merna nesigurnost

1/24/2011

1

Obrada rezultata merenja

2

Sadržaj

• Greške merenja– Grube greške;– Sistematske greške;– Slučajne greške.

• Merna nesigurnost– Standardna merna nesigurnost;

• Merna nesigurnost tipa A

• Merna nesigurnost tipa B

– Kombinovana merna nesigurnost;– Proširena merna nesigurnost.

1/24/2011

2

3

Osnovna literatura• Guide to the expression of uncertainty

in measurement, ISO, 1993.• EA-4/02, Expression of the uncertainty of

measurement un calibration, Europian co-operation for accreditation, 1999.

• J. Hodolič, M. Stević, I. Bešić, A. Antić, R. Palenčar, M. Halaj: Merna nesigurnost u industrijskoj metrologiji, Tempus project br. IB_JEP-41120-2006, Novi Sad, 2009.

4

Greške merenja

Ne postoji rezultat merenjakoji ne sadrži grešku merenja!

1/24/2011

3

5

Primer: Uticaj okoline na merni instrument

temperatura okoline

napon napajanja

temperatura okoline

6

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja

vlažnost vazduha

temperatura okoline

1/24/2011

4

7

Primer: Uticaj mernog instrumenta

na objekt merenja

8

Odbrana

∆x1

∆x2

∆x3

∆x4

∆x5

∆x6

∆xm∆xn

1/24/2011

5

9

Greška merenja

Rezultat merenjaminusprava vrednost merene veličine.

Tm XXX −=∆

T

Tm

X

XX

X

X −=∆

apsolutna greška:

relativna greška:

10

Podele grešaka

• Grube greške;• Sistematske greške;• Slučajne greške;

Podela grešaka prema uzroku nastanka:

1/24/2011

6

11

Grube greške

• Definicija;• Primeri grubih grešaka;• Uzroci nastajanja;• Otkrivanje grubih grešaka;• Korekcija rezultata merenja;

12

Primer

Serija 1.

1/24/2011

7

13

Sistematske greške

• Definicija;• Primeri sistematskih grešaka;• Uzroci nastajanja;• Otkrivanje sistematskih grešaka;• Korekcija rezultata merenja;

14

Slučajne greške

• Definicija;• Primeri slučajnih grešaka;• Uzroci nastajanja;• Obrada rezultata merenja;

1/24/2011

8

15

x

N

x

∆N∆X

∆X

x

dNdX

µ σσ

1

2

2

22

σ π

µσe

x− −( )

( )

umesto

aritmeticka sredina

umesto

standardno odstupanje

µ

σ

:

:

XN

X

sN

X X

ii

N

ii

N

=

=−

−

=

=

∑

∑

1

1

1

1

2

1

σ1 < σ2 < σ3

σ3

σ2

σ1

Manifestacija slučajne greške

16

( )P a X b e dxx

a

b

< < =− −

∫1

2

12

2

σ π

µσ

( )( )( )( ) 997,033

955,022

682,0

500,0674,0674,0

=+<<−=+<<−

=+<<−=+<<−

σµσµσµσµ

σµσµσµσµ

XP

XP

XP

XP

a b X

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xiimati vrednost u intervalu [a, b] ?

• za rezultate dobijene eksperimentom;• za teorijsku raspodelu:

verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u intervalu [a, b]:

1/24/2011

9

17

Merna nesigurnost

• Parametar, pridružen rezultatu merenja,koji karakteriše disperziju vrednostikoje bi razumno mogle da se pripišumerenoj veličini.

18

Rezultat merenja

• već interval, u kome se opravdano pretpostavljada se nalazi prava vrednost merene veličine.

X

X

• ne broj,

1/24/2011

10

19

Standardna merna nesigurnost

• Ocena merne nesigurnosti tipa A

• Ocena merne nesigurnosti tipa B

20

Merna nesigurnost tipa A

• Standardna nesigurnost u(x)rezultata , od N ponovljenih merenja:

( ) ( )2

1

1 1( )

1

N

ii

u x s X x XNN =

= = −− ∑

X

gde je: ∑=

=N

iix

NX

1

1

1/24/2011

11

21

Merna nesigurnost tipa B

• prethodnih mernih podataka;• iskustva i opšteg znanja o ponašanju

i svojstvima relevantnih mernih sredstava;• specifikacija proizvoñača;• podataka o kalibraciji ili sertifikata;• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;• ...

Standardna nesigurnost u(x) se procenjujena osnovu dostupnih informacija iz:

PodsetnikPodsetnikiiz teorije verovatnoćez teorije verovatnoće

1/24/2011

12

2323

Slučajne promenljiveSlučajne promenljive

Diskretne slučajne promenljiveDiskretne slučajne promenljive Kontinualne slučajne promenljiveKontinualne slučajne promenljive

2424

Diskretne slučajne promenljiveDiskretne slučajne promenljive

Primeri:

( )

≤≤

>>=

616

1

610

i

iip

Bacanje novčića;Bacanje novčića;

KKockockaa;;

1/24/2011

13

2525

Svojstva raspodeleSvojstva raspodele

Aritmetička sredinaAritmetička sredina::

( ) ∑∑=

∞

−∞=

==6

1

16

1

ii

ip

Standardna devijacijaStandardna devijacija::

i ( ) ∑ ∑∑= =

∞

−∞=

==

==6

1

6

1

5,36

1

6

1

i ii

iiipii

σ

( ) ( ) ( )∑∑=

∞

−∞=

≈⇒≈

−=−=6

1

222 71,1;92,26

15,3

ii

iipii σσ

2626µ

p(x)

σ

x

Kontinualne slučajne promenljiveKontinualne slučajne promenljive Normalna raspodelaNormalna raspodela

( )2

2

1

2

1

−−=

=

σµ

πσ

x

e

xp

1/24/2011

14

2727



( ) 1=∫∞

∞−dxxp


( ) µ=∫∞

∞−dxxpx

( ) ( )∫∞

∞−=− 22 σµ dxxpx

2828

Ravnomerna raspodelaRavnomerna raspodela

( )

≤≤>>

=bxaA

bxaxp

0

1/24/2011

15

2929



( ) abAdxAdxxpb

a−=⇒== ∫∫

∞

∞−;1


( ) ( )badxab

xdxxpxxb

a+=

−== ∫∫

∞

∞− 2

11

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−−=⇒

−−=−=

b

aabdx

abxxdxxpxx

32

1;

1222 σσ

x

σ

30

Merna nesigurnost tipa B

• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);• sa jednakom verovatnoćom može naći

bilo gde u navedenom intervalu.

Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost merene veličine X :

Kako treba definisati parametar,koji bi bio u saglasnostisa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?

1/24/2011

16

31

• Dakle:

p(x): gustina raspodele verovatnoće

32

( ) σ=xu

• Odgovarajući parametar:

za datu raspodelu.

( ) ( ) ( )

( )3

sledi

32

1

:Iz2

222

axu

adx

axxdxxpxx

ax

ax mm

m

m

==

=−=−= ∫∫+

−

∞

∞−

σ

σ

1/24/2011

17

33

Primer

kPa 1±mp

Nesigurnost merenja barometrom klase tačnosti 1, sa mernim opsegom 0,1 MPa

Iz klase tačnosti:

Interval u kome se pouzdano smatra da se nalazi prava vrednost izmerenog pritiska:

Merna nesigurnost: ( ) kPa 58,03

kPa 1 ≈=pu

34

Merna nesigurnost zbog konačne rezolucije

mm 5,0±=∆l

( ) 1 mm0,29 mm

2 3u l = ≈

0,2 mml∆ = ±

( ) 0,2 mm0,12 mm

3u l = ≈

1/24/2011

18

35

Kombinovana merna nesigurnost

∑=

∆=∆++∆+∆=∆n

ii

in

n

xx

yx

x

yx

x

yx

x

yy

12

21

1

...∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( )1 2, , ... , ny y x x x=

• ako su poznate vrednosti ∆xi sistematskih grešaka direktno merenih veličina;

36

• ako su poznate merne nesigurnosti uidirektno merenih veličina;

∑=

=

++

+

=

n

ii

in

ny u

x

yu

x

yu

x

yu

x

yu

1

222

22

2

11

...∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1/24/2011

19

37

Primeri

• y = x1 + x2

2

2

2

2

21

2

2

1

1

2

21

1

22

21

2

22

2

11

;

++

+=

+=

∂∂+

∂∂=

x

u

xx

x

x

u

xx

x

y

u

uuux

yu

x

yu

xxy

xxxxy

2

2

2

2

21

2

2

1

1

2

21

1

22

21

2

22

2

11

;

−+

−=

+=

∂∂+

∂∂=

x

u

xx

x

x

u

xx

x

y

u

uuux

yu

x

yu

xxy

xxxxy

• y = x1 - x2

38

PrimerMeri se razlika

dužina dva štapa:

12 LLl −=

% 47;mm 4,1;mm 3

%1;mm 1;mm100

%1;mm 1;mm97

21

2212

2

222

1

111

≈≈+==−=⇒

===

≈==

l

uuuuLLl

L

uuL

L

uuL

lLLl

LL

LL

L1

L2

l

1/24/2011

20

39

• y = x1 · x2

• y = x1 / x2

2

2

2

2

1

1

22

21

21

22

2

22

2

11

;

+

=

+=

∂∂+

∂∂=

x

u

x

u

y

u

uxuxux

yu

x

yu

xxy

xxxxy

2

2

2

2

1

1

22

2

22

121

2

2

2

22

2

11

;1

+

=

+

=

∂∂+

∂∂=

x

u

x

u

y

u

ux

xu

xu

x

yu

x

yu

xxy

xxxxy

40

Kombinovana merna nesigurnost

( )

( ) ( )

( ) ( )∑∑∑

∑∑

−

= +==

= =

+

=

==

=

1

1 11

2

2

1 1

2

21

,2

,

,...,,

N

i

N

ijji

ji

N

ii

i

N

i

N

jji

jic

N

xxux

f

x

fxu

x

f

xxux

f

x

fyu

xxxfy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1/24/2011

21

41

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1

2 2

1 1

,

N

c ii i

N N

i i ii i

i i i ii

fu y u x

x

c u x u y

fc u y c u x

x

=

= =

∂= ∂

= =

∂≡ ≡∂

∑

∑ ∑

za nekorelisane direktno merene veličine xi :

koeficijenti osetljivosti doprinosi kombinovanoj

nesigurnosti od rezultata xi

42

Rezultati xi direktno merenih veličina nisu, po pravilu, korelisani ako su:

• xi i xj odreñeni uz ponavljanja, ali ne istovremeno i/ili u različitim eksperimentima;(Rezultati merenja nekim instrumentom, u različitim eksperimentima, mogu da ne budu nezavisni ako se, na primer, u njima koristi isti instrument);

• xi i xj uzeti kao konstante;• nedovoljne informacije za odreñivanje

kovarijanse pridružene rezultatima xi i xj .• ...

1/24/2011

22

43

Rezultati xi direktno merenih veličina jesu, po pravilu, korelisani ako se:

• merenja izvode simultano;• upotrebi isti instrument za merenje više

veličina;• upotrebi isti etalon za baždarenje više

merila/etalona;• ...

44

Kovarijansa

•

•

( ) ( )u x x s X Xi j i j, ,=

( ) ( ) ( ) ( )u x x u x u x r x xi j i j i j, ,=

( ) ( ) ( )( )s X XN N

x X x Xi j ik i jk jk

N

, =−

− −=∑

1

1 1

r - koeficijent korelacijeeksperimentalno:

1/24/2011

23

45

Ponovljeno merenje u istim uslovima istim merilom

• Pri direktnom merenju sa ponavljanjem u istim uslovima istim merilom, procena vrednosti merne veličine će biti data aritmetičkom sredinom izmerenih vrednosti, nesigurnost tipa A kao eksperimentalno standardno odstupanje aritmetičke sredine, a nesigurnost tipa B ocenjena karakteristikama mernog instrumenta i uslovima merenja;

• Kovarijansa je jednaka kvadratu nesigurnosti merila (koeficijent korelacije je jednak 1);

46

Ponovljena merenja u istim uslovima različitim merilom

U slučaju da za svako merenje koristimo drugo merilo, amerila su od različitih proizvoñača, proizvedena različitomtehnologijom itd. onda se predpostavlja da meñu njihovimgreškama ne postoji nikakva zavisnost, a kovarijanse meñumerenjima uzrokovane greškom primenjenih merila seneće pojavljivati.

1/24/2011

24

47

Merenje pomoću kalibrisanog niza merila u istim uslovima (1)

Pri merenju pomoću niza mera, njihove procene xi (i = 1, 2, …, p) i nesigurnosti u(xi) su poznate. Pojedine procene vrednosti mera mogu biti meñusobno nezavisne, ili meñusobno zavisne, što zavisi od postupka njihove kalibracije. Dakle moraju biti poznate (iz sertifikata o kalibraciji) nesigurnosti u(x1) = c1, u(x2) = c2, …, u(xp) = cp (c1, c2, …, cp su poznati brojevi), ali i kovarijanse u(xi, xj) = ci,j (ci,j su poznati brojevi za i=1, 2, …, p-1, j>i), često ci,j= 0.

48


Naprimer, ako se koristi niz kalibrisanih tegova mase 0,9 kg, mora se uporeñivati sa zbirom tegova m500+ m200+ m200*. Ovo uporeñivanje ćemo izvršiti n puta. Onda je model merenja

m = m500+ m200+ m200* + x –K

gde je x procena razlike izmeñu mase tela i mase zbira korišćenih merila, a K je ukupna korekcija rezultata.

1/24/2011

25

49

Predpostavljamo da ne postoji zavisnost izmeñu procena mase tegova ikorekcije K, meñu procenama mase tegova i procenom x i meñuprocenom x i korekcijom K.Vrednosti procena m500, m200, m200* su poznate iz sertifikata o kalibraciji,procena x se odreñuje kao aritmetička sredina izmerenih razlika, procenaK se odreñuje ocenjivanjem svih mogućih korekcija pri uporeñivanjumase.Nesigurnosti u(m500), u(m200) i u(m200*) su poznate iz sertifikata okalibraciji, kovarijanse u(m500, m200), u(m500, m200*), u(m200, m200*) takoñemoraju da budu navedene u sertifikatu o kalibraciji(što u današnje vreme po pravilu nije ispunjeno).

Neka su kovarijanse:u(500, 200) = 0,00049 mg2, u(500, 200*) = 0,000 49 mg2,u(500, 100) = 0,000 245 mg2, u(500, 100*)= 0,000245 mg2,u(200, 200*)= 0,000196 mg2, u(200, 100) = 0,000 098 mg2,u(200, 100*)= 0,000 098 mg2, u(200*, 100) = 0,000098 mg2,u(200*, 100*)= 0,000 098 mg2, u(100, 100*) = 0,000049 mg2.


50


Nesigurnost procene mase tela će biti:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2

500 200 200*

2 2

500 200 500 200* 200 200*2 , 2 , 2 ,

u m

u m u m u m

u x u K

u m m u m m u m m

=

+ + +

+ +

+ +

1/24/2011

26

51

Merenje ureñajem

sa konstatnom nesigurnošću u celom mernom opsegu

Pri merenju pomoću mernog ureñaja sa konstatnom nesigurnošću duž celog mernog opsega ureñaja, ako su poznate izmerene vrednosti (procenjene vrednosti mernih veličina) x, i nesigurnosti u(x) = c za sve vrednosti x iz mernog opsega ureñaja (c je poznat broj), takoñe mora da bude poznata kovarijansa u(xi, xj) = (0 ÷c2) za sve parove xi, xj iz mernog opsega ureñaja. Pri tome predpostavljamo da je kovarijansa jednaka nuli za dve vrednosti xi i xj, ako se ona oduzima od rezultujuće nesigurnosti, a ako se sabira rezultujućoj nesigurnosti za kovarijansu uzimamo vrednost c2.

52

Merenje ureñajem

sa konstatnom nesigurnošću u celom mernom opsegu (1)

Naprimer, overen deformacioni barometar klase tačnosti 1 sa mernim opsegom 0,1 MPa sa standardnom nesigurnošću u(P)=0,58 kPa ima kovarijansu izmeñu dve izmerene vrednosti dobijene mernim ureñajem, čija vrednost se može kretati od 0 kPa do 0,34 kPa.Ako ovakvim ureñajem merimo naprimer razliku pritisaka, model merenja će biti:

∆p = p1 – p2

a nesigurnost procene ∆p

( ) ( ) ( ) ( )2112

122 ,2 ppupupupu −+=∆

1/24/2011

27

53

Zbog toga što kovarijansa utvrñena metodom B prouzrokovana nesigurnošću mernog ureñaja koja može da se kreće od 0 kPa do 0,34 kPa, za ovaj slučaj će se usvojiti nulta vrednost, da ne bi došlo do neopravdanog smanjenja nesigurnosti. Osim toga, mogu se pojaviti i kovarijanse odreñene metodom A, koje će se obuhvatiti proračunom.

Merenje ureñajem


54

Ocenjivanje odnosa dva pritiska merenih posmatranim barometrom: Model merenja će biti:

a nesigurnost odnosa k:

( ) ( ) ( ) ( )2122

1

22

242

21

12

22

2 ,1

21

ppup

p

ppu

p

ppu

pku −+=

Kovarijansa odreñena metodom tipa B uzrokovana greškommernog ureñaja ponovo će se smatrati jednakom nuli.

Merenje ureñajem


1/24/2011

28

55

Nasuprot tome, pri ocenjivanju zbira ili proizvoda dvamerena pritiska posmatranim merilom, uzimaće semaksimalno moguća vrednost kovarijanse.Tako da će za model merenja p = p1 + p2 nesigurnostrezultata biti:

( ) ( ) ( ) ( )2122

122 ,2 ppupupupu ++=

Merenje ureñajem


56

Za proizvod pritisaka, model rezultata merenja je: p = p1 · p2Nesigurnost rezultata će biti

( ) ( ) ( ) ( )2121222

1122

22 ,2 ppupppuppuppu ++=

Merenje ureñajem


1/24/2011

29

57

Drugačija bi bila situacija kad bi se merenja oba pritiska izvršila različitim barometrima, za koje smo sigurni da su meñusobno nezavisni (npr. korišćeni barometri rade na različitim principima, od različitih su proizvoñača itd.). Onda su, dakle greške mernih ureñaja meñusobno nezavisne a kovarijansa prouzrokovana greškama mernih ureñaja ocenjivana metodom B je jednaka 0. Ako ne postoji saznanje o nezavisnosti grešaka za primenjene barometre, mora se voditi računa o mogućoj kovarijansi (npr. oba ureñaja rade na istom principu, od istog su proizvoñača, gde se pretpostavlja da su greške svih barometara date klase tačnosti zavisne zbog iste tehnologije izrade, istih proizvodnih ureñaja itd.).

Merenje ureñajem


58

Analiza merne nesigurnosti

(uncertainty budget of the measurement)

Veličina

Xi

Vrednost

xi

Standardna nesigurnost

u(xi)

Koeficijent osetljivosti

ci

Doprinos ukupnoj nesigurnosti

ui(y)

X1 x1 u(x1) c1 u1(y)

X2 x2 u(x2) c2 u2(y)

... ... ... ... ...

XN xN u(xN) cN uN(y)

Y y u (y)

1/24/2011

30

59

Primer 1. Merenje dužineZadatak

Treba izmeriti dužinu tela lenjirom nominalne dužine 1 m, čija dozvoljena greška, navedena u serifikatu merila, iznosi δdoz = δ1 + δ2l. Ova greška važi za temperaturu 20 °C. Materijal merila i merenog tela imaju približno isti koeficijent toplotnog širenja, a pri merenju je temperatura merila i merenog tela približno jednaka.Dužina tela je manja od 1 m. Metoda merenja bazira na direktnom uporeñivanju tela i merila. Merenje se ponavlja n puta u istim uslovima.

l ln

li

n

i= ==∑

1

1

Standardna nesigurnost

( ) ( ) ( )∑=

−−

==n

ii ll

nnlslu

1

2

)1(

11. Standardna nesigurnost tipa A.

Procena vrednosti merne veličineAko se izmerene vrednosti obeleže sa l1, l2, ... ln, onda je rezultat merenja l:

60

2. Standardna nesigurnost tipa B.

Pri posmatranom merenju, s obzirom na istu temperaturu merila i merenog tela, kao i sličnog koeficijenta toplotnog širenja materijala tela i merila, nesigurnost tipa B je uzrokovana samo greškom merila, čija je vrednost na osnovu sertifikata jednaka δdoz. Standardna nesigurnost, uz pretpostavku ravnomerne (pravougaone) raspodele, je:

( )3

dozδ=lu

3. Ukupna nesigurnost odrediće se iz izraza

( ) ( ) ( )yuyuyu 2B

2A +=

1/24/2011

31

61

Primer 2. Merenje dužine (1)

Zadatak:

Treba izmeriti dužinu motke lenjirom nominalne dužine 1 m, čija je dozvoljena greška navedena u serifikatu merila i iznosi δdoz = δ1 + δ2l. Ova greška važi za temperaturu 20 °C. materijal merila i merenog tela imaju približno isti koeficijent toplotnog širenja, a pri merenju je temperatura merila i merene motke približno jednaka.Dužina motke je veća od 1 m.Metoda merenja bazira na dva direktna uporeñivanja dela merene motke i merila. Merenje ponavljamo n puta u istim uslovima.

Matematički model merenjaRezultat merenja l, ako izmerene vrednosti obeležimo sa l1 i l2, će biti:

l = l1 + l2

62

Standardna nesigurnost i kovarijanseOba merenja su izvršena istim merilom. Zato su merenja u korelaciji. Standardna nesigurnost rezultata će se odrediti iz izraza

( ) ( ) ( ) ( )2122

12

c ,2 llulululu ++=

( ) ( ) ( )12B1

2A1 lululu +=


( ) ( ) ( )22B2

2A2 lululu +=

1/24/2011

32

63

( ) ( ) ∑∑==

=−−

=n

ii

n

ii l

nlll

nnlu

111

1

2

111A

1,

)1(

1 ( ) 121dov11dov

1B ,3

llu δδδδ+==

( ) ( ) ∑∑==

=−−

=n

ii

n

ii l

nlll

nnlu

122

1

2

222A

1,

)1(

1 ( ) 221dov2dov2

2B ,3

llu δδδδ+==

Zbog korišćenja istog merila za oba merenja, meñu njima postoji kovarijansa, odreñena tipom B, različita od nule: ( ) ( )lullu 2

B21B , =

Kovarijansa tipa A će se odrediti statistički obrañujući uzorke merenja.

( ) ( ) ( )21B21A21 ,,, llullullu +=

Konačna standardna nesigurnost rezultata merenja je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21B22B1

2B21A2

2A1

2A ,2,2 llululullulululu +++++=

Ukupna kovarijansa je:

64

Taj isti rezultat bi se, u datom slučaju, dobio i računanjem ukupne dužineza svako ponovljeno merenje kao li = l1i + l2i, pri čemu standardnanesigurnost odreñena metodom A iznosi

( ) ( )∑=

−−

=n

ii ll

nnlu

1

2

A )1(

1

gde je: ln

lii

n

==∑

1

1

a standardna nesigurnost odreñena metodom B je: ( ) ( )3

dovB

llu

δ=

gde je δdoz(l) = δ1doz+ δ2doz= δ1 + δ2l1 + δ1 + δ2l2 = 2δ1 + δ2(l1 + l2)


1/24/2011

33

65

Drugačija bi situacija bila, ako se za merenje koriste dva merila od različitih proizvoñača za koje se može pouzdano tvrditi da meñu njima ne postoji nikakva zavisnost, ako se prvo uporeñivanje izvrši prvim merilom a drugo drugim, pri čemu se merenja ponavljaju n puta u istim uslovima navedenim u zadatku za prošlo merenje.Rezultati će se odrediti iz odnosa navedenih za prošli slučaj, s tom razlikom da su kovarijanse ocenjene metodom B jednake nuli (greške merenja za oba slučaja su u opštem slučaju različite, zato što se koriste različita merila). Kovarijanse ocenjene metodom A (ako su opravdane) će se odrediti iz izmerenih vrednosti, kao u prošlom slučaju.


66

Primer 3. Kalibracija graničnih merki (1)

Zadatak:

Vrši se kalibracija dve granične merke istih nominalnih vrednosti uporeñivanjem sa etalon graničnom merkom te iste nominalne vrednosti pomoću komparatora. Nepoznate vrednosti graničnih merki su l1 i l2, vrednost etalona je lk. Uporeñivanje se vrši n puta tim istim komparatorom za obe merke uz grešku komparatora δlK. Odstupanja pri pojedinim uporeñivanjima su ∆l1i i ∆l2i.

Matematički model kalibracije

1 E 1 E 1 K1

1 m

ii

l l l l l l ln

δ δ=

= − ∆ − = − ∆ −∑

2 E 2 E 2 K1

1 m

ii

l l l l l l ln

δ δ=

= − ∆ − = − ∆ −∑

1/24/2011

34

67


Procena vrednosti kalibrisanih graničnih merki:

∑=

∆−=m

iil

nll

11E1ˆ1ˆˆ

∑=

∆−=m

iil

nll

12E2ˆ1ˆˆ

gde simboli sa ^ znači procenu pojedinih vrednosti (za etalon iz njegovog sertifikata o kalibraciji, za merena odstupanja su to izmerene vrednosti odstupanja i procena vrednosti greške komparatora δlK sa nesigurnošću uK).

68

Standardne nesigurnosti i kovarijanse:

Nesigurnosti i kovarijanse procena vrednosti kalibrisanih graničnih merki (ako se zanemare uticaji temperature i materijala graničnih merki i posmatra se samo nesigurnost etalona uE, komparatora uK i nesigurnosti zbog rasipanja izmerenih vrednosti:

( ) nsuulu /ˆ 21

2K

21

2 ++= E

( ) nsuulu /ˆ 22

2K

22

2 ++= E

( ) 2K

2E21

ˆ,ˆ uullu +=


1/24/2011

35

69

Primer 4. Kalibracija otporničkog senzora temperature (1)

vSn

SnSn R

RW =

vZn

ZnZn R

RW = 1==

vZn

vZnvZn R

RW 1==

vSn

vSnvSn R

RW

gde je RSn izmerena otpornost senzora na temperaturi topljenja kalaja.RZn izmerena otpornost senzora na temperaturi topljenja cinka.RvSn izmerena otpornost senzora na temperaturi trojne tačke vode

posle merenja otpornosti na temperaturi topljenja kalaja.RvZn izmerena otpornost senzora na temperaturi trojne tačke vode

posle merenja otpornosti na temperaturi topljenja cinka.

70

Standardne nesigurnosti i kovarijanse

Petpostavimo da su poznate nesigurnosti pojedinih otpornosti i kovarijansi meñu njima. To znači da su poznate u(Sn), u(Zn), u(vSn), u(vZn), u(Sn,Zn), u(Sn,vSn), u(Sn,vZn), u(Zn,vSn), u(Zn,vZn).Nesigurnosti u(WSn), u(WZn), u(WvSn), u(WvZn) relativnih otpornosti ćebiti:

( ) ( ) ( ) ( )2

2222 ,2

vT

vTTTvTTTT

R

RRuWRuWRuWu

−+=

Onda

( ) ( ) ( ) ( )2

2222 ,2

vZn

vZnZnZnvZnZnZnZn

R

RRuWRuWRuWu

−+=

( ) ( ) ( ) ( )2

2222 ,2

vSn

vSnSnSnvSnSnSnSn

R

RRuWRuWRuWu

−+=

( ) 02 =vZnWu ( ) 02 =vSnWu


1/24/2011

36

71

Kovarijanse izmeñu pojedinih relativnih otpornosti su:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]212121221121

21

21,,,,

1, vTvTTTvTTTTvTTTT

vTvTTT RRuWWRRuWRRuWRRu

RRWWu +−−=

Onda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vZnvSnZnSnvZnSnZnZnvSnSnZnSnvZnvSn

ZnSn RRuWWRRuWRRuWRRuRR

WWu ,,,,1

, +−−=

( ) 0, =vSnSn WWu ( ) 0, =vZnSn WWu

( ) 0, =vSnZn WWu ( ) 0, =vZnZn WWu

( ) 0, =vZnvSn WWu

( ) 0, =vSnvSn WWu ( ) 0, =vZnvZnWWu


72

Primer 5. Merenje jačine struje pomoću merenja pada napona (1)

Zadatak

Treba izmeriti intenzitet struje u kolu pomoću merenja napona na otporniku nominalne vrednosti 1 Ω digitalnim voltmetrom. Temperatura okoline tokom merenja je u opsegu (22 ± 2) °C. Intenzitet struje je oko 50 mA. Iz sertifikata mernog otpornika je poznato da njegova otpornost pri temperaturi 22 °C za intenzitet struje 50 mA iznosi 0,9998 Ω a odgovarajuća proširena nesigurnost za faktor obuhvata k = 2 je 0,0002 Ω. Korišćeni voltmetar, prema podacima proizvoñača, ima u opsegu temperatura (15 do 35) °C maksimalnu dozvoljenu gre šku 0,01 % od izmerene vrednosti, plus 0,005 % mernog opsega, što je potvrñeno u sertifikatu voltmetra.

Matematički model

Za odreñivanje intenziteta se koristi izraz:

IU

R=

1/24/2011

37

73


U istim uslovima je izmereno 10 vrednosti pad napona, koje su predstavljene u tabeli

R.br. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ui

(mV)50,46 50,44 50,45 50,48 50,41 50,49 50,40 50,40 50,45 50,42

Procena vrednosti merne veličine

Na osnovu izmerenih vrednosti je: ∑ ==10

1=

mV44,5010

1

iiUU

Procena vrednosti struje: mA45,509998,0

44,50 ===R

UI

74

Elementi standardne nesigurnosti

1. Standardna nesigurnost merenja pada napona utvrñena metodom A

( ) ( ) ( ) mV10011,1)110(10

1 2210

1A

−

=×=−

−== ∑

ii UUUsUu


1/24/2011

38

75

2. Standardna nesigurnost merenja pada napona utvrñena metodom BZa korišćeni voltmetar pri izmerenoj vrednosti 50,45 mV, maksimalna dozvoljena greška merila je 0,01 % od 50,45 mV, plus 0,005 % od 100 mV, što je približno 10 µV. Ako se pretpostavi ravnomerna raspodela, standardna nesigurnost je 6,0 µV. Pri tome smo zanemarili struju koja prolazi kroz voltmetar. Uticaj temperature, koja je u postavci zadana u opsegu (22 ± 2) °C, je obuhvaćena u osnovnoj dozvoljenoj greški voltmetra.

3. Standardna nesigurnost mernog otpornikaNa osnovu postavke zadatka, proširena nesigurnost mernog otpornika pri k = 2 je jednaka 0,0002 Ω, čemu odgovara standardna nesigurnost u(R) = 0,0002/2 = 0,0001 Ω. Uticaj temperature, koja je na osnovu postavke u opsegu (22 ± 2) °C, na promenu električnog otpora je zanemariv u odnosu na uticaj ostalih posmatranih izvora nesigurnosti.


76

Rezultat merenja

Nekorigovana aritmetičkasredina pojedinačnih

rezultata merenja

Korigovana aritmetičkasredina pojedinačnih

rezultata merenja

Korigovana aritmetičkasredina pretstavljaocenjenu vrednost mereneveličine - rezultat merenja

Standardna mernanesigurnost

nekorigovane aritmetičkesredine, prouzrokovana

rasipanjem pojedinačnihrezultata merenja

Korekcija svih prepoznatihsistematskih grešaka

Kombinovana standardnamerna nesigurnostkorigovane aritmetičkesredine.Obuhvata nesigurnostnekorigovane aritmetičkesredine zbog rasipanjapojedinačnih rezultatamerenja i nesigurnostprimenjene korekcije.

1/24/2011

39

77

Proširena merna nesigurnost

( )U k u yc= ⋅

k - faktor obuhvata (coverage factor)

Y y U= ±

Faktor obuhvata k se bira na osnovu zahtevanog nivoa poverenja za interval y ± U.

78

Opšta uputstva

• Jasno opisati metode korišćene za izračunavanje rezultata merenja i merne nesigurnosti iz eksperimentalnih i drugih podataka;

• Navesti sve komponente merne nesigurnosti i potpuno opisati kako su one procenjivane;

1/24/2011

40

79

• Prikazati analizu podataka na takav način da je moguće pratiti svaki njen korak, i da proračun iskazanog rezultata može da se ponovi, ako je to neophodno;

• Dati sve korekcije i konstante korišćene u analizi, kao i njihove izvore.

80

Ako je mera nesigurnosti - kombinovana standardna merna nesigurnost uc(y):

• Dati potpun opis kako je merena veličina definisana;

• Dati ocenu y merene veličine Y, i njenu kombinovanu standardnu nesigurnost uc(y);

• Dati relativnu kombinovanu nesigurnost uc(y)/|y|, kada je to opravdano;

• Dati detalje o tome kako je dobijen rezultat merenja i njegova nesigurnost, ili se pozvati na dokument koji to sadrži.

1/24/2011

41

81

Ako je mera nesigurnosti - proširena merna nesigurnost U = k·uc(y):

• Dati potpun opis kako je merena veličina definisana;

• Iskazati rezultat merenja u oblikuY = y ± U;

• Dati relativnu proširenu nesigurnost U(y)/|y|, kada je to opravdano;

u nastavku ...

82

• Dati vrednost parametra k (faktor obuhvata) korišćenog za odreñivanje U(ili dati i k, i uc(y));

• Dati približno nivo poverenja pridružen intervalu y ± U i navesti kako je on odreñen;

• Dati detalje o tome kako je dobijen rezultat merenja i njegova nesigurnost, ili se pozvati na dokument koji to sadrži.

nastavak ...

1/24/2011

42

83

Kako je dobijen rezultat merenjai njegova nesigurnost

- detalji -

• Dati vrednost ocene svake od ulaznih veličina xi i njihove standardne nesigurnosti u(xi), zajedno sa opisom postupaka dobijanja;

• Dati ocene kovarijansi ili koeficijenata korelacije (preporučljivo - obe), zajedno sa ocenama svih ulaznih veličina koje su korelisane, kao i metode kojima su dobijene;

u nastavku ...

84

• Dati broj stepeni slobode za standardnu nesigurnost svake od ulaznih veličina, i kako su dobijeni;

• Dati funkcionalnu zavisnostY = f(x1, x2, ... xn) i, ako se smatra korisnim, parcijalne izvode ili koeficijente osetljivosti ,naročito ako su ti koeficijenti dobijeni eksperimentalno.

∂∂

f

xi

nastavak ...

1/24/2011

43

85

Iskazivanje merne nesigurnosti

• Test:Da li je dato dovoljno informacija,i na dovoljno jasan način,da rezultat merenjamože da se ažurira u budućnosti,ako se dobiju novi podaci ili informacije?

merna nesigurnost

Documents