6569724 3 merna nesigurnost

Klasične definicije koje su od 1993 terminološki zamenjene, ali se i dalje često koriste

MERNA NESIGURNOST

GREŠKA MERENJA

1993 ISO

Merenje ima za cilj da nam pokaže kvantitet „pojave“ od interesa. Rezultat merenja nije kompletan ako sa sobom ne nosi informaciju o tačnosti.

Evaluacija merne preciznosti – merna tačnost

Klasični oblik izražavanja tačnosti koristi termin „greška merenja“.

)()()( SM XXx −=∆

)()()( /)()( MSM XXXx −=δ

apsolutna greška

relativna greška

U prethodnim jednačinama je X(M) izmerena vrednost, a X(S) tačna

vrednost. Osnovni problem u ovoj definicije je što tačna vrednost

nije poznata.


Različite pojave koje deluju na proces merenja u trenutku merenja prouzrokuju razliku između tačne i izmerene vrednosti.

Ako su uticaji na merenje sistematski i njihov uticaj je poznat, onda je moguće korigovati rezultat.


Tačna vrednost se sa nekom verovatnoćom nalazi u opsegu oko izmerene vrednosti. Širina tog opsega je informacija i mernoj nesigurnosti.1993 je Internacionalna organizacija za standardizaciju (International Standard Organization - ISO) izdala Vodičza prikazivanje nesigurnosti merenja (Guide to the Expression of Uncertainty of Measurements) u kome su definisane osnovne oznake i relacije, kao i primeri primene.



Definicije:

Izmerena veličina je centralni element seta koji reprezentuje mernu veličinu.

Merna nesigurnost je parametar koji se pridružuje rezultatima merenja. Mernu nesigurnost karakteriše disperzija vrednosti koja odgovara standardnoj devijaciji za koju se definiše nesigurnost.

MERNA NESIGURNOST

KOMPONENTE MERNE NESIGURNOSTI

1. Komponente koje se određuju is statističke raspodele izmerenih vrednosti i mogu da budu karakterisane eksperimentalnom standardnom devijacijom (ove nesigurnosti u osnovi odgovaraju slučajnim greškama u klasičnoj terminologiji).

Standardna nesigurnost tipa A (oznaka uA) se određuje statističkom analizom rezultata koji su određeni ponavljanjem merenja.

•Uzrok ovog tipa standardne nesigurnosti se smatra neodređenim

•Veličina se smanjuje pri povećanju broja merenja.

Raspodela rezultata merenja – nesigurnost tipa A

Posmatrajmo skup diskretnih vrednosti (merenja), i na horizontalnu osu nanesimo izmerenu vrednost, a na vertikalnu broj merenja pri kojima je izmerena ta vrednost. Broj ponavljanja pojedine vrednosti nazivamo učestanost rezultata merenja (f1).

Koristeći učestanost rezultata merenja možemo napisati da je aritmetička sredina merenja

n m ,xf n

1 = x ii

m

1=i

≤∑ n = f i

m

=1i∑

Na ordinatu možemo nanositi i relativnu učestanostrezultata merenja (fi/n) umesto učestanosti merenja.


Pri merenju kontinualne veličine skup merenja čini diskretni skup koji se razlikuju za diferencijalno male priraštaje.

Histogram je grafički prikaz rezultata merenja u kome apscisa pokazuje skupove rezultata merenja unutar opsega merene veličine, a ordinata učestanost njihovih ponavljanja.


Grupisanje rezultata u intervale histograma u odnosu na ukupan interval merenja R(x)=xmax-xmin, gde je xmax najveći, a xmin najmanji rezultat.

Moramo obuhvatiti sve izmerene vrednosti, i svaki pojedini rezultat mora da pripada samo po jednom intervalu.

Broj intervala

histograma je

1+nm ≈


Pri crtanju dijagrama na apscisu se nanose intervali histograma, a na ordinatu učestanost intervala, relativna učestanost intervala ili procentulana učestanost intervala. Učestanost intervala je broj merenja koja pripadaju intervalu histograma, a relativna učestanost intervala odnosu broja koji pripada pojedinom intervalu u odnosu na ukupan broj merenja.

Normalizovani histogram - učestanost intervala se deli širinom intervala histograma.


Posmatrajmo proces merenja sa velikim broj ponavljanja ,tako da broj merenja , širina intervala histograma se može smanjivati tako da zapravo postaje . Obvojnica histograma je u ovom slučaju neprekidna funkcija (prikazana na prethodnoj slici) i obeležavamo je sa f(x). Ova nenegativna, realna i neprekidnafunkcija je definisana za svaki prirodan broj x i nazivamo je gustina raspodele verovatnoće merenja. Ova funkcija se matematički definiše jednačinom

∞→ n

0x →∆

x

)x < X < x ( P

0x = ) x ( f 1+ii

∆→∆lim


Osnovni parametri koji karakterišu nesigurnost tipa A su:

1) gustina raspodele verovatnoće merenja f(x); i

2) fumkcija raspodele verovatnoće rezultata merenja F(x).


x d ) x ( f = ) x ( F

x

-∫∞

x d ) x ( f ) - x ( = -

µσ ∫∞

∞

Koristeći gustinu raspodele verovatnoće možemo napisati aritmetičku sredinu populacije µ i standardnu devijaciju polulacije pomoću sledećih jednačina

∫=−∞⇒

T

TTdxxf

T)(

2

1limµ


Najvažnije osobine normalne raspodele su:

1) Gausova funkcija gustine raspodele je pozitivna i neprekidna za svaku realnu vrednost promenljive x;

2) strmina zvonaste Gausove krive zavisi od tako što se smanjenjem

povećava strmina;

3) maksimalna vrednost zvonaste krive

4) zvonasta kriva je osno simetrična u odnosu na vertikalu kroz maksimum;

5) površina ispod krive je jednaka 1;

) 2 ( / 1 , ( πσµ

σ


6) verovatnoća da se rezultat merenja nađe na intervalu (x1,x2) je

7) funkcija raspodele je određena jednačinom

x de 2

1 = ) x < X < x ( P 2

22

1

2

) - x ( -

x

x

21 σµ

πσ ∫

x de 2

1 = ) x ( F 2

21

2

) - x ( -

x

-

1 σµ

πσ ∫∞



σµ / ) - X ( = Zz d e 2

1 = )z ( 2

z -2

πφ


MERNA NESIGURNOST

KOMPONENTE MERNE NESIGURNOSTI

2. Komponente nesigurnosti koje nastaju zbog očekivanih događaja, tj. očekivane verovatnoće pojavljivanja (npr. nesigurnost pri očitavanju vrednosti sa instrumenta, nesigurnosti pasivnih elemenata pri merenjima).

Ove nesigurnosti odgovaraju sistematskim greškama u klasičnoj terminologiji. Ove nesigurnosti treba minimizirati.

Standardne nesigurnosti tipa B (oznaka uB) se određuju drugačijim postupcima od statističke analize rezultata dobijenih ponavljanjem merenja. • Određuju se pojedinačnom analizom merenja• Ne zavise od broja ponavljanja merenja.

MERNA NESIGURNOST

STANDARDNA MERNA NESIGURNOST TIPA A

Rezultati merenja pri dobro tačnim merenjima imaju normalnu raspodelu ako se u intervalu određenom dvostrukom varijansom 2σ u odnosu na srednju vrednost merenja nalazi dve trećine rezultata merenja (66.6%).

Funkcija gustine verovatnoće normalne raspodele (Gausove raspodele):

22

2)(

2

1)( σ

πσ

xx

exf

−−

=

Slučajna raspodela je karakteristika slučajnih događaja i karakteriše merne nesigurnosti tipa A.

MERNA NESIGURNOST

STANDARDNA MERNA NESIGURNOST TIPA B

Rezultati merenja mogu da imaju i uniformnu raspodelu (ako sve izmerene vrednosti pripadaju intervalu 2∆x u odnosu na srednju vrednost merenja). U ovom slučaju 58% rezultata merenja pripada intervalu 2σ u odnosu na centralnu vrednost, i važi jednačina:

Uniformna raspodela često obuhvata merne nesigurnosti tipa B.

MERNA NESIGURNOST

KOMBINOVANA STANDARDNA NESIGURNOST

Standardne nesigurnosti tipa A i B su ortogonalne pa je rezultujuća nesigurnost data jednačinom:

)()()( 22 xuxuxu BAC +=

MERNA NESIGURNOST

PROŠIRENA NESIGURNOST

• Verovatnoća da se rezultat merenja nalazi u intervalu 2σ je relativno mala (66.6% u slučaju normalne raspodele i 58% u slučaju uniformne raspodele). Proširena nesigurnost se definiše jednačinom:

)()( xkuxU C=U je proširena nesigurnost, k faktor proširenja, uC kombinovana standardna nesigurnost, i x merna veličina.

• Faktor proširenja k utiče na sigurnost da veći broj merenja pripada intervalu koji smatramo sigurnim.

• Za vrednost k=2 i slučajnu raspodelu dobijamo da je 95% rezultata merenja pripada intervalu 2σ.

MERNA NESIGURNOST

RELATIVNA NESIGURNOST

• Merne nesigurnosti mogu da se izražavaju i kao relativne veličine u odnosu na merenu veličinu.

• Relativna nesigurnost se dobija kao količnik apsolutne merne nesigurnosti i srednje vrednosti merenja. Ovo je moguće u svim slučajevima osim kada je aritmetička sredina jednaka 0.

Relativna nesigurnost se iskazuje u obliku

gde oznaka "pv" znači "od “pokazane vrednosti”, “od očitane vrednosti” ili “od ulazne vrednosti” za merne instrumente.

U uputstvima za rad na engleskom jeziku ovome odgovaraju oznake “of input”, “of reading”, i “of setting”. Prema tome, u ovom slučaju najveća dopuštena greška je data u obliku relativne greške pa se može preciznije nazvati najveća dopuštena relativna greška mernog sredstva.

pvXGndr %±=

Apsolutna merna nesigurnost zavisi od merene veličine i proporcionalna je sa njom.

Apsolutna merna nesigurnost je najmanja na početnomdelu opsega, a najveća na kraju opsega.

Ako se pomenuta relativna nesigurnost, zasvaku vrednost merene veličine posebno, preračuna u apsolutnu nesigurnost, može se dobiti odgovarajuća najveća dopuštenaabsolutna merna nesigurnost instrumenta.

pvGG ndrnda ×=

Dijagram najveće dopuštene relativne merne nesigurnosti jednog voltmetra, Gndr = f(U), za konkretnu vrednost X = 1, kao i dijagram odgovarajuće (pretvorene) najveće dopuštene apsolutne merne nesigurnosti, Gnda= f(U) = Gndr x. x je merena veličina (napon) za koji je pretpostavljeno da ima tri opsega: 1, 10, i 100 V.

Čisto apsolutna merna nesigurnost

ksYGnd %±=gde oznaka ”ks” znači ”od kraja skale”, ”od pune skale”, ili ”od opsega”. Na engleskom jeziku ovome odgovaraju oznake “of endscale”, “of range”, i “full scale”.

Najveća dopuštena merna nesigurnost zavisi isključivo od postavljenog opsega merenja na mernom sredstvu, i u apsolutnom iznosu je konstantna unutar jednog mernog opsega.

Odgovarajuća (preračunata) najveća dopuštena relativna greška u ovom slučaju je promenljiva i opada posmatrajući od početka ka kraju mernog opsega gde ima najmanju vrednost.

Na slici je dijagram najveće dopuštene apsolutne merne nesigurnoosti Gnda ranije pomenutog voltmetra za konkretnu vrednost Y = 1, kao i dijagram odgovarajuće najveće dopuštene relativne merne nesigurnosti, Gndr, koja se dobija pomoću relacije

gde je x merena veličina ( npr. napon).

100x

GG nda

ndr ±=

Kombinovana merna nesigurnsot u obliku

Gnd = ± (X% pv + Y% ks)

predstavlja kombinaciju prethodno opisanih nesigurnosti.

KLASA TAČNOSTI

Klasa tačnosti je klasa mernog instrumenta koji zadovoljava određene metrološke zahteve potrebne za ordžavanje mernih nesigurnsoti u zadatim granicama.

Klasa mernog instrumenta se definiše jednačinom

Prema “jugoslovenskim” standardima za pokazne instrumente (JUS L.G1.020) merni instrumenti se svrstavaju u klase tačnosti 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; i 5.

100|x

G| = K nda

max

Neka je voltmetar klase 0.5, i skala od 0 do 150 V. Meri se napon od 75 V, pa možemo odrediti najveće merne nesigurnosti:

0.75V = 100

150*0.5 =

100xK = Gnda ±±± max

1% = 75

100*0.75 = 100*

xG = G

ndandr ±±±

Primer za utvrđivanje karakteristike mernog instrumenta:

DIREKTNA MERENJA

ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTI TIPA B

Procena se zasniva na postojećim informacijama:• Specifikacija proizvođača (klasa tačnost elektromehaničkoginstrumenta, parovi parametara koji karakterišu tačnost digitalnog instrumenta, tolerancija pasivnih elemenata)• Podaci o kalibraciji na osnovu sertifikata o mernom uređaju• Nesigurnosti referentnih podataka iz uputstava za upotrebu

Pri svemu ovome se podrazumeva da se merenje vrši pri propisanim radnim uslovima proizvođača!

DIREKTNA MERENJA ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTI TIPA B

ANALOGNI POKAZNI INSTRUMENT (nesigurnost čitanja)

Greška instrumenta definisana na klasičan način definiše maksimalno moguće odstupanje rezultata merenja od stvarne vrednosti. Ova maksimalna apsolutna greška je:

MK

P 100=∆

K - klasa tačnosti

M - maksimalna vrednost koju može da pokaže instrument

U intervalu -∆P, +∆P je najveća

verovatnoća nalaženja rezultata merenja.

Pretpostavimo da postoji uniformna raspodela.

Nesigurnost čitanja se određuje is jednačine: M/K

u p

B3

100

3=

∆=σ=

x x



Primer:Odrediti proširenu mernu nesigurnost voltmetra sa pokretnim gvožđem. Pri ovom smatrati da je klasa tačnosti K=0.5, maksimalno pokazivanje instrumenta (opseg merenja) M=130 V, i da je faktor proširenja k=2. Pri merenju pokazana vrednost napona je bila 71.1 V.S obzirom da na merenje mogu da utiču temperatura, magnetsko polje, i druge pojave, važno je da se obezbedi da pri merenju sve te “smetnje” budu u propisanim granicama.



Procenićemo prvo standardnu nesigurnost tipa B:

V./.

M/K

u p

B 37501303

10050

3

100

3===

∆=

S obzirom da se radi o merenju napona, merna nesigurnost je u Voltima. Koristeći zadati faktor proširenja k=2 dobijamo da je

V 75.01.71 ±=xU

Ova merna nesigurnost se može prikazati i kao relativna vrednost. Merna nesigurnost se dobija deljenjem merne nesigurnosti i merenog napona, pa dobijamo da je ona ± 1.1%.

Rešenje:


DIGITALNI POKAZNI INSTRUMENT (nesigurnost čitanja)

Greška instrumenta ∆x u klasičnom smislu se definiše kao najveće odstupanje prikazane vrednosti od tačne vrednosti. Greška u procentima očitavanja δ1 i greška u procentima od opsega δ2. Greška pokazivanja je:

MXx 10010021 δδ

+=∆X - izmerena vrednost

M - opseg merenja (najveća vrednost koju može da pokaže instrument).

NRXx +=∆100

1δ R - rezolucija instrumenta, vrednost veličine izražena kroz broj kvantizacionih koraka.

±N - broj kvantizacionih koraka

3100

33100100

3

121 NRXu ili

MXu x

Bx

B

+δ

=∆

=σ=

δ+

δ

=∆

=σ=

U intervalu -∆x, +∆x je najveća verovatnoća nalaženja rezultata merenja. Pretpostavimo da postoji uniformna raspodela. Nesigurnost čitanja se određuje is jednačine:

x x



Primer:Odrediti proširenu mernu nesigurnost digitalnog ampermetra. Pri ovom koristiti podatke proizvođača (opseg merenja M=200 mA, relativne greške: ±0.1% od čitanja, ± 0.05 % od opsega). Pri ponavljanja merenja dobijen je rezultat Ix=60 mAProcenićemo standardnu nesigurnost tipa B:

mA 0.09 3

200100

05.060

1001.0

3100100

21

=+

=+

=MX

uB

δδRešenje:

Za faktor proširenja k=2: 2k ,mA 18.00.60 =±=xI

Ako mernu nesigurnost izrazimo kao relativnu veličinu dobijamo da je nesigurnost merenja struje od 60 mA ±0.3%.



Primer: Odrediti mernu nesigurnost tipa B ako je opseg instrumenta M=200 mA, greška očitavanja je ±0.1% od broja, a ekran ima 4 cifre. Broj kvantizacionih nivoa greške je N=2. Pri merenju pokazivanje je Ix=60 mA.

mA 0.15 3

2002000

260

100

1.0

3100

1

=+

=+

=NRX

uB

δ

2k ,mA 3.00.60 =±=xI

U ovom slučaju dobijamo da relativna nesigurnost pri merenju struje od 60 mA iznosi ± 0.5%.

Rešenje:

DIREKTNA MERENJA

ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTI TIPA A• Procena nesigurnosti tipa A je slična evaluacijislučajne greške u klasičnoj metrologiji.

• Procena nesigurnosti je bazirana na statističkoj analizi n nezavisnih i jednako tačnih ponovljenih merenja (n≥1).

• U ovom slučaju pretpostavljamo da je tačna vrednost veličine od interesa jednaka srednjoj vrednosti (aritmetičkoj sredini) pojedinačnih rezultata merenja.

Standardna nesigurnost tipa A:

∑∑==

=−−

==n

ii

n

iiA x

nxxx

nnXxu

11

2 1 , )(

)1(

1)(ˆ)( σ

n broj ponavljanja merenja veličine x.

Ova procedura ima smisla samo ako je broj merenja veći od 10.

DIREKTNA MERENJA

ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTI TIPA A

Primer:Odrediti mernu nesigurnost ako su u toku ponavljanja merenja napona dobijeni sledeći naponi:

V 0004.500037.51

1

≅== ∑=

n

iiX U

nU

Opseg mernog instrumenta je M=10 V, tačnost očitavanja je ±0.01%, a tačnost opsega je ±0.005%.

Procenjena tačna vrednost merenja je:

5.00144.99955.00035.00074.99895.00114.99984.99925.00195.0009U[V]

10987654321No.

Rešenje:

DIREKTNA MERENJA


Procenjena merna nesigurnost tipa A je:

V 00032.0)()1(

1)(ˆ

1

2, =−

−== ∑

=

n

ixXiXUA UU

nnXu σ

Procenjena merna nesigurnost tipa B je:

V ...

..

.MX

uXU,B 000580

3

0005000050

3

101000050

00045100

010

3100100

21

=+

=+

=

δ+

δ

=

Kombinovana nesigurnost je:

V 00066.000058.000032.0 22,

2,

2, =+=+= XUBXUAXUC uuu

Rešenje (nastavak):

DIREKTNA MERENJA


Ako se ovaj rezultat proširi (k=2) dobijamo proširenu nesigurnost

2k V; 0013.00004.5 =±=XU

Konačno, možemo napisati i da je izmereni napon

UX = 5.000037 V sa nesigurnošću od ± 0.026%, i

faktorom proširenja k=2.


INDIREKTNA MERENJA

ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTI

Indirektna merenja su procedure pri kojima nam rezultati merenja veličine X omogućuju da primenom poznate relacije Y=f(X) odredimo veličinu Y. Pri ovome veličina od interesa može da zavisi od N veličina Xi, i=1,2, .., N. Ako je tada postoji i funkcionalna jednačina y=f(x1,x2,..,xN), gde su x1, x2, .., xN procenjene vrednosti veličina X1, X2, .., i XN. U ovom slučaju je merna nesigurnost za međusobno nekorelisane promenljive:

∑= ∂

∂=

N

ixi

iy u

x

fu

1

2)(

gde je uy kombinovana standardna nesigurnost promenljive y, a uxi je kombinovana standardna nesigurnost veličine xi.

INDIREKTNA MERENJA


Merna nesigurnost indirektnih merenja se javlja i zbog izbora metode koja unosi grešku. U ovom domenu iskustvo i proučavanje merenja u literaturi su jedini način prevazilaženja problema.

INDIREKTNA MERENJA

ESTIMACIJA STANDARDNE NESIGURNOSTIPrimer: Procena merne nesigurnosti otpora koristeći voltmetar i ampermetar. Digitalni voltmetar može da meri u opsegu od 200 mV, ±0.1% je tačnost očitavanja, a ±0.05 % tačnost opsega. U toku merenja napon je Ux=150 mV. Analogni ampermetar može da meri u opsegu do 1.2 A, klasa tačnosti je K=0.5, i struja u toku merenja je Ix=0.4 A.

S obzirom na podatke je merna nesigurnost voltmetra određena jednačinom:

0.1% ili mV .

..

uU ±=+

= 1403

200100

050150

10010

Merna nesigurnost ampermetra je:

0.87% ili A ...

ui ±=×

= 003403

2110

Rešenje:

INDIREKTNA MERENJA


Standardna nesigurnost merenja otpornosti V-A metodom je:

0.88% ili m 2.3)()1

()/(

()/(

( 22

222 Ω=+=∂

∂+

∂∂

= iUIUxR uI

Uu

Iu

I

IUu

U

IUu

Ako uvedemo i proširenu nesigurnost sa koeficijentom proširenja k=2 dobijamo da je veličina od interesa:Rx= U/I = 375 ± 6.4 mΩ; k=2, ili Rx= 375 mΩ sa tačnošću od ±1.7% i faktorom proširenja k=2.


INDIREKTNA MERENJA


Primer:Odrediti mernu nesigurnost merenja snage trofazne mreže: Px

= P1 + P2 + P3.Vatmetar koji se koristi za merenje ima opseg od 2400 W, klasa tačnosti je 0.5, a snage koje se mere su P1 = 1600 W, P2

= 1200 W, i P3 = 2000 W.

Prvo ćemo odrediti standardi nesigurnost instrumenta:

W9.63100

24005.0321

=×

=== PPP uuu

Rešenje:

INDIREKTNA MERENJA


Standardna nesigurnost snage je ako koristimo tri vatmetra:

W12)(

()(

()(

( 23

3

32122

2

32121

1

321 =∂

++∂+

∂++∂

+∂

++∂= PPPxP u

P

PPPu

P

PPPu

P

PPPu

Uzimajući i faktor proširenja 2 dobijamo da je

PX=P1+P2+P3=4800 W ± 24 W, ili

ako se koristi relativna nesigurnost

PX=4800 W sa nesigurnošću od ±0.5%.


6569724 3 merna nesigurnost

Documents