mircea eugen selariu - functia rege

Mircea Eugen elariu, F U N C I A R E G E . 2015

1

Motto: Romnia este o republic n care fiecare se crede rege

Valeriu Butulescu din Aforisme inedite (2013)

i, dei are rege, cei mai regi se cred preedinii (N.N).

F U N C T I A R E G E

(Lucrare dedicat Prof. Dr. Math. Octavian Em. Gheorghiu)

1. N LOC DE INTRODUCERE : Prof. Dr. Math. Octavian Em. Gheorghiu

Cine este Prof. Dr. Math. Octavian Em. Gheorghiu ?

Ce putem afla de pe internet :

GHEORGHIU, Octavian Em. (1921-1979). Dr. (1968): Contribuii privind teoria obiectelor geometrice

speciale, UVT. Att ! i UVT este greit, IPT i/sau IPTVT sunt corecte ! La UVT (Universitatea de Vest din

Timioara) era profesor de Matematici Th. Gh. Gheorghiu, vrul lui Octav Em Gheorghiu; Prof. Dr. Ing.

Nicolae Gheorghiu, zis Nae Gheorghiu, profesor de Organe de Maini de la Facultatea de Mecanic din

Timioare, era cellalt vr al lui.

Oare nu-i prea puin pentru cel ce-a fost numit preparator la Catedra profesorului Moisil cnd era nc

student, iar din anul 1946-1949 a fost numit asistent al profesorului Moisil, la Universitatea din Bucureti, la

Catedra de Analiz Superioar i Logic Matematic ?

n anul 1949 a fost numit confereniar de Matematici Speciale la Institutul Politehnic din Timioara, iar

din anul 1951 este profesor de Matematici Speciale la acelai institut. Profesor la vrsta de 29 de ani !

Dup decesul Prof. Dr. Math. Alaci Valeriu, n anul 1955, ocup i postul de ef de Catedr al Catedrei

de Matematica I de la Facultatea de Mecanic, a institutului denumit apoi i Traian Vuia, iar, n prezent,

Universitatea POLITEHNICA din Timioara.

n lucrarea lui George t. Andonie ISTORIA METEMATICII N ROMNIA Vol III, Ed.

tiinific, 1967, cu 516 pagini, profesorul meu de Geometrie Analitic, din anii 1 i 2 i de Matematici Speciale

din anul III este prezentat n 13, de la pagina 72 la pag.77, unde, n final, se afirm: Din cele peste 60 de

memorii publicate, se constat c este analistul care n geometrizarea ecuaiilor cu derivate pariale mnuiete

precis descoperirile recente ale analizei i c, n ultimul timp, cerceteaz ecuaii i sisteme de ecuaii

funcionale.

Atent la tot ceea ce este nou n matematic, a fost un vajnic susintor al funciilor circulare excentrice,

nglobate ulterior n ceea ce se numete acum supermatematic (SM). A condus lucrri din acest domeniu,

premiate la Sesiunile de Comunicri tiinifice Studeneti [1],[2] i a acceptat s fie preedinte de onoare al

Excentric-Clubului Romn, nfiinat pentru sprijinirea i dezvoltarea noului domeniu al matematicii, denumit

Matematic Excentric (ME) care, mpreuna cu matematica clasic, ordinar, denumit acum i Matematic

Centric (MC), formeaz supermatematic (SM = MC ME); Matematica Centric fiind un caz particular, de excentricitate liniar real e sau numeric s nule, adic MC = ME(e = s = 0).

Multiplicnd la infinit toate entitile MC i ntroducnd n matematic o pleiad de alte entiti noi,

proprii ME, SM este capabil s descrie o mulime impresionant de obiecte 3D i de curbe plane 2D noi, unele

extrem de importante n diverse domenii, altele imperios necesare i demult dorite n tiin i n tehnologie i

altele doar artistice, frumoase, plcute, pentru desftarea ochilor.

http://autori.citatepedia.ro/de.php?a=Valeriu+Butulescuhttp://surse.citatepedia.ro/din.php?a=Valeriu+Butulescu&d=aforisme+inedite


2

Lund cunotin de toate acestea, profesorul mi-a spus: tii de ce poi tu descrie cu funcia rex (radial

excentric de variabil excentric rex i cea de variabila centric Rex) toate curbele plane cunoscute n

matematic - acum i centric (MC) - i att de multe alte curbe noi ? Pentru c ea exprim distana n plan, n

coordonate polare, dintre dou puncte: de la excentrul E(e, ) la un punct M(R, ), de pe cercul oarecare C(O, R),

fiind, astfel, o adevrat funcie rege !

Cine nu cunoate funciile trigonometrice cos i sin ? Ele erau conoscute de mii de ani, dar numai de

cca. 300 de ani au fost cunoscute ca funcii circulare i exprimate de marele matematician Euler pe cercul

trigonometric, astzi numit cerc unitate. (Ca s le vad i s le poat pipi toi .... )

Cine nu cunoate teorema lui Pitagora ?

Citm din http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora : Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plan (euclidian).

Teorema lui Pitagora afirm c "n orice triunghi dreptunghic, suma ptratelor catetelor este egal cu ptratul ipotenuzei". Dac se noteaz cu a i cu b lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic iar cu c lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora afirm c:

Reciproca este adevrat: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel nct a

2 + b

2 = c

2, exist un

triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a i b va fi drept. Pentru triunghiuri oarecare

Teorema lui Pitagora generalizat, numit i Teorema (sau Legea) cosinusului, este valabil n orice triunghi (euclidian) i poate fi exprimat astfel:

(1) unde este unghiul dintre laturile i . sau

(2) c = , aproape singura form cunoscut, ca funcie de variabila centric , iar ca funcie de variabila excentric este:

(3) c = b cos prezentat, dup cunotinele autorului, doar n manualul inginerului vol. I Hutte, n ediia din 1900 (n.n) !

Dei teorema i se atribuie astzi filozofului i matematicianului grec antic Pitagora, care a trit n secolul al

VI-lea .Hr., se tie c a fost cunoscut de mai multe civilizaii de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-

babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici i alii.

Ca urmare i aceast teorem era cunoscut de mii de ani, dar ca funcie supermatematic circular

excentric (FSM-CE) doar de 45 de ani ca funcie radial excentric de variabil centric Rex (4), alturi de

o pleiad de alte FSM-CE (Aex, Bex, Cex, Dex, Sex, Tex, Cot ,Texv, Cotv .a) i, tot de atunci,

ca funcie de variabila centic alturi de o pleiad de alte funcii (aex , bex , cex dex , sex , tex , cot , texv , cotv .a) cu expresiile generale din relaiile (4), n cercul unitate CU(O, R) !

(4)

cu graficele din figurile 2 i 3 ca funcii de unghi i n figura 4 ca funcii de excentricitatea liniar numeric s.

Toate aceste explicaii elementare sunt prezentate pentru a veni n ntmpinarea i n ajutorul crcotailor.

2. F U N C I I L E R E G E rex1,2 i Rex1,2

Funciile supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) de variabil excentric au fost primele

descoperite n ME. i, n cadrul acestora, primele venite pe lume, n lumea matematicii, sau, mai precis a SM,

au fost FSM-CE cosinus cex i sinus sex excentrice. Ele fiind inventate pentru rezolvarea unor sisteme

oscilante de caracteristic elastic neliniar.

A durat destul de mult pn la a descoperi c maximele funciilor sinus sin i cosinus cos centrice pot

fi deplasate din punctele lor, spre stnga sau spre dreapta, prin simpla deplasare a polului P din originea O(0, 0) i

centrul C(0,0), numit din aceast cauz excentru E(e, ), al cercului trigonometric, acum unitate CU(O, 1), unde

l-a plasat marele Euler (Fig.1), cu peste 300 de ani n urm, srcind, astfel, enorm de mult matematica, pe care a

lsat-o cu cte o singur funcie circular centric: un singur cos, un singur sin, o singur tan tg .a.m.d.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Teorem%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrie_plan%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Euclidhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Triunghi_dreptunghichttp://ro.wikipedia.org/wiki/Catet%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Ipotenuz%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie#Teorema_cosinusuluihttp://ro.wikipedia.org/wiki/Filozofhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Matematicianhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Grecia_antic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagorahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_VI-lea_%C3%AE.Hr.http://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_VI-lea_%C3%AE.Hr.http://ro.wikipedia.org/wiki/India_antic%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Mesopotamiahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Mesopotamiahttp://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_Egiptului_Antichttp://ro.wikipedia.org/wiki/China_antic%C4%83


3

rex i Rex de s 1 rex i Rex de s 1

Fig. 1. Schemele explicative ale generrii FSM-CE rege rex i Rex de s 1 i de s 1

s [-1, 0] s [0, +1]

Fig.2,a Graficele F U N C I I L O R R E G E rex1 =

s [-1, 0] s [0, +1]

Fig.2,b Graficele F U N C I I L O R R E G E rex2 =

02

3

22 0

2

3

22

1 2 3 4 5 6

2.0

1.5

1.0

0.5

1 2 3 4 5 6

2.0

1.5

1.0

0.5


4

s [-1, 0] s [0, +1]

Fig.3,a Graficele F U N C I I L O R R E G E

s [-1, 0] s [0, +1]

Fig.3,b Graficele F U N C I I L O R R E G E

]]

Fig.4,a Graficele FUNCIILOR R E G E de variabil excentricitate numeric s rex1(s)

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.5

2.0

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.5

2.0

2 2 4 6

1.5

1.0

0.5

2 2 4 6

1.5

1.0

0.5

20 10 10 20

3

2

1

1

2

3

20 10 10 20

3

2

1

1

2

3


5

Fig.4,b Graficele F U N C I I L O R R E G E de s rex1s()

cu evidenierea hiperbolelor n 2D i cu imagini 3D i

3. APLICAII ALE F U N C I I L O R R E G E rex1,2 i Rex1,2 S-a afirmat anterior c aceste funcii rege (FR) pot reprezenta graficele tuturor curbelor plane.

Exemplificrile sunt redate n figura 5, n care este reprezentat un cerc i, prin baleierea/varierea

excentricitii liniare numerice s sau reale e, acesta poate fi translatat de-a lungul axei x n sens invers semnului

excentricitii (Fig. 5,a) i, prin excentricitatea unghiular ( =

n Fig.5,a ), acet cerc poate fi rotit n jurul

originii. n acest fel, simplu, poate fi realizat o animaie (Fig.5,b ). n dreapta figurii 5,a este reprezentat o

elips (unitate pe y b = 1). Pentru excentricitai diferite, n cele dou ecuaii parametrice, se obine o form de

trilob (Fig.5,c ) i diverse spirale excentrice, precum i diverse roze (Fig.5,c ) i ovale (Fig.5,d).


6

a = 1,5, b = 1

Fig.5,a Deplasarea pe direcia x = - e i rotirea unui cerc n jurul originii O(0, 0) pe cercul de raza e, n sens

invers excentricitii unghiulare i descrierea unei elipse/oval unitate pe y (a =1,5 ; b = 1)

Fig.5,b Animaia deplasrii unui cerc C(O,1) n sensul negativ al axei x cu pasul 0,5

i n sensul negativ al axei y cu pasul 0,1

1.0 0.5 0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5

1.0

0.5

0.5

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

number of curves 10

rangeof plot 2

show scale

number of curves 10

rangeof plot 2

show scale

1.0 0.5 0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

2 1 1 2

2

1

1

2

1.5 1.0 0.5

1.0

0.5

0.5

1.0


7

]

]

Fig.5,c Roze i spirale reprezentate cu funcia rege

s = 0,2 s = 0,3 s = 0,4

Fig.5,d Ovale descrise de funcia rege pentru diverse valori ale excentricitii numerice s

Se tie c funciile circulare centrice (FCC) cos i sin se pot obine prin proieciile, pe cele dou axe

de coordonate, ale razei centrice = , denumit aa, deoarece este radial centric, din originea O(0, 0),

orientat pe direcia dat de unghiul la centru i de modul unitate = 1.rad.

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.5 0.5 1.0

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.5 1.0

0.5

0.5

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1

2

3

4

5


8

La fel se poate proiecta raza excentric = = rex rad = Rex rad din excentrul E(e, ) pe cele dou axe de coordonate ale unui reper i obine funciile supermatematice circulare excentrice de rex

(rege) (FSM-CE), avnd originea n E i de variabil excentric (cer1,2 i ser1,2), respectiv de variabile

centrice (Cer1,2 i Se 1,2)

(5)

i

(6)

cu graficele din figura 6,a , pentru un excentru S(s[-1,+1]); = 0) i de S(s[-1,+1]);) =

) .

Au fost denumite cosinus de r i sinus de r, FSM-CE de rex i notate cer, Cer i ser, Ser. Prin

modificarea excentricitii liniare s i a celei unghiulare , curbele cer = rex.sin se eleveaz (ridic sau

coboar) simultan cu modificarea formelor lor, aa cum se poate constata din figura 6,a .

S-a adugat un r (de rex rege) pentru a nu se confunda cu FSM circulare elevate cosinus elevate

cel, sel i sinus elevate Cel, Sel definite de cazul n care originea sistemului de coordonate O coincide cu

excentrul S(s,), iar centrul cercului unitate C(0,0) rmne neschimbat, adic O(s,) S(s,) C(0,0) i sunt exprimate de relaiile

(7)

n cazul funciilor centrice elevate (Fig. 6,b) i

(8)

n cazul funciilor supermatematice circulare excentrice elevate (FSM-CE-EL)

cer = rex.sin

=

cer = rex.sin

Pi62])Sin[ ]},{ ,0,2Pi}]] ser = rex.sin

Fig.6,a Funcii supermatematice circulare excentrice de r (rex) (FSM-CER-EL) elevate

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5


9

Rex.cos[()]= Cer Rex.sin[()] = Ser

=

=

=

]] =

=

=

=

]] =

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5


10

= 0

=

Fig. 6,b Graficele FSM-CER-EL Cer = Rex.cos[()] i Ser = Rex.sin[()]

Fig.6,c Funcii periodice elevate centrice coel i siel ca funcii circulare centrice elevate cu fraciuni din s

Fig.6,d Funcia circular centric (FCC) sin = sex = Rex.sin[()]

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5


11

cos / Rex e [-1, 1], pasul 0,2

sin /Rex e [-1, 1], pasul 0,2

cos / Rex 3D

sin /Rex 3D

cos / Rex e = 1 sin /Rex

Fig. 7,a Funcii periodice n dini de f(i)erestru: cosinus R cosR i sinus R sinR

Din figura 6,a i 6,b se observ c familiile de funcii excentrice Rex(

).cos[()

i

Rex.sin() degenereaz ntr-o unic funcie circular centric cos i, respectiv, sin, oricare ar fi excentricitatea liniar

numeric s [-1, +1], adic

(9)

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0


12

Cex[,S(s,

)] = cos(,s,

)

Cex[,S(s, )] = cos(,S(s, )]

cex / Rex 3D, =

cex / Rex 3D, = 0

Fig.7,b Funcii supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) de variabil centric

Cex[, S(s,

)] = cos(,s,

) i Sex

Au fost numite funcii circulare de r (rex) i de variabil centric cosinusul, notat i, respectiv, sinusul,

notat , funciile:

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0


13

(10)

cu graficele din figura 6,b .

Prin mprirea FCC cos i sin cu funcia rege Rex se obin, pentru s = 1, funcii n dini de f(i)erestru

asimetrici, aa cum sunt reprezentate n graficele din figurile 7,a.i figurile 7,b.

Grafice asemntoare le prezint i funciile supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) de variabil centric ,

adic Cex[,S(s,

)] = cos(,s,

) i Sex = sin() nu i cele de excentriciti inverse, adic Cex = cos()

Sex[,S(s,

)] = sin(,s,

) aa cum se poate observa din graficele prezentate n figura 7,b.

Fig.8,a Deformaia unei piese cilindrice la fixarea n mandrine cu 3 bacuri exprimat cu funcia rege rex3

i vibraiile radiale ale unui inel cilindric la o anumit frecven exprimate cu funcia rege rex6

Fig.8,b Deformaia unei piese cilindrice la fixarea n mandrine cu 3 bacuri exprimate cu funcia rege Rex3

i vibraiile radiale ale unui inel cilindric la o anumit frecven exprimate cu funcia rege Rex6

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0


14

Fig. 9 Transformarea continu a unui cerc de raza R n dou cercuri de raze R/2 sau

descrierea n 3D a unui vas de amestec

Cea mai simpl aplicaie a funciilor rege o reprezint descrierea deformaiilor unui inel cilindric la

centrarea i fixarea lui ntr-o mandrin de strung cu 3 bacuri (n stnga Fig.8,a i Fig.8,b) i/sau descrierea

vibraiilor radiale ale acestui inel la o anumit frecvena de excitaie (n dreapta Fig.8,a i Fig.3,b).

Graie posibilitiilor simple de descriere ale obiectelor geometrice din figura 9, (Numai cu o singur

ecuaie parametric simpl ai desenat acest obiect tehnic ? am fost ntrebat) care ar putea reprezenta jonciuni

de evi de diverse dimensiuni / diametre, autorul a fost invitat la Universitatea din Budapesta, n anul 1989, s

susin o conferina despre aceste funcii, care pot descrie mult mai simplu diverse piese mecanice de forme

complexe (vezi avionele www.supermatematica.ro) , dect programele clasice, cunoscute, de desenare / proiectare

asistate de calculator (CAD-CAM).

Fig.10 Cinematica mecanismului C-B-M centric

http://www.supermatematica.ro/


15

s [0, 1] D E P L A S A R E A s = R. rex[, E(e, = )] s [0,1; 0,4]

s [0, 1] s [0,1; 0,4] V I T E Z A V = dS/dt = R. d(rex) / dt = = R..rex = R. .dex . sin

s [0, 1] A C C E L E R A I A a s [0,1; 0,4]

Fig.11. Graficele deplasare/spaiu, vitez i acceleraie ale mecanismului motor culis-bielmanivel

centric corespunztoare excentricitii numerice s de

s = - e / R [ 0; 1] < 0 i = 0 sau s [0,6 ; 0,8] > 0 i =

www.supermathematica.com www.supermatematica.ro www.supermathematica.org

Descrierea cursei, vitezei i a accelariei mecanismului culis biel manivel (C-B-M), centric i

excentric, cu detalii n lucrarea [3], pot fi realizate, la fel de simplu, cu ajutorul acestor funcii, deoarece, cursa

mecanismului este descris de funcia rege rex de excentricitate negativ e = r < 0 : (11) S = R. rex[, E(e, = )], cursa sau deplasarea, (12) V = dS/dt = R. d(rex)/dt = = R..rex = R. .dex. sin,viteza i

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.5

2.0

1 2 3 4 5 6

0.8

1.0

1.2

1.4

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

0.4

0.2

0.2

0.4

1 2 3 4 5 6

2

1

1

1 2 3 4 5 6

0.4

0.2

0.2


16

(13) A = S = R.d2(rex) / dt2 = R.2.d(rex)/d, acceleraia mecanismului C-B-M. aa cum se poate observa n schia din figura 10 i cu expresiile finale din reaiile (11, 12 i 13) precum i cu

graficele din figura 11.

Expresiile explicite ale cursei, vitezei i ale acceleraie mecanismului C-B-M sunt prezentate n relaiile

urmtoare (14):

(14)

222 sineR 22 sin1 s

Sub formele (15)

(15)

funciile rege rex i Rex pot exprima FSM-CE derivate excentrice dex i, respectiv, Dex care, la rndul lor,

pot exprima raportul vitezelor unghiulare

, a turaiilor

sau a vitezelor tuturor mecanismelor plane cunoscute,

la funcionarea acestuia ntr-un sens, deoarece dex =

i n sens invers Dex =

=

(Fig. 12).

Funciile sunt cunoscute n Matematicile Speciale ca funcii delta de , del sau S = i = C a fost introdus de autor prin similitudine cu S.

Fig. 12,a FSM-CE dex1 = DW1 expresia universal a raportului de transmitere de ordinul 1 ale

vitezelor unghiulare sau ale turaiilor, cazul s < 1

Fig. 12,b Transmisie prin friciune frontal. Roata conductoare (1) are o micare de translaie radial centric,

oscilant, cu viteza instantanee Ve, ntr-o patin cu micare circular,

n jurul excentrului E(e, = t), cu viteza unghiular constant E


17

n domeniul vibraiilor, funcia rege, de excentricitate liniar variabil, egal cu ptratul pulsaiei normate

curente s = e = 2 i de excentricitate unghiular = 0 pentru s i = pentru s , poate exprima direct

compliana normat sau factorul (de fapt, funcia) de amplificare A1, dat de relaia (14), n care

= Rex1

i reprezint rigiditatea dinamic a unui sistem dinamic de ordinul doi, cu amortizare vscoas liniar,

reprezentat grafic n figura 13 de segmentul [4], iar dac PO se consider un excentru punct fix E(e =

, =

), situat pe cercul de rspuns CR, atunci A1 se exprim ca produs dintre raza

a cercului de rspuns

CR i funcia rege rex sau Rex, adic

(14) A1 =

Fig.13 Grafica rigiditii dinamice Rd = = rex[, S( )]= Rex1 Legend : CU/CT Cerc unitate/cerc trigonometric ; CR Cercuri de rspuns ; CF Cec fundamental.

www.supermathematica.com www.supermatematica.ro www.supermathematica.org

(15) A1 =

=

,

n care este factorul de amortizare, sau fraciunea din amortizarea critica cc, exprimat de relaia

(16) =

i pulsaia (sau, impropriu, frecven) normat sau adimensional este :

(16) =

ca raport dintre pulsaia de excitaie i pulsaia proprie a sistemului cu amortizare vscoas liniar 0,

considerat a fi pulsaia de rezonan a vitezei v

(17)

,

Se vor nota

(18) 12. 2 = cos 1 sau

1 = 2.arcsin = arccos(12

2 ).

Rezult c

(19) sin 1 = = 2 Deoarece 1 i au aceeai ordonat

(20) y = 1.sin 1 = r1.sin


18

se poate determina unghiul la excentrul S(s = 2, 0) i, astfel, exprima rigiditatea dinamic i ca funcie de rex.

Fig. 14. Rigiditatea dinamic n varianta veche [0, + ) i n cea nou i pentru (-, + )

Variabiala excentric sau unghiul este :

(21) = arctan

Ca urmare, rigiditatea dinamic exprimat ca funcie de variabila excentric este ;

(22) Rd = rex = = (arctan

) +

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


19

Se tie c inversa complianei A1 (Fig. 15,a i Fig.15,b) este rigiditatea dinamic Rd (Fig.14) astfel c

aceasta are expresia

(23) R d = 1/A1 = Rex1

Si, totodat, este i funcia generatoare a polinoamelor Legendre, astfel c

(24) A 1=

.

n concluzie,

(25) A1 =

,

ca raport dintre amplitudinea A de vibraie la pulsaia normat i amplitudinea static Ast, pentru = 0.

n lucrarea [4] s-a artat c n partea de Dinamic a Mecanicii, cu referire la vibraiile mecanice, s-a

produs o omisiune regretabil i o mare greal prin reprezentarea amplitudinilor de vibraie numai pentru valorile

pozitive, pe axa absciselor, ale raportului =

(Fig.15,b ).

Raportul pulsaiilor este egal cu raportul turaiilor

, deoarece i . Ce nsemn o

valoare negativ pentru ? nseamn c, dac ceva s-a rotit pentru un raport pozitiv n sens dextrorum

(dextrogin), ei, bine, pentru un raport negativ se va roti n sens invers, adic sinistrorum (levogin) sau

trigonometric ! Nimic mai simplu ! De aceea, n-am neles i n-am s neleg niciodat, de ce specialitii n

vibraii se opun cu atta cerbicie / ardoare acestei observaii (Ce, exist frecven negativa ? zic ei !), cnd negarea

acestui adevr simplu i evident frizeaz, n mod real, absurdul.

Fig.15,a Rspunsul n frecven al unui sistem oscilant cu o puternic amortizare vascoas PO [( )]

Se tie c, n practica de laborator, aparatele Bruel & Kjaer afieaz funcia /curba de amplificare i sau

elongaia (aparent) sinusoidal n realitete sexoidal sex ), dar de excentriciti extrem de mici, ceea ce

face s se confunde curba cu o sinusoid pentru o anumit frecven (pulsaie) de excitaie a sistemului oscilant

investigat.


20

Pentru determinarea amortizrii unui sistem oscilant, se baleaz frecvena de excitaie i se determin amplitudinea maxim AM ce corespunde pulsaiei de rezonan (propie) a sistemului, considerat a fi pulsaia

vitezei , moment n care, funcia A.sin( ) de pe ecranul aparatului sare brusc pe orizontal, se

deplaseaz cu un pas egal cu , ceea ce faciliteaz depistarea momentului atingerii pulsaiei de rezonan a

sistemului, simultan cu scderea amplitudinii sinusoidei, pentru

Prin fixarea lui la valoarea , aparatul tie s mpart amplitudinea maxim cu , numai prin

rotirea unui buton i s ofere valorile A1( ) = A2( ) ,coordonatele punctelor de semiputere.

Semnificaia fizic a acestor puncte este urmtoarea: energia disipat de amortizor, cnd sistemul vibreaz

cu amplitudinea corespunztoare punctelor de semiputere, este jumtate din energia introdus de excitaie n

sistem, cnd acesta funcioneaz la rezonan.

ntre banda de pulsaii , delimitat de punctele de semiputere, pulsaia la rezonan i coeficien-tul de amortizare relativ exist dependena:

(26) =

Privii v rog cu atenie curbele de amplificare din figura urmtoare (Fig. 15,a stnga). Cu creterea

amortizrilor punctele de maxim ale curbelor se apropie de dreapta y = 1. Exist o amortizare, pentru care niciun

punct al curbei nu va fi peste valoarea y = 1, caz n care curba are (greit / aparent) o singur ramur, cea de

coborre spre y = 0 i, n consecin, punctul A2( ) poate fi determinat, nu i punctul A1( ) care, n

reprezentarea veche, cu =

, aparent, nu mai exist ! nsemn ca amortizarea acestui sistem nu

poate fi determinat ? Nicidecum ! n figura 15,a este prezentat corect un astfel de caz, att pentru > 0 ct i

pentru < 0, pentru care exist ambele punctele de semiputere P1 i P2; P1 n cadranul II i P2 n cadranul I, astfel

c i amortizarea unui astfel de sistem poate fi determinat.

Fig.15,b Diagramele amplitudine-frecven se mai numesc curbe de rezonan,

funcia de amplificare sau curbe de rspuns n frecven

Pentru un punct PO (Fig. 13) pe axa , amortizarea sistemului este nul i cu deplasarea puncului PO, pe

cercul unitate CU/CT, n sens trigonometric (sinistrorum / levogin) amortizarea sistemului crete. De aceea, n

figura 15,a, de reprezentare a unui sistem de amortizare mai ridicat, poziia punctului este mai sus dect n

figura 13.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0.5

1.0

1.5

2.0


21

Fig.15,c Diagramele amplitudine-frecven corecte se mai numesc curbe de rezonan,

funcia de amplificare sau curbe de rspuns n frecven

Ca urare, graficele corecte sunt cele prezentate n figura 15,c, pe toat axa pulsaiilor normate, adic,

pentru [-,+]. QED.

4. C O N C L U Z I E

Sunt funciile rex i Rex adevrate funcii rege cum le-a denumit profesorul Octav Em.

Gheorghiu ? Aceasta este ntrebarea ! Rspunsul este evident : DA !

B I B L I O G R A F I E

1 Gheorghiu Em.

Octav

elariu Mircea

Bozntan Emil

FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE

DE SUM DE ARCE

Ses.de com.t.stud.,Secia

Matematic,Timioara, Premiul II la

Secia Matematic, 1983

2 Gheorghiu Em.

Octav

elariu Mircea

Cojerean Ovidiu

FUNCII CIRCULARE EXCENTRICE.

DEFINIII, PROPRIETI, APLICAII

TEHNICE.

Ses. de com. t.stud. Secia Matematic,

premiul II la Secia Matematic, pe anul

1985.

3 elariu Mircea Eugen

MECANISMUL MOTOR CULIS BIEL -

MANIVEL

www.cartiaz.ro


TRANSFORMAREA RIGUROAS N

CERC A DIAGRAMEI POLARE A

COMPLIANEI

Bul. t. i Tehn. al Univ. POLITEHNICA

din Timioara,

SERIA MECANIC

Tom 47(61) 2002


SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE Editura POLITEHNICA din

Timioara,2007

3 2 1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0


22


SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE

Vol. I, Ediia a 2-a

Editura POLITEHNICA din

Timioara,2012


SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE

Vol. II , Ediia a 2-a

Editura POLITEHNICA din

Timioara,2012


STUDIUL VIBRAIILOR LIBERE ale UNUI

SISTEM NELINIAR, CONSERVATIV cu

AJUTORUL FUNCIILOR CIRCULARE

EXCENTRICE

Com. I Conf. Na. Vibr.n C.M.

Timioara,1978, pag. 95...100


APLICAII TEHNICE ale FUNCIILOR

CIRCULARE EXCENTRICE

Com.a IV-a Conf. PUPR, Timioara,

1981, Vol.1. pag. 142...150

10 elariu Mircea Eugen DETERMINAREA ORICT DE EXACT A

RELAIEI DE CALCUL A INTEGRALEI

ELIPTICE COMPLETE DE SPETA

NTIA K(k)

Bul. VIII-a Conf. De Vibr. Mec.,

Timioara,1996, Vol III, pag.15 ... 24.

11 elariu Mircea Eugen RIGIDITATEA DINAMIC EXPRIMAT

CU FUNCII SUPERMATEMATICE

Com.VII Conf. Interna. De Ing. Manag.

i Tehn., TEHNO95 Timioara, 1995

Vol.7 : Mecatronic, Dispoz. i Rob.

Ind., pag. 185194

12 elariu Mircea Eugen DETERMINAREA ORICT DE EXACT A

RELAIEI DE CALCUL A INTEGRALEI

ELIPTICE COMPLETE DE SPETA

NTIA K(k)

Bul. VIII-a Conf. De Vibr. Mec.,

Timioara,1996, Vol III, pag.15 ... 24.

13 elariu Mircea Eugen FUNCIILE SUPERMATEMATICE

CIRCULARE EXCENTRICE DE

VARIABIL CENTRIC CA SOLUII ALE

UNOR SISTEME OSCILANTE NELINIARE

TEHNO 98. A VIII-a Conferina de

Inginerie Managerial i Tehnologic,

Timioara 1998, pag 557572

14 elariu Mircea Eugen QUADRILOBIC VIBRATION SYSTEMS The 11 th International Conference on

Vibration Engineering, Timioara, Sept.

27-30, 2005 pag. 77 82

Timioara, februarie 2015

Lucrare supervizat i corectat de Prof. ing. Ioan Ghiocel

www.supermatematica.ro;

www.supermathematica.com;

www.supermathematica.org;

www.supermatematicaonline.blogspot.ro;

www.cartiaz.ro.

http://www.supermatematica.ro/http://www.supermathematica.com/http://www.supermathematica.org/http://www.supermatematicaonline.blogspot.ro/

mircea eugen selariu - functia rege

Documents