mecanica fluidos

U n i v e r s i d a d d e N a v a r r a E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r o s N a f a r r o a k o U n i b e r t s i t a t e a I n g e n i a r i e n G o i M a i l a k o E s k o l a

CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA

Paseo de Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. Tel.: 943 219 877 Fax: 943 311 442 www.tecnun.es [email protected]

MECÁNICA DE FLUIDOS

TRANSPARENCIAS DE CLASE

Alejandro Rivas Nieto Dr. Ingeniero Industrial

© 2008 Alejandro Rivas Nieto ISBN Reservado todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial sin autorización previa. Primera Edición: 2008 Impreso en España Ilustraciones: © Alejandro Rivas Nieto

Imprime: Unicopia, Pº de Manuel Lardizabal, 13 20018 – San Sebastián (Gipuzkoa-España)

MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2008-2009 (1)

INDICE (I)

1 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 3

1.1 Prólogo 4

1.2 La Hipótesis del Continuo 6

1.2.1 Partícula Material 9

1.2.2 Sistema Material 10

1.3 Definición de Fluido 11

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano 15

1.4.1 Enfoque Lagrangiano 16

1.4.2 Enfoque Euleriano 21

1.4.3 Ejemplo Final 24

1.5 Leyes Fundamentales 27

1.5.1 Consideraciones Finales 28

2. MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS 30

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental 31

2.2 Magnitudes Cinemáticas 39

2.2.1 Campo de Velocidades 41

2.2.2 Velocidades de Deformación y Giro 45

2.3 Magnitudes Integrales 55

2.3.1 Flujos Convectivos a través de la Superficie de Control 58

2.3.2 Magnitudes Promedio 64

2.4 Teorema del Transporte de Reynolds y Derivada Material 66

2.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds 67

2.4.2 Derivada Material 70

2.5 Magnitudes Dinámicas 74

2.5.1. Motivación 75

2.5.2. Fuerzas que actúan sobre un fluido 76

2.5.3 Fuerzas Volumétricas 78

2.5.4 Fuerzas de Superficie 81

2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano 89

2.6 Magnitudes Termodinámicas 97


INDICE (II)

3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS102

3.1 Métodos Integral y Diferencial 103

3.2 Ley de Conservación de la Masa 105

3.2.1 Ecuación Integral de la Continuidad 106

3.2.2 Ecuación Diferencial de la Continuidad 109

3.3 Segunda Ley de Newton 111

3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento 112

2.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento 118

3.4 1a Ley de la Termodinámica 126

3.4.1 Ecuación Integral de la Energía 127

3.4.2 Ecuación de Bernoulli 130

3.5 Regímenes de Flujo 133

3.5.1 Introducción 134

3.5.2 El Régimen Laminar 140

3.5.3 El Régimen Turbulento 141

5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS 147

5.1 Generalidades 148

5.1.1 Definición y Modelado de una instalación hidráulica 149

5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica 150

5.2 Pérdidas de carga en tuberías 154

5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach 155

5.2.2 Secciones no circulares. Diámetro Hidráulico 160

5.2.3 Problemas Básicos en tuberías 163

5.3 Válvulas 166

5.3.1 Funciones y Tipos 167

5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas 169

5.4 Modelo Matemático de una instalación hidráulica 171

5.4.1 Ecuaciones Fundamentales 172

5.4.2 Condiciones de Contorno 173

5.4.3 Resolución 174

5.4.4 Formulación por Caudales 175

5.4.5 Formulación por Alturas 177


TEMA 1CONCEPTOS INTRODUCTORIOS


1.1 PRÓLOGO


1.1 PrólogoMECÁNICA DE FLUIDOS: Estudia las fuerzas y energías que los fluidos generan cuando se encuentran en reposo (fluidoestática) y en movimiento (fluidodinámica).

Naturaleza de los fluidos (¿Qué son?).

Magnitudes que se emplean para analizar su comportamiento.

Leyes Físicas que gobiernan su comportamiento.

Modelación matemática y resolución de problemas de Mecánica de Fluidos.

PREGUNTA: ¿Por qué es necesario para un ingeniero estudiar Mecánica de Fluidos?.

RESPUESTA: Porque son amplísimos los campos de la ingeniería donde aparecen fluidos en movimiento o reposo.

Transporte de Fluidos.

Generación de Energía.

Control Ambiental

Transporte

“ Pocos son los ingenieros que pueden desempeñar su función de manera efectiva sin, por lo menos, un conocimiento rudimentario de la Mecánica de Fluidos.” . P. M. Gerhart, R. J. Groos and J. I. Hochstein. Fundamentos de Mecánica de Fluidos. Ed. Addison-Wesley


1.2 LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO


• Los fluidos son materia (no se trata de entes abstractos).

• La materia poseen una estructura atómica (formada por un discreto y elevadísimonúmero de partículas elementales (átomos o moléculas)

• El comportamiento de la materia es producto de esta estructura atómica.

DESEO: Estudiar el comportamiento de la materia (fluidos) sin tener que recurrir a su estructura atómica.

SOLUCIÓN: Adoptar un modelo (aproximación) de la materia que se denomina CONTINUO.

• La materia es continua, llena todo el espacio que ocupa. (macroscópicamente lo parece).

• ∃ unas propiedades macroscópicas que definen el comportamiento de la materia y que varían continuamente en el espacio ocupado esta.

1.2 La Hipótesis del Continuo (I)


PREGUNTA: ¿Es correcto considerar elementos infinitesimales de materia?

RESPUESTA:

• Estrictamente (matemático): NO.

Al hacerlos tan pequeños como queramos (infinitésimos) la Hipótesis del Continuo dejaráde ser válida.

• En la práctica (ingeniero): SI.

En la realidad en un volumen pequeñísimo existen un gran número de partículas. La Hipótesis del Continuo sigue siendo válida. Ejemplo: 10-9 mm3 de aire contienen aprox. 3·107 moléculas.

Las dimensiones de los problemas suelen ser enormes comparadas con aquellas en las que la Hipótesis del Continuo deja de ser válida.

A efectos prácticos se puede trabajar de elementos infinitesimales (pequeñísimos) de materia.

CONCLUSIÓN FINAL: Se adoptará la Hipótesis del Continuo

1.2 La Hipótesis del Continuo (II)


DEFINICIÓN: Cantidad infinitesimal de materia (fluido) de dimensiones también infinitesimales.

Posee un volumen (δVP) y una superficie (δSP) infinitesimales.

Su comportamiento se analiza a través de la evolución de una serie de magnitudes:

• Cinemáticas: Movimiento y deformación. Ejemplos rP, vP, aP y DP.

• Dinámicas: Fuerzas que actúan sobre la partícula. Ejemplos g, pP y Tp.

• Termodinámicas: Transferencia de energía entre la partícula y su entorno. Ejemplos: pP, TP y ρP

1.2 La Hipótesis del Continuo-1.2.1 Partícula Material


DEFINICIÓN: Cantidad de materia arbitraria constante y de identidad fija.

• Una partícula es un sistema de masa infinitesismal.• Sistema Material=Sistema Material Finito.

Su comportamiento se analiza a través de la evolución de una serie de magnitudes:

• Cinemáticas: Movimiento y deformación.

• Dinámicas: Fuerzas.

• Termodinámicas: Transferencia de energía entre el sistema y su entorno.

Cualquier magnitud asociada al sistema material puede expresarse a partir de las propiedades de las partículas materiales que lo constituyen (siempre las mismas).Ejemplo: Cantidad de Movimiento

( ) ( )( )

( ) PPtV

P dVttt ⋅⋅ρ= ∫Π

Π vM

1.2 La Hipótesis del Continuo-1.2.2 Sistema Material


1.3 DEFINICIÓN DE FLUIDO


EXPERIMENTO: Comportamiento de un SOLIDO ante una solicitación cortante.

CONCLUSIÓN: Un sólido adquiere una deformación estática ante una solicitación cortante.

φ∝F

1.3 Definición de Fluido (I)


EXPERIMENTO: Comportamiento de un FLUIDO ante una solicitación cortante.

CONCLUSIÓN: Un fluido NO adquiere una deformación estática ante una solicitación cortante, por el contrario se deforma continuamente (velocidad de deformación).

φ∝ &F

1.3 Definición de Fluido (II)


DEFINICIÓN: Fluido es aquella sustancia que al ser sometida a una solicitación cortante o de cizalladura, independientemente de la magnitud de ésta, se deforma de manera continua (flujo o fluencia).

COROLARIO: Un fluido en reposo (o con movimiento de sólido rígido) no puede estar sometido a esfuerzo cortante alguno.

• Los líquidos y los gases son fluidos. Ejemplos de los más comunes

Agua, Mercurio, Aceites y gasolinas.

Aire.

• Existen sustancias que no pueden clasificarse de forma precisa como sólidos o como fluidos (i.e: ceras, alquitranes o fangos).

• La ciencia que estudia la deformación y el flujo de las sustancias se denomina REOLOGÍA

1.3 Definición de Fluido (III)


1.4 ENFOQUES LAGRANGIANO Y EULERIANO


OBJETIVO: Analizar el movimiento de un fluido (flujo de un fluido). En principo existirían 2 maneras de enfocar el análisis (resultados).

Z

X

Y

rP(X0P,t=0)=(R0)P

vP(X0P,t)=dr/dt

rP(X0P,t)

Partícula Material P

t=0

Partícula Material P

en t

vP(X0P,t=0)

Sistema Material

en t=0

Sistema Material

en t

Ejemplo: Posición r(X0,t).

• Fijando t : r(X0,t) proporciona la posición de todas las partículas en ese instante.

• Fijando X0 : r(X0,t) proporciona la evolución temporal de la posición de la partícula que en t=0 tiene las coordenadas X0.

1ª FORMA: ENFOQUE LAGRANGIANO

• La solución buscada es la evolución temporal de las magnitudes de todas y cada una de las partículas de fluido (sistemas) que intervienen en el problema.

• Matemáticamente las magnitudes las consideraremos funciones de la posición inicial de la partícula (sistema) (X0) y del tiempo (t).

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.1 El Enfoque Lagrangiano (I)


1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.1 El Enfoque Lagrangiano (II)

Ejemplo de Análisis Lagrangiano: Dinámica del Punto Material


1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.1 El Enfoque Lagrangiano (III)

Ejemplo de Análisis Lagrangiano: Dinámica del Sólido Rígido


1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.1 El Enfoque Lagrangiano (IV)

¿Es posible analizar un flujo con un Enfoque Lagrangiano?

t (+)


AFIRMACIÓN: El Enfoque Lagrangiano proporciona buenos resultados en el análisis del movimiento de sólidos rígidos (Mecánica del Sólido Rígido).

PREGUNTA: ¿Proporcionará el Enfoque Lagrangiano buenos resultados en el análisis de un flujo(=movimiento de un fluido)?.

RESPUESTA: NO

• Desde un punto de vista práctico el análisis se centra en describir el flujo en una determinada región del espacio (Dominio de Flujo o Volumen de Control (V.C.)). Una partícula de fluido (sistema) no tiene interés si no se encuentra en el V.C.

• Un fluido al moverse presenta grandes deformaciones y las partículas de fluido tienen movimientos relativos complejo (no reducción de GDL).

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.1 El Enfoque Lagrangiano (V)


2ª FORMA: ENFOQUE EULERIANO

• Fijado un Volumen de Control (V.C.) (Ingeniero).

• La solución es el valor de las magnitudes de las partículas de fluido (sistema) que en cada instante t están ocupando el V.C.

• Matemáticamente las magnitudes que se analizan son funciones de la posición en el V.C. (x) y del tiempo t.

Ejemplo: Cinemática v(x,t).

• Fijando t: v(x,t) proporciona la velocidad de todas las partículas que en el instante t están ocupando el V.C.

• Fijando x : v(x,t) proporciona la velocidad de la partícula que en cada instante estáocupando la posición x en el V.C. (no es la misma)

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.2 El enfoque Euleriano (I)


Combustible

u1

1 2

S.C.

C

V.C.

u2

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.2 El enfoque Euleriano (II)

Ejemplos de Problemas de Flujo:

s

e

S.C.

V.C.

S.C.V.C.


CONCLUSIÓN: El Enfoque Euleriano es adecuado y permite obtener resultados en el análisis de flujos de fluidos.

El Enfoque Euleriano será el adoptado en Mecánica de Fluidos

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.2 El enfoque Euleriano (III)


1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.3 Ejemplo Final (I)

Ejemplo: Posiciones y sueldos en una empresa. Enfoque Euleriano.


1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano-1.4.3 Ejemplo Final (II)

Ejemplo: Posiciones y sueldos de ingenieros. Enfoque Lagrangiano.

INGENIERO Sr. (3)

BECARIO (1) INGENIERO Jr. (2)

INGENIERO Sr. (3) GERENTE (4)

Año

4 € 6 €

10 €

14 € 16 €

(1)

(2)

(3)

INGENIERO Jr. (2)

8 €


1.5 LEYES FUNDAMENTALES


• Conservación de la masa: La rapidez de variación en el tiempo de la masa de un sistema material es nula. La masa de un sistema material es constante.

• 2ª Ley de Newton: La rapidez de variación en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema material es igual a la fuerzas externas que actúan sobre él.

• 1ª Ley de la Termodinámica: La rapidez de variación en el tiempo de la energía de un sistema material es igual a la velocidad de transferencia neta de energía entre el sistema y su entorno.

• 2ª Ley de la Termodinámica: (Poco empleada en este curso de Mecánica de Fluidos. No enunciada)

El comportamiento de un fluido (reposo o movimiento) está regido por unas leyes fundamentalesque son universales:

1.5 Leyes Fundamentales


( ) ( )( ) ( )tttt

tt

PP

PP

δδ +≠+=

,,

xvvxvv

CUESTIÓN: ¿Como se formula matemáticamente?1ª Aproximación:

( ) ( ) ( ) ( )t

ttt

Dt

tDt PP

t

PP

δ

δδ

vvva −+≡≡

→0lim

( ) ?...¿, +∂

∂=≡

tDt

Dt vvxa

RESPUESTA CORRECTA: (*)

(*) En el siguiente tema de este curso1.5 Leyes Fundamentales-1.5.1 Consideraciones Finales (I)

En todas las leyes fundamentales aparece la rapidez de variación en el tiempo de alguna magnitud (masa, cant. de mov. o energía) de una partícula o un sistema de fluido (Tienen carácter Lagrangiano).

Las ecuaciones que resuelven un problema son la formulación matemática de las leyes fundamentales.

Es necesario expresar matemáticamente las leyes fundamentales y por tanto esta rapidez de variación en el tiempo.

Ejemplo: Campo de aceleraciones a(x,t).

( ) ( ) ( )t

txttx

tDt

Dtt δ

δδ

,,lim,0

vvvvxa −+≡

∂

∂≠≡

→


1.5 Leyes Fundamentales-1.5.1 Consideraciones Finales (II)

Ejemplo: Cantidad de Movimiento de un sistema

( ) ( ) ( )t

ttt

Dt

tDt δ

δδ

ΠΠ

→

Π −+=

MMM0

lim

(*) En el siguiente tema de este curso

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) dVtttttttt

dVtttt

VCVC

VCVC

⋅+⋅+≡+≠+

⋅⋅≡=

∫

∫

Π

Π

δδρδδ

ρ

,,

,,

xvxMM

xvxMM

( )?...¿+=Π

dt

d

Dt

tD VCMM

( ) ( ) ( )t

ttt

dt

d

Dt

tD VCVC

t

VC

δ

δδ

MMMM −+=≠

→

Π

0lim

CUESTIÓN: ¿Como se formula matemáticamente?1ª Aproximación:

RESPUESTA CORRECTA: (*)


TEMA 2MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE

FLUIDOS


Métodos Diferencial, Integral y Experimental


1er MÉTODO (Método Diferencial):

Fijado el V.C.

Adoptar como variables las magnitudes de las partículas que están ocupando en cada instante el V.C.:

Flujo Compresible (+ general): v(x,t), p(x,t), ρ(x,t) y T(x,t).

Flujo Incompresible (ρ=cte): v(x,t) y p(x,t).

Obtener ecuaciones que relacionen estas magnitudes. Formulación de las leyes fundamentales (Flujos incompresibles: Conservación de la Masa y 2ª Ley de Newton).

Se resuelven las ecuaciones (EDDP) con unas condiciones de contorno e iniciales obteniéndose (v(x,t) y p(x,t) incompresible).

PREGUNTA: Adoptado el Enfoque Euleriano. ¿cómo se formula y resuelve el análisis de un flujo?.

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (I)


VARIABLES: v(x) y p(x)

RESULTADO: v(x) y p(x)

+CONDICIONES DE CONTORNO

( )

Vp

div

fvvrv

v

+∇⋅+−∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂⋅

=

2

0

μρ

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (II)METODO DIFERENCIAL

Ejemplo: Flujo Estacionario de un líquido en una boquilla

e s

W

V.C.Z

X

Y

r(x)


Matemáticas: Resolución de EDDP no lineales en geometrías normalmente complejas. Necesidad de Métodos Numéricos (C.F.D)

Fenómenos físicos: En el movimiento de los fluidos existe un fenómeno denominado turbulenciaque complica aún más la resolución de las ecuaciones diferenciales (de por si matemáticamente muy complejas).

Prácticas: El método diferencial proporciona una información del flujo detallada (toda-¿demasiada?).

¿Está interesado el ingeniero directamente en esta información tan detallada?

¿Se centra su interés más en magnitudes integrales del flujo? (Fuerzas, Caudales, Flujos y Potencias).

AFIRMACIÓN: El Método Diferencial se encuentra con dificultades:

CONCLUSIÓN: Adoptar un método de análisis donde las incógnitas fueran magnitudes integrales en las que el ingeniero está interesado y matemáticamente más simple.

Los únicos flujos que se analizarán por el método diferencial serán flujos en Régimen Laminar (no turbulencia) y en Geometría muy simples (unidireccionales-unidimensionales)

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (III)


2o MÉTODO (Método Integral):

• Fijado el V.C.

• Adoptar como variables las Magnitudes Integrales (Fuerzas, Caudales, Potencias, etc..).

• Obtener ecuaciones que relacionen estas incógnitas. Formulación de las leyes fundamentales para el sistema de fluido que en el instante t estáocupando el V.C. (Flujos incompresibles: Conservación de la masa, 2ª Ley de Newton y Ec. de la energía mecánica).

• Se resuelven las ecuaciones (EDO o Algebraicas)

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (IV)


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (V)

VARIABLES: pe, ps, q y FW

RESULTADO: Ejemplo (q y FW)

+CONDICIONES PROBLEMA (Ejemplo pe y ps)

METODO INTEGRAL

Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅+⋅−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+=⋅−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VI)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅+⋅−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+=⋅−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ

PREGUNTA: ¿Qué método parece más sencillo en su formulación y proporciona respuestas prácticas de forma más inmediata en su resolución?

( )

Vp

div

fvvrv

v

+∇⋅+−∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂⋅

=

2

0

μρ

+CONDICIONES DE CONTORNO

METODO DIFERENCIAL METODO INTEGRAL


2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VII)

ANÁLISIS INTEGRAL

ANÁLISIS DIFERENCIAL EXPERIMENTACIÓN

CONCLUSIÓN: Se utilizará el Método Integral para analizar flujos completandolo cuando sea necesario con resultados obtenidos mediante Análisis Diferencial o Experimentación

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅+⋅−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+=⋅−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+

==

eseessW

s

sQ

e

e

se

AAqApApF

A

q

g

pqK

A

q

g

p

qqq

11

2

1

2

1

2

2

2

2

ρ

γγ

Experimentación o Análisis Diferencial (C.F.D)


2.2 MAGNITUDES CINEMÁTICAS


2.2 Magnitudes Cinemáticas

E (e)O (o)

N (n)

S (s)

EO

N

S

Y

X

Particula P enel instante t

Particula P enel instante t+ t

r=v· t

X

Y

Sirven para cuantificar el movimiento de una partícula de fluido:

Desplazamiento (Velocidad)Deformación (Velocidades de deformación)Giro (Velocidad angular)

Flujo bidimensional-bidireccional


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (I)

Velocidad: Rapidez del cambio en el tiempo de la posición (desplazamiento) de una partícula de fluido respecto de un sistema de referencia fijado.

δr=vP·δt= v(x,t)·δt

Es la propiedad más importante en el análisis de los flujos:

Es la principal magnitud cinemática. Todas las demás mag. cinemáticas se definen a partir de ella.

En flujos incompresible si se conoce v(x,t) el flujo esta resuelto.

Matemáticamente v(x,t) (Campo de velocidades). Magnitud vectorial (3 componentes escalares)

v(x,t)=u(x,y,z,t)·i+ v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k(Coordenadas Cartesianas)

v(x,t)=ur(r,θ,z,t)·er+uθ(r,θ,z,t)·eθ+w(r,θ,z,t)·k(Coordenadas Cilíndricas)

v(x,t)=ur(r,θ,ϕ,t)·er+uθ(r,θ,ϕ,t)·eθ+uϕ(r,θ,ϕ,t)·eϕ

(Coordenadas Esféricas)


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (II)

El campo de velocidades suele utilizarse para clasificar los flujos

Direccionalidad

-Min.:1= unidireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i

-Max.:3= tridireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i+v(x,t)·j+w(x,t)·k

Dimensionalidad

-Min.:0= Flujo Uniforme. Ejemplo: v=u(t)·i

-Max.:3= Flujo Tridimensional. Ejemplo: v=u(x,y,z,t)·i+v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k

Estacionalidad

-Estacionario. v(x)

-No Estacionario. v(x,t)


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (III)

Flujo en un conducto recto de longitud L y sección circular de radio R. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.

( ) ( ) kkv ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⋅=

2

0 1RrUrur z


2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (IV)

Flujo en un conducto recto de longitud L y sección triangular equilátera de lado a. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.

Z

Y

aA B

0

m

( ) iiv ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅=⋅=

22

32336,),(

az

ay

azUzyuzy m


Además de desplazarse la partícula de fluido en su movimiento se deforma y gira.

Velocidad de Deformación Longitudinal según X (dXX). Rapidez específica (por unidad de longitud) del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección X de la partícula de fluido.

( )

δXDtδXD

d XX =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutuδt

tδXδttδXDtδXD

OEδt−=

−+=

→0lim

( ) ( ) ( )2δX

xu,tu,tutu eE ⋅

∂∂

+== xx

( ) ( ) ( )2δX

xu,tu,tutu oO ⋅

∂∂

−== xx

xud XX ∂

∂=

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (I)


Velocidad de Deformación Longitudinal según Y (dYY). Rapidez específica del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección Y de la partícula de fluido.

( )

δYDtδYD

dYY =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtvδt

tδYδttδYDtδYD

SNδt−=

−+=

→0lim

( ) ( ) ( )2δY

yv,tv,tvtv nN ⋅

∂∂

+== xx

( ) ( ) ( )2δY

yv,tv,tvtv sS ⋅

∂∂

−== xx

yvdYY ∂

∂=

E

S

N

vN. t

vS. t

Y(t)

Y(t+ t)ON(n)

O(o) E(e)

S(s)

X

Y

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (II)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación longitudinal son tres (dXX, dYY y dZZ):

( ) ( ) ( )zwtd

yvtd

xutd ZZYYXX ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= , ; , ; , xxx

En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):

zu ; d

ru

θu

r ; d

rud z

zzrθ

θθr

rr ∂∂

=+∂∂

⋅=∂

∂=

1

θϕθ

θϕϕϕ cot1 ; 1 ; ⋅++

∂

∂⋅

⋅=+

∂∂

⋅=∂

∂=

ru

ruu

senrd

ru

θu

rd

rud rrθ

θθr

rr

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (III)


Velocidad de deformación angular y giro.

( )δX

δtvvδA OE ⋅−=

( )δY

δtuuδB SN ⋅−=

( )xv

δXvv

δtδA OE

EO ∂∂

=−

==Ω

( )yu

δYuu

δtδB SN

SN ∂∂

−=−

−=−=Ω

Definiciones previas

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IV)


D

D

R

R

( )δBδAδ R −⋅=21φ

( )δBδAδ D +⋅=21φ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⋅=+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅==

yu

xv

δtδB

δtδA

δtδ

SNOER

Z 21

21

21 ΩΩφΩ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅=−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅===

yu

xv

δtδB

δtδA

δtδdd SNOE

DYXXY 2

121

21 ΩΩφ

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (V)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación angular (dXY=dYX, dXZ=dZX y dYZ=dZY) son:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅==zv

ywdd

zu

xwdd

yu

xvdd ZYYZZXXZYXXY 2

1 ; 21 ;

21

Todas las velocidades de deformación se agrupan en una sola magnitud (tensor o matriz)denominada matriz de velocidad de deformación. Para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅∂∂

≡

zwSIM

yw

zv

yv

xw

zu

xv

yu

xu

21

21

21

D

dXX dXY dXZ

dYY

dZZ

dZY

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VI)



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅∂

∂

≡

zuSIM

zu

θu

rru

θu

r

ru

zu

θu

rru

rr

ru

z

θzrθ

zrrθr

1211

211

21

D

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅++∂

∂⋅

⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅+∂∂

⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅⋅

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅∂

∂

≡

cotθr

uruu

senθr1SIM

usenθr1

senθu

θrsenθ

21

ru

θu

r1

ru

rru

senθr1

21

θu

r1

ru

rr

21

ru

θr

θrθ

rrθr

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

D

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VII)


Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las componentes del vector velocidad de rotación (Ω):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⋅=yu

xv ;

xw

zu ;

zv

yw

ZYX 21

21

21 ΩΩΩ

La velocidad de rotación se puede expresar de forma independiente al sistema de coordenadascomo:

( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩ ∧∇⋅≡⋅=21

21

En Mecánica de Fluidos, en lugar de la velocidad de rotación, suele utilizarse el vector vorticidad (ω) definido como:

( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩω ∧∇≡=⋅= 2

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VIII)


Una vez definidas las velocidades de deformación se desea obtener la expresión de la Velocidad de Deformación Volumétrica.

Velocidad de deformación Volumétrica: Rapidez del cambio en el tiempo del volumen de una partícula de fluido expresada por unidad de volumen.

( )DtδVD

δVV 1

=&

En coordenadas cartesianas

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) δZδYδXdddDtδVD

DtδZDδYδXδZ

DtδYDδXδZδY

DtδXD

DtδZδYδXD

DtδVD

δZδYδXδV

ZZYYxx ⋅⋅⋅++=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅⋅=

( ) ( )DTrdddDtδVD

δVV ZZYYxx ≡++=⋅=

1&

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IX)


La velocidad de deformación volumétrica de una partícula de fluido es la traza de su matriz de velocidad de deformación, cumpliéndose que:

( ) ( )[ ] ( )[ ],tdiv,tTr,tV xvxDx ≡=&

En coordenadas cartesianas:

( )zw

yv

xutV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=,x&


( ) ( )zuu

rrur

rtV zr

∂∂

+∂∂

⋅+∂⋅∂

⋅=θ

θ1 1,x&

( ) ( ) ( )ϕ

ϕ

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂

⋅∂⋅=

usenθrθ

senθu senθr

rur

r,tV θr 111 2

2x&

2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (X)


2.3 MAGNITUDES INTEGRALES


Las Magnitudes Integrales son las variables utilizadas en el Análisis Integral de un flujo.

• Están relacionadas con magnitudes del sistema de fluido que en el instante t está ocupando el V.C. (Masa, Cant. Mov. y Energía almacenados en el V.C y Flujos que atraviesan la S.C.)

• Se definen como integrales (volumen en V.C. o de superficie en la S.C.) de las magnitudes de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. Y por tanto forman parte de dicho sistema de fluido.

( ) ( ) ( ) ( )tmdVtdVttm VCVCV

P ≡⋅ρ=⋅ρ= ∫∫Π

Π ,x

Pregunta: ¿cuál es la masa del sistema Πque el instante t está ocupando el V.C.:

Respuesta: A partir del campo ρ(x,t) como VΠ(t)=VVC(t) la magnitud buscada mΠ(t) vale:

mVC(t) se denomina masa contenida en el V.C.

2.3. Magnitudes Integrales (I)


Cualquier propiedad extensiva B (masa, cantidad de movimiento o energía) del sistema de fluido que en el instante t está ocupando el V.C. es igual en ese instante a la cantidad de esa propiedad contenida en el V.C.

Siendo β(x,t) y ρ(x,t) una propiedad extensiva (masa 1, cantidad de movimiento v o energía e) y la densidad respectivamente de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. como VΠ(t)=VVC(t):

( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC

≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ

Particularizando para las propiedades masa (m), cantidad de movimiento (M) y energía (E) se tiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tEdVtettE

tdVttt

tmdVttm

VCVC

VCVC

VCVC

≡⋅⋅=

≡⋅⋅=

≡⋅=

∫

∫

∫

,,

,,

,

xx

MxvxM

x

ρ

ρ

ρ

Π

Π

Π

2.3. Magnitudes Integrales (II)


Se considera una porción σ de la S.C. que es atravesada por el fluido (entra o sale del V.C.). Este fluido posee unas propiedades extensivas (masa, cantidad de movimiento y energía) por lo que existe un flujo (convectivo) de estas propiedades a través de σ.

PREGUNTA: ¿cómo se definen estos flujos?

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (I)


Flujo volumétrico, caudal o gasto de fluido en S: Volumen de fluido que atraviesa σ en la unidad de tiempo

Tomando un δS de σ orientado por su vector unitario normal n.

El volumen de fluido δV que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:

θδSδtvδV cos⋅⋅⋅=

Por lo que el caudal volumétrico δq en δS es:

θδSδtδVδq cos⋅⋅== v

El signo δq (definido por cosθ) indica si el volumen de fluido está entrando (-) ó saliendo (+) del V.C.Ambas posibilidades se contemplan utilizando:

Svnv δδSδtδVδq ⋅=⋅⋅==

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (II)

. t

n. .

.

n. t

hh'


El caudal qS que atraviesa la superficie σ es la integral de todos los δq:

∫∫∫σσσ

σ ⋅=⋅⋅== Svnv ddSdqqnv

Si la integral se realiza para toda la S.C. se obtiene el caudal neto que atraviesa S.C.

( )∫∫∫ ⋅=⋅⋅==SCSCSC

SC d,tdSdqq Sxvnv

Considerando únicamente las zonas de la S.C. donde el fluido está entrando (e) o saliendo (s) la expresión de qSC puede escribirse como:

∑∑∑ ∫∑ ∫ −=⋅+⋅=

<>

ee

ss

e SCs SCSC qqddq

es 434214342100

SvSv

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (III)


Analogamente al caudal que atraviesa una superficie σ es posible definir el flujo de una propiedad extensiva B (m, M ó E) a través de la superficie σ.

Tomando un δS de σ que está orientado por su vector unitario normal n.

La cantidad de propiedad B que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:

θδSδtβρδB cos⋅⋅⋅⋅⋅= v

Siendo β la propiedad extensiva expresada por unidad de masa (m~1, M~v y E~e).El flujo a través de δS se define como la cantidad de propiedad B que atraviesa δS en la unidad de tiempo por lo tanto:

Sv δβρδtδBBδ ⋅⋅⋅==&

. t

n. .

.

n. t

( )( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

<⋅>>⋅<

<

⎩⎨⎧

<⋅<>⋅>

>

Salida

Entrada

Salida

Entrada

δβδβδβδβ

Bδ

0000

0

0000

0

SvSvSvSv

&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (IV)


El flujo convectivo de propiedad B que atraviesa la superficie σ es:

∫∫σσ

σ ⋅⋅β⋅ρ== Sv dBdB &&

El flujo neto de propiedad B que atraviesa la S.C. es:

∫ ⋅⋅⋅=SC

SC dB Svβρ&

( )∫ ⋅⋅=SC

SC dm Svρ&

( )∫ ⋅⋅⋅=SC

SC dρ SvvM&

( )∫ ⋅⋅⋅=SC

SC deE Svρ&

Particularizando B:

• masa (B=m y β=1):

• Cant. de Movimiento (B=M y β=v):

•Flujo de Energía (B=E y β=e):

rP(X 0P,t)

Z

X YV.C.

e1

s1

w w m

s2

S.C.

1eB&

121 sseSC BBBB &&&& ++=

1sB&

2sB&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (V)


PREGUNTA: Si el V.C. se mueve o se deforma ¿Las expresiones que proporcionan los flujos varían?.RESPUESTA: SI. Supóngase que cada elemento δS de la S.C. posee una velocidad vSUP(x,t) las expresiones de los flujos se modifican de la siguiente manera:

( ) ∫∫∫ ⋅=⋅−==SC

RSSC

SUPSC

SC dddqq SvSvv

( )[ ] ( )∫∫ ⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅=SC

RSSC

SUPSC ddB SvSvv βρβρ&

En las expresiones de los flujos en lugar de la velocidad del fluido v(x,t) aparece la velocidad del fluido relativa a la superficie.

Si vSUP(x,t)=0 el V.C. Es fijo e indeformable y se obtienen las expresiones anteriores

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (VI)


Partiendo del flujo de una propiedad que atraviesa una porción S de la S.C. Se pueden definir Magnitudes Promedio en la superficie. Son de gran utilidad a la hora de analizar con el método integral un flujo (Tema 3).

• A partir del caudal qσ que atraviesa la superficie σ se define la Velocidad Media (escalar) en esa superficie vσ , como:

σ

σσ =

Aqv

El caudal neto que atraviesa la S.C. puede escribirse en función de las velocidades medias como: ( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=

ee

ssSC AvAvq

• A partir del flujo másico y del caudal es posible definir en una superficie la Densidad Promedio como:

σ

σσ =ρ

qm&ˆ

De esta forma el flujo másico neto a través de la S.C. Es:

( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=e

es

sSC qqm ρρ ˆˆ&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (I)


Análogamente con las otras propiedades extensivas

• Flujo de Cant. de Mov.: Cantidad de Movimiento por unidad de masa promedio

σ

σσ =

m&&Mv

( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e

es

sSC qq ρρ ˆˆˆˆ vvM& ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅⋅= ∑∑

ee

ssSC qq vvM ˆˆρ&

• Flujo de Energía: Energía promedio por unidad de masa

σ

σσ =

mEe&

&ˆ

Flujo Incompresible

( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e

es

sSC qeqeE ρρ ˆˆˆˆ& ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅⋅= ∑∑

ee

seSC qeqeE ˆˆρ&

Flujo Incompresible

En el caso que el flujo sea incompresible (ρ=cte) se puede escribir:

SCe

Is

OSC qqqm ⋅≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ∑∑ ρρ&

2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (II)


2.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS Y DERIVADA MATERIAL


AFIRMACIÓN: En un flujo el valor de cualquier propiedad extensiva B del sistema que en el instante t está ocupando el V.C. es igual a la cantidad de propiedad que hay en ese instante almacenada en el V.C.

( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC

≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ

PREGUNTA: ¿Qué expresión proporcionará en función de propiedades integrales la rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B del sistema?

RESPUESTA: La rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B de un sistema se define como:

( ) ( ) ( )δt

tBttBDt

tDBδt

ΠΠΠ δ −+=

→0lim

TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (I)


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δttBttBBBttBttB

tBtB

SCVCentrasaleVC

VC

⋅++=−++=+

=&δδδΠ

Π

Sustituyendo y haciendo el límite se obtiene la expresión del TTR para la propiedad B:

SCVCΠ B

dtdB

DtDB &+=

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (II)

Y

X S.C.

Sistema en tV (t)=VVC(t)

V.C.

s1

s2

e1

Y

X S.C.

Sistema en t+ tV (t+ t) VVC(t)

V.C.

s1

s2

e1


Para una propiedad extensiva genérica B (m, M o E) el Teorema del Transporte de Reynoldsexpresa que:

( ) ( ) ( )tBdt

tdBDt

tDBSC

VC &+=Π

Particularizando para:

Masa: SCVC m

dtdm

DtDm &+=Π

SCVC

dt

d

Dt

D MMM &+=Π

SCVC E

dtdE

DtDE &+=Π

Cantidad de movimiento:

Energía:

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (III)

[ ] [ ] ( )SCzyxVCzyxzyx MMMMMM

dt

dMMMDt

D kjikjikji ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅Π

&&&


DERIVADA MATERIAL

AFIRMACIÓN: En un flujo v(x,t) expresa matemáticamente las velocidades de las partículas de fluido que en el instante t están ocupando el V.C.

PREGUNTA: ¿Como se opera con v(x,t) para obtener la expresión de la rapidez del cambio en el tiempo de la velocidad (aceleración) de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C., a(x,t)?

RESPUESTA: En el instante t nos fijaremos en una posición x del V.C. Que esta ocupada por una partícula P.

( ) ( )δt

tδttDt

D PPδt

PP

vvva −+==

→0lim

En general la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula de fluido se expresa como:

( ) ( )δt

tδttDt

D PPδt

P ααα −+=

→0lim

A la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula se le denomina Derivada material de la propiedad α.

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (I)


2.4 Derivada Material y T.T. de Reynolds/2.4.1 Derivada Material (II)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) δt,tδ

δδt,tδtt

δδt,tδtt,tt

δt,tP

P

P

⋅=

⋅∂∂

++=+

++=+=

+

xvr

rrvxvv

vxvvxvv

x

Sustituyendo en el límite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t,tδt

,tδt,tDtD,t

δtxv

rxvxvxvvxa ⋅

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

==→0

lim

( ) ( ) ( ) ( )44 344 2143421

CONVECTIVANACELERACIÓ

LOCALNACELERACIÓ

,t,tt,t

DtD,t xv

rxvxvvxa ⋅

∂∂

+∂

∂==

Aceleración=Derivada Material de la Velocidad

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (II)


Para cualquier propiedad (extensiva o intensiva) expresada en forma euleriana, α(x,t), la expresión euleriana de la rapidez del cambio en el tiempo de α es:

321

CONVECTIVADERIVADA

LOCALDERIVADA

tDtD v

r⋅

∂∂

+∂∂

=ααα

αα∇≡

∂∂

r

Magnitud escalar (temperatura, densidad o presión) ∂α/∂r es el gradiente de α(x,t).

Magnitud vectorial (velocidad) ∂α/∂r es una matriz.

Si el flujo es estacionario y los campos de propiedades no dependen del tiempo, α(x), la parte local de la derivada material es nula y sólo existe parte convectiva:

( ) ( )xvrx

⋅∂

∂=

ααDtD

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (III)


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∂

∂

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

rv

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂⋅

∂

∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂⋅

∂

∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂⋅

∂

∂

=∂

∂

zuu

rr

zu

ruu

rru

zu

ruu

rru

ZZ

r

rrr

θ

θ

θθθθ

θ

1

1

1

rv

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

∂

∂⋅

⋅∂

∂⋅

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

∂

∂⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂⋅

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂⋅

∂

∂

=∂

∂

θϕθθ

θϕθθ

ϕθθ

θϕϕϕ

ϕθθθ

ϕθ

cot11

cot11

11

ru

ruu

senru

rru

ruu

senrruu

rru

ruu

senrruu

rru

r

r

rrr

rv

Coordenadas Cartesianas:

Coordenadas Cilíndricas (Tablas Apuntes):

Coordenadas Esféricas (Tablas Apuntes):

2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (IV)


2.5 MAGNITUDES DINÁMICAS


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.1 Motivación

2ª Ley de Newton

extDtD FM

Σ=ΠextSC

VC

dtd FMM

Σ=+ &

Si Π está ocupando el VC en t

extpp m

DtD

Fv

δδ Σ=⋅

Si p está ocupando la posición x en t

( ) ( ) extVtxtx Fa δδ,, Σ=⋅⋅ ρ

( ) ( ) ( ) ( )txtxt

txtx ,,,, vr

vva ⋅∂

∂+

∂∂

=


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (I)

+ Fuerzas de Π sobre Entorno

+ Fuerzas de Entorno sobre Π


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (II)

Fuerzas sobre el fluido:

• Fuerzas VolumétricasDistribuidas en todo el volumen.Depende del volumen.No es necesario el contacto entre el sistema y el entorno.

• Fuerzas de SuperficieDistribuidas en la superficie.Dependen de la superficie. No del volumen.Son debidas al contacto entre el sistema y el entorno.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (I)

( ) ( ) ppVpV Vδ δ⋅= fF

Siendo fV la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre una partícula del sistema.

dVdV

VV

VV ⋅== ∫∫ΠΠ

fFF

Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema de fluido.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (II)

( ) ( ) ( ) VtVδ VpVpV δ,δ ⋅=⋅= xffF

( )∫ ⋅≡VC

VV dVt,xfF

Considerando el sistema Π que en el instante testá ocupando el V.C. En el instante t VΠ(t)=VVC(t).

Sobre una de sus partículas situada en x estáactuando una fuerza de volumen:

fV será función de (x,t) expresa la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre las partículas que en el instante testán ocupando el V.C.

Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema que en el instante t estáocupando el Volumen de Control.


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (III)

( ) ( ) ggVG gtt eegxxf ⋅=⋅⋅=⋅= γρρ ,,

Las fuerzas de volumen son normalmente conocidas siendo la más habitual la debida a un campo gravitatorio:

γ=ρ·g es el peso específico del fluido. [γ]=F·L-3=M·L-2·T-2

Otras fuerzas que pueden aparecer también son:Fuerzas de inercia (Sistema de Referencia No Inercial):

( )carrVI aaf +⋅−= ρ


ENTORNO

n (E)

Ft (E)

S (E)

(E)

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (I)

( ) ( ) ( )ΠΣΠΣΠΣ ⋅= Sδ δtF ( ) ( ) ( )EEE Sδ ΣΣΣ ⋅= δtF

( ) ( )ΠΣΣ −= FF δδ E

( ) ( )EΣΠΣ −= tt t es el vector tensión que expresa la fuerza por unidad de superficie.

EΣ≡ΣΠ

Tercera Ley de Newton


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (II)

),( nft punto=

( ) ( )21 ΠΠ ≠ PP tt


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (III)

),( nft punto=Hipótesis de Cauchy

( ) nTt ⋅= punto

( ) ( ) ΣΠΣΣΠΣ ⋅⋅= Sδ δnTF

( ) ( )Eδδ ΣΠΣ −= FFComo nΣ(Π)=-nΣ(E)

( ) ( )( )∫ΠΣ

ΠΣΣΠΣ ⋅⋅= dSnTF

( ) ( )( )

( )( )∫∫

ΣΣΣ

ΣΣΣΣ ⋅⋅−=⋅⋅=

SS

EEE dSdS nTnTF

Resultantes de las fuerzas de superficie que actúan sobre el sistema (la ejerce el entorno) y sobre su entorno (la ejerce el sistema).

( ) ( ) ΣΣΣΣ ⋅⋅= Sδ EE δnTF


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (IV)

Considerando el sistema Π que en el instante t está ocupando el V.C. Es decir VΠ(t)=VVC(t) y ΣΠ(t)= ΣE(t)=SSC(t).La matriz de tensiones T será función de x y de t

( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠΣ ⋅⋅= scSCSC Stδ δ, nxTF

( ) ( ) ( ) ( )EscESCSCE Stδ δ, ⋅⋅=Σ nxTF

( ) ( )∫ ⋅⋅≡ΠΣSC

dSt nxTF ,

( ) ( )∫ ⋅⋅−≡ΣSC

E dSt nxTF ,

Resultantes de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control y la que este sistema ejerce sobre el Entorno.

Como nSC(Π)=n=-nSC(E)


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (V)

( ) ( )∫ ⋅⋅≡ΠΣSC

dSt nxTF ,

( ) ( )

( )( )

( ) ( )ΠΣΣ

ΠΠΣ

+++=ΠΣ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

∑∑⋅⋅=⋅⋅≡

∑∑

∫∫

FF

FFFFF

nTnxTF

E

wwe

es

s

wwesSCSC

m

mes

dSdSt,

Resultante de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el Sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control


SSNNOOEE δSδSδSδSδ ⋅+⋅+⋅+⋅=Σ∂ ttttF

; ; ; SSSNNNOOOEE nTtnTtnTtnTt E ⋅=⋅=⋅=⋅=

; ; - ; jnjninin −==== SNOEδZδXδSδZ ; δSδYδSδS SNOE ⋅==⋅==

( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOE ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=Σ∂ jTTiTTF

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VI)

Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.

SSSS OESN δ+δ+δ+δ=Σ∂


( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOE ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=Σ∂ jTTiTTF

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2,,

δYy

,t,t

δYy

,t,t

δXx

,t,t

Xx

tt

sS

nN

oO

e

⋅∂∂

−==

⋅∂∂

+==

⋅∂∂

−==

⋅∂∂

+==

TxTxTT

TxTxTT

TxTxTT

TxTxTTEδ

δVjy

tx

ty

tx

tδZδYδXy

ty

tx

tx

tδ yyyxxyxxyyxyyxxx ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=⋅⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂+⋅

∂∂

=Σ∂ ijijiF

( )[ ] δVtdivδ ⋅=Σ∂ ,xTF

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VII)

Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.


( )[ ]

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂

∂⋅+

∂⋅∂

⋅

∂∂

+∂

∂⋅+

∂⋅∂

⋅

−∂

∂+

∂∂

⋅+∂⋅∂

⋅

=

ztt

rrtr

r

ztt

rrtr

r

rt

ztt

rrtr

r

tdiv

zzzzr

zr

rzrrr

θ

θ

θ

θ

θθθθ

θθθ

11

11

11

,2

2xT

( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅+

∂

∂⋅

⋅+

∂

⋅∂⋅

⋅+

∂

⋅∂⋅

⋅−

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂

⋅∂⋅

+−

∂

∂⋅

⋅+

∂⋅∂

⋅⋅

+∂

⋅∂⋅

=

rtt

senrsent

senrrtr

r

rtt

senrsent

senrrtr

r

rttt

senrsent

senrrtr

r

tdiv

r

r

rrrr

θϕθθ

θθ

θϕθθ

θθ

ϕθθθ

θ

ϕθϕϕϕθϕ

ϕϕθϕθθθ

ϕϕθθϕθ

cot111

cot111

111

,

3

3

3

3

2

2

xT


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VIII)

( )[ ] kjixT ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=z

ty

tx

tz

ty

tx

tz

ty

tx

t,tdiv zzzyzxyzyyyxxzxyxx


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (I)

2ª Ley de Newton

extDtD FM

Σ=ΠextSC

VC

dtd FMM

Σ=+ &

Si Π está ocupando el VC en t

extpp m

DtD

Fv

δδ Σ=⋅

Si p está ocupando la posición x en t

extV Fa δδ Σ=⋅⋅ ρ

( ) ∫ ∫∑ ⋅⋅+⋅≡+= ΠΣVC SC

VVext dSdV nTfFFF

( )[ ] VdivVVext δδδδ ⋅+=+= Σ∂∑ TfFFF


AFIRMACIÓN: La fuerza total sobre una partícula de fluido es:

( )[ ] δVdivδ Vext ⋅+=∑ TfF

Este término aparecerá en la ecuación de la 2ª ley de Newton.

( )[ ] δVdivδVDtD

V ⋅+=⋅⋅ Tfvρ

PREGUNTA: En un flujo incompresible las incógnitas eran p(x,t) y v(x,t)

• ¿Dónde aparece la presión?.

• Como se eliminan las tensiones (T)

RESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVARESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVA

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)


2.5 Propiedades Dinámicas/2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)

En general las relaciones constitutivas son expresiones entre las variables de un problema que permiten modelar el comportamiento del sistema estudiado. Se deducen de la experiencia no de las leyes fundamentales (sin violarlas).

0=−⋅ NAσ E⋅=εσ

AE

N⋅

=δ

Ejemplo: Viga sometida a esfuerzo axial se desea relacionar la deformación δ con la solicitación N:

Relación Constitutiva

Lδε =

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (III)


La ecuación constitutiva de un fluido relaciona su matriz de tensiones (T) con :

Presión (p)

Velocidad de deformación (D):

La matriz de tensiones se descompone en una Parte Hidrostática (TH) y en otra ParteDesviadora (TD). Cumpliéndose que tr(TD)=0.

DH TTT += ( )

ITTTT

ITT

⋅−=−=

⋅⋅=

ββ

HD

H tr434213

1

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (IV)


AFIRMACIÓN: Un sistema de fluido que en todos sus puntos tenga una matriz de tensiones hidrostática no está sometido a ninguna fuerza de cizalladura:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠΠΠΠΣΠΣ ⋅⋅β=⋅⋅⋅β=⋅⋅= δSδSδSδ H nnInTF

1. En un fluido en reposo sólo existe parte hidrostática de la matriz de tensiones.

2. La parte desviadora estará asociada al movimientoy por tanto a la velocidad.

Evidencias experimentales establecen que:

• El valor β coincide con la presión termodinámica (β=-p).

• TD se relaciona con la matriz de velocidades de deformación D. La relación más sencilla es:

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (V)

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt

312, μ


Al coeficiente μ se le denomina viscosidad dinámica del fluido o simplemente viscosidad y es una propiedad termodinámica (depende de la presión y la temperatura).

Los fluidos que poseen la relación constitutiva se les denomina FLUIDOS NEWTONIANOS. Los fluidos más comunes son newtonianos (ejemplos: agua, aire, mercurio, aceites)

En ocasiones se trabaja con la denominada viscosidad cinemática ν=μ/ρ.

[μ]=M·L-1.T-1 en el S.I. sus unidades son kg/(m·s) ó N·s/m2.[ν]=L2·T-1 en el S.I. sus unidades son m2/s.

2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VI)

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt

312, μ


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)

En el caso de un flujo incompresible (μ=cte) y tr(D)=div(v)=0. La relación constitutiva se reduce a:

( ) ( ) ( )ttpt ,2,, xDIxxT ⋅+⋅−= μ

Quedando la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula como:

( )[ ] ( ) VpVdivp δδ2δ 2 ⋅⋅∇⋅μ+∇−=⋅⋅μ+∇−=Σ∂ vDF

Siendo:

kjiv ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

( ) Vp Vext δδ 2 ⋅+⋅∇⋅+∇−=∑ fvF μ


2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)En un sistema de coordenadas cartesiano:

En los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico (Tablas Apuntes):

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⋅+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

⋅⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∂∂

⋅⋅+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅∂

∂⋅+−

≡

zupSIM

zuu

rruu

rp

ru

zuu

rru

rr

rup

tzr

z

zr

zrrr

μ

θμ

θμ

μθ

μμ

θ θθ

θ

2

112

12

,,,T

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

∂

∂⋅

⋅⋅+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∂∂

⋅⋅+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅⋅

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅∂

∂⋅+−

≡

θϕθ

μ

ϕθθθθμ

θμ

ϕθμ

θμμ

ϕθ

θϕ

θϕθ

ϕθ

cot12

112

112

,,,

ru

ruu

senrpSIM

usenrsen

ur

senr

uur

p

ru

rru

senru

rru

rr

rup

tr

r

r

rrr

T

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⋅+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅∂∂

⋅+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅∂∂

⋅+−

≡

zwpSIM

zv

yw

yvp

xw

zu

xv

yu

xup

tzyx

μ

μμ

μμμ

2

2

2

,,,T


2.6 MAGNITUDES TERMODINÁMICAS


Densidad (ρ) y Presión (p).

Densidad: [ρ]=M.L-3.En el S.I. sus unidades son kg/m3.

• En ciertas ocasiones la densidad de un fluido (a) (ρa) se expresa como un valor relativo (sa) a la de otro fluido de referencia (ρb).

babas ρρ=

• En Mecánica de Fluidos, sobre todo en Estática de Fluidos, suele emplearse mucho, el Peso Específico de un fluido (γ)

g⋅= ργ

[γ]=M.L-2.T-2=F.L-3 y sus unidades en el S.I. son kg/(m2.s2) ó N/m3

Así por ejemplo el mercurio (Hg) tiene una densidad relativa al agua swHg=13.6.

Los fluidos de referencia suelen ser fluidos comunes cuya densidad es bien conocida, como por ejemplo el agua en el caso de líquidos y el aire en el de gases.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (I)


• Presión absoluta (pabs). Valor siempre (+). Rango: 0<pabs<∞

• Presión Manométrica (pman=pabs-patm). Valor (+) ó (-). Rango: -patm<pman<∞

El valor de diseño de la presión atmosférica local es de 101.3 kPa=1003 mBar

¡OJO! EN RELACIONES TERMODINÁMICAS NO PUEDEN UTILIZARSE PRESIONES MANOMÉTRICAS

2.6 Magnitudes Termodinámicas (II)


Presión: Diferentes formas de expresar una presión (manométrica o absoluta).

[p]=F.L-2=M.L-1.T-2.

En el S.I. Sus unidades son el Pascal 1 Pa=1 N/m2. También es muy frecuente utilizar el Bar, 1 Bar=105 Pa.

Es posible expresar una presión como una altura de columna de un fluido. Si se elige un determinado fluido (a) que se encuentra a una presión p, dicha presión se puede expresar como una altura de ese mismo fluido ha así como de otro fluido (b), hb, cumpliéndose que:

bbaa hhp γγ ⋅=⋅=

Si se elige otro fluido (c) para expresar como una altura la presión p, las diferentes alturas que expresan la misma presión se relacionan mediante:

ccbbaa hhhp γγγ ⋅=⋅=⋅=

ac

ab s

a

cc

s

a

bba hhh

ρ

ρ

ρ

ρ⋅=⋅=

[ha]=L de a.

En el S.I. metros de columna de a.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (III)


aa hpp ⋅+= γ0

• pa>p0 ya que ha>0 Þ (ph)a>0• pb<p0 ya que hb<0 Þ (ph)b<0

( ) aaha hppp ⋅==− γ0

Fluido en reposo bajo la acción de la gravedad. Sólo existe presión y ésta varía únicamente en la dirección de la gravedad y de forma lineal.

2.6 Magnitudes Termodinámicas (IV)


TEMA 3ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA

DE FLUIDOS


3.1 METODOS INTEGRAL Y DIFERENCIAL


Las Ecuaciones Fundamentales son la formulación matemática de las Leyes Fundamentaleslas cuales rigen el movimiento de un fluido.

Conservación de la Masa

2ª Ley de Newton

1ª Ley de la Termodinámica

Es posible escribir cada ley:

Para una partícula que en un instante estáocupando una posición en el V.C. (Método Diferencial)

Incógnitas: Magnitudes de las partículas (Flujo incompresible v(x,t) y p(x,t).

Para el sistema que en un instante está ocupando el V.C. (Método Integral)

Incógnitas: Magnitudes Integrales (ie: Caudales,Flujos,Fuerzas y Magnitudes Promedio).

3.1 Método Diferencial y Método Integral


3.2 LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA


Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante.

0D=Π

Dtm

Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control:

SCVC m

dtdm

Dtm &+=ΠD

Uniendo las dos expresiones se obtiene la Ecuación Integral de la Continuidad

0=+ SCVC m

dtdm &

0=−+ ∑∑e

es

sVC mm

dtdm &&

Ecuación Integral de la ContinuidadEcuación Integral de la Continuidad

3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (I)

1sm&

2sm&

1em&


Utilizando la densidad promedio:

( ) ( ) 0ˆˆ =⋅−⋅+ ∑∑e

es

sVC qρqρ

dtdm

En el caso de flujo incompresible (ρ=cte) entonces mVC=ρ·VVC la ecuación queda como:

0=−+ ∑∑e

es

sVC qq

dtdV

3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (II)

( ) ( ) 0=⋅−⋅+ ∑∑e

es

sVC AvAv

dt

dV


En el caso de un VC con una entrada y una salida:Flujo compresible estacionario ρ=ρ(x)

Para flujo incompresible (ρ=cte):

Volumen de Control Fijo e Indeformable VVC≠f(t). Flujo compresible estacionario ρ=ρ(x) o incompresible ρ=cte. (mVC≠F(t) y dmVC/dt=0).

Caso particular:

sm&

em&

0=−∑∑e

es

s mm &&


0=−∑∑e

es

s qq

mmm es &&& ==

qqq es ==

( ) ( ) qAvAv es =⋅=⋅

3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (III)


Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema esnula. Por tanto su masa permanece constante.

( )0

D=

Dtmδ

( ) ( ) 0DDD=⋅+⋅=

⋅Dt

VVDtDt

V δρδρδρ

Vm δρδ ⋅=

( )VVV

DtDtV

δρδρδρ

⋅⋅+⋅=⋅ &DD

Introduciendo la Velocidad de Deformación Volumétrica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∇+∂

∂ ,tdiv,tρ,t,tρt,tρ xvxxvxx

Considerando una partícula que en el instante t está ocupando una posición x en el V.C. r=r(x), v=v(x,t) y ρ(x,t)

1sm&

2sm&1em&

3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.2 Ec. Dif. de la Continuidad (I)


3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.2 Ec. Dif. de la Continuidad (II)

Un caso particular muy interesante es el flujo incompresible, completamente desarrollado y en régimen laminar en conductos (conductos rectos de gran longitud) de cualquier tipo de sección.

( ) 0=vdiv


( ) 0≡== w ; vy,zuu

Se satisface la ecuación de continuidad

0

000

=∂∂

+∂∂

+∂∂

===

zw

yv

xu


3.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON


2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

∑= extπ

DtD FM

Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control:

SCVCπ

dtd

DtD MMM &+=

Uniendo las dos expresiones se obtiene la Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento.

∑=+ extSCVC

dtd FMM &

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (I)

1sm&

2sm&

1em&

( ) ( ) ( )∑=+ extxSCxVCx FM

dt

Md &( ) iFiMM⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∑ extSC

VCdt

d &


∑=+ extSCVC

dtd FMM &

Utilizando la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio en las superficies de entrada y salida se puede escribir:

( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e

es

sSC qρqρ vvM ˆˆˆˆ&

La resultante se puede descomponer en la resultante de las fuerzas de volumen y las de superficie:

( )ΠΣ+=∑ FFF Vext

( ) ( ) ( )ΠΣ+=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ+ ∑∑ FFvvMV

ee

ss

VC qqdt

d ˆˆ

Ecuación Integral de la Cantidad de MovimientoEcuación Integral de la Cantidad de Movimiento

1sm&

2sm&

1em&

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (II)


( ) ( ) Σ+=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ+ ∑∑ FFvvMV

ee

ss

VC qqdt

d ˆˆˆˆ

Separando las fuerzas de superficie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠΠΠΣ ++++= ∑∑ mWWs

se

e FFFFF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠμΠμΠΣ +++++= ∑∑ mWWs

spe

epF FFFFFF

En las entradas y en las salidas las fuerzas de superficie se descomponen en suma de una debida a las presiones y otra debida a la viscosidad.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑ ⋅⋅−⋅⋅−=+≅+++ΠΠΠμΠμ

ss

ee

ssp

eep

ssp

eep ApAp nnFFFFFF

Despreciando las fuerzas viscosas en las entradas y las salidas y considerando superficies planas:

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (III)


Sustituyendo en la ecuación se obtendrá:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ⋅⋅−⋅⋅−++=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ+ ΠΠs

se

eWWVe

es

sVC ApApqq

dtd

mnnFFFvvM ˆˆˆˆ

Al desconocer la distribución de velocidades en las superficies la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio se aproxima como:

V.C. Fijo e Indeformable (vSC≡0)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )e

eetene

ssstsns

Aqv

Aqv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅β−=⋅⋅β−≅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅β=⋅⋅β≅+=

≅

≅

nnvvv

nnvvv

0

0

ˆˆˆ

ˆˆˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ⋅⋅−⋅⋅−++=⋅⋅β⋅⋅ρ+⋅⋅β⋅⋅ρ+ ΠΠs

se

eWWVe

es

sVC ApApvqvq

dtd

mnnFFFnnM ˆˆ

β es el factor de corrección de cantidad de movimiento en la superficie.

Ecuación Integral de la Cantidad de MovimientoEcuación Integral de la Cantidad de Movimiento

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (IV)


V.C. Móvil y/o Deformable (vSC≠0)

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )e

SUPeSUPetene

sSUPsSUPstsns

Aqv

Aqv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−=+⋅⋅−≅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=+⋅⋅≅+=

≅

≅

vnvnvvv

vnvnvvv

0

0

ββ

ββ

321ˆˆˆ

ˆˆˆ

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑∑⋅⋅−⋅⋅−++=

=+⋅⋅β−⋅⋅ρ−+⋅⋅β⋅⋅ρ+

ΠΠs

se

eWWV

eeSUP

ssSUP

VC

ApAp

vqvqdt

d

mnnFFF

vnvnM ˆˆ

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (V)


Caso ParticularV.C. Fijo e Indeformable (vSUP ≡0)Flujo Incompresible (ρ=cte)V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q)Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒dMVC/dt≡0)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )esWWVes ApApvvqm

nnFFFnn ⋅⋅−⋅⋅−++=⋅⋅β+⋅⋅β⋅⋅ρ ΠΠ

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (VI)


2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

( ) ∑= extδDtδD FM

( ) ( ) δVρDtD

DtδVρDδVρ

DtD

DtδDδVρδ ⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=⇒⋅⋅=

vvvMvM43421

0

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ),t,tμ,tp,t,tt,t

V

,t

xfxvxxvrxvxv

xa

+∇⋅+−∇=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

∂∂

+∂

∂⋅ 2

4444 34444 21

ρ

( )[ ] δVdivδδδ VVext ⋅+=+= Σ∂∑ TfFFF

( ) δVμpδVdivδ

μp

⋅∇⋅+∇−=⋅=

⋅+⋅−=

Σ∂ vTFDIT

2)(

2

Considerando una partícula que en el instante t estáocupando una posición x en el V.C. r=r(x) y v=v(x,t).

Para un fluido newtoniano y suponiendo flujo incompresible:

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (I)


( )

Vμp

t

div

fvvrvv

v

⋅+∇⋅+∇⋅−=⋅∂∂

+∂∂

=

ρρρ11

0

2

La expresión de ∇2v en coordenadas cartesianas es:

kjikjiv ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇+⋅∇+⋅∇=∇ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22222

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wvu

En coordenadas cilíndricas o esféricas las expresiones se pueden encontrar en las Tablas de los Apuntes:

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (II)


( )

Vμpt

div

p

fvvrvv

v

ff

+∇⋅+∇−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+∂∂

⋅

=

321μ

ρ 2

0

• Dos incógnitas de flujo, v(x,t) y p(x,t).

• Ecuaciones Diferenciales de Cant. De Mov. y Continuidad rigen cualquier flujo incompresible (Ecuaciones de Navier-Stokes)

• Ecuaciones EN DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES. Las más complejas de la física.

• Poquísimos flujos poseen solución analítica (geometrías sencillas y régimen laminar).

• Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección arbitraria constante en régimen laminar es uno de ellos.

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (III)


Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección arbitraria constante en régimen laminar. v(x)=u(y,z)⋅i

0a =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

w

v

u

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

w

v

u

tw

v

u

DtD

( ) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂⋅−=⋅+⋅−⋅⋅⋅= kjikjif

zh

yh

xhcossengV γααρ 0

iiv ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂+

∂∂=⋅∇=∇ 2

2

2

222

zu

yuu

(X) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂+

∂∂⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂⋅−= 2

2

2

20

zu

yuhp

xμ

γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂⋅−= hpy γ

γ0(Y)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂⋅−= hpz γ

γ0(Z)

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (IV)


(X) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

⋅+⋅−= 2

2

2

2

0zu

yu

dxdH μγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂⋅−= hpy γ

γ0(Y)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂⋅−= hpz γ

γ0(Z)

CONCEPTO FUNDAMENTAL: Altura piezométrica (H) de un fluido en un punto es la suma de la altura de presión más la cota respecto de una referencia horizontal arbitraria.

( )z,yHH ≠

LHHcte

dxdH es −

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

⋅+⋅−= 2

2

2

2

0zu

yu

dxdH μγ

CONDICIONES DE CONTORNOu(xw,yw)=uW ∀ (xw,yw) ∈ Pw

∂H/∂x+

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (V)


CASO 1

Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección circular de radio R en régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=⋅

drdur

drd

rdzdH z1μγ

CONDICIONES DE CONTORNO

uZ(r=R)=Uwi y ∂H/∂z

Uw= 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille

UW≠0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette

UW≠0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille+Couette

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VI)


CASO 2

Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección anular de radios Ri y Re en régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=⋅

drdur

drd

rdzdH z1μγ


uZ(r=Ri)=Uwi, uZ(r=Re)=Uwe y ∂H/∂z

Uwi=Uwe=0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille

Uwi≠ Uwe≠ 0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette

Uwi≠ Uwe≠ 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo de Poiseuille +Couette

Rer

e er

Ri

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VII)


CASO 3

Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección rectangular de lados a y h con a>>>h en régimen laminar. v=u (y)⋅i.

2

2

dyud

dxdH

⋅=⋅ μγ


u (y=0)=Uwi, u(y=h)=Uws y ∂H/∂x

Uwi=Uws=0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille

Uwi≠ Uws≠ 0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette

Uwi≠ Uws≠ 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo de Poiseuille +Couette

3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VII)


3.4 1ª LEY DE LA TERMODINÁMICA


1ª Ley de la Termodinámica: La rapidez del cambio en el tiempo de la Energía de un sistema es igual a la velocidad de transferencia neta de energía (potencia) entre el sistema y el entorno.

WQDt

DEΠ && +=

Siendo EΠ la energía total del sistema, suma de su energía interna, cinética y potencial (Ek+Ep=Em).

EΠ=(Ũ+Ek+Ep)Π =(Ũ+Em)Π

potencia neta en forma de Calor (∇T)

potencia neta en forma de Trabajo (Fuerzas)

Energía Entorno ⇒ Sistema

Energía Sistema ⇒ Entorno

Q&

0,0 << WQ &&

0,0 >> WQ &&

W&

WQEdt

dESC

VC &&& +=+SC

VCΠ Edt

dEDt

DE &+=

Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el V.C.

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (I)


Según los tipos de fuerzas que actúan sobre el sistema:

dSdVWWWSCVC

VV ⋅⋅+⋅⋅′≡+′= ∫∫Σ vtvf&&&

La potencia asociada a la fuerzas de superficie:

∑∑ +++==

Σe

es

smw WWWWW &&&&&

0

En las entradas y salidas de fluido al V.C. la potencia asociada a las fuerzas de superficie es:

( ) ( )∑∑ ++++=Σe

eμps

sμpm WWWWWW &&&&&&

En una entrada o en una salida la potencia asociada a las fuerzas viscosas se desprecia y la asociada a las fuerzas de presión:

( ) ( ) DFs

SUPs

SUPs

sp WWdpdpdpW &&& +≡⋅⋅−⋅−⋅−=⋅⋅−≡ ∫∫∫ SvSvvSvQuedando:

( ) ( )∑∑ +++++′=+′ Σe

eDFs

sDFmVV WWWWWWWW &&&&&&&&

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (II)


( ) ( )∑∑ +++++′+=+e

eDFs

sDFmVSCVC WWWWWWQE

dtdE &&&&&&&&

( ) ( )( ) ( )∑∑ +++++′+=

=+++

eeDF

ssDFmV

SCVC

SCmVCm

WWWWWWQ

UdtUdE

dtEd

&&&&&&&

&& ~~

Cuando el flujo es incompresible (ρ=cte) la 2a ley de la Termodinámica:

0~~≥=−+ L

DtDU

SCVC WQU

dtUd

Π

&&

43421

&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ls

sFDs

sFDmVe

ems

smVCm WWWWWWWEE

dtEd &&&&&&&&& −+++++′=++ ∑∑∑∑

( ) ( ) ( ) Le

eDs

sDmVe e

pks s

pkVCm WWWWW

ρpeeq

ρpeeqρ

dtEd &&&&& −+++′=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅+ ∑∑∑∑ ˆˆˆˆ

Ecuación Integral de la Energía MecánicaEcuación Integral de la Energía Mecánica

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (III)


Lme

pks

pk WWpeepeeq && −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅

ρρρ ˆˆˆˆ

Caso Particular

V.C. Fijo e Indeformable (vSUP ≡0)Flujo Incompresible (ρ=cte)V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q)Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒d(Em)VC/dt≡0)

Lme

pks

pk wwρpee

ρpee −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ˆˆ

Dividiendo por el flujo másico que atraviesa el V.C. (ρ·q) la ecuación de la energía nos queda expresada en unidades de energía por unidad de masa de fluido:

( ) ( ) ( ) Le

eDs

sDmVe e

pks s

pkVCm WWWWW

ρpeeq

ρpeeqρ

dtEd &&&&& −+++′=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅+ ∑∑∑∑ ˆˆˆˆ

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (I)


Lme

ks

k hHγphh

γphh −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ˆˆ

Dividiendo por la aceleración de la gravedad (g) la ecuación queda expresada en energía por unidad de peso (altura de columna de fluido).

A la ĥk+h+(p/γ) se le denomina Bernoulli del fluido (B) en la superficie y está expresado como una altura de columna de fluido [B]=L.

Normalmente la altura de energía cinética promedio en una superficie ĥk puede expresarse como:

gvαhk 2

ˆ2

⋅≅

Siendo α el coeficiente de corrección de la energía cinética.

Ecuación de BernoulliEcuación de Bernoulli

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (II)


IMPORTANTÍSIMOEl 2° Principio de la Termodinámica(hL≥0) establece una restricción a la variación del Bernoulli que sufre el fluido, calculada en el sentido del flujo (Bernoulli aguas arriba (entrada) menos Bernoulli aguas abajo (salida)) y el aporte neto de energía al flujo (Hm)

0≥+−=∇

m

B

seL HBBh321

3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (III)


3.5 REGÍMENES DE FLUJO


El flujo de un fluido puede darse con dos regímenes de naturaleza muy diferente denominados regímenes Laminar y Turbulento.

La constatación de la existencia de los distintos regímenes de un flujo proviene de antiguo:

Leonardo da Vinci (Estudio sobre el Agua).

En el siglo XIX comenzaron los primeros estudios científicos sobre el tema:

G. H. L. Hagen (1839). Primeros indicios experimentales. Caida de presión en conductos largos de latón.

Osborne Reynolds (1883). Pionero en el estudio de los regímenes de flujo.

Δp~v1.75

Δp~v

Δp

v

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (I)


En 1883 un profesor de ingeniería británico llamado OsborneReynolds utilizó un dispositivo experimental con el que evidenció la existencia de dos regímenes de un flujo e introdujo el parámetro adimensional del que dependía la existencia de uno u otro régimen (Número de Reynolds).

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (II)


3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (III)


Reynolds constató experimentalmente:

La existencia en un flujo de dos regímenes. Régimen Laminar y régimen Turbulento

La existencia de uno u otro dependía de un parámetro adimensional número de Reynolds (Re). En el caso del flujo en un conducto de sección circular el número de Reynolds viene dado por:

μvDρ ⋅⋅

=Re

Siendo:D Diámetro de la tubería.v Velocidad media.ρ Densidad del fluido.μ la viscosidad del fluido.

En cualquier flujo existen dos regímenes y la existencia de uno u otro depende de su número de Reynolds que viene dado por:

Siendo L y U una longitud y una velocidad características del flujo.

μULρ ⋅⋅

=Re

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (IV)


5.1 Regímenes de Flujo /5.1.1 Introducción (V)

μULρ ⋅⋅

== ViscosasFuerzas

Inercia de FuerzasRe

El Número de Reynolds expresa el papel que juegan en el flujo las fuerzas de inercia frente a las viscosas:

Recordar las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible:

0fffffvvrvv

=+++⇒+∇⋅+−∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+∂∂

⋅ρ μ ivpVμpt

2

Números de Reynolds elevados (Reg. Turbulento): fi>>fν. En el flujo predominan las fuerzas de inercia.

Números de Reynolds bajos (Reg. Laminar): fi<<fν. En el flujo predominan las fuerzas viscosas.

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (V)


3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (VI)

Re=2300

Re=4000

Re=0

Re=∞

REGIMENLAMINAR

TRANSICIÓN

REGIMENTURBULENTO


El Régimen laminar un flujo está caracterizado:

Patrón de flujo ordenado. Existen trayectorias y líneas de corriente bien definidas.

Bajos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas viscosas.

Ante condiciones de contorno estacionarias el flujo serágeneralmente estacionario (existen excepciones i.e.:Karman Vortex Street).

Su análisis es asequible (Se conocen varias soluciones a las E.D. tanto analíticas como numéricas)

El transporte de cantidad de movimiento, energía y materia no es efectivo (i.e.: mezcla de pinturas)

Por regla general los flujos viscosos NO son muy comunes en las aplicaciones en la industria.

Flujos de muy baja velocidad (i.e.:Creeping Flows).

Fluidos de elevada viscosidad (i.e.: Ciertos aceites, grasas).

Flujos en espacios reducidos (i.e.: Lubricación o Biología)

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.2 El régimen Laminar


El Régimen turbulento un flujo está caracterizado:

Flujo radicalmente diferente al laminar.

Patrón de flujo complejo, desordenado y caótico.

Altos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas de inercia.

El flujo será siempre no estacionario. La turbulencia es un fenómeno de naturaleza tridireccional y no estacionaria.

Su análisis directo NO es factible

Analíticamente imposible ni en los casos más sencillos.

Numéricamente. Actualmente fuera del alcance de los computadores más potentes.

El transporte de cantidad de movimiento, energía y materia es efectivo.

Por regla general los flujos viscosos SON muy comunes en la naturaleza.

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (I)


Existencia de unas estructuras rotacionales (paquetes de fluido) denominadas Torbellinos (Vortex).La dinámica de los vórtices (movimiento e interacciones vortex stretching) es complejísima.

Tamaño de los torbellinos se extiende en un amplio rango:

Grandes: Lv≅LPequeños torbellinos Lv≅LK=(ν3·L/U3)0.25 (Escala de Kolmogorov).

v y p presentan una variación en el tiempo fluctuando de forma aleatoria alrededor de un valor medio. Las amplitudes y frecuencias de estas fluctuaciones es muy variada:

Amplitud: 1% - 20% del valor medio

Frecuencia: 1-104 Hz. (Tamaño de los vórtices)

Las fluctuaciones está asociada a la dinámica de los vórtices.

u

t

u P(t) U

P

u'P(t)

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (II)


Ciertamente la turbulencia es:un fenómeno muy complejo.NO se posee aún una explicación completa.Campo de activísima investigación.

• Taylor & Von Karman (1937): La turbulencia es un movimiento irregular que, en general, hace su aparición en los fluidos, líquidos o gases, cuando están fluyendo en contacto con superficies sólidas o cuando corrientes próximas del mismo fluido fluyen una sobre otra.

• Hinze (1959): El movimiento turbulento de un fluido es una condición irregular de flujo en la que varias magnitudes muestran variaciones aleatorias respecto del tiempo y de las coordenadas espaciales de forma que pueden discernirse diferentes promedios estadísticos.

• Bradshaw (1971): La turbulencia es un movimiento tridimensional y dependiente del tiempo en el cual el vortexstretching produce fluctuaciones en las velocidades para extender los vórtices a todas las longitudes de onda comprendidas entre un mínimo determinado por las fuerzas viscosas y un máximo determinado por las condiciones de contorno del flujo. Este es el estado habitual de movimiento de los fluidos, excepto a bajos números de Reynolds.

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (III)


Las ecuaciones de Navier-Stokes rigen el flujo de un fluido en régimen laminar y turbulento.

La turbulencia complica aún más las ecuaciones.

Las capacidades de cálculo actuales no son capaces de resolverlas para cualquier tipo de flujo en régimen turbulento.

PREGUNTA: ¿Como tratan los ingenieros la turbulencia?

pPp ′+=

′+= vVv

u

t

u P(t) U

P

u'P(t)

( )

VpDtD

div

fvv

v

+∇μ+−∇=⋅ρ

=

2

0

RESPUESTA:

Desde el punto de vista ingenieril NO es interesante conocer los valores instantáneos de las variables de flujo sino su valor medio temporal.

Las variables de flujo se descomponen en en un valor promedio y en una fluctuación:

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (IV)


El promedio de las variables de flujo (ω=u,v,w ó p) se define como:

Siendo T un período de tiempo mayor que cualquier período significativo de las fluctuaciones y N un número de experimentos.Los promedios cumplen ciertas reglas como:

( ) ( ) ( )∫ ⋅ω⋅=ω=ΩT

dttT

t0

,1, xxx

( ) ( ) ( )( )∑=∞→

ω⋅=ω=ΩN

nnN

tN

tt1

,1lim,, xxx

xx ∂

ω∂=

∂ω∂

≠φ′⋅ω′=ω′Ω=Ω 0 ;0 ;

ω

t

Ω(t)

ω' (t

)

u

t

u P(t) U

P

u'P(t)

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (V)


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′⋅′−

∂∂⋅

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′⋅′−

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅−=

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′⋅′−

∂∂⋅

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′⋅′−

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅−=

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂

=∂∂+

∂∂

vvyV

yvu

xV

xyP1

yVV

xVU

tV

vuyU

yuu

xU

xxP1

yUV

xUU

tU

0yV

xU

ννρ

ννρ

Al promediar las ecuaciones de N-S:

Se obtienen unas nuevas ecuaciones, similares a las originales de N-S (Navier-Stokes-Reynolds).

Las incógnitas son los valores promedios de las variables de flujo (U y p).

Aparecen unos nuevos términos, promedios del producto de las fluctuaciones de las velocidades a los que se denominan Tensiones-Turbulentas de Reynolds (TR).

3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (VI)

w

b Y

Z 0

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅′⋅ρ−∂

⋅μ=∂∂

⋅γ

τ+∂

⋅μ=τ

vuy

dUdyd

xH

ydU

Txyxy

Incluso en flujos sencillos (i.e.: flujo completamente desarrollado en un conducto) NO puede obtenerse analíticamente el perfil de velocidades promedio


TEMA 5INSTALACIONES HIDRÁULICAS


5.1 GENERALIDADES


Definición:Una instalación hidráulica o de transporte de fluidos es un conjunto de elementos interconectados cuya misión es transportar un determinado fluido desde los puntos de almacenamiento y/o producción hasta los de consumo, en una cantidad y condiciones de servicio determinadas.

Modelado:

Para obtener unas ecuaciones que representen su comportamiento una instalación hidráulica estácompuesta por líneas conectadas en unos puntos denominados nudos o nodos.

Linea: Conjunto de elementos de la instalación por los que circula un determinado caudal.

Nodo: Punto de unión de varias líneas o de una línea con el exterior.

Elemento: Dispositivo con una única entrada y salida de flujo.

0 m

L12=20 (m)D12=0.4 (m)ε=0.3 (mm)

30 m 30 m

1

2

4

a

3

L2a=40(m)D2a=0.3 (m)ε=0.3 (mm)V1

V2

q02

q24

q23

q01

q10L24=50 (m)D24=0.3 (m)ε=0.3 (mm)

(HB)01=60-20.q012

0

5.1 Generalidades-5.1.1 Definición y Modelado de instalaciones hidráulicas


Elementos: Los elementos más comunes que forman parte de una instalación:Elementos Activos. Transforman energía del fluido en mecánica o viceversa (Hm). Las

máquinas hidráulicas (i.e.: bombas y turbinas) pertenecen a este tipo.Elementos Pasivos. El fluido que los atraviesa sufre únicamente una pérdida de energía

mecánica (hL).

Tuberías. (Los más representativos por importancia y número).

Piezas especiales.

Cambios de sección (Boquillas, ensanchamientos y estrechamientos).Curvas.Válvulas. hD (m)

0 (m)

a cb C1

1

e

q01V

0

3

f

2C2

q12

B1

dq13

5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (I)


5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (II)

Todo elemento de una instalación posee una ecuación que liga Hm (activos) o hL (pasivos) con el caudal q (velocidad media) del flujo que los atraviesa.

Elementos Activos: Se le suele denominar Curva Característica Hm=Hm(q) y suele depender del tipo de máquina y de algunos parámetros fundamentales de ésta tales como el diámetro y la velocidad de giro del impulsor en el caso de las turbomáquinas hidráulicas.

qij

i j

Elementos Pasivos: En la relación entre pérdidas y caudal hL=hL(q) suele intervenir además del caudal también otros parámetros característicos del fluido (μ y ρ), la geometría y el material (rugosidad ε) del elemento:

( )Geometríaqhh LL ,,,, ερμ=

En el caso de una tubería hL=hL(q,μ,ρ,ε,L,D).


i jqij D, L y ε ( )DDLRKK e ε= ,,Tubería:

Válvulas:( )

Aperturade Grado≡θ=

θKK

En lugar de la relación hL=hL(q,μ,ρ,ε,Geometría) se hallará una relación entre parámetros adimensionales que representa el mismo fenómeno. Para ello se definirá Coeficiente Adimensional de Pérdidas.

K

L

hhK =

Siendo hk una altura de energía cinética característica del elemento (entrada o salida). En el caso que existan dos velocidades medias es posible definir dos K según la que se considere. Ambos están relacionados (vi·Ai= vj·Aj =q).

La relación hL=hL(q,μ,ρ,ε,Geometría) es similar a la relación entre K y unos parámetros adimensionales Π1, Π2,...,Πk obtenidos a partir de los dimensionales dependientes (q,μ,ρ,ε,Geometría)

5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (III)


Conocido K para un determinado caudal las pérdidas de carga se pueden obtener como:

Pregunta: ¿cómo se determina la relación entre el coeficiente adimensional de pérdidas o la ecuación característica de un elemento y el resto de parámetros.

Respuesta: Es necesario resolver el flujo en el elemento (v y p):

Análisis Diferencial:

Analíticamente. Escasos casos en régimen laminar.

Numéricamente. Mecánica de Fluidos Computacional (CFD).

Experimentación.

Normalmente se combinan resultados experimentales y numéricos.

22

2

22q

AgK

gvKhKh

R

KL ⋅⋅

=⋅=⋅=43421

5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (IV)


5.2 PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS


El coeficiente de pérdidas en una tubería (conducto de sección constante). Son los elementos más numerosos e importantes de una instalación.

Hipótesis: En las tuberías se considerará que el flujo está completamente desarrollado. Normalmente en las instalaciones las tuberías son de gran longitud (LD<<<L).

Tubería de sección circular de diámetro D, radio R y longitud L.

( )

( )g

vHhHB

gvHhHB

jjjjkjj

iiiikii

2

22

2

⋅α+=+=

⋅α+=+=

( ) jijfi BhB =−

vi=vj=q/A (Continuidad)αi=αj (Flujo Completamente desarrollado)

( )ijfji hHH =−

Ecuación de Bernoulli

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (I)


Ecuación de Cant. de Movimiento (X)

( )( ) AppdPtLsenAL

vvq

jiP

W

iijj

w

⋅−+⋅⋅−ϕ⋅⋅⋅γ=

=⋅β−⋅β⋅⋅ρ

∫

vi=vj=q/A (Continuidad)βi=βj (Flujo Completamente desarrollado)

( ) ( ) 0=⋅−+⋅⋅−−⋅⋅γ ∫ AppdPtLhhA jiP WWjiw

Por la simetría la tensión cortante en la pared es igual en todo el perímetro mojado Pw=π·D

( ) Wwji

ji tAPLpphh ⋅⋅γ⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−γ

+− WjiWw

ji tDLHHt

APLHH ⋅

γ⋅=−⇒⋅

⋅γ⋅

=−4

( ) Wijf tD

Lh ⋅⋅=γ

4 Para relacionar las pérdidas de carga con el caudal (velocidad media) es necesario obtener una relación entre éste último y tw

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (II)


Se va a introducir un parámetro adimensional f, conocido como factor de fricción de Darcydefinido como:

28

vtf W

⋅ρ⋅

=Relación de Darcy-Weisbach. Se puede demostrar que f=f(Re,e/D).

( )g

vDLft

DLh Wijf 2

4 2

⋅⋅=⋅γ

⋅=

Regimen Laminar (Re<2300): La relación entre q y tw ó f(Re,ε/D) mediante la resolución de la ecuación diferencial del flujo:

( ) 0

1

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅μ=

∂∂

⋅γ

Ru

drdur

drd

rxH ( ) ( )

( ) qRL

HH

xH

RxH

drruq

Rr

Rq

ruRr

RxH

ru

jiR

⋅⋅⋅

=−

=∂

∂−⇒⋅

∂

∂⋅

⋅−=⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

∂

∂⋅−=

∫ 40

4

2

2

22

88

2

12

14

πγ

μ

μ

πγπ

πμ

γ

vDR

qRdr

dutRr

W ⋅μ

−=⋅π

⋅μ

−=⋅μ==

842

( ) qDg

Lh ijf ⋅⋅π⋅

ν⋅⋅= 4

128 Expresión de Hagen-Pouseuille. Regimen Laminar (Re<2300)

( ) Re64Re =f

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (III)


Regimen Turbulento (Re>4000): La relación entre el caudal q (v) y tw o f=f(Re,ε/D) se va a obtener a partir de resultados experimentales (Nikuradse 1933 y Moody 1944) presentados en el Ábaco de Moody.

Zona Hidráulicamente Rugosa

Zona Hidráulicamente Semirugosa

Zona Hidráulicamente Lisa

Tuberías Lisas

RÉGIMEN TURBULENTO

RÉGIMEN LAMINAR

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (IV)


Abaco de Moody: Existen expresiones analíticas alternativas al ábaco de Moody, Las que habitualmente se utilizarán son:

2

9.0Re74.5

7.3log25.0 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ε=

Df

32.0Re5.00056.0 −⋅+=f

2

7.3log25.0 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

=Df

Zona Hidráulicamente Semirugosas (PSAK):

Zona Hidráulicamente Rugosas (Von-Karman).

Zona Hidráulicamente Lisas (Drew, Koo y Mc Adams).

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (V)


Tubería de sección NO circular de área A y perímetro Pw. Introduciendo un valor promedio de la tensión cortante en la pared:

( ) Wwji

ji tAPLpphh ⋅⋅γ⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−γ

+−

Las pérdidas de carga quedaría como:

wH P

AD ⋅=

4

( ) Ww

ijf tA

PLh ⋅⋅γ

=

Diámetro Hidráulico (DH) de una tubería de sección no circular:

( ) WH

ijf tDLh ⋅

γ⋅=4 Esta expresión semejante a la obtenida para una tubería

circular.

5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (I)


PREGUNTA: ¿Son los resultados obtenidos para tuberías de sección circular útiles para las no circulares, sustituyendo el diámetro por el diámetro hidráulico?

RESPUESTA:

Si el factor de Darcy se define como:

28

vtf W

⋅ρ⋅

=

Regimen Laminar (Re<2300): El factor de fricción de Darcy para tuberías de sección circular no sigue la relación f=64/ReH, Siendo ReH =v.DH/ν.

En general en régimen laminar la relación del factor de fricción de Darcy es de la forma:

( ) HH Cf ReRe =

C es un coeficiente (no tiene porque ser constante) diferente para cada tipo de sección y que puede obtenerse integrando las ecuaciones diferenciales. (e.g.: sección anular C=C(Ri/Re)).

Regimen Turbulento (Re>4000): Para tuberías de sección no circular, el ábaco de Moody es válido simplemente tomando en lugar del diámetro DH

5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (II)


Resumen: Las pérdidas de carga hf que sufre un caudal q de fluido circulando por una tubería, de longitud L, diámetro D y rugosidad ε se expresan como:

( ) 252

2 82 ij

R

ij

K

ijijf q

gDLf

gv

DLfh

ijij

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅π⋅⋅

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

44 344 2143421

El factor de fricción de Darcy viene dado por:

Régimen Laminar (Re<2300): f=C/ReH (i.e.: sección Circular C=64).

Régimen Turbulento (Re>4000): f=f(ReH,ε/DH). Ábaco de Moody.

( ) 22

2

22 ij

R

ijH

K

ijHijf q

ADgLf

gv

DLfh

ijij

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅⋅

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

444 344 2143421

Sección Circular

Sección No Circular

5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (III)


En una instalación compuesta por una única tubería de una determinada longitud L y de un material de rugosidad ε es posible establecer 3 Problemas:

(1) Conocido el caudal qij y el diámetro Dij, calcular la pérdida de carga (hf)ij

I. Calcular el número de Reynolds (Re)ij.

II. Calcular el factor de fricción f=f(Re,ε/D)ij.

III. Calcular la pérdida de carga con la expresión de Darcy (hf)ij=Rij.q2

ij.

( ) 2ijijijfji qRhHH ⋅==−

Lij (C)Dij (C)

i jqij (C)

(hf)ij=Hi-Hj (?)

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (I)


5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (II)

(2) Conocidos el diámetro Dij y la pérdida de carga (hf)ij, calcular el caudal qij que circula por la tubería:

I. De la ecuación de Darcy qij=[(hf) / R]ij1/2. Como Rij depende de (Re)ij hay que resolver

iterativamente.

II. Se comienza con f(0)ij=fVK(ε/D)ij y con este valor calculamos R(0)

ij

III. Calcular q(0)ij=[(hf)ij / R(0)

ij]1/2 y después Re(0)

ij

IV. Calcular f(1)ij=fPSAK(Re

(0),ε/D)ij.

V. Repetir los pasos III y IV hasta que se satisfaga un criterio de convergencia.

( ) 2ijijijf qRh ⋅=

Lij (C)Dij (C)

i jqij (?)

(hf)ij=Hi-Hj (C)


(3) Conocidos la pérdida de carga (hf)ij y el caudal qij, calcular el diámetro de la tubería Dij.

I. Despejando de la ecuación de Darcy el diámetro Dij=[(8·f·L·q2 )/(hf·π2·g)]0.2ij. Esta

ecuación hay que resolverla iterativamente ya que f depende del diámetro.

II. Se comienza con D(0)ij y con este valor se calcula Re(0)

ij y f(0)ij=fPSAK(Re(0),e/D(0))ij.

III. Calcular D(1)ij=[(8·f(0)·L·q2 )/(hf·p2·g)]ij

0.2.

IV. Repetir los pasos II y III hasta que se satisfaga un criterio de convergencia.

( ) 2ijijijf qRh ⋅=

Lij (C)Dij (?)

i jqij (C)

(hf)ij=Hi-Hj (C)

5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (III)


5.3 VÁLVULAS


Las válvulas son elementos que juegan un papel importante en el funcionamiento de la instalación.

Misión: controlar el funcionamiento de la instalación

Aislar tramos de la instalación.

Regular caudales y presiones.

Proteger a la instalación de sobrepresiones y/o subpresiones.

B

40 (m)

REDPOLÍGONO

A

100 (m)

55 (m)

D01=0.2 (m)L01=1000 (m)

0

1

2

3

D12=0.2 (m)L12=500 (m) Da3=0.1 (m)

La3=500 (m)

Q2

V2a

5.3 Válvulas-5.3.1 Funciones y tipos (I)


5.5 Válvulas/5.5.1 Funciones y tipos (II)

Válvula de mariposa Válvula de bola o esfera Válvula de compuerta

Diferentes Válvulas de asiento

5.3 Válvulas-5.3.1 Funciones y tipos (II)


Como cualquier otro elemento una válvula posee un coeficiente adimensional de pérdidas K. Para un tipo concreto de válvula K es función del grado de apertura (θ)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 22

22qKq

AgKh

hh

K Q

K

VLVK

VL

Q

⋅θ=⋅⋅θ

=⇒=θ43421

KQ(θ) (dimensional [KQ]=Altura/Caudal2) se denomina Coeficiente de Pérdidas referido al caudal.

KQ(θ) igual que K(θ), tiene un valor mínimo (KQ)0 ó K0 cuando la válvula se halla completamente abierta (θ=100%).A medida que se cierra (θ disminuye) va aumentando hasta hacerse infinito cuando la válvula se halla completamente cerrada (θ=0%).

Para evitar trabajar con KQ(θ) y K(θ) , que toman valores tan elevados cuando la válvula se halla casi cerrada, se introduce otro coeficiente (dimensional) denominado Coeficiente de Flujo KV(θ):

( )( )

( ) ( )θ⋅γ=⇒

⋅γ=θ 2

2

VVL

VLV K

qhh

qK [KV]=Caudal/(Presión)1/2

5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (I)


El coeficiente KV(θ) presenta su valor máximo, KV0, cuando se halla completamente abierta (θ=100 %) y vale cero cuando se halla completamente cerrada (θ=0 %).En algunas válvulas, destinadas a control, su fabricante proporciona KV(θ) mediante una gráfica semejante a la siguiente:

Se suele trabajar con otro coeficiente adimensional denominado Coeficiente de descarga Cd(θ) que se define como:

( )( ) 22 vhg

vCVL

d+⋅

=θ

Relacionado con K como:( )

( )θ+=θ

KCd 1

1

5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (II)


5.4 MODELO MATEMÁTICO DE UNA INSTALACIÓN


Ecuaciones Fundamentales: Las ecuaciones que rigen el comportamiento en Régimen Estacionario de una red hidráulica son:

Ecuación de Bernoulli en cada línea (NL).

( ) ( )ijmijLji HhBB −=−Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cdTabBijm

djfbcfiaLijL

HHH

hhhh

−=

++=

Ecuación de Continuidad en cada nodo (NN).

0=+∑j

iij Qq

Ejemplo:

Nota: En las instalaciones hidráulicas suele despreciarse los términos de energía cinética del Bernoulli.

( ) ( )ijmijLji HhHH −=−

RED

iQi

qkiqij

qim

jm

k

0=−−+ ikiimij Qqqq

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.1 Ecuaciones Fundamentales


Condiciones de Contorno: Asociadas a cada nodo de la red (NN) existen dos magnitudes hidráulicas Hi (altura piezométrica) y Qi (caudal externo). Una de ellas debe ser fijada:

(NC) Hi Conocida y Qi desconocido. Depósitos (0 y 3) o descargas del fluido en un punto donde se conoce la presión (3).

(ND=NN-NC) Qi conocido y Hi desconocida. Nudo interior (1 ó 2) o nudo extremo de consumo (población u otra red 4).

RED 2POBLACIÓN

hB (m)

B

A

hA (m)

a b 1

2

q01V

0

5q25

3

B1

dq13

q12

q244Q4

Q0

Q5

Q3

Q2

q41q15

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.2 Condiciones de Contorno

NL=7;NN=6;NC=3;ND=3

Nincógnitas=NL+NN=13


Modelo Matemático: Conjunto de ecuaciones que representan el comportamiento de la red. Las ecuaciones fundamentales (Bernoulli y Continuidad) y las características hidráulicas de cada línea (hL)ij=(hL)ij(qij) y (Hm)ij=(Hm)ij(qij) presentan un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las magnitudes hidráulicas desconocidas de la instalación:

NL Caudales qij de cada una de las líneas de la instalación (∀ ij∈Líneas)

ND Alturas piezométricas Hi (∀ i∈Nodos de Altura Desconocida).

NC Caudales externos Qi (∀ i∈Nodos de Altura Conocida).

Estas incógnitas no se hallan simultáneamente. A partir de las ecuaciones fundamentales es posible obtener un número de ecuaciones que relacionan un número incógnitas básicas y a partir de su resolución obtener el resto de incógnitas hidráulicas desconocidas.

Existen dos planteamientos:

Formulación en caudales. incógnitas básicas=Caudales en la líneas (qij).Formulación en alturas. incógnitas básicas=Alturas piezométricas desconocidas (Hi).

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.3 Resolución


Ecuaciones formulación en caudales:

NM Ecs. Bernoulli en las mallas de la red

NC-1 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura piezométrica conocida.

ND Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida.

0=+∑j

iij Qq

( ) ( )[ ] 0=−⋅λ∑ij

ijmijLij Hh

( ) ( )[ ] jij

ijmijLiji HHhH =−⋅λ− ∑

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación por Caudales (I)


RED 2POBLACIÓN

hB (m)

B

A

hA (m)

a b 1

2

q01V

0

5q25

3

B1

dq13

q12

q244Q4

Q0

Q5

Q3

Q2

q41q15

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 33131515

55110

kBLff

fbfVLB

hHhhhH

HhhhHH

+=−−+

=−−−+

−−

−−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

0

515221

214214

=−−−

=++

−−−

−−−

fff

fff

hhh

hhh

0

0

0

2122524

44124

4112151301

=−−+

=++−

=−+++−

Qqqq

Qqq

qqqqq

2 Ecs. Bernoulli en las mallas de la red (1-4-2-1) y (1-2-5-1)

2 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura conocida (0, 5 y 3)

3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida (1, 2 y 4)

Formulación en caudales: Incógnitas (q01,q13,q15,q41,q12,q24 y q25)

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación en Caudales (II)


Ecuaciones formulación en alturas:

Despejando los caudales de NL Ecs. Bernoulli en las líneas de la red.

Sustituyendo en ND Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida.

( ) 0,0 =+⇒=+ ∑∑j

ijiijj

iij QHHFQq

( ) ( ) ( )jiijijijmijLji HHFqHhHH ,0 =⇒=+−−

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas (I)


RED 2POBLACIÓN

hB (m)

B

A

hA (m)

a b 1

2

q01V

0

5q25

3

B1

dq13

q12

q244Q4

Q0

Q5

Q3

Q2

q41q15

( )( )( )( )( )( )( )22525

422424

211212

414141

11515

11313

10101

,

,

,

HFq

HHFq

HHFq

HHFq

HFq

HFq

HFq

=

=

=

=

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,,

0,,

0,,

221122254224

441414224

41412112115113101

=−−+

=++−

=−+++−

QHHFHFHHF

QHHFHHF

HHFHHFHFHFHF

3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida

Formulación en alturas: Incógnitas (H1, H2 y H4)7 Ecs. Bernoulli en líneas

5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas(II)

U n i v e r s i d a d d e N a v a r r a E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r o s N a f a r r o a k o U n i b e r t s i t a t e a I n g e n i a r i e n G o i M a i l a k o E s k o l a

ISBN

mecanica fluidos

Documents