Linearno programiranje predstavlja metodu određivanja optimalnog rješenja problema odlučivanja kod kojih su relacije između promjenjljivih u funkciji cilja i skupu ograničenja linearne.

Optimalno rješenje je “najbolje” rješenje iz skupa dopustivih rješenja u skladu sa usvojenim kriterijem za koje funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost - maksimum ili minimum.

Matematička formulacija zadatka linaranog programiranja sastoji se u tome da je potrebno pronaći takav skup vrijednosti promjenljivih iz domena dopustivih rješenja D, koji je određen sistemom linearnih nejednačina/jednačina, za koji funkcija cilja dostiže maksimalnu/minimalnu vrijednost.

Xj - strukturna promjenljivaz - funkcija ciljacj - koeficijent kriterija po jedinici j-te promjenljiveaij - strukturni koeficijenti u ogranicenjimabi - slobodni koeficijent u i-tom ogranicenju

Problemi poslovnog odlučivanja koji se rješavaju metodama linearnog programiranja moraju biti kvantificirani kroz slijedeće komponente:

1. alternativne aktivnosti, 2. kriterij i cilj i3. ograničenja

Minimalna matematička reprezentacija problema linarnog programiranja definiše se:1. skupom promjenljivih 2. funkcijom cilja (kriterija) i3. skupom ograničenja.

Promjenljive odražavaju alternativne metode ili procese za postizanje cilja, odnosno govore o tome da se do rješenja problema poslovnog odlučivanja može doći na alternativne načine.

Rješenje zadatka linarnog programiranja predstavljaju vrijednosti promjenljivih za koje funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost.

Definisane promjenljive se predstavljaju u n-dimenzionalnom prostoru R vektorom

Najčešće definisanje promjenjljivih u linearnom modelu odnosi se na:1. - Obim proizvodnje ( u kom, kg, l isl.)2. - Utroške pojedinih sirovina3. - Količinu nabavke proizvoda4. - Količinu prodaje proizvoda5. - Nivo zaliha6. - Broj dionica7. - Relativno učešće u strukturi8. - Iznos ulaganja ( u NJ i sl.)

Funkcija cilja linearnog modela je linearna funkcija sa n promjenljivih za koju je potrebno odrediti ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum).

Funkcija cilja može se matematički definisati na slijedeći način:

gdje je jedinični koeficijent kriterija.

1

xT=( x1 , x2 , .. . , xn )

z=c1 x1+c2 x2+. . .+cn xn→ (max/min )c j

Skup ograničenja definiše u n-dimenzinalnom prostoru domen ili skup dopustivih rješenja D.

Osnovne pretpostavke linearnog modelaa) linearnost funkcije cilja i skupa ograničenja b) diskretnost procesa, odnosno promjenljivih c) izvjesnost d) proporcionalnost procesa u funkciji cilja i ograničenjimae) aditivnost procesa u funkciji cilja i ograničenjima f) proizvoljna djeljivost procesa g) konačan broj promjenljivih i ograničenja

Ograničavajući uslovi linearnog modela definisni su sistemom od m linearnih nejednačina/jedančina, tako da sistem može biti:

a) protivrječanb) nije protivrječan, ali je domen D neograničenc) nije protivrječan i domen D je ograničen

Ograničenja izražena u obliku linearnih jednačina proizilaze iz specifičnih zahtjeva, kao:a) potpuna iskorištenost resursab) struktura proizvodnog asortimana koja iznosi 100% ili1c) struktura investiciong portfolija (izražena vrijednosno ili kao relativno učešće u

strukturi čiji je zbir 1)d) struktura smjese (izražena količinski ili kao relativno učešće u strukturi čiji je zbire) proizvodnja vezanih proizvodaf) zavisnost promjenjljivih

Svaki model linearnog programiranja mora udovoljiti narednim pretpostavkama:a) Lineranost funkcije cilja i skupa ograničenjab) Diskretnost procesa, odnosno promjenjljivihc) Izvjesnostd) Proporcionalnost procesa u funkciji cilja i ograničenjimae) Aditivnost procesa u funkciji cilja i ograničenjimaf) Proizvoljna djeljivost procesag) Konačan broj promjenjljivih i ograničenja

Na osnovu oblika matematičkih izraza za ograničenja razlikuju se slijedeća tri oblika linearnog modela:

1. standardni ili simetrični, 2. kanonski i3. opšti ili asimetrični.

Standardni oblik ima slijedeće karakteristike :1. kod linearnog modela za maksimum sva ograničenja su izražena nejednačinama

forme manje ili jednako (£),2. kod linearnog modela za minimum sva ograničenja su izražena nejednačinama

forme veće ili jednako (³). Kanonski oblik linarnog modela ima karakteristiku i kod problema za maksimum i za

minimum da su sva ograničenja izražena u formi jednačina (=). Opšti oblik linernog modela za maksimum i minimum ima osobinu da sadrži neku

kombinaciju formi ograničenja manje ili jednako, jednako i veće ili jednako (£, =, ³).

2

Standardni oblik linernog modela za maksimum je slijedeći :

Standardni oblik linearnog modela za minimum je:

• Kanonski oblik linearnog modela za maksimum glasi:

Svođenje na kanonski oblik modela je značajno i neophodno prilikom rješavanja problema linearnog programiranja simpleks metodom.

Oblici linearnog modela – transformacije : Standardni oblik u kanonski ( dopunske promjenjljive) Opći u standardni Opći u kanonski

Standardni oblik za maksimum transformiše se u kanonski pretvaranjem sistema ograničenja oblika nejednačina £ u jednačine tako da se na lijevim stranama ograničenja dodaju promjenljive koje se nazivaju dopunske ili izravnavajuće promjenljive . Koeficijenti u funkciji cilja za dopunske promjenljive jednaki su nuli.

Standardni oblik za minimum transformiše se u kanonski pretvaranjem sistema ograničenja oblika nejednačina ³ u jednačine tako da se na lijevim stranama ograničenja oduzimaju dopunske promjenljive, sa koeficijentima u funkciji cilja jednakim nuli.

Postoje dvije osnovne grupe metoda pomoću kojih se mogu rješavati problemi linearnog programiranja:

simpleks metoda – opća metoda metode prilagođene rješavanju specijalnih vrsta problema, npr. transportni

problem, asignacija

3

z=∑j=1

n

c j x j→max

z=∑j=1

n

c j x j→min

z=∑j=1

n

c j x j→max

z=∑j=1

n

c j x j→max

z=∑j=1

n

c j x j→min

GRAFIČKA INTERPRETACIJA RJEŠAVANJA PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Sistem nejednačina/jednačina ima rješenje ako je sistem saglasan, tj. ako je rang matrice sistema (koeficijenti uz promjenljive) jednak rangu proširene matrice (koeficijenti uz promjenljive i slobodni članovi u ograničenjima). Rješenje sistema u ravni može se predstaviti kao:

1. poluravan (a) 2. zatvoreni poligon (b) 3. prava, poluprava, duž (c) ili tačka.

Linearna forma predstavlja familiju paralelnih pravih pošto koeficijent pravca ne zavisi od promjenljive z.

Rješenje problema se sastoji u određivanju one prave koja sa skupom D ima bar jednu zajedničku tačku, a u kojoj linearna forma dostiže maksimalnu/minimalnu vrijednost.

U slučaju da su koeficijenti u funkciji cilja c1, c2≥0: Maksimalana vrijednost funkcije cilja postiže se u posljednjoj tački (tačkama) presjeka z i

domena D, i Minimalana vrijednost funkcije z dobija se u prvoj tački ( tačkama) presjeka z i domena D.

U slučaju da je jedan od koeficijenata c1, c2 negativan, onda: Maksimalna vrijednost linearne forme postiže se pomjeranjem grafikona z duž ose x1 ili

x2 kojoj odgovara promjenjljiva sa pozitivnim koeficijentom, i Minimalna vrijednost postiže se pomjeranjem grafikona duž ose x1 ili x2 kojoj odgovara

promjenjiljiva sa negativnim koeficijetom

PRINCIPI SIMPLEX METODE Sastoji se od dvije faze:

1. svođenje općeg/standardnog oblika linearnog modela na kanonski i2. simpleks algoritam koji sadrži: Korak 1. - određivanje dopustivog bazičnog rješenja i Korak 2.- poboljšanje dobijenog bazičnog rješenja

Simpleks metoda može se provoditi:a) 1. rješavanjem sistema jednačinab) 2. tabelarnoc) 3. Matrično

Kanonski oblik je pogodan za rješavanje simpleks metodom i zadovoljava sljedeće uslove:a) Sve promjenjljive u modelu su nenegativneb) Sva ograničenja predstavljena su linearnim jednačinamac) U svakom ograničenju sve promjenjljive se nalaze na lijevoj strani, a

slobodni koeficijenti na desnoj strani jednačina.d) Slobodni koeficijenti u ograničenjima su nenegativeni.e) Matrica strukturnih koeficijenta u ograničenjima A sadrži bar jednu

jediničnu matricu na m kolona i n redova kao svoju submatricu.

4

Dopustivo bazično rješenje može biti: nedegenerisano – ima tačno m pozitivnih vrijednosti promjenjljivih degenerisano – ima manje od m pozitivnih vrijednosti promjenjljivih

Osobine dopustivog bazičnog rješenja: Sadrži sve pozitivne vrijednosti promjenjljivih osim u slučaju degeneracije. Svaka promjenjljiva koja ga čini može se pojaviti samo u jednom ograničenju sa

strukturnim koeficijentom 1. Promjenjljive koje čine početno bazično rješenje su:

dopunske promjenjljive artificijelne promjenjljive

Vrijednosti promjenjljivih koje čine početno dopustivo rješenje jedanke su slobodnim koefcijentima u ograničenjima.

Svaka iteracija sastoji se od tri koraka:a) Utvrđivanje da li je dobijeno rješenje optimalno i ako nije određivanje

promjenjljive koja treba ući u bazu.b) Određivanje promjenjljive koja napušta bazu.c) Transformacija koeficijenta sistema jednačina, odnosno elemenata simpleks

tabele i koeficijenata u kriteriju optimalnosti rješenja

Rješavanje općeg problema LP simpleks metodom korištenjem duala – netransformisani dual

Teorema dualiteta : maksimalna vrijednost funkcije cilja orginala jednaka je minimalnoj vrijednosti funkcije cilja primala i obrnuto.

Vrijednosti dualnih promjenjljivih su: nenegativne( ograničenja oblika ≤ kod maksimum problema primala i na ograničenja

oblika ≥ kod minimum-problema orginala) nepozitivne ( ograničenja oblika ≥ kod maksimum problema primala i na ograničenja

oblika ≤ kod minimum-problema orginala) nenegativne ili nepozitivne kod ograničenja oblika jednačina primala.

Dualni model linearnog programiranja može biti: simetrični – polazi od standardnog oblika primala , asimetrčni - polazi od općeg oblika primala

Pravila za formiranje dualnog modela na bazi primala: Ako je primal za maksimum, dual će biti za minimum i obratno. Koeficijenti u funkciji cilja primala postaju slobodni koeficijenti u ograničenjima duala. Slobodni koeficijenti u ograničenjima primala postaju koeficijenti u funkciji cilja duala. Matrica strukturnih koeficijenata primala transponovanjem se transformiše u matricu

strukturnih koeficijenta duala. Dual se uvijek piše u standardnom obliku za maksimum ili minimum.

5

6