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EDICIONS UPC AULA POLITÈCNICA / INGENIERÍA MECÁNICA Josep M. Bergadà Graño Mecánica de fluidos Problemas resueltos

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  • 1. El presente libro es fruto de la experiencia adquiri- 111 AULA POLITCNICAda durante toda una carrera universitaria. Muchosde los problemas que se exponen fueron, en su mo- / INGENIERA MECNICAmento, problemas de examen de la asignatura Me-cnica de Fluidos. Por una parte, esta obra cubre yse dedicada a presentar, de manera sencilla, diver-sos temas bsicos de la mecnica de uidos, quetodo estudiante de la asignatura debe conocer. Asi-mismo, pretende ser un libro de repaso para quie-nes, habiendo estudiado Ingeniera y trabajando enla industria, precisan jar determinados conceptossobre la materia. Finalmente, se desea que esta obra Josep M. Bergad Graosirva de apoyo a todas las escuelas de los pases dehabla hispana que imparten las diversas ingenieras,y que sea un instrumento til de repaso de la tem-Josep M. Bergad Graotica presentada.Josep M. Bergad es Ingeniero Industrial (espe-cialidad: Mecnica) desde 1990 y Doctor Ingenie-ro Industrial desde 1996. Ejerce como profesor delDepartamento de Mecnica de Fluidos de la EscolaTcnica Superior dEnginyeries Industrial i Aeronu-tica de Terrassa (ETSEIAT) de la UPC desde haceMecnica de uidosms de 15 aos, y es profesor titular de escuelauniversitaria desde 1993. Durante este perodo,Problemas resueltosha impartido clases de las asignaturas Mecnicade Fluidos, Maquinas Hidrulicas y Oleohidruli-ca, y en la actualidad se centra especialmente enla mecnica de uidos. Su labor investigadora seha orientado a la oleohidrulica, campo en el querealiz la tesis doctoral. En los ltimos aos, ha for-mado parte de un grupo de investigacin del Insti-tuto de Investigacin Textil, donde ha trabajado endiversos proyectos internacionales.Mecnica de uidos. Problemas resueltosEs autor de varios libros, publicados tanto por Edi-cions UPC como por editoriales externas a la UPC, yde ms de ochenta artculos publicados en revistasy congresos nacionales e internacionales.9 788483 018330 EDICIONS UPC

2. AULA POLITCNICA 111Mecnica de uidosProblemas resueltos 3. AULA POLITCNICA/ INGENIERA MECNICAJosep M. Bergad GraoMecnica de uidosProblemas resueltos EDICIONS UPC 4. Primera edicin: febrero de 2006Diseo de la cubierta: Jordi CalvetJosep M. Bergad Grao, 2006Edicions UPC, 2006 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 93 401 68 83 Fax: 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es A/e: [email protected]: TECFOTO, SLCiutat de Granada 55, 08005 BarcelonaDepsito legal: B-9274-2006ISBN: 84-8301-833-0Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o proce-dimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ellamediante alquiler o prstamo pblicos. 5. PrlogoIPrlogoLa mecnica de fluidos tiene sus orgenes en la hidrulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor delao 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidrulicas que aseguraban el regado de vastas zonas.Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusin delas construcciones hidrulicas.A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo quehoy se denomina mecnica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por:Arqumedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotacin. Leonardo da Vinci(1452-1519), muestra la aparicin de vrtices en la zona de separacin de flujo; describe los principios defuncionamiento de mquinas voladoras.Pascal (1623-1662), en el estudio de la esttica de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton(1642-1727), realiza el anlisis espectral de la luz; define la teora de gravitacin universal; establece losprincipios de clculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot(1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700-1782), populariza la ley que define la energa asociada al fluido a lo largo de una lnea de corriente, estudiaproblemas sobre esttica y dinmica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemtica para el estudiodel flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios bsicos del flujo a lo largo de unconducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidrulico.Henri Navier (1785-1836), basndose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, queposteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797-1884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento,y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, as como del dimetro y la rugosidad delconducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determinaexperimentalmente la relacin entre presin y caudal en capilares.William Froude (1810-1879), se dedic durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueroncontinuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual defini el nmero adimensional que lleva su nombre yque relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logr derivar laecuacin de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contraccin, hallndolo para el casode orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus ms conocidos estudios sobre los flujosa alta velocidad, deduce el nmero de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenmeno de cavitacin; definelos regmenes laminar y turbulento, y el nmero adimensional que los identifica. Su teora sobre la lubricacinhidrodinmica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparicin y define lateora de la capa lmite, se considera como uno de los creadores de la mecnica de fluidos moderna. TheodorVon Karman (1881-1963) estudia los vrtices detrs de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentacinde cuerpos en el seno de un fluido en rgimen turbulento.Durante el siglo XX, los avances en la mecnica de fluidos son continuos, siendo la dinmica de gases, laaerodinmica y la aeronutica los campos que han experimentado y seguirn experimentado una especialproliferacin.Quisiera dedicar este libro a las personas cuyo apoyo he tenido constantemente, sin olvidar a las generaciones deestudiantes de los cuales se aprende a diario, y gracias a los cuales este libro es una realidad. Quisiera agradeceral profesor Eugenio Valencia el apoyo que durante los ltimos aos me ha prestado.Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales quenecesiten repasar conceptos de mecnica de fluidos.Josep M. Bergad El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 6. ndice IIIndice Pg.Captulo 1. Propiedades de los fluidosProblema 1 ...............................................................................................................................................................1Problema 2 ...............................................................................................................................................................3Problema 3 ...............................................................................................................................................................5Problema 4 ...............................................................................................................................................................7Captulo 2. Tensin y deformacin en medios continuosProblema 5 .............................................................................................................................................................11Problema 6 .............................................................................................................................................................13Problema 7 .............................................................................................................................................................17Problema 8 .............................................................................................................................................................21Captulo 3. EstticaProblema 9 .............................................................................................................................................................27Problema 10 ...........................................................................................................................................................31Problema 11 ...........................................................................................................................................................37Captulo 4. Ecuacin de continuidadProblema 12 ...........................................................................................................................................................43Problema 13 ...........................................................................................................................................................45Problema 14 ...........................................................................................................................................................49Problema 15 ...........................................................................................................................................................51Problema 16 ...........................................................................................................................................................53Problema 17 ...........................................................................................................................................................55Captulo 5. Ecuacin de cantidad de movimientoProblema 18 ...........................................................................................................................................................59Problema 19 ...........................................................................................................................................................61Problema 20 ...........................................................................................................................................................65Problema 21 ...........................................................................................................................................................67Problema 22 ...........................................................................................................................................................71Problema 23 ...........................................................................................................................................................73Problema 24 ...........................................................................................................................................................75Problema 25 ...........................................................................................................................................................81Problema 26 ...........................................................................................................................................................85Captulo 6. Ecuacin de Momento cinticoProblema 27 ...........................................................................................................................................................93Problema 28 ...........................................................................................................................................................97Problema 29 .........................................................................................................................................................103Problema 30 .........................................................................................................................................................109 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 7. IV Mecnica de fluidosCaptulo 7. Ecuacin de la energaProblema 31 .........................................................................................................................................................111Problema 32 .........................................................................................................................................................113Problema 33 .........................................................................................................................................................117Problema 34 .........................................................................................................................................................123Captulo 8. Flujo con viscosidad dominanteProblema 35 .........................................................................................................................................................127Problema 36 .........................................................................................................................................................131Problema 37 .........................................................................................................................................................135Problema 38 .........................................................................................................................................................141Problema 39 .........................................................................................................................................................145Problema 40 .........................................................................................................................................................149Problema 41 .........................................................................................................................................................151Problema 42 .........................................................................................................................................................159Captulo 9. Anlisis adimensionalProblema 43 .........................................................................................................................................................169Problema 44 .........................................................................................................................................................173Problema 45 .........................................................................................................................................................175Problema 46 .........................................................................................................................................................179Captulo 10. Sistemas de tuberasProblema 47 .........................................................................................................................................................181Problema 48 .........................................................................................................................................................185Problema 49 .........................................................................................................................................................191Captulo 11. Capa lmiteProblema 50 .........................................................................................................................................................205Problema 51 .........................................................................................................................................................207Problema 52 .........................................................................................................................................................211Problema 53 .........................................................................................................................................................215Captulo 12. Flujo no estacionarioProblema 54 .........................................................................................................................................................221Problema 55 .........................................................................................................................................................227Captulo 13. Gas dinmicaProblema 56 .........................................................................................................................................................233Problema 57 .........................................................................................................................................................249Problema 58 .........................................................................................................................................................255Bibliografa ..........................................................................................................................................................259 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 8. Nomenclatura VNomenclaturaa = Aceleracin. [m/s2]Cd = Coeficiente de descarga.CP = Calor especfico a presin constante. [J/Kg K]CV = Calor especfico a volumen constante. [J/Kg K]CD = Coeficiente de arrastre. Coeficiente de resistencia para la capa lmite.CL = Coeficiente de sustentacin.D = Fuerza de sustentacin. [N]D = Dimetro. [m]Dh = Dimetro hidrulico. [m]F = Fuerza. [N].f = Coeficiente de friccin.g = Aceleracin gravitatoria. [m/s2]H = Energa por unidad de peso. [J/Kg g]H=h=Z = Nivel de referencia, (cota). [m]h = Entalpa. [ J/Kg]L = Longitud. [m]L = Fuerza de arrastre. [N]M = Par. [N m] m = Caudal msico. [Kg/s]N = W Potencia. [W] [Kw]NPSH = Altura neta positiva de aspiracin. [m]P = Presin. [Pa]P*= Presin reducida. [Pa]R, r = Radio. [m]R = Constante caracterstica de cada gas. [J / Kg K]Re = Nmero de Reynolds.S = Seccin de paso. [m2]Q = Caudal volumtrico. [m3/s] Q = Flujo de calor. [J/s]T = Temperatura [C; K]t = Tiempo. [s]U = V= Velocidad del fluido. [m/s]u = Energa interna. [J/Kg]V = Velocidad. [m/s] W = Potencia. [W] [Kw] = Volumen. [m3]Y = Energa por unidad de masa. [J/Kg]YT = Energa terica por unidad de masa. [J/Kg]Z = Nivel de referencia, (cota). [m]T = Coeficiente de expansin trmica. [K-1] = Mdulo de compresibilidad volumtrica. [N/m2]h = Prdidas de carga por rozamiento. [m2/s2]P = Variacin de presin. [N/m2].x = Variacin de posicin [m]. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 9. VIMecnica de fluidos = operador diferencial nabla. 2 = operador diferencial laplaciano. = circulacin. [m2/s] = Rugosidad. [m] = Rendimiento. = Viscosidad dinmica. [Kg /s m] = Viscosidad cinemtica. [m2/s] = Densidad. [Kg /m3] = espesor de la capa lmite. [m] = Tensin superficial. [N/m]. = Esfuerzo cortante. [N/m2]. = Velocidad de deformacin angular. [s-1] = = Vorticidad. = =Velocidad angular [rad / s] El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 10. Problema 11Problema 11.1 EnunciadoEntre los extremos de un tubo de 0,006 m de dimetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia depresin relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de Q = 3,5 10-6 m 2 s , halle la viscosidad del fluidocirculante (considerando rgimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hiptesis.1.2 ResolucinLa velocidad media de paso del fluido por el conducto ser: Q 3,510-6m U= = 2= 0,1237 S 0, 006s 4Dado que no se puede determinar el nmero de Reynolds, se considerar que el rgimen de flujo es laminar; alfinal de proceso se comprobar esta hiptesis.Considerando que el fluido fluye segn la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribucin de velocidades en direccin radial segn Poiseulle es:P* 1 1 2 r 2 U=x 4 ( r - R 2 ) = Umx 1- R P* 1 2donde Umx = - R x 4 UmaxLa relacin velocidad mxima-velocidad media U =2 P* R 2donde U = - x 8La diferencia de presin entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzoscortantes en la pared del mismo, as: D2 0, 0062Fp = P*total = 50.000 = 1, 4137 N44 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 11. 2Mecnica de fluidosEl esfuerzo cortante se define como:U r 2 == U mx 1- rr R 2r = - U mx R2El esfuerzo cortante de la pared valdr:r=R 2 = - U mx R U mxcomo U =2 U = - 4 REl esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo ser:UF = S = 2 R L = - 4 2RLRcomo - F = Fp1, 4137 = 8 U L = 8 0,1237 N S = 0, 4547m2Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:UD 0,1237 0, 006 Re == < 2.400 0, 4547Para cumplir la igualdad, se tiene que debera valer = 1.470.331Kg m3 ; como esto es imposible, seconcluye que la hiptesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800 Kg m3 , se obtiene Re = 1,3. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 12. Problema 23Problema 22.1 EnunciadoHalle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosmetrocilndrico de la figura. (Considrense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)Datos: H = 10 cmR1 = 3 cmh = 0,1 cmR1 h = 710-3 Ns/m2H h Fig. 2.12.2 ResolucinEn la cara lateral se tiene: du = dydu v1 0 R1 = =dy h hLos valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 13. 4 Mecnica de fluidos R 1 2FL = dS = 2 R1 H = 2 HR1h hR 1 3M L = FR1 = 2 R1 H R1 = 2 H R 1 h hEl valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales ser:2 3N L = M = 2 H R1hEn la base del cilindro, se tiene:du Vi ri ==dy h hLos valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, sern: RR ri 2 r 3 FB = dS = 0 2 ri dri = i Sh h 3 0 R3FB = 2h 3 R 2 3 2 R i4 M B = dFB R i = ri dri = h h 4 0 2 R 4MB = h 4La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, ser: 2 2 R 4NB = M = h 4con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro ser:2 2 3 R1 4-3 10 2 0, 034 NT = NL + NB = H R1 + = 710 2 0,10, 033 + h 4 0, 001 4 NT = 0,0127 [W] El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 14. Problema 35Problema 33.1 EnunciadoHalle la expresin del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.Re dadFig. 3.13.2 ResolucinLas tensiones cortantes existentes se pueden definir como:V R r cos=== ;n ee El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 15. 6 Mecnica de fluidosEstudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como: r cos r cosdF = dS =2 r da = 2 r cos r d =ee r3=2 cos 2 deAs mismo, el momento resistente resultante valdr:dM = dF R i = dF r cos r3dM = 2 cos 2 d r cose 90o r 4M= 2 cos3 d-90oecon lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sera: r4o90N = M = 22 cos3 d e-90oy quedara: r41 90 2 90o N = M = 22 cos 2 s e n + cos d e 3 90 3 -90o r4 1902 90N = 2 2 cos 2 s e n + sen e 3 90 3 90 r4 8N = 2 e 3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 16. Problema 47Problema 44.1 EnunciadoSe hace rotar un cuerpo cnico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene undimetro de 5 cm, y el espesor de la partcula de aceite es de 0,1 mm. Si la viscosidad del aceite es de 710-3[NS/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.Ri5 cmFigura 4.1. Esquema del cuerpo cnico.4.2 ResolucinSe divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base.En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genrico vale: d i R h tgi = = i = i ; dnee El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 17. 8Mecnica de fluidos e XEn la base: d i Ri = = i ; dne dz dhi driLa fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:dh dF = dS = 2 R i dZcos =;dzdhdh dF = 2R i= 2 h i tg coscos dhdF = h i 2 tg 2 2ecos h tg 2 tg 2 h 3F = 2h i 2 dh = 2i 0e cos e cos 3La fuerza en la base ser: dF = dS = 2R i dR 2 dF = R i 2dRe El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 18. Problema 4 9 R R3 F= 2 R i2 dR = 20 e e 3El par necesario en la superficie lateral:M = F R idM = dF R i tg 2 dM = 2h i 2 dhR iR i = h i tg cos eh tg 3 tg 3 h 4 ML = 2 h i 3 dh = 20 cos ecos e4El par en la base: dM = dF R i = 2 R i 2 dR R i e h R4 Mb = 2 R i 3 dR = 2 0ee 4El par total necesario para mantener el movimiento ser: MT = ML + Mbtg 3 h 4 R4 2 tg 3 4 MT = 2 + 2 =h + R4 cos e 4 e 4e 4 cos Sustituyendo el radio por su equivalente: 4 3 1 MT = h tg + tg e 2 cos La potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento ser: 2 4 3 1 N = MT = h tg + tg e 2 cos El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 19. Problema 5 11Problema 55.1 EnunciadoSea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presin de 105 Pa y a una temperatura de280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presin del fluidoson de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupar el lquido en estas condiciones.Datos: =1,5310 K (coeficiente de expansin trmica)T 4 1 N = 1,96 109 (mdulo de compresibilidad volumtrica) m25.2 ResolucinLa definicin del mdulo de compresibilidad y del coeficiente de expansin trmica es: dp = d 1 dT = dTLa variacin de volumen con la presin y la temperatura se define: d =dp +dT pTde donde: d = dp + dT Integrando:final dP dpT = + dTfinalfinal inicial P inicial Tinicial El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 20. 12 Mecnica de fluidos 1ln = (p p) + (T T)final final inicialfinal inicial inicial1ln = ln (p p) + (T T)finalinicial final inicialfinal inicial 1 ( pfinal pinicial ) final =inicial e e ( final T Tinicial )Sustituyendo valores, se obtiene: final =inicial 1, 002961El volumen del fluido al final ser ligeramente mayor que el inicial. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 21. Problema 6 13Problema 66.1 EnunciadoDados un fluido de densidad constante que fluye en un canal convergente con una altura media de x y 2Y0Y= y una velocidad en direccin x de u = u 0 1+ 1- , siendo u0 =1 m/s x L Y 1+ L Y o = 1m x Y s = 0,5m L = 5mCalcule:La velocidad transversal, v(x, y).La aceleracin lineal, la velocidad angular, la vorticidad, la velocidad de deformacin volumtrica y lavelocidad de deformacin angular para dicho fluido.6.2 ResolucinPara un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuacin de continuidad puede expresarse: v u=- ; y xEn funcin de los datos del enunciado, la velocidad en direccin x se puede dar: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 22. 14Mecnica de fluidos x y x y 2 x 3 2 2 x u = u 0 1+ 1- 2 1+ = u 0 1+ - 2 1+ L Y0 L L Y0 L derivando respecto a x se obtiene: u 3y 2 x 2 u -= - 0 1- 2 1+ ; xL Y0 L con lo cual la velocidad en direccin y ser:u 0 3y 2 x 2 2uu 3y 2 x v = - 1- 1+ dy = - 0 dy + 0 2 1+ dyL Y02 L L LY0 L2u 0 y u 0 y3 x v=- + 1+ + C(x) ; L LY0 2 L Condiciones de contorno: v = 0; cuando y = Y y para cualquier x;2 x1+ u 0 Y0 u 0 Y03 L + C(x) 0=-+Sustituyendo para x = 0 x LY0 2 x 3 L 1+ 1+ L LC(x) = 0; por lo tanto:u0 y y x 22v=-1- 1+ L Y0 L Eligiendo el sistema cartesiano de coordenadas, la aceleracin en direccin x e y ser:Du uuu ax = = +u+vDt txyDv vvv ay = = +u+vDt txyu vPuesto que se est en rgimen permanente: = =0t tDerivando las velocidades u y v respecto las direcciones x e y se tiene:u 1 3y 2 x 2 1 = u 0 - 2 1+ ;x L Y0 L L u 2y x 3 = u 0 - 2 1+ ;y Y0 L El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 23. Problema 615 v y3 x 1= u0 22 1+ ; x LY0 L L v 3y 2 x 12= u0 2 1+ - ; y LY0 L L Sustituyendo en las ecuaciones para la aceleracin, se obtiene:u 02 x y 2 x 3 y 4 x 5 ax =1+ - 2 1+ + 1+ L L Y0 L Y0 L u 02 y3 x2 y x 5 4 ay =y - 2 2 1+ + 4 1+ L2 Y0 L Y0 L La velocidad angular se define como:1 v u 1 w v z = - ;Obsrvese que: x = - =02 x y 2 y z 1 u w y = - =02 z x Sustituyendo, queda: x y x 2 2 yu 0z = 1+ 2 + 1+ ; Y0 2 L L L Puesto que la vorticidad se define como el doble de la velocidad angular, z = 2z ;yu 0 x y 2 x 2 z = 2 1+ 2 + 1+ ;Y0 2 L L L la velocidad de deformacin volumtrica est dada en este caso por:1 d ( ) u v = + dt x y u vAl sustituiry , se llega a:x y1 d ( ) =0; dtla velocidad de deformacin angular viene dada por: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 24. 16 Mecnica de fluidos1 u v xy = + ;2 y x puesto que:1 u w 1 v w xz = + = 0; yz = + =0;2 z x 2 z y Sustituyendo, se llega a:yu 0 x x y 2 2xy = 1+ - 1+ + 2 ;Y0 2 L L L Cabe recordar que, aunque matemticamente se puedan separar, la rotacin, la dilatacin y la deformacinangular, ocurren en el fluido de forma simultnea, y no se pueden separar desde el punto de vista fsico. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 25. Problema 717Problema 77.1 EnunciadoSea un flujo definido por una distribucin de velocidades tal como:xyu=; v= ; w=0 1+ t1+ 2tHalle la lnea de corriente, senda o trayectoria y la lnea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto(x0, y0, z0) .7.2 ResolucinPuesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas la lneas de corriente sern paralelas al plano XYLa determinacin de las lneas de corriente se basa en la ecuacin:dxx dy y =u= =v=ds 1+ t ds 1+ 2tIntegrando para t = cte, queda:sdx dss( )variables x,y =; lnx =+ cte x = c1e1+t x 1+ t 1+ tsy = c2e1+2tPara calcular las constantes, se impondr la condicin: s=0; x=X0; y=Y0, y se obtendrC1= x0; C2= y0; Eliminando s, queda: xyln . (1+ t ) = ln . (1+ 2t ) x0 y0 Reagrupando en x e y, se obtendr: y 1+t x 1+t x 1+ ty ln x0 .1+2t ln y0 x 1+2tyln .= ln ; e =e ; = ; x0 1+ 2t y0 x0 y0 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 26. 18 Mecnica de fluidosSe obtiene as la ecuacin de las lneas de corriente que pasan por (x0, y0) en cualquier instante t: 1+ t x 1+2ty = y0 x0 y xPara t = 0 =y0 x0La lnea de corriente ser una lnea inclinada 45 que pasa por el punto (X0, Y0), ver figura 7.1:t = -1/3yt = -1/6t=0 t = 1/3 t=1 t = infinitoyoaumentando t xoxFig. 7.1. Lneas de corriente que pasan por el punto X0 Y0 para diferentes estados temporalesLas lneas de corriente se pueden determinar tambin utilizando la ecuacin:dx dy = u vSustituyendo los valores de u y v se obtiene: dx dy =xy1 + t 1 + 2tde donde:dx dy 1 + 2t = x y 1+ tIntegrando entre lmites, se obtiene: 1+ tX dxY dy1 + 2t X0x=Y0y 1+ t x yde donde: ln = ln 1 + 2t x 0 y0 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 27. Problema 719 1+ t x 1+2 t y o bien: = x0 y0 Vase que se obtiene la misma ecuacin que en el apartado anterior.Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B dx x dy y(A) =(B) = dt 1+ tdt 1+ 2tIntegrando,dx dt=; lnx = ln (1+ t ) + k1 ; elnx = eln (1+t ) +k1 x = (1+ t ) .k1 (C) x1+ t 1dy dt1 ln (1+2t ) +k21= ;lny = ln (1+ 2t ) + k2 ; elny = e 2 y = (1+ 2t ) 2 .k2 (D) y1+ 2t2Aparecen dos nuevas constantes, k1 y k2, que corresponden a e k1 y e k2Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:X0 = k1 ;x = (1+ t ) .X01Y0 = k2 ;y = (1+ 2t ) 2 .Y0Eliminando el tiempo se obtiene la ecuacin de la senda o trayectoria. 1 x 2y = 1+ 2 -1 .Y0 X0 sta se muestra en la figura 2.Vase que no coincide con la ecuacin de la lnea de corriente en t=0.Para hallar la lnea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula lafamilia de partculas que pasaron por (X0, Y0) en instantes < t.As pues, para t = , x =X0, y =Y0, se obtiene:X0(1+ t )(C)x = (1+ t ) .k1 ;k1 = x = X0 1+ 1+ 1 1Y0(1+ 2t ) 2(D)y = (1+ 2t ) .k2 ; k2 = 2 1 y =1Y0(1+ 2 ) 2 (1+ 2 ) 2Estas expresiones corresponden a las lneas de traza que pasan por (X0, Y0) en cualquier instante t.Para t =cte, se igualan los valores de de las dos ecuaciones.(1+ t ) Y0 1 2 X0 1 (1+ 2t ) Y0 2=.X0 -1 = (1+ 2t ) . -1 (1+ t ) - = x y 2 x 2 2 y El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 28. 20Mecnica de fluidos y Despejando , se obtiene: Y0 1 1 221y (1+ 2t ) 1 - y X0 2 = Para t =0 = X0 = 2 x -1 Y0 2 (1+ t ) X0 -1 Y0 2 -1 x x Lnea tambin representada en la figura 2.Fsicamente, la lnea de traza refleja el comportamiento de las lneas de corriente antes del instante t =0, mientrasque la senda refleja lo que ocurre despus.Una lnea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyeccin continua de partculas marcadas(tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo.Como ltima observacin, cabe decir que en caso de flujo estacionario, las lneas de traza, senda y corrientecoinciden.yLnea de trazaLnea de corriente SendaYO XOx Fig. 7.2 Lnea de corriente, senda y lnea de traza que pasan por X0 e Y0 en T = 0 Flujo placa oscilante uniforme Lnea de corriente Punto emisor Senda Lnea de trazaFig. 7.3 Flujo no estacionario alrededor de una placa oscilante, visualizado con burbujas desprendidas de un punto fijo.Adaptado del problema 1-14 del libro Mecnica de Fluidos del autor Frank M White edicin 1988, publicado por McGraw-Hill.. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 29. Problema 821Problema 88.1 EnunciadoSea el movimiento en rgimen permanente definido en coordenadas eulerianas y dado por el campo develocidades: v = (2x - 3y)i + (3x - 2y)jSe pide:1. Demuestre que el fluido es incompresible.2. Determine el campo de aceleracin a y el campo de vorticidad ( ).3. Determine las lneas de corriente e identifique aquella que pasa por el punto x =1; y =1; z =0.4. Determine la ecuacin de las lneas de torbellino (vector remolino )5. Calcule la circulacin del vector velocidad a lo largo de la lnea de corriente que pasa por el punto x =1;y =1; z =0. Calcule tambin el flujo de vorticidad a travs de la superficie que tiene por lnea fronteraaquella lnea de corriente. 2 26.- Calcule la velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario r = i-j2 28.2 Resolucin1. La ecuacin de conservacin de la masa en forma diferencial se enuncia: + ( .v ) = 0 ;tSi el fluido es incompresible,se ha de cumplir: V = 0Sustituyendo:vx vy vz v =+ += 2 - 2 + 0 = 0 fluido incomprensiblex y z v2. a =+ ( v ) v tvPor ser el movimiento estacionario,=0t El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 30. 22Mecnica de fluidos vx vy vz xxx vx vy vz2 3 ( v ) v = ( 2x 3y )( 3x 2y ) . = ( 2x - 3y )( 3x - 2y ) . = yyy 3 2 vx vy vz zzz= ( 2x - 3y ) 2 + ( 3x - 2y ) - 3 + ( 2x - 3y ) 3 + ( 3x - 2y ) ( -2 ) = i j= [ 4x - 6y - 9x + 6y ] + [ 6x - 9y - 6x + 4y] j = -5xi - 5yj i El campo de vorticidad est definido por = V = rot V ij k == ( 3x - 2y ) k - ( 2x - 3y ) k = 6kxy z xy( 2x - 3y ) ( 3x - 2y )0El fluido est girando respecto al eje z.3. Las lneas de corriente se definen por la ecuacin diferencial:dx dy dxdy= ;=; dx ( 3x - 2y ) - dy ( 2x - 3y ) = 0Vx Vy 2x - 3y 3x - 2ySe llega a una ecuacin diferencial del tipo: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0Se debe comprobar si se trata de una diferencial exacta:M(x, y) N(x, y)Para ello, se ha de cumplir = Recordando quey xN(x,y) = - ( 2x - 3y )Se observa que la ecuacin diferencial es exacta, dado que las dos derivadas tienen el mismo valor.M(x, y) N(x, y)= =-2y xPuesto que se trata de una diferencial exacta, la solucin de la ecuacin ser del tipo:x2F(x, y) = M(x, y)dx = ( 3x - 2y ) dx = 3 - 2xy + C(y)2 F(x, y)y debe cumplirse que N(x, y) =, y El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 31. Problema 8233y 2con lo cual:- ( 2x - 3y ) = -2x + C(y) C(y) = 3y C(y) =+ C0 2Por tanto la funcin queda: 3x 2 3y 2F(x, y) = - 2xy ++ C0 = 022(Si en lugar de igualarla a 0 se iguala a cualquier otro nmero, se obtendrn elipses concntricas.)Sustituyendo para el punto x =1; y =1; z =0, queda: 33F(x, y) =- 2 + + C0 = 0 C0 = -1 22En este punto, la funcin ser:3x 2 3y 2+ - 2xy -1 = 0 22Ecuacin de la lnea de corriente que pasa por el punto (1,1,0) y representa la ecuacin de una elipse centrada enel origen pero inclinada un ngulo .Con el fin de hallar la ecuacin de la elipse referida a sus ejes centrales, se debe determinar el ngulo de rotacinde la misma.La expresin de una elipse plana en cualquier punto del eje de coordenadas y girada un ngulo viene dada por:Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0El trmino x y es el que da la rotacin.Los trminos en x e y dan el desplazamiento (en este caso, no existe desplazamiento)A-CEl ngulo de giro viene dado por: cotg ( 2 ) =B3x 2 3y 2La ecuacin hallada es:+ - 2xy -1 = 0 . Y se puede expresar como:2 2 3x 2 + 3y 2 - 4xy - 2 = 0(1)Se deduce que A =3; B =-4; C =3.3-3cotg ( 2 ) = =0 2 = 90 = 45 -4 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 32. 24 Mecnica de fluidosx yy 45 x Fig. 8.1 Inclinacin de la elipse respecto a los ejes coordenadosPara transformar la ecuacin de la elipse referida a los ejes x y respecto a los ejes xy se debe realizar el cambio: x = xcos - ysenx = xcos45 - ysen45 y = xsen + ycosy = xsen45 + ycos45Sustituyendo en la ecuacin (1): 2 222 22 22 223 x 2 - y 2 + 3 x 2 + y 2 - 4 x 2 - y 2 . x 2 + y 2 - 2 = 0 Desarrollando se llega a x2 + 5y2 - 2 = 0La ecuacin de la elipse respecto a los ejes x e y ser:1 2 5 2x + y -1 = 02 2La ecuacin genrica de una elipse centrada es: x 2 y2+ =1; a 2 b2siendo a y b los semiejes principales, que en este caso valdrn: a= 2 2 b= 54. El vector remolino se define como . 1 = ( = 6k ) apartado 2 = 3k 25. La circulacin del vector velocidad se define como: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 33. Problema 8 25 = v.d l = {i ( 2x - 3y ) + j ( 3x - 2y )}{i.dx + j.dy}Esta integral hay que realizarla a lo largo de la lnea de corriente (que es la elipse); para integrar se debentransformar todos estos parmetros en uno solo e integrar respecto a dicho parmetro.Consecuentemente, se han de dar los valores de x, y, dx, dy en funcin de los semiejes principales de la elipse yel ngulo de giro.Las relaciones de transformacin son:ysen =bxcos =ax = acos = 2cos2y = bsen = sen5dx = -asend = - 2send2dy = bcosd =cosd5aybx Fig. 8.2. Relaciones de transformacin para una elipseSustituyendo estos valores en la integral se obtiene como nica variable el ngulo , que se integrar entre 0 y2 ;2 2 2 2 25 () = ( 2x - 3y ) dx + ( 3x - 2y ) dy = 2 2cos - 3 sen . - 2sen d + 3 2cos - 2 sen . cos d 5 5 0 0 12 De realizar la integracin se obtiene que= 5Se observa que este camino elegido es largo. Un mtodo alternativo sera la aplicacin del teorema de Stokes: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 34. 26Mecnica de fluidos vd l = ( v )ds = .ds = 6k.nds = 6 ds = 6ab rea de la elipse l ss ss2 12 6ab = 6 2. = =5 52 26. La velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario r = i-jse calcula 2 2mediante la expresin:21 d i = 2 . dr = eij i j dr dt j = -2 2de donde eij valdr:u1 u v 1 u w + + x2 y x 2 z x 1 v u v 1 v w eij = + + 2 x y y 2 z y 1 w u 1 w v w + + 2 x z 2 y z zSustituyendo: 12 2( -3 + 3) 0 2 2 2 1 d1 2 . dr = ( -3 + 3)-2 0 . - = 2 dr dt2 2 0 000 0 La velocidad de deformacin lineal vendr dada por2+ 2 i j. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 35. Problema 9 27Problema 99.1 EnunciadoSea una esfera de radio la unidad, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posicin deequilibrio, el punto de tangencia del casquete esfrico que sobresale del lquido con el eje de abscisas quepasa por el centro de la esfera forman un ngulo de 45 grados. Determine:1. La densidad del material de que est compuesta la esfera.2. Si la esfera se sumerge en mercurio, determine el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera.Agua Esfera 45Figura 9.1. Esquema de la esfera parcialmente sumergida.9.2 Resolucin1. El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura9.2. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 36. 28Mecnica de fluidosy yFh r xxRyFigura 9.2. Esquema del elemento diferencial empleado E = - dFy = - dFsen = - gy2rRdsen; s ss r = R cos puesto que: y = h R s e n E = g(h R s e n )2R cos Rs e n d; 2 E= gh2R cos s e n d + g2R s e n cos d; 2 3 2 2 2 s e n2 3 s e n 3E = gh2R 2 + g2R (1) 2 3 2 2 Para =; h=R sen = R sen ( 45 ) 44 1 22 3 1 3 3 E = gh2R 2sen 4 sen 2 + g2R 3 sen 4 sen 2 ; 2 1 1 1E = gh2R 2 1 + g2R 3 0,353553 ( 1) ; 2 2 311E = gh2R 2 + g2R 3 (1,353553) ;43 R 2R 3E = g2 h+(1,353553) ; 43 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 37. Problema 9 29 R 3sen45 R 3E = g2 +(1,353553) ; 43 sen45 1,353553 E = g2R 3 + 33 = g2R 0, 62796 = gR 1, 255943El peso de la esfera ha de ser igual a su empuje, con lo cual se ha de cumplir: 4w = E g R 3 = E = H2 O gR 3 1, 2559 3 H2 O 1, 2559 KgE = = 941,94 3 4 m 3Vase que, tal como caba esperar, la densidad es menor que la densidad del agua.2. Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13,6 veces la densidad delagua, se puede realizar una estimacin inicial calculando si la mitad de la esfera quedar o no cubierta por elmercurio. Para ello, se ha de evaluar si se cumple:4 > 14 3Pesoesfera = Wesfera = esfera g R 3 = Hg gR3 < 23 1y se cumple que : E < Hg 2con lo cual, seguro que nicamente un pequeo casquete esfrico quedar sumergido en el mercurio.Dado que el elemento diferencial de empuje es el mismo que en el apartado inicial, se llega a la misma expresin(1) que en dicho apartado, aunque ahora la densidad de fluido es la del mercurio. sen 2 23 sen 3E = Hg gh2R + Hg g2R 2 3 22de donde: R h E = Hg g2R 2 sen 3 sen 3 sen 2 sen 2 ; ( 2) 3 2 2 2 Con el fin de comprobar la bondad de la ecuacin hallada, se comprueba que para =0 se cumple que h = 0, conlo cual el empuje debera ser el equivalente al de media esfera.RhE = Hg g2R 2 (0 + 1) (0 1) 3 2R h E = Hg g2R 2 + 3 23R 4 1E = Hg g2= Hg g R 33 3 2Vase que se cumple. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 38. 30 Mecnica de fluidosLa determinacin del ngulo se obtendr de igualar el peso de la esfera a la ecuacin del empuje en funcin dedicho ngulo.El peso de la esfera viene dado por:4 4Wesfera =esfera g R 3 =941,949,8 13 =38666,77 N(3)3 3La figura 1.3 es la representacin grfica de la ecuacin (2), donde entrando para el peso de la esfera se obtieneel ngulo que forma la superficie libre del mercurio con el eje de abcisas central de la esfera. Cuyo valor es de = - 42,7.600000 558281 N Empuje que acta sobre la esfera (estando500000parcialmente sumergida) (N)400000300000200000100000 38666,64 N0 -90 -75 -60 -45 -30-15 0 15 3045 60 75 90 ngulo de la posicin del nivel del lquido (grados)Figura 9.3. Representacin grfica de la ecuacin 2 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 39. Problema 10 31Problema 1010.1 EnunciadoDetermine la localizacin del centro de presin y de los momentos causados por las fuerzas hidrostticassobre el eje que pasa por la base de una placa semicircular de radio la unidad, sumergida completamentee inclinada un ngulo de =45 respecto a la superficie libre del lquido.Considrese que la parte superior de la placa est situada a una distancia respecto al nivel del lquido deh a (10 m; 100 m; 500 m), por debajo de la superficie del mar.45haY RcdgFigura 10.1. Esquema de la posicin de la placa El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 40. 32Mecnica de fluidos10.2 ResolucinR YiR XcXcXX Fig. 10.2 Ejes de referencia.1. Los momentos de inercia respecto al eje central y el que pasa por la base de la placa se establecen: R 4 64 1 44RI xc =1- 2; Ix = R ;Y=8 9 83Sustituyendo para el momento de inercia que pasa por el eje central, se tiene: I xc = 0,1097 R 4La distancia (inclinada) desde la superficie del lquido hasta el centro de gravedad del cuerpo se define:ha4R Ycdg = +R -sen45 3 10 41 Ycdg10 = Ycdg10m =+ 1- = 14, 717 m sen45 3 100 41 Ycdg100 = Ycdg100m =+ 1- = 141,996 msen45 3 500 41 Ycdg500 = Ycdg500m =+ 1- = 707, 682 m sen45 3 El centro de presin en los tres casos est situado:Ix cdgYcdp - Ycdg = Ycdg A El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 41. Problema 1033 Ix 0,1097 14cdgha = 10 m.Ycdp = Ycdg + = 14, 717 += 14, 721 m 10 10 Ycdg10 A 1214, 717 2 Ycdp - Ycdg = 0, 00474 m1010 0,1097 14ha = 100 m. Ycdp = 141,996 += 141,99649 m 100 12141,9962Ycdp Ycdg = 0,000491 m 1001000,1097 14ha = 500 mYcdp = 707, 682 + = 707, 6820987 m 500 12 707, 6822Ycdp - Ycdg = 0, 00009870 m 500500Obsrvese que la distancia entre el centro de presiones y el centro de gravedad disminuye a medida que laprofundidad aumenta.La fuerza ejercida sobre la superficie semicircular para las tres profundidades se establece del modo siguiente: R212F10 = g Ycdg sen45 = 1.0009,814, 717sen45= 160.195, 4 N 1022 R212F100 = g Ycdg sen45= 1.0009,8141,996sen45= 154.5635, 43N10022 R2 12F500 = g Ycdg sen45= 1.0009,8707, 682sen45= 770.3163, 29 N5002 2El momento respecto a la base del rea semicircular ser: 4RM = Fd ( cdp-base ) = F- ( Ycdp- Ycdg ) 3 41M10m = 160.195, 4 - 0, 00474 = 67.229, 71 Nm 3 41M100m = 1.545.635, 43 - 0, 000491 = 655.229,14 Nm 3 41 M 500m = 7.703.163, 29 - 0, 00009870 = 3.268.563, 73 Nm 3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 42. 34Mecnica de fluidos2. Segundo mtodo de resolucin, por integracin directa:45 ht Y hYt R c a da Fig. 10.3 Esquema de la posicin de la placa con el elemento diferencial de superficie elegidoSea el elemento diferencial de superficie definido en la figura 10.3.ds = 2cdaa 2 + c2 = R 2ds = 2 R 2 - a 2 dadF = P dsdF = g h ds = g ( h t - a sen ) ds = g ( Y sen ) ds = g ( Yt - a ) sen dsdF = g ( Yt - a ) sen ds = g ( Yt - a ) sen 2 R 2 - a 2 da RF = g ( Yt - a )sen 2 R 2 - a 2 da 0 RRF = g Yt sen 2 0 R 2 a 2 da - g sen 2 0a R 2 a 2 da R a R2 aRF = g Yt sen 2 2 R 2 a 2 + arc sen - g sen 22R 0 0a R 2 a 2 da El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 43. Problema 10 35 R2 R2RRF = g Yt sen 2 2R2 R2 +2 arc sen - g sen 2R0a R 2 a 2 da RR2 1 3F = g Yt sen2 0 +arcsen1 - gsen 2 ( R 2 a 2 ) 2 2 3 0 3 R2 13 12F = g Yt sen 2 arc sen1 - g sen 2 . ( R 2 R 2 ) 2 ( R 2 02 ) 2 3 3 3R2 1F = g Yt sen 2 - gsen 2 ( R 2 ) 22 2 3 R 2 1F = g Yt sen - gsen 2 R 3 ;2 3 R2 F = gsen R 2 Yt - ; 2 3 El valor de Yt ser:h t = h a + RsenLa ha ha de entenderse ahora como la distancia vertical entre el extremo superior de la placa y la superficie libredel lquido. h a + Rsen hYt == a +R sensenSustituyendo en la ecuacin de la fuerza: h R2 F = gsen R 2 a + R - sen2 3 La fuerza sobre la superficie para las tres profundidades ser: 10 12 ha=10 m F10 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 160.203,3 N sen45 2 3 100 12 ha=100 mF100 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 1.545.645,69 N sen45 2 3 500 12 ha=500 mF10000 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 7.703.167,29 N sen45 2 3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 44. 36 Mecnica de fluidosEl momento respecto a la base del rea semicircular es:dM = dFadM = ag ( Yt - a )sen2 R 2 - a 2 da R RM = gsen2Yt a R 2 - a 2 da - gsen2a 2 R 2 - a 2 da 0 0 R 13 R a (2a 2 - R 2 ) R4 a M = g sen 2 Yt - ( R 2 - a 2 ) 2 - R2 - a2 +arcsen 30 8 8 R 01 3 R4M = g sen 2 Yt 3 R - 8 arcsen1 Recordando que haYt = +R , sen45el momento para los diferentes valores de ha ser: 10 1 1 h a = 10 m M10 = 1.0009,8sen45 2 +1 13 - = 67.231,83 Nm sen 45 3 8 2 100 1 1 h a = 100 mM10 = 1.000 9,8sen45 2 +1 13 - = 655.231,83 Nm sen 45 3 8 2 500 1 1 h a = 500 mM10 = 1.000 9,8sen45 2 +1 13 - = 3.268.565,16 Nm sen 45 3 8 2 Vase que los valores de la fuerza y los momentos coinciden con los obtenidos en la resolucin anterior. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 45. Problema 1137Problema 1111.1 EnunciadoSea un recipiente cilndrico parcialmente lleno de agua y abierto a la atmsfera. Dicho recipiente gira araduna velocidad angular de 10 y est montado en un ascensor. sEn condiciones de reposo, la altura del nivel del lquido es de 30 cm. Quedando un espacio libre entre elnivel del lquido y la superficie del vaso de 10 cm, el radio del cilindro es de 6 cm.Sabiendo que cuando el ascensor se pone en marcha, tanto en sentido ascendente como descendente, la mmaceleracin del mismo es de 1 2 y su deceleracin para cualquier sentido de la marcha es de 0,7 2 ssdetermine:1. La ecuacin que rige la posicin del nivel del lquido en funcin del radio.2. La presin a la que est sometida una partcula de fluido situada en el fondo del depsito y a un radiode 0,02 m, para cualquier sentido de la marcha del ascensor y cuando el fluido est en reposo.3. La velocidad de giro del cilindro para que, en el borde exterior, el lquido se site en el extremo delvaso. Considere el ascensor parado. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 46. 38Mecnica de fluidos6cmaradw = 10-a segFig. 11.1 Esquema del recipiente cilndrico que gira11.2 Resolucin1.- La ecuacin diferencial que rige el movimiento de un fluido sometido a las aceleraciones: centrpeta,angular, y en direccin vertical se define como: 1 a dP = r 2 dr - a d - g 1+ z dz r g Puesto que la aceleracin angular no existe para el caso que nos ocupa, queda: adP = r 2 dr - g 1+ z dz g Los valores de la aceleracin a z dependern de si el ascensor est subiendo o bajando y de si est en fase deaceleracin o deceleracin, con lo cual:Ascensor en sentido ascendente:mvAceleracinaz = 1s2 m Deceleracin a z = -0,7 s2tAscensor en sentido descendente:m Deceleracin a z = +0,7v s2t mAceleracin az = - 1 s2Las superficies de presin constante tendrn por ecuacin diferencial: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 47. Problema 1139 a 0 = r 2 dr - g 1+ z dzg de donde: a r 2 dr = g 1+ z dzg rz r=0r 2 dr = z0 (g + a z ) dzz 0 ser la altura del lquido para r = 0;r22 = (g + a z ) [ z - z 0 ]2con lo cual: r2 1 z = 2+ z0 2 (g + az )Se observa que la posicin del nivel del lquido depende no slo de la velocidad de giro, sino tambin de laaceleracin del ascensor.Esta ecuacin quedar completamente definida una vez se determine z 0 .Para determinar z 0 debern igualarse los volmenes del lquido en reposo y en movimiento. R R 2 zinicial = 0 2 r z drDel enunciado se conoce que z inicial = 30 cm.R 2 r 2 1 R 2 zinicial = 02r 2 (g + a z )+ z 0 drR 2 2r4 r2 R zinicial = 2 + z0 2 ( g + a z ) 4 2 0 2R4R2 R 2 z inicial = 2 + z0 2 (g + az ) 4 2 2Zinicial =R 2 + Z04 (g + az ) 2 R 2 Zo = Zinicial - 4 (g + a z )Vase que el nivel del lquido cuando el cilindro gira; se desplaza, para radio igual a cero, y depende de lasaceleraciones que se tengan en cada caso particular. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 48. 40 Mecnica de fluidosLa ecuacin que da la posicin del nivel del lquido teniendo en cuenta todos los parmetros estipulados es:2 R 2 2 r 2 1 Z = Zinicial -+4 (g + a z )2 (g + a z )2. La presin en el punto considerado saldr de la ecuacin: dP = - g dzp -zp=0 dp = z=0 - g dz P = gzPara el caso en estudio, se tendr:2 R 2 2 r 2 1 P = g Zinicial -+ 4 (g + a z )2 (g + a z ) KgmPara: = 1.000 ; g = 9,8 ;m3s2 Zinicial = 0,3 m; R = 0,06 m; r = 0,02 m; a z = (posee cuatro valores, definidos en el primer apartado):mAscensor subiendo, perodo de aceleracin: a z =1s2 102 0, 062 102 0, 0221 P = 1.000 9,8 0,3 -+ 4 ( 9,8 +1)2 (9,8 +1) P =2.876,48 PamAscensor subiendo, perodo de deceleracin: a z = -0, 7;s2102 0, 062 102 0, 0221 P = 1.000 9,8 0,3 -+4 ( 9,8 - 0, 7 ) 2(9,8 - 0, 7) P =2.864,61 PamAscensor bajando, perodo de aceleracin: a z = -1 ;s2P =2.862,04 Pa El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 49. Problema 1141mAscensor bajando, perodo de deceleracin: a z = +0, 7 ;s2P =2.874,6 PaPara el fluido en reposo: P = 1.000 9,8 0,3 = 2940 Pa ;3. Puesto que el nivel del lquido est dado por la ecuacin:2 R 2 2 r 2 1 Z = Zinicial -+4 (g + a z )2 g + azPara: Z = 0,40 m Zinicial = 0,3 maz = 0 R = 0,06 mr=Rse tiene:2 0, 062 2 0, 062 1 0, 4 = 0,3 -+ 49,829,8 rad = 32,99 seg El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 50. Problema 12 43Problema 1212.1 EnunciadoHalle la expresin que caracteriza el tiempo de vaciado del depsito troncocnico de la figura.Sd = Superficie del agujero de salida r2r1H hSd Fig.12.112.2 Resolucind 0= d + SC vndSdt VC d 0= + msdt d = ri2 dh El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 51. 44 Mecnica de fluidos d = (r1 + htg()) 2 dhr2 - r1tg =H r2 - r1 2 d = (r1 + h) dh Hr2 - r1 2 (r1 + h) dh = - ms dtH ms = Sd v = Sd 2gh hf 2 t r -r 1Sd 2g H r1 + h 2 1 H h dh = -dt0 hf r2 - r1(r - r ) 2 1 (r1 + 2r1h 2+ h 2 2 21 ) dh = -tSd 2g H H Hhhf r - r 3 2 (r - r ) 2 5 2 r12 h + 2r1 2 1 h + 2 21 h = -tSd 2g 1H 3 H5 2 22 HEl tiempo de vaciado del depsito ser: 2 H r - r H 3 2 (r2 - r1 ) 2 H 5 2 t= r1+ 2r1 2 1+ Sd 2g 1 2H 32H2 5 2 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 52. Problema 1345Problema 1313.1 EnunciadoHalle el tiempo que tardar en vaciarse el depsito troncocnico de la figura 13.1, tomando como fluido detrabajo el agua.Rd = 0,1 m; h = 1 m; = 15; Ss = 0,1 m2 rdh dhihir seccin Ss Fig. 13.113.2 ResolucinEl vaciado del depsito se rige por la ecuacin de continuidad: d0= d + Sc V n dS dt c de donde, considerando el fluido como incompresible, se tiene: d0= + V Ss (A) dt El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 53. 46 Mecnica de fluidosDe la figura 13.1 se desprende la relacin entre el diferencial de volumen y el diferencial de altura:d = r 2 dh iPor otro lado, la ecuacin que rige la velocidad de salida del fluido por la seccin SS vendr dada por:V=2 g hiSustituyendo en (A): r 2 dh i0=+ 2 g h i Ss dtde la figura 1 se desprende la relacin entre el radio r y la altura hir = rd + tg ( h - h i ) ,con lo cual se obtiene: ( rd + tg ( h - h i ) ) 2dh i = - 2 g h i Ss dtcuyas variables son hi y t.Agrupando variables e integrando hi entre los lmites 0 y h, y el tiempo entre 0 y t, se obtiene: ( rd + tg ( h - h i ) ) dh i = - 2 g h i Ss dt 2 rd 2 + tg 2 ( h - h i )2 + 2 rd tg ( h - h i ) dh i = - Ss 12g h i 2 dt Ss rd 2 + tg 2 ( h 2 - 2 h h i + h i 2 ) + 2 rd tg h - 2 rd tg h i dh i = -1 2gh i 2 dt 0 r 2 (h 2- 2 h hi + hi2 ) h hi tS h 12 + tg dh i = - 2 g s dt d 21+ 2 rd tg 1 - 2 rd tg 1h ihi hi hi 22 20 0 h1 2 h2 1 h2 h235 h2 1 h2 3S t rd 2 1i + tg 2 h 2 1i - 2 h 3i + 5i + 2 rd tg h 1i - 2 rd tg 3i = - 2 g s t 02 2 22 22 h 2 h12 h2 5h2 h25 5h2 3 h2 3 Ss- rd 1 + tg 2 1 -2 3 + 5 + 2 rd tg 1 - 2 rd tg 3 = - 2gt 2 22 2 2 2 Podemos aislar el valor de t en funcin de todas las dems variables que son conocidas. 2 h12 h2 5h2 h25 5 h23 h2 3 1t = rd 1 + tg 2 1 -2 3 + 5 + 2 rd tg 1 - 2 rd tg 3 2 Ss22 222 2g El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 54. Problema 13 47Y, sustituyendo los valores, se obtiene: 112 m 21 12 m 25 512 m 2 12 m 2 5 55 5 3 3 12 m 2 12 3t = 0,12 m 2 1 + 0, 2682 1 - 2 3 + 5 + 2 0,1m 0, 268- 2 0,1m 0, 268 3 1 2 2 22 22 10,1m 229,81 m s2t =1,19s El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 55. Problema 1449Problema 1414.1 EnunciadoSea un fluido no viscoso de densidad constante que fluye a travs de un difusor bidimensional cuyaprofundidad es b, se sabe que la velocidad tiene nicamente componente radial V=N/r; y que N=cte. Halleel caudal volumtrico para una de las superficies siguientes: r=r1=cte. ; x=x1=cte. y A2 A1VrdA2r ry r1 dA1x1 x1 Fig. 14.114.2 ResolucinEl caudal volumtrico viene dado por:Q = Vn dA SPara la superficie r = r1= cte.V es perpendicular al elemento diferencial de rea dA;d A = b r1 dSustituyendo: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 56. 50 Mecnica de fluidos mx N b r1d = [ N b ]-mxQ= - mn r1mnQ= N b ( mx + mn )=2 N b mx , puesto que el difusor es simtrico respecto al eje X.El caudal msico ser m = Q = 2 N b mxPara hallar el caudal en la superficie x=x1, se debern utilizar las relaciones: (v. figura 14.1):Vn = Vcos ; dA = bdy; r = x1 + y 2 2Integrando nicamente en la mitad superior: ymxQ=2 0 Vcos (b dy) ymx NcosQ = 2b 0x1 + y 2 2 dyx1x1cos = =rx + y221 ymxymaxNx1 1 y Q = 2b 2 x1 + y 2dy = 2b N x1 arctg x x1 0 0 1 y ym xQ = 2b N arctg mx ; tg mx = x1 x1Q = 2b N arctg(tg( mx ))Q = 2b N mx que es la misma respuesta que en el caso anterior, lo cual es lgico, pues para una seccin de pasoque abarque todo el campo de fluido y siempre que la densidad sea constante el caudal volumtrico serconstante. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 57. Problema 1551Problema 1515.1 EnunciadoHalle la ecuacin diferencial que determina el tiempo de vaciado del depsito de la figura, donde se hanrealizado varios agujeros para la salida del fluido:Punto 1. Dimetro D1; altura del centro del agujero respecto a la base del depsito H1.Punto 2. Dimetro D2; agujero en la base.Punto 3. Dimetro D3; altura del centro del agujero respecto a la base del depsito H3.H=Nivel del lquido en el depsito para t=0.Salida 1 Salida 3 Salida 2Fig. 15. 115.2 ResolucinPara hallar la ecuacin diferencial que determina el tiempo de vaciado del depsito de la figura, se aplicar laecuacin de continuidad en forma integral: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 58. 52Mecnica de fluidost vc d + v ds = 0 ; d = s D dh scSD = Superficie del depsito cilndricoAplicando la ecuacin de continuidad al depsito de la figura 15.1, se tiene:h sDt s1 + () ( ) 2g (h - H1 ) ds1 + 2 g h ds 2 + 2g (h - H 3 ) ds3 = 0 s2 s3( )Resolviendo las integrales, se obtiene la ecuacin siguiente:dh sDdt + ( ) ( )( 2 g (h - H1 ) s1 + 2 g h s 2 + 2 g (h - H 3 ) s3 = 0 )Con lo cual, la ecuacin diferencial requerida tendr la forma: dtdh = sD () 2 g (h - H1 ) s1 + ( )2 g h s2 + ( 2 g (h - H 3 ) s3 )Integrndose entre los lmites:t dt 0dh0sD = (H ) 2 g (h - H1 ) s1 + ()2 g h s2 +()2 g (h - H 3 ) s3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 59. Problema 16 53Problema 1616.1 EnunciadoLa densidad del gas que fluye a travs de un conducto de seccin constante S y longitud X vara deacuerdo con la ley:x v1 t X = 1 1- sen >t0 2X Xv1 20xXDonde V1 y 1 son la velocidad y la densidad de referencia; por ejemplo, la velocidad y la densidad delfluido a la entrada del conducto.SVedx VsdVx X Fig. 16.1Halle la diferencia de flujo msico que entra y sale del conducto en funcin del tiempo.16.2 ResolucinLa ecuacin de continuidad se expresa: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 60. 54 Mecnica de fluidosd 0= d + ss vds + se vds ;dt c d d = -ss vds - se vds = se vcosds - ss vcosds ; dt c d d = me - ms ; dt c La variacin de flujo msico se obtendr de resolver esta ecuacin, de donde: X dd x vtdv t Xx dt c d = 1 1-dt 0 2X sen 1 S dx = 1 sen 1 S 1 XdtX 0 2X dx =X dv t x2 dv1 t 3 =1 sen 1 S x - = 1 sen S X = dtX 4X 0 dt X4 3 vtv1 = = S X 1 cos 1 ; simplificando 4XX d3v1 t me ms = d = S1 4 v1 cos X dt cPor otro lado, si en lugar de realizar el proceso de integracin inicialmente y luego el de derivacin se realiza a lainversa, se obtiene: X Xdd x v1 t x dv1 t d = dt 1 1- 2X sen X S dx = S 1 1 2X dx dt sen X =dt c 0 0 Xd x v1 t v1 d = S 1 1 2X dxdt c0 cos X X =Integrando: Xd x v1 t v1 3v1 t d = S 1 1 4X 0dt c cos X X = S 1 4 V1 cos X Obsrvese que en ambos casos se obtiene el mismo resultado. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 61. Problema 1755Problema 1717.1 EnunciadoEn el esquema de la figura 17.1, halle la ecuacin diferencial que determina la variacin temporal depresin en la cmara del cilindro, conocidas las ecuaciones de los caudales de fuga, QL1; QL2. Pout QL1Pd Ao Q Pn Q L2 V Q L1Fig.17. 117.2 ResolucinLa ecuacin de continuidad en modo integral y rgimen transitorio se enuncia:d d + sc Vr ds = 0dt vc El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 62. 56Mecnica de fluidosd d + s0 Vr ds + s1 Vr ds + s2 Vr ds = 0dt vcpuesto que la densidad y el volumen de control dependen del tiempo.d d vc d + vc d + s0 Vr ds + s1 Vr ds + s2 Vr ds = 0dt dtdd inicial + +m+m +m=0dtdtsalida 0salida1salida 2 dpdpdp1 dp dp = -=- = -v=-= ; dm dv 1d d d m d dpd dp= ;= ; dt dtdpdinicial++ Qsalida 0 + Q L1 + Q L2 = 0dtdtDespejando la densidad: dp d+ + Qoutlet0 + Q L1 + Q L2 = 0 dt dtddx =S= S Vvelocidad ;dtdtdp d = -Qsalida 0 - Q L1 - Q L2 -dt dt dp = ( -Qsalida 0 - Q L1 - Q L2 - S Vvelocidad )(A)dt La variacin temporal de presin en la cmara cilndrica puede ser determinada si se conocen las ecuaciones delos caudales de fuga en funcin de la presin Pn necesitndose tambin el valor temporal de la velocidad delpistn.A modo de ejemplo, y para el pistn de la figura 17.2, estas ecuaciones se podran dar de la siguiente manera:Suponiendo que en t = 0 el pistn se halla en el PMI (punto muerto inferior), la velocidad del pistn se puede darcomo:Vvelocidad = -r tan ( ) sen ( n ) ; n = posicin angular = tr = radio del plato inclinado = ngulo de inclinacin del plato inclinadoEl caudal de salida del fluido hacia el exterior de la bomba se da por: 2Qsalida 0 = signo de ( Pn - Pd ) Cd A 0( Pn - Pd ) ; Cd = coeficiente de descargaA0= rea de salida. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 63. Problema 1757L1L3 L5 L7 L9L11 L2L4L6 L8 L10r0 PoutletPinlet r1r2 r3r4 Figura 17.2. Conjunto pistn y patn deslizantePara el pistn de la figura 17.2, el caudal de fugas temporal viene dado por la ecuacin: h1 R p tan ( sen ( t ) ) Q L1 = D 2 h h PTank Pn 6R p tan ( sen ( t ) ) 10 3 1 ( l2 + l4 + l6 + l8 + l10 )D h10 12 l + l + l + ..... + l11 0,0195 1 1 R p tan cos ( t ) + 3 3 ( l2 + l4 + l6 + l8 + l10 ) h11 1 2 3 32 h 2 h1 Obsrvese que el caudal depende de la velocidad temporal del pistn y de la longitud del pistn en el interior delcilindro.Para el patn deslizante de la figura 17.2, y considerando que el patn se desliza paralelo al plato inclinado, elcaudal de fugas vendr dado por: p n pout Q L2 =6 1 r2 1 r3 1 r4 ln + ln + ln h1 r1 h 3 r2 h 3 r3 323La integracin de la ecuacin diferencial (A) con las correspondientes ecuaciones asociadas da lugar a lavariacin de presin en la cmara del pistn, en funcin del tiempo. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 64. Problema 18 59Problema 1818.1 EnunciadoEl chorro de agua que sale por una tobera es de 10 mm de dimetro y choca contra una superficiesemiesfrica. Halle la fuerza que hay que realizar para que la superficie semiesfrica no sufradesplazamiento alguno. Aplquelo para el caso de que el caudal volumtrico entrante sea de 0,001 m3/s.Comente las hiptesis realizadas. +j-i+i -jQ Fig. 18. 118.2 ResolucinEl empuje que el chorro de fluido ejerce sobre la superficie semiesfrica tiene la misma magnitud y sentidocontrario a la fuerza que hay que ejercer para que la semiesfera no se desplace. La figura 18.2 muestra unesquema de las fuerzas actuantes sobre la semiesfera.La ecuacin de cantidad de movimiento establece: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 65. 60 Mecnica de fluidos PL Ve PsPe PsVs Vs Fig. 18.2 Fuerzas que actan sobre la semiesfera dFy = - P dSj- P dSj + dSj - P dSj = vdV + Sc vvndS SeSsSlSl dt VC FLytrabajando en presiones relativas y rgimen permanente.FLy = v ( vn ) dS + v ( vn ) dS = - m ( ve + vs )Se Sssuponiendo que la velocidad de entrada y salida del agua en el volumen de control es la misma. FLy = -2 m ve = -2 Q v eSiendo esta la expresin de la fuerza de reaccin en funcin del caudal de entrada.Para agua y un caudal entrante de 0,001 m3/s, la fuerza tendr un valor de:FLY = - 25,46 N El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 66. Problema 1961Problema 1919.1 EnunciadoDado el esquema de la figura, que representa el flujo de un fluido, que se puede considerar incompresible,a travs de una vlvula de asiento cnico, y sabiendo que la relacin de presiones entrada-salida es Pe-Ps;determine la fuerza debida a la cantidad de movimiento que se ejerce sobre la corredera cnica.Denomnese el flujo volumtrico circulante Q; la densidad del fluido ; el dimetro del conducto del flujoentrante, De, y la distancia perpendicular entre la superficie lateral del cono y el asiento cnico e.Supngase que el ngulo del cono es .dsPsPs oe PePeD2 ds Fig. 19.1 Fig. 19.219.2 ResolucinSon conocidos los siguientes datos: Q, , Pe, Ps, De y D2La ecuacin de cantidad de movimiento en direccin y ser: Fext y =t vc v y d + sc v y v r ds El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 67. 62 Mecnica de fluidosDesarrollando la expresin anterior, se obtiene: Fexty = v y v r ds + v y v r ds = v ye ve s e + v ys vs ss se ssResolviendo para el caso en estudio (v. figura 19.3): Fexty 22 = ve s e + vs ss cos 2(1)A continuacin, se determinan las variables necesarias para resolver la expresin anterior:Q Q ve =2 ; vs =; r1 = r2 e cos Dess 2 4La superficie saliente tendr un valor (v. figuras 19.4, 19.5 y 19.6) de:rdr ds = 2 r dl ;ds = 2 2 r ;r1 sen 90 2 ss = 2 ( r22 r12 )ss = ( r22 r12 ) 2 sen 90 sen 90 2 2 Vys Vs Fig. 19.3 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 68. Problema 19 63D1D2Fig. 19.4 r dhdr Fig. 19.5 Fig. 19.6Por otro lado, las fuerzas superficiales que actan sobre el volumen de control se enuncian: Fexty = Pe n ds Ps n ds + P1 n ds + ds (2) sesssl sl Fl ycon lo cual, igualando las expresiones (1) y (2), se obtiene la ecuacin siguiente: Fly 2 = ss vs cos 2 s e ve + Ps ds Pe ds2 ssse El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 69. 64Mecnica de fluidosResolviendo las integrales, se llega a: F ly 2= vs cos 2 ( r 2 r 2 ) se ve2 Pe se + Ps ( r22 r12 ) cos 2 1 2 sen 90 sen 90 2 2Agrupando trminos, se obtiene: Fly = ( r22 r12 ) cos ( Ps + vs ) s e v e Pe s e 2 2 2sen 90 2 El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 70. Problema 2065Problema 2020.1 EnunciadoEn la figura 20.1 se ha representado la seccin recta de un azud con algunas dimensiones principales.Suponiendo que en las secciones de corriente sealadas por lneas de trazos las distribuciones develocidad son uniformes y conocidas, se pide determinar la fuerza que la corriente realiza sobre el azud.Considrese que el azud tiene una profundidad L y que la altura del nivel del lquido es de 10 m.Fig. 20.1 Seccin transversal de un azud20.2 ResolucinDado que el enunciado indica que las distribuciones de velocidad son uniformes, el flujo msico circulante ser:m = Q = s v = 1L v = L vLa fuerza que la corriente ejerce sobre el azud se podr determinar aplicando el principio de conservacin decantidad de movimiento al volumen de control englobado entre las dos superficies marcadas en lneas a trazodiscontinuo. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 71. 66 Mecnica de fluidosLa ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente se establece: g d + SL ds SL p ds SE p ds SS p ds = SC v x v dsLas fuerzas msicas no tendrn componente respecto al eje de abcisas, con lo cual:Fx = SE p ds + SS p ds + SC v x v dsLos trminos que definen la fuerza debida a la distribucin de presiones en la entrada y la salida son:1010 z2 FSE = SE p ds = 0 g z L dz = g L = g L 50 2 0 11 z2 LFSS = SS p ds = g z L dz = g L = g0 2 02El flujo de cantidad de movimiento entre las secciones de entrada y salida del volumen de control es:SE v x v ds = - v E Q SS v x v ds = vS QSustituyendo los cuatro trminos en la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene:LFx = g L 50 + g v E Q + vS Q2Obsrvese que la fuerza que se obtiene es la fuerza de reaccin, la que ejerce el contorno sobre el fluido. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 72. Problema 21 67Problema 2121.1 EnunciadoSe desea evaluar la viabilidad de creacin de helicpteros personales, con fines ldicos. Para ello, sepretende estudiar la potencia necesaria para mantener inmvil en el aire dicho equipo en funcin deldimetro D del rotor. Se estima que el peso mximo de equipo y pasajero podra ser de unos P Kg. Enla figura 21.1, se esquematiza el rotor con el volumen de control alrededor del mismo y se supone que en laparte inferior del rotor todo el chorro del fluido se desplaza en sentido vertical.Determine:1. La potencia necesaria en funcin del dimetro del rotor y del peso de equipo y pasajero.2. Para una velocidad de giro de 400 rpm, un dimetro de rotor de 2 m y un peso del conjunto de 200 kgf,determine la potencia y el par necesarios del motor.21.2 Resolucin SsSpVp Si V Fig. 21.1 Esquema de las hlices del rotor y el volumen de control considerado El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 73. 68Mecnica de fluidos1. Estableciendo el volumen de control definido en la figura 21.1, para el cual se supondr que la parte superiordel mismo est suficientemente alejada del rotor como para considerar que la velocidad de las partculas es nula,mientras que en su seccin inferior el fluido fluye a una velocidad genrica, Vi. De la aplicacin de la ecuacinde cantidad de movimiento se tiene: Fy = sc Vy V ds = Si .Vi .Vi = Si Vi2dnde Si es la seccin del chorro cilndrico.Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre las superficies superior e inferior del volumen de control elegido, setiene: Ps Vs2 P V2 ++ g zs + Y = i + i + g zi 2 2Asumiendo que la presin en cualquier punto de la entrada o salida se mantiene constante, Pi = PS, y suponiendodespreciables los trminos de energa potencial, se establece: Vi2 PY==2 La P se entiende entre caras del rotor.La fuerza de sustentacin producida por el rotor debera ser asimismo igual a la diferencia de presin entreambos extremos de las palas, multiplicada por la superficie barrida, obteniendo: Vi2 Fy = PSP = SP2Igualando a la ecuacin de cantidad de movimiento, se obtiene:Vi2Fy = P SP = SP = Si Vi2 2de donde: SP = 2 SiSuponiendo un rendimiento unitario, la potencia transmitida al fluido ser la que ha de comunicar el motor.La potencia comunicada al fluido ser el producto del gradiente de presiones por el caudal circulante, o bien laenerga cintica comunicada al fluido al pasar por el rotor, por el mismo caudal circulante, de donde: Vi2V2N a = PSP VP = Si Vi = i SP Vi24Despejando la velocidad de la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene: Fy 2 Fy Vi == Si SP33V2 1 2 Fy 21 N a = i SP Vi = SP = Fy2 4 4 SP (2SP )0,5o bien: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 74. Problema 21 6923 1 3 2N a = Fy= Fy 2SPD 2Expresin que relaciona la potencia de accionamiento con la fuerza de sustentacin y el dimetro del rotor.2. Para un peso de 200 Kgf, un dimetro de rotor de 2 m, y suponiendo la temperatura y la presin del aireatmosfrico de 20 C y 105 Pa, se obtiene una potencia de: P 100.000Kg == = 1,189 3RT 287 293m 23 22 N a = Fy 2= (200 9,8)3D1,189 22 Na = 31.747,04 WDado que el rotor se quiere que gire a 400 rpm, el par necesario deber ser de:2 N a = M = M 400 = 31.747, 04 W60M = 303,16 Nm El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 75. Problema 2271Problema 2222.1 EnunciadoSea el turborreactor de un avin de pasajeros, el cual se desplaza a una velocidad V, (el aire atmosfricose considera sin movimiento), el flujo msico entrante al reactor es m E , siendo el caudal msico delcombustible que entra lateralmente m FUEL . Se conoce, adems, que los gases de combustin salen de latobera a una velocidad relativa al motor Vr.Calcule la fuerza realizada por el soporte del motor.(Se puede considerar despreciable la cantidad de movimiento asociada al caudal msico de combustible, m FUEL .) avin V mesoporte PAe AsFig. 22.1 Esquema del motor de avin22.2 ResolucinLa ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente, aplicada a la superficie que envuelve elvolumen de control formado por el motor, y en direccin X, ser: v x v ds + v x v ds = F ext x .se ssTeniendo en cuenta que el trmino de fuerzas msicas no tiene componente en direccin X, y puesto que lasfuerzas exteriores estn formadas por las fuerzas de presin y los esfuerzos cortantes, que se pueden considerarconcentradas en el soporte del motor, considerando que actan en direccin positiva del eje de abcisas, seestablece: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 76. 72Mecnica de fluidosF soportex = v x v ds + v rx v r dssessLa velocidad en la entrada ser m E = V (velocidad de vuelo del avin).e AePara el caso en estudio, se establece: Vx = V; Vr = Vr . Slo existe componente de velocidad en direccin x, xObtenindose:F soporte x = m E V + (m E + m F)Vrpuesto que el caudal msico saliente es m E + m FUEL .La fuerza que el soporte ejercer sobre el motor se establece:F soporte x = m E (Vr V) + m FVrLa fuerza, o empuje del motor, vendr dada por:F motor x = m E (V Vr ) m F Vr El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 77. Problema 23 73Problema 2323.1 EnunciadoSea un cohete que se desplaza verticalmente acelerndose desde el reposo, el consumo de combustible delmismo es de m , siendo la velocidad de escape del fluido constante e igual a ve (velocidad relativa a lasuperficie de salida del cohete). Si se puede considerar constante la densidad del fluido, y despreciar lavariacin temporal de la cantidad de movimiento del cohete, determine:1. La ecuacin que determina la aceleracin en funcin del tiempo del cohete.2. La ecuacin que determina la velocidad en funcin del tiempo. x v.c.yxVe Fig. 23.123.2 Resolucin1. La ecuacin de cantidad de movimiento para coordenadas no inerciales cuando se desprecian los esfuerzos porrozamiento se puede expresar como: Fmsicas a d = t vcv y d +v y v r dsvc sc El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 78. 74Mecnica de fluidos Fmsicas = M vc g ;Mvc = es funcin del tiempo.Aplicando la ecuacin de continuidad al volumen de control del cohete, se obtiene la siguiente expresin: t vc d + v ds = 0t vc; d = v ds = msalidasc ssalidadM vc m asa cohete t dt= msalida ; M inicial dM vc = 0 m salida dt M cohete M inicial = msalida t;M cohete = M inicial msalida tde donde:Fmsicas = g ( M inicial msalida t ) a d = a dM vc = a M vc = a ( M inicial msalida t ) t vcv y d = 0 , segn el enunciado. ss v y v r ds = v y msalida msalidaSustituyendo en la ecuacin general, se llega a: g ( M inicial msalida t ) a ( M inicial msalida t ) = v e msalida ve msalida a=g M inicial msalida t2. tdvt v m a=;v = a dt = e salida ln ( M inicial msalida t ) g t ;dt 0 msalida0M msaliente t V = Ve ln inicial g t.M inicialo bien: M inicial V = Ve ln g t. M inicial msaliente t Obsrvese que la velocidad del cohete tiende a aumentar con el tiempo. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 79. Problema 2475Problema 2424.1 EnunciadoSea un avin en vuelo ascendente con una inclinacin respecto a la horizontal, = 22.Sea V la velocidad de escape de los gases de combustin, velocidad relativa a la velocidad del avin,considrese V = constante.Sea D la fuerza de arrastre debida a las fuerzas superficiales, que se opone al movimiento del avin, V 2D = C D s avin . 2 = densidad del aire. Considere como primera aproximacin la densidad media entre las alturas de vuelo.S = superficie del avin proyectada en un plano perpendicular a la direccin del movimiento. (Es un datodel problema.)CD = coeficiente de arrastre. ( Se supone constante y conocido).En un instante considerado, el avin vuela a una velocidad Vinicial y se halla a una altura H inicial. Dichoavin est acelerando con el fin de obtener una velocidad V final y una altura H final en un tiempo t, en todomomento se mantiene la inclinacin.Determine:1. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el periodo deaceleracin considerado. Considere que la masa del avin se mantiene constante.2. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el perodo deaceleracin considerado. Considrese variable la masa del avin y tngase en cuenta que el caudal msicode combustible es el 5% del caudal entrante a los motores.3. La altura final a la que se encontrar el avin despus del perodo de aceleracin t considerado.Determine la densidad media del aire atmosfrico entre las alturas de vuelo consideradas, sabiendo que latemperatura en la atmsfera en funcin de la altura h varia segn la relacin: T= T0 Bh; T0 y B sonconstantes conocidas.Datos:V inicial; V final; H inicial; ; V; CD; S; t; T0; B; m inicial avin; . (Considrese conocida para los apartados 1 y2.) El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 80. 76Mecnica de fluidos24.2Resolucin1. Se eligen los sistemas de coordenadas XY; XY.yyxxg 7822Para el sistema de coordenadas no inercial situado en el avin, se tiene:ay xv = cteLa ecuacin de cantidad de movimiento aplicada a un sistema no inercial se enuncia: d2R d c Vxy d + sc VxyVxyd s + sc 2 + ( r ) + (2 Vxy) + ( r ) d =t dtdt = Fext = sc P n ds + sc ds + c g d Puesto que las aceleraciones de Coriolis, centrpeta y la debida a la velocidad de giro variable no son relevantespara el caso de estudio, se tiene: d2R c Vxyd + sc VxyVxyds + sc 2 d = sc P n ds + sc ds + c g d tdtLas fuerzas superficiales han sido dadas en funcin del coeficiente de arrastre: 2 VavinD = CD s 2Estas fuerzas tienen la direccin del eje X y se dirigen hacia la parte negativa de dicho eje. d2Rc Vxyd + sc VxyVxyds = D + c g d c 2 d tdt El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 81. Problema 24 77Eligiendo como volumen de control el avin, se tiene que nicamente existe flujo de cantidad de movimientoentrante y saliente en los motores.sc Vxy Vxyds = se Vavin Vavin ds + ss Vgases escape Vgases escape ds =2 2 Vavin s entrada Vgases escape ssalida = m entrante Vavin msaliente Vgases escapeEn este primer apartado, se va a despreciar la aportacin del combustible al caudal msico saliente, con lo cual setendr:m entrante = msalienteEn lo que a la variacin temporal de cantidad de movimiento se refiere, se va a suponer que la densidad del flujoen el interior del volumen de control es constante; por otro lado, la velocidad de salida del flujo por los motoresdel avin se ha supuesto tambin constante, segn el enunciado, con lo cual: Vxyd = 0;t cy se obtiene:d2Rmsaliente ( Vgases escape Vavin ) = D + c g d c ddt 2Proyectando la gravedad en la direccin del movimiento del avinc g d = g cos(90 ) = m avin g cos(90 )d2RPuesto que = a ,aceleracin del avindt 22Vavinmsaliente ( Vgases escape Vavin ) = C D aire s m avin g cos(90 ) c a d22Vavinmsaliente ( Vgases escape Vavin ) = C D aire s m avin g cos(90 ) m avin a2Vavin = Vinicial + at ( Vinicial + at ) 2CD aire s + m avin g cos(90 ) + m avin amsaliente = 2 ( Vgases escape (Vinicial + at) )2. Si se considera que la masa del avin vara con el tiempo, se tiene, conociendo que la masa de combustible esel 5% de la masa total:m avin, = m av.inicial m entrante t 0, 05Segn la ecuacin de continuidad:m entrante + m fuel = msaliente. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 82. 78Mecnica de fluidosm entrante + 0, 005 mentrante = msaliente.1, 05 m entrante = msaliente.con lo cual:0, 05m avin, = m av.inicial msaliente t 1, 05El flujo de cantidad de movimiento a travs de los motores del avin, al considerar que el flujo msico decombustible es el 5% del flujo entrante, se establece: msalientesc Vxy Vxyds = m entrante Vavin msaliente Vgases escape = Vavin msaliente Vgases escape =1, 05V V+ at msaliente avin Vgases escape = msaliente inicial Vgases escape 1, 05 1, 05La ecuacin de cantidad de movimiento quedar:V + at msaliente Vgases escape inicial = 1,05 ( Vinicial + at )2 0,05 0,05 CD aire s + mav.inicial msaliente t gcos(90 ) + mav.inicial msaliente t a 2 1,05 1,05 V+ at 0, 05msaliente Vgases escape inicial + msaliente ( g t cos(90 ) + t a ) = 1, 05 1, 05 ( Vinicial + at ) 2CD aire s + m av.inicial ( g cos(90 ) + a ) 2( Vinicial + at )2CD aire s + mav.inicial ( g cos(90 ) + a )msaliente = 2 ;Vinicial + at 0, 05 Vgases escape 1, 05 + ( g t cos(90 ) + t a ) 1, 05La aceleracin que experimenta el avin se halla:d 2 R Vfinal Viniciala= =;dt 2t3. Si a la velocidad inicial le corresponde una altura inicial, hi, al final del perodo de aceleracin considerado, t,la altura del avin ser:Vf1 hfe = at 2 ;2eh hi sen22 = f ;e 1 2 h f = esen22 + h i =at sen22 + h i ; 22Vi 2 hi El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 83. Problema 2479La densidad media del aire atmosfrico entre las dos alturas de vuelo consideradas se determinar hallando ladensidad del aire a cada una de estas alturas, y posteriormente obteniendo la media de dichas densidades: hf + hiaire =; 2Phf = hf ; RThf Phihi = ;RThiPuesto que la temperatura del aire en la atmsfera terrestre viene dada por:T = To Bh; KTo = 15 C i B = 0, 0065 ; m PPgdp = gdh = gdh = dh;RTR(To Bh) P = PhfdPh = hf gdhP = Patm= h = 0 ; PR(T0 Bh) P g T Bh f ln hf =ln 0 ; Patm RB T0 g T Bh f RBPhf = 0 ; T0expresin que da la presin del aire a una altura h genrica; sustituyendo h por hf y hi se obtienen las presiones alas dos alturas consideradas. Dado que la temperatura tambin es conocida, se puede determinar la densidad delaire para estas dos alturas y, consecuentemente, la densidad media. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 84. Problema 2581Problema 2525.1 EnunciadoSe desea realizar un experimento en la estacin especial internacional. El experimento consiste endeterminar la fuerza de reaccin del contorno sobre el fluido, cuando este fluye a lo largo de un tramo detubera recta de 1 m de longitud y 1 cm de dimetro.El satlite donde ir montada la instalacin tiene, en el momento de realizar el experimento, unaaceleracin respecto a un sistema de referencia inercial de:a=10j +10k (m/s 2 ) , siendo su velocidad angular = 0,2i + 0,2j - 0,01k (rad/s) .El tramo de tubera respecto al centro de gravedad del satlite est situado en un plano XZ, y el conductoest alineado con el eje Z. El centro de gravedad del conducto est situado en X=0,5 m; Y=0,5 m; Z=1 m.Se conoce, adems, que el flujo es en sentido positivo del eje de las Z, y la presin a la entrada del tramorecto es de 2 105 Pa (presin absoluta).Debido a que el flujo es laminar, para determinar la presin en el extremo opuesto del conducto se8 LvPutilizar la ecuacin: P =;= Yrc 2 L = longitud del conductov = velocidad del fluido en el conducto, (considrese 1 m/s.) = densidad del fluido = 850 Kg/m3 = viscosidad cinemtica del fluido = 30 10-6 m2/sConsidrese despreciable el efecto de la gravedad terrestre sobre el satlite.Tramo del conductoa estudiarz z yx y x Figura 25.1. Esquema de la instalacin, con los dos ejes coordenados utilizados El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 85. 82 Mecnica de fluidos25.2 ResolucinLa ecuacin de cantidad de movimiento para un sistema no inercial de coordenadas se establece (v. figura 25.2): Tubera dS z zv dSy Rx yxFigura 25.2 Esquema de los dos ejes coordenados con el vector R que los une d 2 R d t c Vd + VVdS + VVdS + 2 + dt r + 2 V + r () ( ) d =sessc dt = pdS pdS + F(ijk ) + gd se ssc d2R ( ) () d + pdS + pdS = F m Ve k + m Vs k + 2 + 2 V + r (i, j,k )c dt se ssEl radio r en un elemento diferencial de tubo ser de la forma:zr = 0,5 i + 0,5 j + Z k 1,5d2R = 10 j + 10k0,5dt 2 0,5 y0,5 ijk( 2 V ) = 2 0, 2 0, 2 0, 01 = 2 [ 0, 2i 0, 2 j] = 0, 4i 0, 4 jx 0 0 1i jk( r ) = 0, 2 ( 0, 2 0, 01 = 0, 2Zi 0,50, 01j + 0, 20,5k 0, 20,5k 0,50, 01i + 0, 2Z j = ) 0,5 0,5Z El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 86. Problema 25 83= ( 0, 005 + 0, 2Z ) i ( 0, 005 + 0, 2Z ) j ; i jk r = 0, 20, 2 0, 01 =( 0, 005 + 0, 2Z ) ( 0, 005 + 0, 2Z ) 0 r = 0, 01( 0, 005 + 0, 2Z ) j+ 0, 2 ( 0, 005 + 0, 2Z ) k 0, 2 ( 0, 005 + 0, 2Z ) k 0, 01( ( 0, 005 ) ) i r = ( 510 5 + 210 3 Z ) i ( 510 5 + 2103 Z ) j (103 + 410 2 Z ) 2 kLa presin a la salida del conducto respecto a la entrada del mismo ser:Vs Ps Pe Ve 2P V28LV ++ gZe = s + s + gZs + 2e 2 s 2 rcLas fuerzas msicas se consideran despreciables. 8 LVPs = Pe Perc 2Ps = 2105 8160 = 1,9184105 PaVe Stubo 10 j+ 10 k + 0, 4 i 0, 4 j ( 510 5 + 210 3 Z ) ( 510 5 + 210 3 Z ) ( 2103 + 8102 Z ) k dZ 8.160Stubo k = F(i, j,k )1,50,5 i j 1,5 Z2 1,5 Z2 Z2 1,5 Stubo 10 j+ 10 k + 0, 4 i 0, 4 j 510 5 i 510 5 j 210 3 k 2103 i 210 3 j 810 2 k + 2 0,5 2 0,5 2 0,5 8.160Stubo k = F(i, j,k )0, 012 0, 012 8500,39995 i + 9,5995 j+ 9, 998 k 210 3 i 210 3 j 810 3 k 8.160 k = F(i, j,k ) 4 4 F(i, j,k ) = 2, 6566710 2 i + 6, 4074810 1 j+ 2,1229310 2 k El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 87. Problema 2685Problema 2626.1 EnunciadoSea un fluido de viscosidad dinmica y densidad que circula por una tubera de dimetro D. Sabiendoque el caudal circulante es Q y que la presin en la entrada del conducto es P, determine la expresin quecaracteriza la fuerza de reaccin del contorno sobre el fluido, cuando el sistema est inmvil y cuando elsistema gira respecto a su eje central vertical a una velocidad angular . Considere que la tubera es lisa.Las dimensiones principales del conducto se esquematizan en la figura 26.1.w aR Da BVVsalidasalida hAVentradaVentradaFig. 26.1 Esquema de la instalacinNota. A los efectos de prdida de carga, los codos y los tramos curvados de la tubera se considerarn comoprdidas lineales, con una longitud igual a la de su desarrollo. El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 88. 86Mecnica de fluidos26.2 Resolucin1. La fuerza de reaccin que el conducto realiza sobre el fluido ser debida al balance de cantidad de movimientoentre la entrada y la salida del sistema. En este primer apartado, y dado que no existe giro alguno, la ecuacin decantidad de movimiento para sistemas inerciales se enuncia: SA p ds SB p ds SL p ds + SL ds + C g d = v d + SC v v ds t Cde donde las fuerzas de reaccin (contorno sobre el fluido) y para rgimen permanente se definen:FCF = SC v v ds C g d + SA p ds + SB p ds = SA v v ds + SB v v ds C g d + SA p ds + SB p dsUna vez realizada la integracin, se obtiene: FCF = 2 m v k s ( p A + p B ) k + g L sde donde:v = velocidad de circulacin del fluido, que se calcula mediante la ecuacin de continuidadm = caudal msicoPA = presin en la entrada del conducto, punto A. (dato del problema)PB = presin en la salida del conducto, punto B (se determina mediante la ecuacin de Bernoulli)Ltotal = longitud desarrollada del conducto. Segn la figura 26.1, valdr:L total = 2 h + a + RLa presin a la salida del conducto, punto B, se hallar: PA V 2 PB V 2 L V2+ = + +f 2 2D 2As: PAL V2PB =-fD 2El factor de friccin se determinar a partir del diagrama de Moody, mediante la determinacin previa delnmero de Reynolds y asumiendo, segn el enunciado que la tubera es lisa.2. En el segundo apartado, cuando todo el sistema gira a una velocidad respecto al eje Z, se deber utilizar laecuacin de cantidad de movimiento para sistemas no inerciales, que se enuncia: SA p ds SB p ds SL p ds + SL ds + C g d = v d + SC v v ds t C d 2 R d+ C 2 + r + 2 V + r d dtdtPuesto que para el caso en estudio nicamente aparecen las aceleraciones centrpeta y de Coriolis, y dado que setiene rgimen permanente, la ecuacin anterior queda: El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 89. Problema 2687 SA p ds SB p ds + FCF + C g d = SA v v ds + SB v v ds + C 2 V + r d de donde:FCF = m [ 2 VY ] k + SA p ds + SB p ds C g d + C 2 V + r d FCF = m [ 2 VY ] k PA S k PB S k + g L total S k + C 2 V + r d Las aceleraciones centrpeta y de Coriolis se calculan (v. figura 26.2):v2v r 2 RrR j (+)i (+)Figura 26.2 Representacin direccional de las aceleracionesa) En la curva principalCoriolis:i j k2 V = 200 = V cos + V sen ji v cos v sen0Centrpeta:i j k R = 0 0 = R sen + R cos =j iR senR cos 0i j k= 0 0 = 2 R cos 2 R sen jiR cos R sen0La fuerza sobre la curva principal debida a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta ser:FCF(a ) = 0 Vsen V cos 2 R sen + 2 R cos d j ijipuesto que El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 90. 88 Mecnica de fluidosd = SR ddespus de la integracin se tiene:FCF(a ) = 2 SR V + 2 SR 2 2 = 2 S R (R V) i i ib) Las aceleraciones centrpeta y de Coriolis en los dos codos se obtienen (v. figura 26.3): v 9090 vaa z (+)z (+) i (+) i (-)Figura 26.3 Esquema de los dos codos con el vector velocidad de fluido asociadoCoriolis, codo 1: ij k2 V = 2 00 =0 v cos(90 )0v sen(90 )Coriolis, codo 2: ij k2 V = 2 00 =0v cos(90 ) 0 v sen(90 )Los radios desde el centro de coordenadas hasta un elemento diferencial genrico en los codos 1 y 2 se definenen la figura 26.4:R1 = a cos + R (a a sen ) ki j R 2 = a cos R (a a sen ) k i j con lo cual la aceleracin centrpeta para el codo 1 ser: i jk R = 00 = a cos R = j i a cos R a(1 sen ) El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 91. Problema 2689z (+)aR 2RR1 i (+) a Figura 26.4 Esquema de los elementos diferenciales de radio ij k=0 0 = 2 R 2 a cos j i Ra cos 0y para el codo 2 se tendr:ij k R = 00= a cos + R =j ia cos R a(1 sen ) i jk= 0 0 = 2 R 2 a cos j i R a cos 0La fuerza debida a la aceleracin centrpeta para los codos 1 y 2 ser:FCF(b1,2) = C(codos1,2) 2 V + r dEl diferencial de volumen vendr dado por:d = S a d , de donde:FCB(b1,2) = 0 2 2 a cos 2 R + 2 R 2 a cos S a d i j j i El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 92. 90Mecnica de fluidosFCB(b1,2) = 2 S a 2 2 ic) Fuerzas debidas a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta en los tramos rectos.El radio genrico de un elemento diferencial de tubera al eje de coordenadas se define en la figura 26.5, dedonde:R= R x + R y + R z k i j por lo que sus componentes para los tramos rectos conectados a los codos 1 y 2 sern:Tramo unido al codo 1Tramo unido al codo 2Rx= aRx= aRy= RRy= -RRz= -(a+z) Rz= -(a+z)La aceleracin de Coriolis en los tramos rectos ser:Tramo recto unido al codo 1: i jk2 V = 2 0 0 =0 0 0Vzz (+)j (-)i (-) Codo 2a RzCodo 1Bj (+) Vsalida VsalidaAVVentrada entrada Figura 26.5 Esquema de un elemento diferencial de conducto El autor, 2006; Edicions UPC, 2006 93. Problema 26 91Tramo recto unido al codo 2:ijk2 V = 2 0 0 =000 VzLa aceleracin centrpeta ser:Tramo recto unido al codo 1: ijk R = 00 = a R = j i aR (a + z)ij k=0 0 = 2 R 2 a jiRa0Tramo recto unido al codo 2: ijk R = 00 = a + R = j i a R (a + z)ij k=0 0 = 2 R 2 a ji Ra 0Al sumar las fuerzas debidas a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta en los tramos rectos del conducto,nicamente aparece:Ftubo recto = a ( 2 2 a Sdz = S 2 2 a z a +z i) iSi se denomina L a la longitud del tramo recto, la fuerza actuante sobre los dos tramos rectos ser:Ftubo recto = S 2 2 a L iLa fuerza resultante sobre todos los diversos tramos del conducto se ex