjashtë rezultate: S= {1,2,3,4,5,6}, pra kemi

gjashtë raste të mundshme me probabilitet të njëjtë dhe paraprakisht (apriori) të

njohur.

a. Ka një rezultat në ngjarjen A={3}, kështu: P( me ra 3)=1/6 = 0.167

b. Me qenë se 7 nuk është në hapësirën e mostrës, atëherë nuk kemi rezultat në

ngjarjen B. Kështu: P(me ra 7)=0/6=0

c. Janë katër rezultate në ngjarjen C={1,2,3,4}. Kështu:

Meqenëse janë tri rezultate në ngjarjen D = {2, 4, 6}, atëherë P(D)= 3/6=1/2.

5 4 / 6 0.667P me ra numër më i vogël se

6

SHEMBULL 1

Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy

monedhave metalike në të njejtën kohë.

Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS}

Marrim në konsiderim ngjarjen për një N.

Probabiliteti për me ra nje herë numri =2/4 = 1/2.

5-5

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të

papajtueshme

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të

papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje

nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të

njejtën kohë.

Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e

mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të

papajtueshme.

5-6

7

Ngjarjet e domosdoshme

Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një

ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment.

Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme

janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera

shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 +

0.25 + 0.25).

5-7

Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik

Qasja a-posteriori

Probabiliteti empirik (ose statistikor) është i bazuar në

vrojtimet e siguruara nga ekperimenti probabilitar.

Probabiliteti empirik i ngjarjes A është frekeuenca

relative e ngajrjes A, gjegjësisht :

5-8

=

Frekuenca e ngjarjes A fP A

Frekuencat totale f

8

Mosha e të papunëve

(vjet)

Nr. i të papunëve ( 000)

f

15-25 50.4

25-35 56

35-45 39

45-55 23.9

55-65 7.6

Gjithsej: 15-65 176.7

SHEMBULL: Agjencia e Statistikave të Kosovës (ASK) ka filluar realizimin e Anketës së Fuqisë

Punëtore (AFP) në vitin 2001 duke vazhduar pothuajse në baza vjetore . Sipas rezultateve të Anketës

së fuqisë punëtore për vitin 2014, shpërndarja e frekuencave të papunëve sipas moshës është si në

tabelën vijuese:

Nëse rastësisht zgjedhet një i papunë, përcaktoni probabilitetin që personi i zgjedhur i papunë

është i moshës:

a) Në mes të 25 dhe 35 vjet; b) Në mes të 25 dhe 55 vjet; c) Nën 45 vjet.

Zgjidhje

Kolona e dytë e tabelës tregon se gjithsej të papunë në Kosovë

janë 176.7(000) persona, gjegjësisht N ose ∑ f =176.7 mijë.

a.) Ngjarja që jemi të interesuar me ndodhë është A- Personi i

papunë është i moshës 25 deri 35 vjet. Tabela na tregon se numri

i personave që janë të papunë të kësaj moshe është 56 mijë,

kështu frekuenca f = 56 mijë. Duke aplikuar qasjen e probabilitetit

empirik, ne gjejmë probabilitetin që personi i zgjedhur i papunë

është i moshës 25-35 vjet është 0. 32.

Interpretimi: 32% e të papunëve në Kosovë janë në mes të moshës

25 deri në 35 vjet.

56 = 0.32

176.7

Frekuenca e ngjarjes AP A

Frekuencat totale

9

Ngjarja që jemi të interesuar me ndodhë është B - Personi i

papunë është i moshës 25 deri 55 vjet. Tabela na tregon se

numri i personave që janë të papunë të kësaj moshe është 56

+39+23.9 mijë ose 118.9 mijë, kështu frekuenca f =118.9

mijë. Duke aplikuar qasjen e probabilitetit empirik, ne

gjejmë probabilitetin që personi i zgjedhur i papunë është i

moshës 25-55 vjet është 0. 673.

Interpretimi: 67.3 % e të papunëve në Kosovë janë në mes të

moshës 25 deri në 55 vjet.

118.9 = 0.673

176.7

Frekuenca e ngjarjes BP B

Frekuencat totale

Ngjarja që jemi të interesuar me ndodhë është C - Personi i

papunë është nën 45 vjet . Tabela na tregon se numri i

personave që janë të papunë më të ri se 45 vjet janë

39+56+50.4 mijë ose 145.4 mijë, kështu frekuenca f=145.4

mijë. Duke aplikuar qasjen e probabilitetit empirik, ne

gjejmë probabilitetin që personi i zgjedhur i papunë është i

nën moshën 45 vjeçare është 0. 823.

Interpretimi: 82.3 % e të papunëve në Kosovë janë nën moshën

45 vjeçare.

145.4 = 0.823

176.7

Frekuenca e ngjarjes CP C

Frekuencat totale

10

SHEMBULL:

Bekimi dëshiron të vlerësojë probabilitetin që një familje e zgjedhur

rastësisht në qytetin e tij ka shtëpinë e vet. Supozojmë se Bekimi ka

zgjedhur një mostër prej 1500 familjeve nga qyteti dhe ka kuptuar se

1100 prej tyre disponojnë me shtëpi të veten, kurse 400 nuk disponojnë me

shtëpi të veten.

Sa është probabiliteti që një familje e zgjedhur në mënyrë të rastit ka

shtëpnë e vet?

Zgjidhje

Nga shembulli kemi këto informata:

∑f=1500 - madhësia e mostrës; f=1100 - numri i familjeve që disponojnë

me shtëpi të veten. Prej këtu:

Interpretimi: 75% e familje në qytetin e Bekimit kanë shtëpinë e vet.

1100

P Familja e zgjedhur rast sisht disponon me sht pi t veten =0.731500

fë ë ë

f

Ligji i Numrave të mëdhenj

Ne e vërejmë se frekuencat relative nuk janë probabilitete reale por përafrim i

probabiliteteve. Mirëpo nëse eksperimenti përsëritet shumë herë, ky përafrim i

probabiliteteve të ndonjë rezultati të fituar përmes frekuencave relative do t’i afrohet

shumë probabilitetit real (teorik) të atij rezultati. Kjo është e njohur si Ligji i numrave

të mëdhenj.

Ligji i numrave të mëdhenj: Nëse një eksperiment përsëritet shumë herë, probabiliteti i

ngjarjes së fituar përmes frekuencave relative i afrohet probabilitetit real apo probabilitetit

teorik.

Si një shembull për të ilustruar Ligjin e numrave të mëdhenj, supozojmë se dëshirojmë të

përcaktojmë probabilitetin se me rastin e hedhjes së monedhës do të bjerë Numri.

Nëse e hedhin 10 herë monedhën dhe vetëm në tri raste bien numri, atëherë ne fitojmë

probabilitetin empirik prej 3/10. Meqenëse ne kemi gjuajtur monedhën vetëm pak herë,

atëherë probabiliteti empirik prej 3/10 nuk është përfaqësues i probabilitetit teorik që

është ½. Megjithatë, nëse e gjuajmë shumë herë monedhën, me mija herë , atëherë Ligji

i numrave të mëdhenj na thotë se probabiliteti empirik do të jetë shumë afër probabiliteti

teorik prej 0.5.

11

Probabiliteti subjektiv/ Qasja subjektive

Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të veçanta.

Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon:

- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve.

- Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj.

5-10

Disa rregulla të probabilitetit

Rregullat e

probabilitetit

Rregullat e

mbledhjes

(aditive )

Rregulla e

veçantë

aditive

Rregulla e

plotësuese

komplementare

Rregulla e

përgjithshme

aditive

Rregullat e

multiplikatorit

(të shumëzimit)

Rregulla e

veçantë e

multiplikatorit

Rregulla e

përgjithshme

e multiplikatorit

12

Rregullat bazë të probabilitetit

Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e

ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera.

Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë

reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se

probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën

e probabiliteteve të tyre.

P(A ose B) = P(A) + P(B)

Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) = P(A) + P(B) + P(C)

5-11

Shembull

Një makinë automatike mbush qese të plastikës me perime të ndryshme. Shumica prej tyre janë mbushur në mënyrë pothuajse korrekte, disa më pak e disa më shumë.

• Sa është probabiliteti që pakot

në përgjithësi të jenë më pak të

mbushura ose më shumë të

mbushura.

13

Pesha Ngjarja Nr.i paketimeve Probabiliteti

Më pak se normalja A 100 0.025

Pesha normale B 3600 0.9

Më shumë se normalja C 300 0.075

Totali 4000 1

Shembull-vazhdim

• P(A ose C)= P(A)+P(C)=

0.025 + 0.075 = 0.1

Shembull

Shembull. Rektori i Universitetit ka propozuar që të

gjithë studentët duhet të dëgjojnë një kurs nga gjuhë

dhe letërsi shqipe si kërkesë për diplomim. Treqind

pjestarë të Universitetit, studentë dhe staf, janë

pyetur rreth opinionit të tyre për këtë çështje.

Tabela në vijim jep informatat e mbledhura në këtë

drejtim, gjegjësisht përgjigjet e profesorëve dhe të

studentëve.

14

Shembull-vazhdim

Favorizojnë Kundërshtojnë Neutral Gjithsej

Stafi 45 15 10 70

Studentët 90 110 30 230

Gjithsej 135 125 40 300

Sa është probailiteti që një person i zgjedhur rastësisht është për propozimin e ri

ose është neutral?

Shembull-zgjidhje

Fillimisht definojmë ngjarjet si vijon:

F=personi i zgjedhur rastësisht e favorizon propozimin

e ri

N=personi i zgjedhur rastësisht është neutral

Në bazë të njohurive të mëhershme e dimë se :

P(F)=135/300=0.45

P(N)=30/300=0.13

P(F ose N)= P(F) +P(N)= 0.45+0.13=0.583

15

Rregulla

plotësuese/komplementare

Rregullën plotësuese ose komplementare e aplikojmë në rastet kur

ngjarjet janë plotësuese njëra me tjetrën. Dy ngjarje që e

përjashtojnë njëra tjetrën e bashkarisht përmbajnë të gjitha

rezultatet e ndonjë eksperimenti quhen ngjarje komplementare

apo ngjarje plotësuese.

Ngjarja komplementare/plotësuese: Ngjarja komplementare e A,

që shënohet me dhe lexohet “A bar” ose ~A e lexohet “jo A”,

është ngjarja që përmban të gjitha rezultatet e eksperimentit që

nuk janë A.

Ngjarja A dhe ngjarja janë plotësuese me njëra tjetrën dhe e

përjashtojnë njëra tjetrën.

A

A

Rregulla plotësuese/komplementare

Rregulla plotësuese/komplementare përdoret për gjetjen

e probabilitetit të një ngjarje që do të ndodhë përmes

heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të

ndodhë nga 1., gjegjësisht: P(A) = 1 - P(~A).

Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A)

është plotësues i A, atëherë:

P(A) + P(~A) = 1 ose P(A) = 1 - P(~A).

5-14

16

Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim

Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron

rregullën komplementare që do të duket si në vijim:

A ~A

5-15

Shembull:

Njëmijë persona janë pyetur se a kanë blerë

ndonjëjerë përmes internetit apo nuk kanë blerë. Prej

tyre, 560 kanë deklaruar se kanë blerë përmes

internetit , kurse 440 kanë deklaruar se nuk kanë

blerë përmes internetit.

Nëse rastësisht zgjedhet njëri nga ky grup, cilat janë

dy ngjarjet komplementare për këtë eksperiment dhe

sa janë probabilitetet e tyre.

Përdorni rregullën komplementare për gjetjen e

probabiliteteve.

17

Zgjidhje

Dy ngjarjet komplementare për këtë eksperiment janë:

A= Personi i zgjedhur ka blerë përmes internetit

~A =Personi i zgjedhur nuk ka blerë përmes internetit

Shohim se ngjarja A përfshin 560 persona që ka blerë përmes

internetit, kurse ngjara “jo A” ~A përfshin 440 persona që nuk

kanë blerë përmes internetit. Atëherë probabilitetet e A dhe

~A janë si vijon.

P(A) = 1 - P(~A)= 1- 0.44=0.56

550( ) 0.56

1000P A

440(~ ) 0.44

1000P A

Rregulla e mbledhjes (aditive) e

përgjithshme

Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprkisht

përjashtuese , atëherë ,

P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese:

P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)

Rregulla e përgjithshme e mbledhjes së

probabiliteteve na jep probabilitetin e ngjarjes A ose

B në rastet kur ngjarjet nuk e përjashtojnë njëra

tjetrën por mund të ndodhin edhe A dhe B.

5-18

18

Rregulla aditive e përgjithshme

Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:

A dhe B

A

B

5-19

SHEMBULL

Në një repart montimi me 50 punëtorë, çdo punëtorë duhet të

kryejë punën e tij në kohë dhe në cilësi. Në fund të punës

menaxheri ka konstatuar se 5 punëtorë kanë përfunduar punën me

vonesë, 6 punëtorë kanë bërë montim me defekt dhe 2 të tjerë

kanë përfunduar me vonesë dhe kanë bërë montim me defekt të

pjesëve të produktit.

Puna kryhet

me vonese

5

Bashkë

2

Produkti është

montuar me defekt

6

5-20

19

SHEMBULL vazhdim

Nëse punëtori zgjedhet rastësisht , sa është

probabiliteti që ai të ketë kryer punën me vonesë,

ti ketë montuar pjesët me defekt, të jetë vonuar

dhe të ketë montuar me defekt.

P(A) = Puna kryhet me vonesë.

P(B) = Produkti është montuar me defekt

P(A dhe B) = Puna kryhet me vonesë dhe produkti

montohet me defekt

5-21

SHEMBULL vazhdim

P(A)= 5/50= 0,1 – Probabailiteti se puna kryhet

me vonesë;

P(B) = 6/50=0.12- Probabiliteti se produkti është

montuar me defekt;

P(A dhe B) = 2/50=0.04- Probabiliteti se puna

është vonuar dhe produkti është montuar me defekt.

20

SHEMBULL vazhdim

Nëse punëtori zgjedhet rastësisht, sa është

probabiliteti që ai të jetë vonuar ose të ketë

montuar pjesët me defekt?

P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B) =

0.10+0.12-0.04=0.18

5-22

Vlera 0,18 mund të interpretohet si probabilitet që një

punëtor të marrë një vlerësim të dobët për punën e tij.

Shembull

• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim.

• Shënojmë ngjarjet :

• A= Studenti jep provimin e historisë

• B= Studenti jep provimin e matematikës

• B dhe A- Studenti jep të dyja provimet

Atëherë:

• P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50 =0.8.

21

Rregulla e multiplikatorit-shumëzimit

Rregulla e multiplikatorit/shumëzimit përdoret për

gjetjen e probabiliteteve të ngjarjeve që mund të

ndodhin njëkohësisht. Janë dy rregulla të

shumëzimit:

Rregulla e veçantë e shumëzimit

Rregulla e përgjithshme e shumëzimit

Rregulla e veçantë e multiplikatorit

• Rregulla e veçantë e multiplikatorit kërkon që dy

ngjarje A dhe B të jenë të pavarura.

Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse probabiliteti i

ndodhjes së një ngjarje në një eksperiment apo provë

nuk është i ndikuar ose nuk ndryshon me paraqitjen e

ngjarjes tjetër.

• Rregulla e veçantë e multiplikatorit është:

• Për tri ngjarje të pavarura rregulla e Multiplikatorit

5-24

( ) ( ) ( )P Adhe B P A P B

( ) ( ) ( ) ( )P Adhe BdheC P A P B P C

22

SHEMBULL

5-25

Shembull: Probabiliteti se një ndërmarrje ka marrë

kredi është 0.85. Kemi zgjedhur rastësisht tri

ndërmarrje.

a. Gjej probabilitetin se të tri ndërmarrjet kanë marrë kredi.

b. Gjej probabilitetin se së paku njëra nga ndërmarrjet nuk ka

marrë kredi.

c. Konstruktoni diagramin në formë peme për të gjetur të gjitha

rastet e mundshme.

d. Sa është probabiliteti i të gjitha rasteve të mundshme?

Zgjidhje:

a) Shënojmë me A, B dhe C ngjarjet që ndërmarrja e parë , e

dytë dhe e tretë kanë marrë kredi. Duhet të gjejmë

probabilitetin e përbashkët se të tri ndërmarrjet kanë marrë

kredi. Të tri ngjarjet janë të pavarura nga njëra tjetra sepse

nëse njëra ndërmarrje ka marrë kredi nuk ndikon që edhe

ndërmarrja tjetër të marrë kredi. Atëherë nëse:

P(A)=0.85; P(B)=0.85; P(C)=0,85, , atëherë në bazë të

rregullës së veçantë të shumëzimit do të kemi:

P A dhe B dhe C P A P B P C 0,85 0,85 0,85 .0 614

23

Zgjidhje

b. Për të gjetur probabilitetin “se së paku një ndërmarrje nuk ka

marrë kredi” definojmë ngjarjet në vijim:

K- të tri ndërmarrjet kanë marrë kredi

M - më së paku një ndërmarrje nuk ka marrë kredi.

Ngjarjet K dhe M janë ngjarje komplementare.

Ngjarja K përbëhet nga prerja e ngjarjeve A, B, dhe C, do të

thotë kemi P(K)= P(A dhe B dhe C)=0.614. Duke shfrytëzuar

rregullën plotësuese komplementare atëherë mund të gjejmë

probabilitetin e ngjarejs M, ashtu që:

P(M)=1- P(K) = 1-0.614=0.386, do të thotë se probabiliteti

se së paku një ndërmarrje të mos ketë marrë kredi është

0.386.

Zgjidhje

24

Probabiliteti me kusht dhe Rregulla e

përgjithshme e multiplikatorit

Probabiliteti me kusht: Probabilitetiti i një ngjarje ndikohet nga ndodhja apo mosndodhja e një ngjarje tjetër të lindur nga e njejta provë.

Le ta zëmë se kemi një ngajrje A me probabilitet P(A). Marrja e një informacioni të ri për ndodhjen e një ngjarje tjetër B që ka lidhje me ngjarjen A na detyron të rivlerësojmë edhe njëherë shansat e ndodhjes së ngjarjes A. Probabiliteti i ri i ngjarjes A, i llogaritur në kushtet kur ka ndodhur ngjarja B, quhet probabilitet me kusht i ngjarjes A dhe shënohet me simbolin P(A/B) dhe llogaritet me formulat vijuese:

Llogaritja e probabilitetit me kusht

Probabiliteti me kusht është probabiliteti i një ngjarje,

duke ditur se një tjetër ngjarje ka ndodhur :

P(Adhe B)P(A|B)

P(B)

P(A B)P(B|A)

P(A)

dhe

Ku: P(A dhe B) = probabiliteti i përbashkët i A dhe B

P(A) = Probabiliteti margjinal i A

P(B) = Probabiliteti margjinal i B

Probabiliteti me kusht i

A duke ditur se B ka

ndodhur

Probabiliteti me kusht i

B duke ditur se A ka

ndodhur

25

Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull

Gjinia Produkti A

(A)

Produkti B

(B)

Totali

Meshkuj (M) 200 300 500

Femra ( F) 100 400 500

Gjithsej 300 700 1000

•Rezultatet e një studimi të tregut që kanë përfshirë 1000 persona që janë

pyetur se cilin preferonin nga dy produktet konkurruese. Tabela jep klasifikimin e

personave sipas gjinisë dhe produktit që ata preferojnë.

•Sa është probabiliteti se një person i zgjedhur rastësisht preferon

produktin B kur dihet se ai është femër.

Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull

Shënojmë me :

M= (Personi i pyetur është mashkull) …P(M)=500/1000= 0.5

F= (Personi i pyetur është femër)………P(F) = 500/1000=0.5

A= (Personi i pyetur preferon produktin A)…P(A) = 300/1000=0.3

B= (Personi i pyetur preferon produktin B)…P(B) = 700/1000=0.7

Gjejmë edhe probabilitetet e përbashkëta tjera:

P (M dhe A) = 200/1000=0.2; P(M dhe B) =300/100=0.3;

P( F dhe A) =100/1000=0.1. P(F dhe B)= 400/1000= 0.4

Probabiliteti me kusht se personi i zgjedhur preferon produktin B duke ditur se

është femër është:

P(B/F)=400/500=0.8

Ose

P(Bdhe F) 0.4P(B|F) 0.8

P(F) 0.5

26

Komentimi i rezultateve

Llogaritja e probabilitetit me kusht na mundëson që

të bëjmë analiza të ndryshme:

P.sh.

P(B/F)=0.8- probabiliteti i preferencës së produktit

B nga femrat

P(B/M)= 0.6 – probabiliteti i preferencës së

produktit B nga meshkujt.

Rezultatet na tregojnë se femrat e preferojnë më

shumë produktin B se sa meshkujt.

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit

Ne përdorim rregullën e përgjithshme të

multiplikatorit /të shumëzimit , për të gjetur

probabilitetin e përbashkët për dy apo më shumë

ngjarje kur ato nuk janë të pavarura, gjegjësisht

varen nga njëra tjetra.

P.sh. Kur ngjarja B ndodh pas ndodhjes së ngjarjes A

dhe A ka një efekt në gjasat e ndodhjes së ngjarjes

B, atëherë ngjarja A dhe B nuk janë të pavarura.

27


Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit përdoret për të

gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje do të ndodhin

dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B, probabiliteti i

përbashkët se të dyja do të ndodhin gjindet përmes shumëzimit të

probabilitetit se ngjarja A do të ndodhë me probabilitetin e

kushtëzuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.

( ) ( ) ( / )P Adhe B P A P B A

5-28

OSE:

( ) ( ) ( / )P Adhe B P B P A B

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull

Shembull: Supozojme se në një kuti ka 10 produkte , ku tri prej tyre janë

me defekt. Një produkt zgjedhet nga kutia rastësisht. Probabiliteti se

produkti të jetë me defekt është 3/10 kurse probabiliteti që produkti të

jetë në rregull është 7/10. Mandej produkti i dytë nxirret nga kutia pa e

kthyer produktin e parë në kuti. Probabiliteti se produkti i dytë është me

defekt ndikohet nga ngjarja paraprake që produkti është me defekt apo

pa defekt. Probabiliteti se produkti i i dytë është me defekt mund të jetë:

- P (Produkti i dytë është me defekt/produkti i parë ka qenë me defekt)

është 2/9 ( Vetëm dy produkte kanë mbetur me defekt).

- P (Produkti Ii dytë është me defekt/produkti i parë ka qenë pa defekt)

është 3/9 ( Ende të tri produktet me defekt kanë mbetur në kuti).

28

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull - vazhdim

Nëse me D1 shënojmë probabilitetin se produkti i parë është me

defekt, atëherë P(D1 )=3/10

Nese me D2 shënojmë probabilitetin se produkti I dytë është me

defekt- atëherë probabiliteti P(D2 /D1 ) = 2/9, sepse pas

zgjedhjes së parë është parë se produkti është me defekt, kështu

që vetëm 2 produkte kanë mbetur me defekt.

Probabiliteti për dy dy produkte me defekt është :

P(D1 dhe D2 ) = P(D1 )* P(D2 /D1 ) = (3/10)*(2/10)=0.07


Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit mund të

zgjerohet edhe për më shumë se dy ngjarje.

Për tri ngjarje formula do të ishte:

( ) ( ) ( / ) ( / )P Adhe BdheC P A P B A P C Adhe B

5-28

Për ilustrim, probabiliteti se tri produktet e para të zgjedhura do

të jenë me defekt është 0.00833 i gjetur përmes :

1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( / ) ( / )

3 2 1 60.00833

10 9 8 720

P D dhe D dhe D P D P D D P D D dhe D

29

Shembull

Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë.

a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra?

b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj.

c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Spjego.

Zgjidhje

a) 0.002

b) 0.14

4 3 2 10.002

12 11 10 9

8 7 6 5 16800.1414

12 11 10 9 11880

30

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull

Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në

pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të

punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë

apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit

ta ndërronit?

Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të

përvojës së tyre në atë kompani sipas tabelës

vijuese:


Përvoja > Me pak se

një vit

B1

1-5vite

B2

6-10 vite

B3

Më shumë se

10 vite

B4

Totali

Do të

qëndrojnë

A1

10 30 5 75 120

Nuk do të

qëndrojnë

A2

25 15 10 30 80

Totali 35 45 15 105 200

Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës

31


Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur

rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë

kompani dhe ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?

Këtu shohim se dy ngjarje do të ndodhin

njëkohësisht- do të qëndrojë në kompani dhe ka

përvojë pune më shumë se 10 vjet.


1. Ngjarja A1 ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që do

të qëndrojë në kompani përkundër kushteve më të mira të orfruara nga një kompani tjetër. P(A1 )=120/200= 0.6

2. Ngjarja e dytë ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune. Kështu P(B4 /A1 ) është probabiliteti me kusht që një punëtor me më shumë se 10 vjet përvojë pune do të qëndrojë në kompani.

Duke ju referuar të dhënave nga tabela, 75 nga 120 punëtorë që do të qëndrojnë në kompani kanë më shumë se 10 vjet përvojë pune, kështu që probabiliteti me kusht është:

P(B4 /A1 )=75/120.

32


Duke përdorur rregullën e multiplikatorit do të

gjejmë probabilitetin se një person i zgjedhur

rastësisht do të qëndrojë në kompani dhe ka më

shumë se 10 vjet përvojë pune.

1 4 1 4 1P (A dhe B ) (A ) (B / A )

120 75 90000.375

200 120 24000

P

Diagrami në formë peme

Diagrami në formë peme është shumë i dobishëm për

llogaritjen e probabilitetetve të kushtëzuara dhe të përbashkëta

dhe veçanërisht i dobishëm për marrjen e vendimeve në biznes

që përfshijnë disa faza.

Mund të përdoret për të treguar rezultatet e dy apo më

shumë ngjarjeve.

Çdo degë prezanton rezultatet e mundshme të një ngjarje .

Probabiliteti i çdo njërës shkruhet në degë .

Rezultati final varet nga rruga që e marrim nëpër pemë.

Ne do të përdorim të dhënat e tabelës së fundit për të

parë se si konstruktohet diagrami në formë peme.

33

Konstruktimi i Diagramit në formë peme

1. Për të konstruktuar diagramin ne fillojmë me një pikë të trashë në

anën e majtë për të prezantuar rrënjët e pemës.

2. Për problemin e paraqitur parprakisht, dy degë kryesore dalin nga

rrënjët, e sipërmja që prezanton “Do të qëndrojnë“ dhe e

poshtmja që paraqet “Nuk do të qëndrojnë“. Probabilitetet e tyre

shënohen në degë, zakonisht 120/200 dhe 80/200. Këto

probabilitete mund të shënohen edhe P(A) dhe P(~A).

3. Katër degë të tjera “rriten” prej dy të degëve kryesore. Këto

degë prezantojnë përvojën e punës në kompani: më pak se 1 vit;

1-5 vjet; 6-10 vjet dhe më shumë se 10 vjet. Probabilitetet me

kusht për degën e sipërme të pemës 10/120; 30/120; 5/120; e

kështu me radhë shënohen në degën përkatëse.

34

Konstruktimi i Diagramit në formë peme - vazhdim

4. Përfundimisht probabilitet e përbashkëta, që janë ngjarjet A1 ,

dhe Bj ose ngjarjet ~A dhe Bj do të shfaqen bashkë dhe janë

të treguara në anën e djathtë të pemës. P.sh. Probabiliteti i

përbashkët për një punëtor të zgjedhur rastësisht se do të

qëndrojë në kompani dhe ka më pak se një vit përvojë pune,

duke u bazuar në formulë dhe në diagramë të pemës është:

1 1 1 1 1P (A dhe B ) (A ) (B / A )

120 10 90000.05

200 120 24000

P

Meqenëse probabilitet e përbashkëta paraqesin të gjitha rezultatet e

mundshme, atëherë shuma e tyre duhet të jetë e barabartë me 1.00

FORMULA E PROBABILITETIT TË PLOTË.

TEOREMA E BAYES – IT

Në shekullin e 18th Reverend Thomas Bayes, një

ministër angles i ka shtruar vetit pyetje. A ekziston me

të vertetë Zoti?

Duke qenë i interesuar në matematikë ai ka tentuar të

zhvillojë një formulë që të arrijë te probabiliteti se

Zoti ekziston bazuar në evidenca të disponueshme në

tokë.

Më vonë Laplace e ka ridefinuar punën e Bayes-it dhe

i ka dhënë emrin “ Teorema e Bayes-it”

35

Teorema e Bayes-it

Shumë shpesh neve na intereson probabiliteti i një ngjarje të

mostrës/zgjedhjes.

Kështu p.sh. nëse me kontroll të prodhimit kemi konstatuar se

ndonjë produkt është i parregullt, gjegjësisht me defekt, shtrohet

pyetja, në cilën makinë është prodhuar ose cili punëtor e ka

prodhuar.

Në rastet kur automobili nuk mund të ndizet, shtrohet pyetja për

çfarë arsye kjo ndodhë, a është zbrazur akumulatori, mos ka

prishje në instalimin elektrik apo është diçka tjetër në pyetje.

Në raste të tilla përcaktimi i probabiliteteve të mostrës është një

mënyrë për zbulimin e tyre.

Teorema e Bayes-it

Logjika e Teoremës së Bayes-it qëndron në atë se na mundëson që të llogarisim

probabilitetet e kushtëzuara P(A/B) nga njohuritë që kemi për probabilitetin P(B/A).

Teorema e Bayes-it mund të përgjithësohet se probabilitetet apriori të kombinuara

me informatat nga mostra rezultojnë në probabilitetet aposteriori.

36

Teorema e Bayes’t

Simbolet e formulës do të spjegohen përmes shembullit vijues,

mirëpo, këto simbole kryesisht i referohen probabiliteteve me

kusht.

1 1 2 2

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | )

i ii

n n

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A

Në formën punuese të përgjithshme nëse ka n ngjarje si A1 , A2 A3 …. An formula e

Bayes-it është si vijon:

Shembull

Një prodhues kompjuterësh blen një qark të integruar nga tre

furnizues të ndryshëm I, II, III.

Prodhuesi merr 30% të qarqeve nga furnizuesi i parë, 20% nga

furnizuesi i dytë dhe 50% nga furnizuesi i tretë.

Nga përvoja e mëhershme dihet se 3% e qarqeve të marra nga

furnizuesi i parë , 5% e qarqeve nga furnizuesi i dytë dhe 4%

nga furnizuesi i tretë janë me defekt.

Detyrë

1. Llogaritni probabilitetin që një qark i integuar, i cili kontrollohet

para se të vendoset në kompjuter të jetë me defekt.

2. Sa është probabiliteti që qarku me defekt të jetë nga furnizuesi

i dytë.

37

Shembull- zgjidhje

Së pari përmbledhim informacionet me të cilat disponojmë:

Kemi tri ngjarje që janë tre furnizues/ Probabilitetet e njohura/apriori janë

A1 Qarku blehet nga furnizuesi i parë……P(A1)= 0.30

A2 Qarku blehet nga furnizuesi i dytë……. P(A2)= 0.20

A3 Qarku blehet nga furnizuesi i tretë…….. P(A3)= 0.50

Informata të tjera plotësuese janë :

B1 - Qarku është me defekt

B2 - Qarku është i rregullt / jo me defekt

Pobabilitet e kushtëzuara janë si më poshtë:

P(B1/A1 )= 0.03- Prob. se një qark me defekt është nga furnizuesi i parë.

P(B1/A2 )= 0.05- Prob. se një qark me defekt është nga furnizuesi i dytë.

P(B1/A3 )= 0.04- Prob. se një qark me defekt është nga furnizuesi i tretë.

Shembull- zgjidhje

Informacionin mund ta japim edhe përmes tabelës

vijuese:

Ngjarjet Ai Probabilitetet

e njohura

P( Ai)

Probabilitetet

e kushtëzuara

P(B 1/Ai)

Probabiliteti i

përbashkët

P(A I dhe B1)

Probabiliteti i

rishikuar/aposteriori

P(Ai/B 1)

Furnz. i parë 0.3 0.03 0.009 =0.3 x0.03 0.009/0.039=0.2308

Furnz. i dytë 0.20 0.05 0.010=0.20x0.05 0.010/0.039=0.2564

Furnz. i tretë

0.5 0.04 0.020=0.5x0.04

0.020/0.039=0.5128

P(B 1 )=0.039

(probabiliteti total)

1.0000

38

Shembull- zgjidhje

2 1 22 1

1 1 2 2 2 31 1 1

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

(0.20) (0.05)

(0.30) (0.03) (0.20) (0.05) (0.50) (0.04)

0.0100.2564

0.039

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A

Probabiliteti se qarku me defekt është nga furnizuesi i dytë

mund të gjindet me Teoremën e Bayes-it. Ne dëshirojmë të

llogarisim P(A2/B1 ), ku A2 i referohet furnizuesit të dytë dhe B1

faktit se qarku i zgjedhur është me defekt.

Diagrami në formë peme

39

Disa parime të llogaritjes se

rezultateve te mundshme

Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme:

Rregulla 1.

Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja.

Shembull 10:

Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë:

Përgjigje:

3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme

5-37

Rregullat e llogaritjes

• Rregulla 2

– Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente sipas

rregullit është:

– Shembull:

• Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në

sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj?

Përgjigje:

5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme.

n! = (n)(n – 1)…(1)

(vazhdim)

40


Rregulla 3.

Permutacionet: çdo regullim i X elementeve i zgjedhur nga

n elementet e mundshme.

Shembull:

Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet

të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të

porositet dreka?

Përgjigje:

.

Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e rëndësishme te

permutacionet.

(vazhdim)

X)!(n

n!Pxn

n x

n! 5! 120P 60

(n X)! (5 3)! 2


Rregulla 4 Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes së x

elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar

renditjen

Shembull:

Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të

zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet

kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.

Përgjigje:

(vazhdim

X)!(nX!

n!Cxn

10(6)(2)

120

3)!(53!

5!

X)!(nX!

n!Cxn

41

Konceptet kyçe

Probabiliteti

Eksperimenti

Rezultati

Ngjarja

Hapësira e mostrës

Probabiliteti apriori

Probabiliteti aposteriori

Probabiliteti subjektiv

Ngjarje e thjeshtë

Ngjarje komplementare

Ngjarjet e papajtueshme

Ngjarjet e domosdoshme

Ngjarjet e kushtëzuara

Regulla aditive e thjeshte

Rregulla aditive e

përgjithshme

Rregulla komplementare

Rregulla e multiplikatorit

Rregulla e përgjithshme e

multiplikatorit

Permuatacionet

Kombinacionet

Variacionet

një vështrim mbi konceptet e...

Documents