mecanica de fluidos ejercicios resueltos

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 Mec´ anica de Fluidos - 2009 Ejercicios resueltos 1. El campo de velocidades de un uido est´ a dado por: v  = (a, b sin(ωt ), 0) donde  a  y  b  son constantes. Calcule y graque: a ) La l ´ ınea de corriente que pasa por el origen, a  t  = 0,  t  =  π 2ω ,  t  =  π ω  y  t  =  3π 2ω . b ) La trayectoria de la pa rt´ ıcula, que -a tiemp o  t  = 0- estaba en el origen de coordenadas. c ) La l´ ınea de humo de todas las part´ ıculas que pasaron por el origen de coordenadas, a  t  = 0, t  =  π 2ω ,  t  =  π ω  y  t  =  3π 2ω . Respuesta: a ) ıneas de corriente: El campo de velocidades es uniforme (independiente de la posici´on), en otras palabras todos los vectores velocidad son paralelos, las l´ ıneas tangentes a un campo uniforme ser´an entonces rectas paralelas entre s´ ı. A  t  = 0,   v  = (a, 0, 0) y la ınea que pasa p or el origen ser´a el eje  x. A  t  =  π 2ω , v(a,b, 0), la l ´ ınea que pasa por el origen es:  y  =  b a x. A  t  =  π ω  es nuevamente el eje  x, y a  t  =  3π 2ω ser´a la recta  y  = b a x. b ) Podemo s calcula r la funci´ on de historia cinem´ atica integrando la ecuaci´ on diferencial: ∂  Φ(x, t) t  =  v (  Φ,t) Particularizando para nuestro campo vectorial (uniforme, dependiente de  t ): ∂  Φ(x, t) t  = (a, b sin(ωt), 0) En componentes: ∂ Φ x t  =  a ∂ Φ y t  =  b sin(ωt ) ∂ Φ z t  = 0 Integrando, teniendo en cuenta la condici´on inicia l:   Φ(x, 0) =  x, se obtiene: Φ x  = x + at Φ y  = y +  b ω [1 cos(ωt)] Φ z  = z Para la part´ ıcula que nos interesa: ( x,y,z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la f´ ormula:   p(t) =   Φ((0, 0, 0), t) = ((at,  b ω [1 cos(ωt )], 0)

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MecanicadeFluidos-2009Ejercicios resueltos1. El campo de velocidades de un uido esta dado por:v = (a, b sin(t), 0)dondea yb son constantes. Calcule y graque:a) La lnea de corriente que pasa por el origen, at = 0,t =2,t =yt =32.b) La trayectoria de la partcula, que -a tiempot = 0- estaba en el origen de coordenadas.c) Lalneadehumodetodaslaspartculasquepasaronporel origendecoordenadas, at=0,t =2,t =yt =32.Respuesta:a) Lneas de corriente:El campo de velocidades es uniforme (independiente de la posicion), en otras palabras todos losvectores velocidad son paralelos, las lneas tangentes a un campo uniforme seran entonces rectasparalelas entre s. At = 0, v = (a, 0, 0) y la lnea que pasa por el origen sera el ejex. At =2,v(a, b, 0), la lnea que pasa por el origen es:y =bax. At =es nuevamente el ejex, y at =32sera la rectay = bax.b) Podemos calcular la funcion de historia cinematica integrando la ecuacion diferencial:

(x, t)t= v(

, t)Particularizando para nuestro campo vectorial (uniforme, dependiente det):

(x, t)t= (a, b sin(t), 0)En componentes:xt= ayt= b sin(t)zt= 0Integrando, teniendo en cuenta la condicion inicial:

(x, 0) = x, se obtiene:x= x +aty= y +b[1 cos(t)]z= zPara la partcula que nos interesa: (x, y, z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la formula: p(t) =

((0, 0, 0), t) = ((at,b[1 cos(t)], 0)c) Lneas de humo.Como primer paso debemos identicar las partculas que, en alg un momento pasaron por el origen:evaluando la funcion de historia cinematica en un instante que llamaremos, el resultado es elpunto (0, 0, 0):

( p, ) = (0, 0, 0)Reeplazando la expresion obtenida arriba:px +a = 0py +b[1 cos()] = 0pz= 0despejando:px= apy= b[1 cos()]pz= 0Para obtener la lnea de humo debemos obtener la posicion de estas partculas en el momento deinteres,t: h =

( p, t). Reemplazando:hx= a +at = a(t )hy= b[1 cos()] +b[1 cos(t)] =b[cos() cos(t)]pz= 0 = 0Las lneas de humo requeridas se obtienen reemplazandot por los instantes denidos:t = 0:

h() = (a,b[cos() 1], 0)t =2:

h() = (a(2 ),b cos(), 0)t =:

h() = (a( ),b[cos() + 1], 0)t =32:

h() = (a(32 ),b cos(), 0)(0, 0)t=pi/wt=3pi/2wt=pi/2wt=02pi/w