1

Variabla e rastit dhe shpërndarjet probabilitare

Ligjërata e pestë

Variabla e rastit dhe shpërndarjet e probabilitetit

Qëllimet:

Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastit dhe shpërndarjet e probabilitetit

Të bëni dallimet në mes të shpërndarjes së probabiliteteve të variablave të rastit të ndërprea dhe të vazhdueshme

Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijimin standard të shpërndarjeve probabilitare të variablave të rastit të ndërprera.

2

Variablat e rastit

SHEMBULL 1. Supozojmë që tabela vijuese prezanton shpërndarjen e frekuencave absolute dhe frekuencave relative për numrin e telefonave celular që posedojnë 200 familje të zgjedhura rastësisht në qytetin e Prishtinës.

Variabla e rastit është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti të rasatit

Shembull

(Numri i telefonave mobil) (X)

Numri i familjeve (F)

Frekuencat relative (Fr)

0 10 10/200=0.05

1 45 45/200=0.225

2 65 65/200=0.325

3 35 35/200=0.175

4 25 25/200=0.125

5 20 20/200=0.1

n=200

Supozojmë që një familje është zgjedhur rastësisht nga tërësia e përgjithshme. Procesi i zgjedhjes së rastësishme të familjes quhet eksperiment i rastit . Nëse me X shënojmë numrin e tel. celular që posedon familja e zgjedhur, atëherë X mund të marrë vlera prej 0 deri në 5 ( 0, 1, 2, 3, 4, 5) . Se cilën vlerë do të marrë X varet nga se cila familje është zgjedhur. Kështu , kjo vlerë varet nga rezultati i eksperimentit të rastit. Për këtë X quhet variabël e rastit

3

Variabla e rastit

Definimi:

Variabla e rastit është variabla vlera e së cilës

përcaktohet nga rezultati i eksperimentit të rastit

Variabla e rastit është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti të rastit

Llojet e variablave të rastit

Variablat e rastit

Variabla e rastit diskrete/ e ndërpreë

Variabla e rastit kontinuale/ e vazhdueshme

4

Variabla e rastit diskrete/e ndërprerë

Variabla e rastit diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes.

P.sh. - Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës, - Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit

prill, - Numri i MP3 të shitur në një shitore, - Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune,

etj

Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë:

X = 0,1,2,3.

Variablat e rastit kontinuale/e vazhdueshme

Variabël e rastit kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave.

Shembuj:

- Gjatësia dhe pesha e studentëve,

- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia,

- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj.

5

Shpërndarja e probabilitetit për variablën e rastit përshkruan se si probabilitetet janë të shpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme.

Shpërndarjen e probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion.

Shpërndarja e probabiliteteve

Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve

2

Modelet e

shpërndarjes/distribucionit

Distribucioni diskret i

probabiliteve

Distribucioni kontinual i

probabiliteteve

Distribucioni i Poisson-it

Distribucioni uniformues

Distribucioni hipergjeometrik

Distribucioni Binomial

Distribucioni

(hi në katror)

Distribucioni i

“Studentit “

Distribucioni normal

Distribucioni i Fisherit

(Snedecor)

2

6

Shpërndarja e probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme. Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë:

Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete

P(x) > 0

P(x) = 1

Shpërndarja e probabilitetit është lista e të gjitha vlerave të mundshme që mund të marrë variabla e rastit dhe probabilitetet gjegjëse të tyre.

Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera

Nese marrim shembullin e pare të shpërndarjes së familjeve sipas numrit të telefonave celular.

(Numri i telefonave mobil) (X)

Numri i familjeve (F)

Frekuencat relative (Fr)

0 10 10/200=0.05

1 45 45/200=0.225

2 65 65/200=0.325

3 35 35/200=0.175

4 25 25/200=0.125

5 20 20/200=0.1

n=200

Ne kemi mesuar se frekuencat relative mund të përdoren si përafrim i probabiliteteve , kështu , duke përdorur frekuencat

relative si përafrim I probabiliteteve krijojmë shpërndarjen e probabiliteteve për vlerat e variablës së rastit.

7

Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera

Shpërndarja e probabiliteteve për numrin e tel. celular

(Numri i telefonave mobil)

(X) Probabilitetet

P (x)

0 0.05

1 0.225

2 0.325

3 0.175

4 0.125

5 0.1

∑P(x) =1

Shperndarja probabilitare I ploteson dy kushtet elementare: 1. P(x) është në mes të 0 dhe 1 dhe

2. ∑P(x) =1

Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera

Nga tabela mund të lexojmë probabilitet për cilëndo vlerë të x-it.

Psh. Probabiliteti se familja e zgjedhur rastësisht ka 3 telefona celular është 0.175. Ky probabilitet përshkruhet në këtë mënyrë: P(x=2) =0.175, ose P(2)=0.175

Probabiliteti se familja e zgjedhur posedon më shumë se 3 telefona celular është shumë e probabiliteteve të familjeve që posedojnë 4 dhe 5 telefona celular.

P( x>3) = P(x=4) + P(x=5)=P(4)+P(5)=0.125+0.1=0.225

8

Paraqitja grafike e shpërndarjes së probabiliteteve të variablave të rastit të ndërprera

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4 5

Pro

ba

bil

ite

tet

P(x

)

Nr. i telefonave celular (X)

Shembull për diskutim

(a)

X P(X)

0 0.10

1 0.22

2 0.39

3 0.20

(b)

X P(X)

1 0.40

2 0.20

3 0.29

4 0.11

(c)

X P(X)

6 0.60

7 0.50

8 0.10

9 -0.20

Të tri tabelat e mëposhtme prezantojnë variablat e rastësishme X dhe probababilitetet e tyre. Duhet të përcaktojmë se secila tabelë a prezanton shpërndarjen probabilitare?

9

Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit për shitjen e TV. .

Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën.

…

Numri i

Nj. e shitura ditëve

0 80

1 50

2 40

3 10

4 20

200

x P(x)

0 .40

1 .25

2 .20

3 .05

4 .10

1.00

80/200

Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete – Shembull

.10

.20

.30

.40

.50

0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV)

Pro

bab

ilit

eti

Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete

Paraqitja grafike

10

Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete

Sikurse shpërndarja e frekuencave që karakterizohet me mesataren , variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe shpërndarja e probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën.

Mesatarja e shpërndarjes së probabilitetit shënohet me shkronjën greke “mi”μ

Devijimi sandard i shpërndarjes së probabiliteteve shënohet me shkronjën greke „sigma”σ

Vlera e pritur (mesatarja) , varianca dhe devijimi standard

Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore.

Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme.

Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e Variancës.

Var(x) = 2 = (x - )2P(x)

E(x) = = xP(x)

2(x ) P(x)

11

Vlera e pritur- mesatarja aritmetike

Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës

x P(x) xP(x)

0 .40 .00

1 .25 .25

2 .20 .40

3 .05 .15

4 .10 .40

E(x) = 1.20

Vlera e pritur, varianca dhe devijimi standard

0

1

2

3

4

-1.2

-0.2

0.8

1.8

2.8

1.44

0.04

0.64

3.24

7.84

.40

.25

.20

.05

.10

.576

.010

.128

.162

.784

x - (x - )2 P(x) (x - )2P(x)

Varianca e shitjeve ditore= 2 = 1.660

x

TVs Në katror

Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs

Varianca dhe Devijimi Standard

E(x) = = 1.20

12

Shembull

Prishjet javore (X) 0 1 2 3

Probabiliteti (P(x) 0.15 0.20 0.35 0.30

Tabela vijuese prezanton shpërndarjen e probabiliteteve për numrin e prishjeve brenda javës të një makine bazuar nga të

dhënat e së kaluarës.

a. Paraqitni grafikisht shpërndarjen probabilitare b. Përcaktoni probabilitetin që numri i prishjeve për këtë makinë gjatë një jave të caktuar është si më poshtë: - Saktesisht 2 prishje P(x=2)=? - Nga 0 deri në 2 prishje; - Më shumë se 1 prishje P(x>1)=? - Më së shumti 1 prishje;

(0 2) ?P X

( 1) ?P X

c. Nga të dhënat e tabelës , llogaritni vlerën e pritur, variancën dhe devijimin standard

KONCEPTET KYÇE

Variabla e rastësishme Variabla diskrete Variabla diskrete Distribucioni i probabilitetit Distribucioni diskret i probabiliteteve Distribucioni i variablave kontinuale Vlera e pritur- mesatarja aritmetike Devijimi standard dhe varianca.