Međuinduktivitet i zračni

transformatori

Elektomagnetska indukcija je pojava do koje dolazi kada se zavojnica nađe u vremenski neporimjenjivom magnetskom polju

Kod izmjeničnih strujnih krugova može doći do situacije u kojoj je fizički raspored zavojnica takav da vremenski promjenjivo magnetsko polje jedne zavojnice obuhvaća drugu zavojnicu

Između zavojnica se javlja međuindukcija te dolazi do pojave induciranja napona međuindukcije

Elektomagnetska indukcija

Slika 1. Prikaz elektromagnetske indukcije: tok napona (i struje) kroz zavojnice

(http://winwes.com )

Označavanje međuinduktivne veze u izmjeničnim strujnim krugovima

Međuinduktivna veza dviju zavojnica ovisi o smjeru njihova namatanja.

Kada postoji međuinduktivna veza tada je na shematski prikaz izmjeničnog strujnog kruga potrebno staviti oznake koje će pokazati da li je međuinduktivna zavojnica suglasna ili pak nesuglasna

Označava se kružićima uz krajeve zavojnica

Vrste međuinduktivnih veza Suglasna – postoji u slučaju kada struja ulazi u

obje zavojnice kroz identično označene krajeve

Struja kroz obje zavojnice protječe na način da ulazi na strani označenim točkicama

Nesuglasna - u slučaju kada struja ulazi u obje zavojnice kroz različito označene krajeve

Struja u jednu zavojnicu ulazi na strani označenoj točkicom, a u drugu zavojnicu na strani koja nije označena točkicom

Utjecaj međuindukcije izražava se pomoću induktivnog otpora indukcije.

Suglasna Nesuglasna

Slika 2.1: Nadomjesni induktivni otpor za suglasnu i nesuglasnu međuinduktivnu vezu dvije serijski spojene

zavojnice

Iznos ukupnog napona na svakoj zavojnici sastoji se od napona samoindukcije i međuindukcije.

Napon samoindukcije je pozitivnog predznaka, dok međuinduktivna veza ovisi o predznaku napona međuindukcije.

Kad je međuinduktivna veza suglasna tada se 2 napona zbrajaju, a kad je nesuglasna onda se od napona samoindukcije oduzima napon međuindukcije.

Spoj zavojnica preko čvorova Suglasna veza

Nesuglasna veza

Označavanje međuinduktivne veze u izmjeničnim strujnim krugovima

Serijski spoj dviju međuinduktivno vezanih zavojnicaUkupan napon dviju zavojnica možemo dobiti preko formule:

Drugi način dobivanja ukupnog napona je:

Induktivni otpor međuindukcije (XM) je jednak:

Drugi način na koji se može zapisati formula za induktivni otpor međuindukcije glasi:

ZADATAK

1. Odredite iznos ukupne impedancije međuinduktivno povezanih zavojnica prikazanih na slici ako je zadano: XL1 = 10 [W], XL2 = 25 [W], XL3 = 30 [W], k1 = 0,6, k2 = 0,3 i k3 = 0,2.

IXL1 XL2

k1

bXL3

k3

  

Riješenje:

XL1 i XL2 SUGLASNA (k1) XL2 i XL3 NESUGLASNA (k2) XL3 i XL4 NESUGLASNA (k3)

XM12 = k1 = 9,5 [Ω]

XM23 = k2 = 8,22 [Ω]

XM13 = k3 = 3,46[Ω]

XUK = XL1 + XL2 + XL3 + 2 XM23 – 2 XM13 = 60.64 [Ω]

Zračni transformatori

1. Kotao2. Namoti3. Magnetska jezgra4. Konzervator5. Priključci

Ovisno o vrsti izolacijsko i

rashladno sredstvo može biti ulje,zrak ili kruto sredstvo.

Slika 3. : Dijelovi transformatora (https://www.fer.unizg.hr)

Zračni transformatori

Transformatori su uređaji koji na principu elektromagnetske indukcije pretvaraju električnu energiju iz jednog izmjeničnog sustava u drugi iste frekvencije, ali promijenjene vrijednosti napona i struja

Sastoje se od željezne magnetske jezgre, dva ili više namota koji mogu biti spregnuti samo zajedničkim elektromagnetskim poljem

Shema zračnog transformatora Točkicama uz zavojnice je označen karakter

njihove međuinduktivne veze

Primar transformatora

Strujni krug trasformatora čine zavojnica i izvor izmjeničnog napona

Sekundar transformatora

Strujni krug čine zavojnica i priključeno trošilo

Primarni strujni krugU1 = I1*XL1 – I2*XM

Sekundarni strujni krug

0 = -I1* XM + I2*XL2 +I2 *Zt

Uvrstimo li u izraz da je

U2=I2*Zt (V), dobivamo:

Primarni strujni krugU1 = I1*XL1 - I2*XM

Sekundarni strujni krug

U2 = I1 *XM – I2*XL2

Ukoliko naponskoj jednadžbu primarnog strujnog kruga dodamo i oduzmemo I1*Xm , a naponskoj jednadžbi sekundarnog strujnog kruga I2*Xm , prošli izraz možemo zapisati na sljedeći način:

Primarni strujni krug U1 = I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM

Sekundarni strujni krug U2 = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)

pomoću sheme strujnoga kruga koji se sastoji od dvije međusobno električki povezane petlje, kao što je to prikazano na slici Dobiveni izrazi mogu se prikazati

I1

ZTXL1 XM

a

b

+

I2c

d

XL2 – XMXL1 – XM

I1 – I2

Zračni TRAFO

Zračni transformatori

Pojava međuinduktivnog djelovanja između zavojnica, iako ponekad može predstavljati neželjenu pojavu, često se namjerno iskorištava u uređajima kao što je transformator.

U transformatoru zavojnice X L1 i XL2 nisu međusobno električki povezane, ali ih povezuje zajednički magnetski tok kojega stvara struja I1 koja protječe kroz zavojnicu XL1, a koji obuhvaća zavojnicu XL2 ). Energija koju izvor napona U1 daje u strujni krug prenosi se do trošila ZT posredstvom izmjeničnog magnetskog toka , po principu elektromagnetske indukcije (na zavojnici XL2 se inducira napon U2 koji se prenosi na spojeno trošilo ZT).

Nadomjesna shema zračnog transformatora

Točkicama uz zavojnice X L1 i XL2 označen je karakter njihove međuinduktivne veze. Prema ranije opisanom načinu označavanja, uz pretpostavljene smjerove struja I1 i I 2 proizlazi da je ta međuinduktivna veza nesuglasna. Napišu li se, pomoću drugog Kirchhoffovog zakona, naponske jednadžbe za primarni i za sekundarni strujni krug transformatora dobivamo:

I1

XL1

b

+I2

d

XL2

Kako se zavojnice nalaze u zraku te magnetski tok protječe kroz zrak, ovakvu izvedbu transformatora nazivamo zračni transformator. Strujni krug transformatora što ga čine zavojnica XL1 i izvor izmjeničnog napona U1 naziva se primarnim krugom transformatora (zavojnica XL1 se naziva primarnom zavojnicom ili primarom transformatora). Strujni krug transformatora što ga čine zavojnica XL2 i priključeno trošilo ZT naziva se sekundarnim krugom transformatora (zavojnica XL2 se naziva sekundarnom zavojnicom ili sekundarom transformatora).

U transformatoru se zavojnice nalaze u zraku i nisu međusobno električki povezane, ali ih povezuje zajednički magnetski tok koji protječe kroz zrak

Energija koju izvor napona daje u strujni krug prenosi se do trošila izmjeničnim magnetskim tokom, odnosno elektromagnetskom indukcijom

Zračni transformatori

Jednadžbe za inducirane napona u zavojnicama su:

Omjer induciranih napona je:

Ako umjesto induciranih napona uvrstimo njihove efektivene vrijednosti dobijemo:

Kod idealnog zračnog transformatora ukupni naponi na primarnoj i sekundarnoj zavojnici transformatora će biti jednaki naponima na priključnicama a i b ( U1 na primaru) odnosno c i d ( U2 na sekundaru). Drugim riječima, kako je u idealnom zračnom transformatoru E1=U1 i E2=U2 možemo pisati:

Ukoliko za primarnu i za sekundarnu zavojnicu idealnog zračnog transformatora prikazanog na prošloj slici napišemo, prema izrazu (15-2), jednadžbe za inducirane napone u zavojnicama XL1 i XL2 dobivamo:

pri čemu su N1 i N2 brojevi zavoja zavojnica. Omjer induciranih napona e1 i e2 je:

dFdt

• Da bismo dobili odnose između struje I1 primarnog i struje I2 sekundarnog strujnog kruga transformatora, polazimo od pretpostavke da će ukupna snaga koju je izvor napona U1 predao idealnom transformatoru biti jednaka ukupnoj snazi potrošenoj na trošilu ZT (kako je transformator idealan pretpostavlja se da nema gubitaka u vodičima koji ga čine, te da nema rasipanja magnetskog toka prilikom prijenosa energije po principu elektromagnetske indukcije). Kako je općenito snaga jednaka umnošku napona i struje

pri čemu su N1 i N2 brojevi zavoja zavojnica. Omjer induciranih napona e1 i e2 je:

Kod idealnog zračnog transformatora ukupni naponi na primarnoj i sekundarnoj zavojnici transformatora će biti jednaki naponima na priključnicama a i b ( U1 na primaru) odnosno c i d ( U2 na sekundaru). Drugim riječima, kako je u idealnom zračnom transformatoru E1=U1 i E2=U2 možemo pisati:

Da bismo dobili odnose između struje I1 primarnog i struje I2 sekundarnog strujnog kruga transformatora, polazimo od pretpostavke da će ukupna snaga koju je izvor napona U1 predao idealnom transformatoru biti jednaka ukupnoj snazi potrošenoj na trošilu ZT (kako je transformator idealan pretpostavlja se da nema gubitaka u vodičima koji ga čine, te da nema rasipanja magnetskog toka prilikom prijenosa energije po principu elektromagnetske indukcije). Kako je općenito snaga jednaka umnošku napona i struje

Dobivena se nadomijesna shema prikazana na slici može analizirati pomoću ranije opisanih metoda računske analize jer se radi o jednostavnom strujnom krugu u kojemu ne postoje međuinduktivne veze zavojnica i elektična nepovezanost dijelova. U slučaju kada su razlike induktivnih otpora XL1 - Xm odnosno XL2 - XM veće od nule prikazane impedancije predstavljaju zavojnice, a u slučaju kada su te razlike manje od nule, prikazane impedancije će predstavljati kondenzator u shemi strujnoga kruga.

I1

ZTXL1 XM

a

b

+

I2c

d

XL2 – XMXL1 – XM

I1 – I2

Zračni TRAFO

Ukoliko je međuinduktivna veza između zavojnica XL1 i XL2 suglasna, tada možemo za napone Uab i Ucd na osnovi drugog Kirchhoffovog zakona napisati sljedeće jednadžbe:Uab= I1*XL1 - I2*XM

Ucd= I1 *XM – I2*XL2

Međuinduktivna veza zavojnica u strujnim krugovima

Na slici prikazane su dvije međuinduktivno vezane zavojnice koje se nalaze u različitim granama strujnoga kruga.

Ukoliko, na isti način kao što smo to učinili prilikom određivanja nadomjesne sheme zračnog transformatora, prvoj naponskoj jednadžbu dodamo i oduzmemo I1* Xm, a drugoj naponskoj jednadžbi I 2 *Xm, izraz možemo zapisati na sljedeći način:

U1 = I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM

U2 = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)

XL1 XL2

a c

db

I2I1

I1 + I2Ucd

Pomoću nadomjesne sheme prikazane na ovoj slici možemo u izmjeničnim strujnim krugovima međuinduktivnu vezu ugraditi u nadomjesne elemente, te na taj način dobiti oblik strujnoga kruga koji se može analizirati bilo kojom od ranije opisanih metoda računske analize. U slučaju kada je međuinduktivna veza između zavojnica nesuglasna, naponi Uab i Ucd su jednaki:

Uab= I1*XL1 - I2*XM

Ucd= I1 *XM – I2*XL2

Na isti način (dodavanjem i oduzimanjem istog izraza u obje jednadžbe) dobivaju se sljedeći izrazi za napone Uab i Ucd :

Uab= I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM

Ucd = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)

Idealni zračni transformator Ukupni naponi na primarnoj i sekundarnoj

zavojnici transformatora će biti jednaki naponima na priključnicama a i b odnosno c i d

Idealni zračni transformator Uvjet za idealni zračni transformator je:

Pošto su efektivne vrijednosti jednake naponima uvrštavanjem u formulu dobijemo:

Omjerom broja zavoja primarne i sekundarne zavojnice transformatora naziva se omjer prenošenja transformatora ili koeficijent transformacije ,a formula glasi:

Snaga je omjer umnoška napona i struje slijedi formula:

Ako imamo idealni transformator dobijemo da je:

Preko Kirchhoffovog zakona za naponske jednadžbe za primarni i za sekundarni strujni krug transformatora dobijemo:

Ako u gornji izraz uvrstimo da je ,dobivamo:

Ako naponskoj jednadžbi primarnog sustava dodamo i oduzmemo ,a naponskoj jednadžbi sekundarnog strujnog kruga izraze sa prethodnog slajda možemo zapisati na slijedeći način:

Dobivene izraze možemo zapisati u slijedećem obliku:

2. Idealni zračni transformator prikazan na slici ima na primaru N1 = 90 zavoja. Odredite broj zavoja sekundara ako je zadano: U = 300 0o [V], R1 = 60 [W], R2 = 30 [W], XL1 = 50 [W], XL2 = 100 [W] i k = 0,5.

XL1

k

U+

XL2

XM = k = 35,36 [Ω ]

Z1 = j XM || [R2 + j (XL2 - XM )] =…=24,14 81,8 o = 3,44 j 23,9 [Ω]

I1 = U/ R1 + j (XL1 – XM )+ Z1 = 4,04 -31,28 o [ A ]

I2 = UZ1 / R2 + j (XL2 – XM ) = I1 * Z1/ R2 + j (XL2 – XM ) =….= 1,37 -14,58 o [ A ]

N1 / N2 = I2 / I1 N2 90 * 4,04/1,37 =265,4 [zavoja]

3. Idealni zračni transformator prikazan na slici ima na primaru N1 = 50 zavoja, a na sekundaru N2 = 100 zavoja. Odredite efektivnu vrijednost struje sekundara ako je : XL1 = XL2 = XM = 100 [W], U = 220 0o [V], XC = 120 [W], R1 = 150 [W] i R2 = 75 [W].

XCXL1

XM

+XL2

R2

N1 / N2 = I2 / I1

XM = 100 [Ω]

Z1 = (j XM ) || (-j XC ) = 600 90 o [Ω]

I1 = U/ R1 + R2 + Z1 = …..=0,34 -69,64 [A]

I2 = I1 * N1 / N2 = 0,17 [A]

3. Za spoj prikazan na slici odredite iznos otpornika R tako da se na njemu disipira snaga PR = 10 [W], ako je zadano: R1 = 75 [W], k = 1, XC1 = XC2 = 100 [W], XL1 = XL2 = 50 [W] i U = 150 0o [V].

XL1

+R1 R

XL2

Z1 = -j XC1 + j XL1 + j XM = -j100 + j50 + j50 =0

Z2 = -j XC2 + j XL2 + j XM = -j100 + j50 + j50 =0

XM = k =50 [Ω]

Pr = 150*150 / 10 = 2,25 [k Ω]

4. Mrežu prikazanu na slici nadomjestite uporabom Theveninovog teorema promatrano sa stezaljki a i b ako je zadano: XL1 = XL2 = 10 [W], XC1 = 25 [W], XC2 = 20 [W], R = 5 [W], U = 150 0o [V] i k = 0,5.

k

U+

R

XC1

XC2

XL2

a

XM = k = 5 [Ω]

UT = Uab = I * Z2 = 64,35 0 o [V]

I = U/ Z1 + Z2 = 4.95 90 o

Z1 = -j20 Z2 = -j15 Z3 = 5+j5

ZT = (Z1 || Z2 ) + Z3 = ….= 5-j3,57 [Ω] = 6,14 -35,53 o [Ω]

Literatura

1. G. Đurović: Elektrotehnika 1 - udžbenik, FFRi, 2008. (rukopis)

2. V. Pinter: Osnove elektrotehnike II, Tehnička knjiga, Zagreb, 1994.

3. G. Đurović: Elektrotehnika 1 - zbirka zadataka, ŠK d.d., Zagreb, 2004.

4. M. Essert i Z. Valter, Osnove elektrotehnike, Tehnička knjiga, Zagreb, 1990

Napravili:

Antonio Bogosavljević Melisa Fabijančić Irma Kajdić Beata Marinov

PREDSTAVNICA: Ena Butorac

Hvala na pozornosti