modul 2 btk akar pangkat dan logaritma xii ipa

2. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma serta menggunakan- nya dalam pemecahan masalah.

Pangkat, akar, dan logaritma

contoh:

1. 3pq+q . 32p)/(3pq+p . 32q) = (3pq+q+2p)/(3pq+p+2q) = 3p-q

2. (0,0001)-1 0,04 = (10-4)-1(0,2) = (104)(0,2) = 20003. (0,5)2 + 1/532 + 30,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25

[ket : 32 = 25 ; 0,125 = (0,5)3 ]

4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka nilai dari : 2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = ….

2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = 2(24)-1/2 - 3(24)0 + (33)4/3

= 2(2-2) - 3(1) + 34 = 2-1 -3(1) + 81 = 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2

- 1 - then must yath now’09

“For the things of this word cannot be made known a knowledge of mathemathics”

Contoh:

1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !


“Don’t worry about your difficulties in mathematics, I sure,that mind are still greater”

syarat : numerus > 0x² -4x - 5 < 0(x-5)(x+1) < 0 x = 5 atau x = -1

HP = {-1 < x < 5}

2. Sederhanakan : !

= = = = -7

3. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 !

9log 8 = n 3²log 2³ = n 3log 2 = n 3log 2 =

4log 3 = 2²log 3

= ²log 3

=

=

=

4. Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³(b²/a) !

log (a²/b4)log (a/b²)²2 log ( a/b²)log ( a/b² )log ³(b²/a)

= -24= -24= -24= -12= log (b²/a)1/3

= 1/3 log (b² / a)= -1/3 log (a/b²)= -1/3 (-12) = 4

Fungsi eksponen : adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x)


5 -1

alog f(x) = b f(x) =ab

f(x)log a = b (f(x))b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1.

2.

3. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3²log x = 3x1 = 2³ = 8

p2 = -1²log x = -1x2 = 2-1 = 1/2

Bilangan pokok a > 0 1

Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya

a > 1 0 < a < 1

alog f(x) > b f(x) > abalog f(x) < b f(x) < ab

alog f(x) > b f(x) < abalog f(x) < b f(x) > ab


(tanda tetap) (tanda berubah)syarat f(x) > 0

Contoh:

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

1. ²log(x² - 2x) < 3a = 2 (a>1) Hilangkan log Tanda tetap- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4

a. x² - 2x < 2³x² - 2x -8 < 0(x-4)(x+2) < 0-2 < x < 4

b. syarat : x² - 2 > 0x(x-2) > 0x < 0 atau x > 2

2. 1/2log (x² - 3) < 0a = 1/2 (0 < a < 1) Hilangkan log Tanda berubahx < - 2 atau x > 2

a. (x² - 3) > (1/2)0x² - 4 > 0(x -2)(x + 2) < 0x < -2 atau x > 2

b. syarat : x² - 3 > 0(x - 3)(x + 3) > 0x < 3 atau x > 3

Persamaan Eksponen Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK :

A. af(x) = ag(x) f(x) = g(x) Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.contoh :

2 SUKU SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

3 SUKU GUNAKAN PEMISALAN

1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 022.22x - 22.2x + 1 = 0Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p²4p² -4p + 1 = 0(2p-1)² = 02p - 1 = 0

2. 3x + 33-x - 28 = 103x + 33/3x - 28 = 10misal : 3x = pp + 27/p - 28 = 0p² - 28p + 27 = 0(p-1)(p-27) = 0p1 = 1 3x = 30


82x-3) = (32x+1)1/4

(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4

2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4

(6x-9)/2 = (5x-5)/4

24x-36 = 10x+10

14x = 46

x = 46/14 = 23/7

3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10

3².3x²-3x+3x²-3x = 10

9. 3x²-3x + 3x²-3x = 10

10. 3x²-3x = 10

3x² - 3x = 30

x² - 3x = 0

x(x-3) = 0

x1 = 0 ; x2 = 3

p =1/22x = 2-1

x = -1

x1 = 0p2 = 27 3x = 33

x2 = 3

B. af(x) = bf(x) f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

1. 3x²-x-2 = 7x²-x-2

x² - x -2 = 0(x-2)(x+1) = 0x1 = 2 ; x2 = -1

C. af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.Contoh:

1. 4x-1 = 3x+1

(x-1)log4 = (x+1)log3xlog4 - log4 = x log 3 + log 3x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4x (log4 - log3) = log 12x log 4/3 = log 12x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12

D. f(x) g(x) = f(x) h(x)

Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)

2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1

3. Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilaipangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.

ket :g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1

4. Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.


Orang yang baik bukannya yang tak pernah melakukan kesalahan, tapi yang pernah berbuat salah dan memperbaikinya……* mustyath’09

ket : g(x) dan h(x) positif 0g(x) = 0h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3

1. Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 x1 = 5

2. Bilangan pokok = 1x² + 5x + 5 = 1x² + 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x2 = 1 ; x3 = 4

3. Bilangan pokok = -1x² - 5x + 5 = -1x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 (-1)7g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

Bilangan pokok = 0x² - 5x + 5 = 0 x5,6 = (5 ± 5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena :g(2 1/2 ± 1/2 5) > 0h(2 1/2 ± 1/2 5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 5}

Bilangan Pokok a > 0 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya

a > 1 0 < a < 1

af(x) > ag(x) f(x) > g(x)af(x) < ag(x) f(x) < g(x)

(tanda tetap)

af(x) > ag(x) f(x) < g(x)af(x) < ag(x) f(x) > g(x)

(tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.

Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3

Contoh:

1. (1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1)

(1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1)

2x - 5 > x +2x > 7

2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0(3x)² - 4.31.3x + 27 > 0misal : 3x = pp² -12p + 27 > 0(p - 9)(p - 3) > 0p < 1 atau p > 93x < 31 3x > 3²x < 1 atau x > 2


SOAL LATIHAN

1

= …

a. 53 d. 1,6 b. 35 e. 1,4 c. 1,8

2

Bentuk pangkat dari1080 = …. a. d. b. e. c.

3a. 1 d. 4b. 2 e. 8c. 3

4

= …

a. -p-2 d. -p6

b. -p7 e. p6

c. p7

5 a. 2mn d.

b. e.

c.

6a. 32 d. 3-1

b. 3 e. 3-2

c. 1

7

= …

a. 1 d. 4b. 2 e. 5c. 3

8 a. 1 d. -0,25b. 0,85 e. -0,35c. 0,54

9

a. d. b. e.


c.

10

a. d.

b. e.

c.

11a. 0 d. 101,101b. 1 e. 10101,0101c. 11,11

12

= …

a. 0 d. 3b. 1 e. 4c. 2

13 a. 3 d. 0b. 2 e. c.

14 a. 10 - 4 d. 5 - 2b. 5 - 2 e. -5 + 2c. 0,2 + 0,1

15a. 2a + 2 d. 2a + 6

b. 2a + 2 e. 2a

c. 2a -

16 a. -2 d. b. 0 e. c. 1

17 a. -2 d. 1b. -0,5 e. 2c. 0,5


18a. 212 . 312 d. 211 . 312

b. 212. 311 e. 211

c. 312

19 a. 0,75 d. 0b. 0,5 e. -0,25c. 0,25

20a. 4 + d. - b. 4 - e. c dan d benarc. -

TUGAS MANDIRI

1. Jika = , maka nilai x adalah A. -4 D. 2B. -2 E. 4C. 0

2. Nilai x yang memenuhi b2x + 10 < 7bx

dengan b > 1 adalah ....A. x < blog 2 D. blog 2 < x < blog 5B. x > blog 5 E. x > blog 2C. x > blog 2 atau x > blog 5

3. Supaya log mempunyai nilai

haruslah ....

A. -1 < x < atau x > 2

B. 1 < x < 2 atau x < -

C. < x < 2 atau x < -1

D. -3 < x < 1 atau x > 2

E. - < x < 1 ataun x > 2

4. Diketahui 3log (2x + 1) = 3log 2x + 1, maka x = ....


A. C. D.

B. E. 2

5. = ....

A. -6 D. 3B. -3 E. 6C. 0

6. Jika 3log 5 = x dan 3log 7 = y, nilaia 3log adalah ....

A. x + y D. (x + y)

B. x + 2y E. x + 2y

C. 2

1x – y

7. 3log 5 = p dan 5log 4 = q, nilaia 4log 15 = ....

A. D.

B. E.

C.

8. Jika 3 x - 2y = = dan 2 x - y – 16 = 0,

maka nilai x + y = ....A. 3 D. 20B. 16 E. 21C. 18

9. Jika 2 . 4 x + 2 3 – 2x = 17, nilai 2 2x =

A. atau 8 D. atau

B. 2

1 atau 4 E. atau 2

C. 1 atau 4

10. Persamaan 5 x – 2y + 1 = 25 x – 2y dan 4 x

– y + 2 = 32 x – 2y + 1 , nilai x.y = ....A. 6 D. 15B. 8 E. 20C. 10

11. Jika > , nilai x adalah ....


A. x > D. x < -2

B. x < - E. x < 2

C. x >

12.Jika = maka nilai 8x – x2

adalah ....A. 7 D. 16B. 12 E. 33C. 15

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

. < adalah ....

A. x < -5 atau x > -2

B. –2 < x <

C. x < -2 atau x >

D. –5 < x < 2E. –2 < x < -1

14. Akar-akar persamaan = 49 x – 3

adalah dan , nilai . = ….A. 8 D. –10B. –4 E. –22C. -8

15. Penyelesaian dari persamaan = 4 x + 1 adalah p dan q dengan p > q. Nilai p – q = ….A. –1 D. 6B. 1 E. 7C. 5

16. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, maka 12log 75 = ....

A. D.

B. E.

C.

17.Penyelesaian persamaan 3log (9x + 18) = 2 + x adalah p dan q, maka p + q = A. 3log 3 D. 3log 216B. 3log 9 E. 3log 726C. 3log 18

18.Jika 9log 8 = 3m. Nilai 4log 3 = ....


A. D.

B. E.

C.

19. Jika 2log = dan 16log b = 5, maka

alog = ....

A. 40 D.

B. –40 E. 20

C.

20.Jika 25log 5 2x = 8, maka nilai x = .....

A. D. 8

B. E. 10

C. 6

21.Nilai x yang memenuhi 2 x + 5 < 8 x – 1

adalah ….A. x > 3 D. x > 4B. x < 3 E. x > -4C. x < 4

22.Penyelesaian pertidaksamaan 4 1 – x <

adalah ….

A. x < -1 D. x > 3

B. x < 1 E. x < 3

C. x >

23.Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

< , x R adalah ….

A. {x 1 < x < 3, x R} B. {x x < -1 atau x > 1, x R}C. {x -1 < x < 3, x R}D. {x x < 1 atau x > 3, x R}E. {x x < -3 atau x > -1, x R}

24.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x - 4 . 3 x + 1 > -27 adalah ….A. 1 < x < 2 D. x < 1 atau x > 3B. 2 < x < 9 E. x < 3 atau x > 9


C. x < 1 atau x > 2

25.Nilai x yang memenuhi 9 x - 3 x + 1 + 2 < 0 adalah ….A. 0 < x < 2log 3 D. x > 3log 2B. 0 < x < 3log 2 E. x < 2log 3C. x < 3log 2

26.Nilai x yang memenuhi 2log (2x + 7) > 2 adalah ….

A. x > D. < x < 0

B. x > E. < x < 0

C. < x <

27. 2log (x + 1) log (x + 4) + log 4. Nilai x yang memenuhi adalah…. A. x 7 D. –1 x 6B. x > 5 E. x 6C. –1 < x 5

28.Pertidaksamaan 2log (x + ) 3. Nilai

x yang memenuhi adalah ….A. x 2 atau x 6B. 1 x 2 atau x 6C. 0 < x 2 atau x 6D. 2 x 6E. x < 0 atau 2 x 6

29.Pertidaksamaan 4log (x2 – 2x) <

dipenuhi oleh ….A. 1 - < x < 1 + B. 1 - <x< 1+ atau 2 + <x< 4C. 1 - < x < 2D. 1 - < x < 0 atau 2 < x < 1+ E. 0 < x < 1 +

30.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2log (x + 2) – 2log (x - 5) < 3 adalah A. –3 < x < 6B. x < -2 atau 5 < x < 6C. 5 < x < 6D. x < -2 atau x > 5E. –3 < x < -2 atau 5 < x < 6


modul 2 btk akar pangkat dan logaritma xii ipa

Documents