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TEORIA Y PROBLE]I,|AS NI F DOS E HIDRAULICA PROBTE]I|AS RESIJEI.TOS

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  1. 1. TEORIA Y PROBLE]I,|AS NI F DOS E HIDRAULICA PROBTE]I|AS RESIJEI.TOS
  2. 2. / oa t,vr,o,RTADOR ,' 4e4/? SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM TEORIA Y PROBLEMAS MECANICA DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA SEGUNDA EDICION RANALD V. GILES, B. S., M. S. en C. E. Professor of Ciuil Engineering Drexel Institute of Technology TRADUCCION Y ADAPTACION J.rrr.r MoNnve MoNnvl Ingeniero de Armamento y Material Licencado en Ciencias Profesor de Ia Escuela Politcnica Superior, Madrid o LIBROS McGRAW-HILL PANAMA MEXICO NEW YORK LONDON TORONTO SYDNEY JOHANNESBURG
  3. 3. Derecho de propiedad Registrado en 1969 @ por McGraw-Hill, Todos los Derechos Reservados. Impreso en Colombia. Queda terminantemente prohibido reproducir este libro total o parcialmente sin permiso expreso de los editores. 9r575 IMPRESO EN COLOMBIA PRINTED IN COLOMBIA lnc
  4. 4. Prlogo Este libro ha sido concebido con el principal propsito de complementar los textos ordinarios de mecnica de los fluidos e hidrulica. Se basa en la conviccin del autor de que el esclarecimiento y comprensin de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecnica se obtienen mejor me- diante numerosos ejercicios ilustrativos. La anterior edicin de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edicin, muchos de los captulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al da determinados temas de acuerdo con los ms recientes conceptos, mtodos y terminologa. Se ha dedicado especial atencin al anlisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Captulo 5. La revisin ms extensa se ha llevado a cabo en los captulos que tratan los fundamentos del flujo de fluidos, flujo de fluidos en tuberas y flujo en canales abiertos. La materia se divide en captulos que abarcan reas bien definidas de teoria y estudio. Cada cap- tulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas, junto con el material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propues- tos. Los problemas resueltos ilustran y amplan la teora, presentan mtodos de anlisis, proporcio- nan ejemplos prcticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con correccin y seguridad. El anlisis del cuerpo libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energa de la cantidad de movimiento y las leyes de Newton se utilizan a lo largo de todo el libro. No se ha regateado esfuerzo para presentar pro- blemas originales desarrollados por el autor en los largos aos dedicados a la enseanza de esta mate- ria. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de frmulas. El elevado nmero de problemas propuestos asegura un repaso completo del material de cada captulo. Los alumnos de las Escuelas de Ingeniera reconocern la utilidad de este libro al estudiar la me- cnica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharn la ventaja de su posterior empleo como libro de referencia en su prctica profesional. Encontrarn soluciones muy detalladas de numerosos problemas prcticos y, cuando lo necesiten, podrn recurrir siempre al resumen de la teora. Asimismo, el libro puede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribu- nal examinador o por cualesquiera otras razones. Deseo expresar mi agradecimiento a mi colega Robert C. Stiefel, que ha comprobado cuidado- samente la solucin de muchos de los nuevos problemas. Tambin he de expresar mi gratitud a la redac- cin de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo, por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperacin. Philadelphia, Pa. Junio 1962 RANALD V. GILES
  5. 5. Capitulo Tabla de materias Pginas PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS. . . 1 La mecnica de los fluidos y la hidrulica. Definicin de fluido. Sistema tc- nico de unidades. Peso especfico. Densidad de un cuerpo. Densidad relativa de un cuerpo. Viscosidad de un fluido. Presin de vapor. Tensin superficial. Capilaridad. Presin de un fluido. La presin. Dilerencia de presiones. Varia- ciones de la presin en un fluido compresible. Altura o carga de presin . ' Mdulo volumtrico de elasticidad (E). Compresin de los gases. Para con- diciones isotrmicas. Para condiciones adiabticas o isoentrpicas. Pertur- baciones en la presin. 2 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES ",,, Introduccin. Fuerza ejercida por un lquido sobre un rea plana. Tensin circunferencial o tangencial. Tensin longitudinal en cilindros de pared delgada. 3 EMPUJE Y FLOTACION Principio de Arqumedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes 36 424 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS. Introduccin. Movimiento horizontal. Movimiento vertical. Rotacin de masas fluidas. Recipientes abiertos. Rotacin de masas fluidas. Recipientes cerrados. Captulo J ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA. Introduccin. Anlisis dimensional. Modelos hidrulicos. Semejanza geom- trica. Semejanza ciemtica. Semejanza dinmica. La relacin entre las fuer- zas de inercia. Relacin de las fuerzas de inercia a las de presin. Relacin de las fuerzas de inercia a las viscosas. Relacin de las fuerzas de inercia a las gravitatorias. Relacin de las fuerzas de inercia a las elsticas. Relacin de las fuerzas de inercia a la de tensin suoerficial. Relacin de tiemoos. 50 6 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS Introduccin. Flujo de fluidos. Flujo permanente. Flujo uniforme. Lneas de corriente. Tubos de corriente. Ecuacin de continuidad. Red de corriente. Ecuacin de la energa. Altura de velocidad. Aplicacin del teorema de Bernoul- li. Lnea de energas o de alturas totales. Lnea de alturas piezomtricas. Potencia. 70
  6. 6. TABLA DE MATERIAS Capitulo FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS Pginas 96 Introduccin. Flujo laminar. Velocidad crtica. Nmero de turbulento. Tensin cortante en Ia pared de una tubera. velocidades. Prdida de carga en flujo laminar. Frmula de Coeficiente de friccin. Otras prdidas de carga. Reynolds. Flujo Distribucin de Darcy-Weisbach. Caphrlo 8 SISTEMAS DE PARALELO Y TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN RAMIFICADAS Sistemas de tuberas. Sistemas de tuberas equivalentes. Sistemas de tuberas compuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Mtodos de resolucin. Frmula de Hazen-Williams. rl5 Caphrlo 9 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS. Introduccin. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de veloci- dad. Coeficiente de contraccin. Prdida de carga. Vertederos de aforo. Frmu- la terica de un vertedero. Frmula de Francis. Frmula de Banzin. Frmula de Fteley y Stearns. Frmula del vertedero triangular. La frmula del ver- tedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. El tiempo de vaciado de depsitos. El tiempo para establecer el flujo. Caphrlo I0 FLUJO EN CANALES ABIERTOS Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo lamr- nar. La frmula de Chezy. El coeficiente C. El caudal Q. La prdida de carga. Distribucin vertical de la velocidad. Energa especfica. Profundidad crtica. Caudal unitario mximo. En canales no rectangulares y para un flujo crtico. Flujo no uniforme. Los vertederos de aforo de pared gruesa. Resalto hi- drulico. Captulo 11 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO Introduccin. El principio de impulso-cantidad de movimiento. El coeficiente de correccin de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentacin. Resrs- tencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentacin. Nmero de Mach. Teoria db la capa limite. Placas planas. Golpe de ariete. Veloci- dades supersnicas. MAQUINARIA HIDRAULICA Maquinaria hidrulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidrulicas, bombas y soplantes, Velocidad especfica. Rendimiento. Cavitacin. Propulsin por h- lices. Los coeficientes de la hlice. Captulo 12 225
  7. 7. TABLA DE MATERIAS APENDICES Pginas Tabla 1. Propiedades aproximadas de algunos gases.. 246 2. Densidad relativa y viscosidad cinemtica de algunos lquidos 247 3. Coeficiente de friccin f para agua solamente. . . . . 248 4. Prdidas de carga en accesorios 249 5. Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. 250 6. Algunos valores del coeficiente C, de Hazen-Williams. 250 7. Coeficientes de desage para orificios circulares de arista viva. . . . . . . 251 8. Algunos factores de expansin Y para flujo... 252 9. Algunos valores medios de n empleados en las frmulas de Kutter y de Manning y de m en la frmula de Bazin. 252 10. Valores de C de la frmula de Kutter. 253 11. Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales 254 12. Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales 255 13. Areas de crculos 256 14. Pesos v dimensiones de tuberas de fundicin 256 DIAGRAMAS Diagramas l-1. A-2. B. C. D. E, F. G. H. Diagrama de Moody para coeficientes de friccin f .. ........ 257 Diagrama de Moody modificado para coeficientes de friccin / (solucin directa para el flujo O). 258 Nomograma de caudales, frmula de Hazen-Williams (Ct : 100). 259 Coeficiente para orificios medidores 260 Coeficientes para boquillas de aforo 261 Coeficientes para venturmetros. . 262 Coeficiente de resistencia en funcin de Rr. 263 Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas... 264 Coeficientes de resistencia a velocidades supersnicas 265 TNDICE 261
  8. 8. cc cu C a / b c CG ce CD CF CL CT c1 cfs d,D D1 Dr e E J SIMBOLOS Y ABREVIATURAS En la siguiente lista se da el significado de las letras empleadas en este libro. Por imposible evitar la utilizacin de la misma letra para representar ms de una magnitud. al introducirlo por primera vez, no existe confusin posible. potencra en wQHl75 momento de la limitacin del alfabeto es Como cada smbolo se define caballos de vapor (CV) : inercia en mo o cmo producto de inercia en ma o cma relacin de los calores especficos, exponen- te isoentrpico (adiabtico), constante de Von Karman coeficiente de desage en canales trapezoi- dales, coeficiente de prdida de carga en ensanchamientos, constante ::."L"1.*. de prdida de carga en contrac- longitud de mezcla en m longitud en m longitud equivalente en m coeficiente de rugosidad en la frmula de Bazin, coeficiente de vertedero en presas masa en UTM (unidad tcnica de masa) o kg seg2/m, peso molecular coeficiente de rugosidad, exponente, coefi- ciente de rugosidad en las frmulas de Kut- ter y de Manning velocidad de rotacin en rpm velocidad especifica en rpm velocidad unitaria en rpm nmero de Froude nmero de Mach nmero de Weber presin el kglm2, permetro mojado en m presin en k!/cm2 fuerza en kg, potencia en kgm/seg potencia uritaria en kgm/seg libras/pie'? (lb/ft'?) fibras/pulgada'z (lblin2), absoluta. En el sis- tema tcnico europeo kg/cm'? (ab) lb/in2, manomtrica. En el sistema tcni- co europeo simplemente kglcm2 caudal por unidad de anchura en m3/seg por unidad de anchura caudal en volumen en m3/seg aceleracin en m/seg2, rea en m2 rea en m2 longitud de un vertedero en m, anchura en la superficie libre del agua en m, anchura de solera de un canal abierto en m coeficiente de desage o descarga, celeridad de la onda de presin en m/seg (velocidad del sonido) coeficiente de contraccin coeficiente de velocidad coeficiente de Chezy, constante de integra- cin centro de gravedad centro de presin, coeficiente de potencia en hlices coeficiente de arrastre o resistencia coeficiente de empuje en hlices coeficiente de sustentacin coeficiente del par en hlices coeciente de Hazen-Williams pies cbicos por segundo dimetro en m dimetro unitario en cm densidad relativa rendimiento mdulo de elasticidad volumtrico en kg/m2, en kg/cm2 o en kg/mm2, energa especfica en kgm/kg factor o coeficiente de rozamiento de Darcy hp I 1,, k K K, I f LE m M n N NF Nv p p' P D psf psla psrg q o en flujo en tuberas F fuerza en kg, empuje en kg g aceleracin de la gravedad : 9,81 m/seg'z -) JZ.r ples/seg- gpm galones americanos por minuto h altura de carga en m, altura o profundidad en m, altura o carga de presin en m H altura o carga total (energa por unidad de peso)enmokgm/kg H, h" prdida de carga en m (algunas veces se designa por LH)
  9. 9. SIMBOLOS Y ABREVIATURAS Dr V v" w W v !" Q. r ro R RE s ,so t descarga o caudal unitario en mr/seg radio en m radio de una tubera en m constante de los gases, radio hidrulico en m nmero de Reynolds pendiente de la lnea de alturas piezomtri- cas, pendiente de la lnea de alturas totales pendiente de la solera de un canal tiempo en seg, espesor en cm, viscosidad en grados Saybolt T temperatura, par en mkg, tiempo en seg u velocidad perifrica de un elemento que est girando en m/seg u, u, rD componentes de la velocidad en las direc- cionesX,YyZ r; volumen en m3, velocidad local en m/seg, velocidad relativa en maquinaria hidruli- ca en m/seg volumen especfico : llw en m3lkg velocidad de corte : Jrt, en m/seg velocidad media en m/seg (o como venga definida) velocidad crtica en m/seg peso especfico en kg/m3 peso en kg, caudal en peso : wQ enkglseg distancia en m proflundidad en m. distancia en m profundidad crtica en m profundidad normal en m coeficientes de expansin en flujos com- presibles elevacin, altura topogrfica o cota (car- ga) en m altura de la cresta de un vertedero sobre la solera del canal en m ln Y z Z a (alfa) ngulo, coeficiente de correccin de la energa cintica B @eta) ngulo, coeficiente de correccin de la cantidad de movimiento (delta) espesor de la capa lmite en m A (delta) trmino correctivo del flujo e (psilon) rugosidad superficial en cm n @ta) viscosidad de remolino 0 (theta) ngulo genrico p (mi) viscosidad absoluta o dinmica en kg seg/m2 (o en poises) v (ni) viscosidad cinemtica : plp en m2/seg (o en stokes) n (pi) parmetro adimensional p (ro) densidad : lg en kg seg2/ma o UTM/m3 o (sigma) tensin superficial en kg/m, tensin o esfuerzo normal en kg/cm2 r (tau) tensin o esfuerzo cortante o tangencial en kg/m2 d (fi) coeficiente de velocidad, potencial de velocidad, relacin (psil funcin de corriente co (omega) velocidad angular en rad/seg FACTORES DE CONVERSION 1 pie cbico (ft3) : 7,48 galones americanos : 28,32 litros I galn americano : 8,338 libras de agua a 60' F : 3,7854 litros 1 pie cbico por segundo : 0,646 millones de galones por da : 448,8 galones por minuto 1 libra-segundo por pie cuadrado (p) : 478,7 poises : 4.88 kg seg/m2 I poise : I glcm seg : l/98.1 kg seg/m2 1 pie cuadrado por segundo (v) : 929 stokes (cm2/seg t horsepower (HP) : 550 pieJibras por segundo : 0,746 kilovatios : 1,014 caballos de vapor (CV) : 7 kgrn/seg I caballo de vapor (CV) : 75 kgm/seg : 0,736 kilovatios (kW) : 0,986 horsepower (HP) 760 mm Hg : O pulgadas de mercurio (in Hg) : 34 pies de agua (ft HrO) : 14,7 libras por pulgada cuadrada 1lb/in'z; : 1,033 kglcm2 : I Atm (atmsfera fisica) I kg/cm'z : I at (atmsfera tcnica) : 0,9678 Atm : 14,22 lblin2 I libra por pie cuadrado (lb/ft'? o Rsf) : 4,33 tr-'
  10. 10. Captulo 1 Propiedades de los fluidos LA MECANICA DE LOS FLUIDOS Y LA HIDRAULICA La rama de la mecnica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en reposo o en movimiento constituye la mecnica de los fluidos y la hidrulica. En el desarrollo de los principios de la mecnica de los fluidos algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante, mientras que otras o influyen muy poco o nada. En la esttica de los fluidos, el peso especfico es la pro- piedad importante, mientras que en el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predo- minan. Cuando tiene lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios de la termodinmica. Al intervenir presiones manomtricas negativas la tensin de vapor pasa a ser im- portante y la tensin superficial afecta a la esttica o cinemtica de los fluidos cuando las secciones de paso son pequeas. DEFINICION DE FLUIDO Los fluidos son sustancias capaces de y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen. Cuando estn en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma. Los fluidos puedeu dividirse en lquidos y gases. Las diferencia,s esenciales entre lquidos y gases son (a) Ios lquidos son prclicmente incompresibles y los gass on compresibles, por lo que en muchas ocasiones hay que fratarlqs pprg gales y () los lquidos @uBan un volutrcn definido y tienen super- frcies libres rnientras qu unl masa dad'ade ga$ se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipiente que lg contenga. SISTEMA TECNICO DE UNIDADES Las magnitudes fundamentales seleccionadas son la longitud, fuerza y tiempo. Las tres unidades fundamentales correspondientes son el metro para la longitud, el kilogramo fuerza (o kilogramo peso) y el segundo. Las otras unidades pueden deducirse a partir de stas. As, la unidad de volumen es el m3, la unidad de la aceleracin el m/seg2, la de trabajo el kgm y la unidad de presin elkglm2. Algunos datos pueden venir dados en otras unidades y deben convertirse al sistema metro-kilogramo fuerza-segundo antes de aplicarlos a la solucin de los problemas. La unidad de masa en este sistema, la UTM (unidad tcnica de masa), se establece a partir de las unidades de fuerza y de aceleracin. Para un cuerpo que cae en el vaco la aceleracin a que est some- tido es la de la gravedad (g : 9,81 m/seg2 al nivel del mar) y la nica fuerza que acta es su peso. A partir del segundo principio de Newton, fuerza en kg - masa en UTM x aceleracin en m/seg2 peso en kg : masa en UTM x 9(9,81 m/seg2) masa M en UTM : P:=to=,II'"3 E 9(9,81 m/seg2) De aqu o (1)
  11. 11. l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1 PESO ESPECIFICO El peso especfico ru de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. En los lquidos, ru puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presin. El peso espe- cfico del agua para las temperaturas ms comunes es de 1000 kg/mt. Vase el Apndice, Tablas 1(C) y 2, para valores adicionales. Los pesos especficos de los gases pueden calcularse mediante la ecuacin de estado de los gases o (leyes de Charles y Boyle) dondep es la presin absoluta en kg/m2, u" el vlumen especfico o volumen ocupado por la unidad de peso en m'lkg, Zla temperatura absoluta en grados Kelvin ("K': "C + 273) y R la constante del gas en m/'K. Como w : Ilu", la ecuacin anterior puede escribirse lJ il:=.' RT DENSIDAD DE UN CUERPO p (ro) : rnaso por unidad de volumen : talg. En el sistema tcnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665 : 101,972 (- 102) UTM/m3 o kg seg2/ma. En el sistema cgs la densidad del agua es I glcm3 a4'C. Vase Apndice, Tabla 1(C). DENSIDAD RELATIVA DE UN CUERPO La densidad relativa de un cuerpo es un nmero adimensional que viene dado por la relacin del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los slidos y lquidos se refieren al agua a 4" C, mientras que los gases se refieren al aire libre de CO, e hidrge- no a 0" C y Atm de presin, como condiciones normales. Por ejemplo, densidad relativa de una sustancia : peso de la sustancia peso de igual volumen de agua peso especfico de la sustancia peso especfico del agua Asi, si la densidad relativa de un aceite es 0,750 su peso especfico ser 0,750(1000 kg/m3) : 750 kg/m.. La densidad relativa del agua es 1,00 y la del mercurio 13,57. La densidad relativa de una sustancia viene dada por el mismo nmero en cualquier sistema de unidades. Vase Apndice, Tabla 2. (2 pls DfL T (3) (4) VISCOSIDAD DE UN FLUIDO La viscosidad de un fluido es aquella propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmen- te a las interacciones entre las molculas del fluido. Con referencia a la Fig. 1-1, se consideran dos pla- cas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadas una pequea distancia /, y con el espacio entre ellas lleno de un fluido. Se supone que la placa superior se mueve a una velocidad constante U al actuar sobre ella Fig. l-1
  12. 12. cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS una fuerza 4 tambin constante. El fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindo- se a la misma velocidad [/, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecer en reposo. Si la separacin y y la velocidad U no son muy grandes, la variacin de las velocidades (gradiente) vendr dada por una lnea recta. La experiencia ha demostrado que la fuerza F varia con el rea de la placa, con la velocidad U e invbrsamente con la separacin y. Como por tringulos semejantes, Uly : dVldy, tenemos donde r : FIA: tensin o esfuerzo cortante. Al introducir la constante de proporcionalidad p (mi), llamada uiscosidad absoluta o dinmica. dVr_r = l o .ip = AU dV IG-4, u au Fdv "Adv dV/du Las unidades de .r ,on kg--ttg, ya que ,-F-l:1,,..: 9# Los fluidos que siguen la relacin (5) se m' (m/seg)/m m- llaman fluidos newtonianos (vase Problema 9). Otro coeficiente de viscosidad, llamado uiscosidad cinemtica, viene definido por (5) (6) scosidad cinemca v (ni)l: viscosidad absoluta r densidad l'.!J lt) o Las unidades de v sc m2 rn -' y? -ll ^ 1t1/ nI' wvl:, ^.,^ (kg seg, m2 )(m, seg2 ) m2 v-'l Kg/m" seg Las viscosidades en los manuales vienen dadas normalmente en poises y stokes (unidades del sis- tema cgs) y en ocasiones en grados o segundos Saybolt, a partir de medidas en viscosmetros. Algunas conversiones de un sistema a otro de unidades se dan en los Problemas 6-8. En las Tablas I v 2 del Apndice se dan algunos valores de viscosidades. En los lquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, pero no se ve afectada apre- ciablemente por las variaciones de presin. La viscosidad absoluta de los gases aumenta al aumentar la temperatura, pero casi no vara con la presin. Como el peso especfico de los gases vara con la presin (a temperatura constante), la viscosidad cinemtica es inversamente proporcional a la presin. Sin em- bargo. de la ecuacin anterior, lg: wv. PRESION DE VAPOR Cuando tiene lugar el fenmeno de la evaporacin dentro de un espacio cerrado, la presin parcial a que dan lugar las molculas de vapor se llama presin de vapor. Las presiones de vapor dependen de la temperatura, aumentando con ella. En la Tabla 1(C) se dan valores para el agua. TENSION SUPERFICIAL Una molcula en el interior de un lquido est sometida a la accin de fuerzas atractivas en todas las direcciones, siendo la resultante nula. Pero si la molcula est en la superficie del lquido, sufre la accin de un conjunto de fuerzas de cohesin, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aqu que sea necesario consumir cierto trabajo para mover las molculas hacia la superficie venciendo la resistencia de estas fuerzas, por lo que las molculas superficiales tienen ms energa que las interiores. La tensin superficial de un lquido es el trabajo que debe realizarse para llevar molculas en n- mero suficiente desde el interior del lquido hasta la superficie para crear una nueva unidad de super-
  13. 13. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. I ficie (kgm/m2. Este trabajo es numricamente igual a lafierza tangencial de contraccin que actuara sobre una lnea hipottica de longitud unidad situada en la superficie (kg/m). En la mayora de los problemas presentados en las mecnicas de fluidos elementales la tensin superficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tensin superficial o (sig- ma) para el agua en contacto con el aire. CAPILARIDAD La elevacin o descenso de un lquido en un tubo capilar (o en situaciones fisicas anlogas, tales como en medios porosos) vienen producidos por la tensin superficial, dependiendo de las magnitu- des relativas de la cohesin del lquido y de la adhesin del lquido a las paredes del tubo. Los lquidos ascienden en tubos que mojan (adhesin > cohesin) y descienden en tubos a los que no mojan (cohe- sin > adhesin). La capilaridad tiene importancia en tubos de dimetros aproximadamente meno- res de 10 mm. PRESION DE UN FLUIDO La presin de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta normal- mente a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presin en un lquido es igual en cualquier punto. Las medidas de presin se realizan con los manmetros, que pueden ser de diversas formas. De no advertir lo contrario, a travs de todo el libro las presiones sern las presio- nes relativas o manomtricas. La presin manomtrica representa el valor de la presin con relacin a la presin atmosfrica. LA PRESION viene expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general, P lkglm2l: m, Cuando la fuerza P actua uniformemente distribuida sobre una superficie, tenemos ,-, ,,.^t - 2. P (kg) D lKslcm"l: -r !6/vrr,_Aqcm2(kg/m') :iffi DIFERENCIA DE PRESIONES La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un lquido viene dada por - Pt : w(h, - ht) en kglm2 donde ru : peso especfico de lquido (kg/mt) y hz - ftr : diferencia en elevacin (m). Si el punto 1 est en la superficie libre del lquido y /r es positiva hacia abajo, la ecuacin anterior se transforma en P:wh Para obtener la presin en kgfcm2, [en kglm2 (man)] [en kg/cm2(man)] Estas ecuaciones son aplicables en tanto que ru se mantenga constante (o vara tan ligeramente con h, que no introduzca un error significativo en el resultado). (7) ,pwh P - rco--T (8) (e)
  14. 14. cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS VARIACIONES DE LA PRESION EN UN FLUIDO COMPRESIBLE Las variaciones de presin en un fluido compresible son, por lo general, muy pequeas ya que los pesos especficos son pequeos, como tambin lo son las diferencias en elevacin consideradas en la mayora de los clculos en la hidrulica. Cuando se han de tener en cuenta para pequeas diferencias en elevacin dh, la Iey de variacin de la presin puede escribirse en la forma dp : -w dh (10) El signo negativo indica que la presin disminuye al aumentar la altitud, con /r positiva hacia arriba. En los Problemas 29-31 se dan aplicaciones de esta frmula. ALTURA O CARGA DE PRESION La altura de presin ft representa la altura de una columna de fluido homogneo que d la presin dada. As h (m de nuido) : ffi#j (ltl MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD (') El mdulo volumtrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relacin de la variacin de presin a la variacin de volumen por unidad de volumen. ^ dp' ks/cm2 E:'f,, :Kg,rcm2 (12) -clD/D m"/m" COMPRESION DE LOS GASES La compresin de los gases puede tener lugar de acuerdo con diversas leyes de termodinmica. Para la misma masa de gas sujeta a dos estados diferentes, P'!:ly = wR n J* P ,) T' 7't ' 7t)tt t fu' : I (13) donde p : presin absoluta en kglm2, u : volumen en m3, W : peso en kg, {, : peso especfico en kg/m3, R : constante del gas en m/oK, 7 : temperatura absoluta en grados Kelvin (C + 273). PARA CONDICIONES ISOTERMICAS (temperatura constante) la expresin anterior (13) se trans- forma en 'Pfl)t:PzLtzY#:#=constante(14) Tambin Mdulo volumtrico E : p (en kg/m2) (15) PARA CONDICIONES ADIABATICAS O ISOENTROPICAS (sin intercambio de calor) las ex- presiones anteriores se convierten en Pfll = pu.) v (#)- = tt; = constante u6)
  15. 15. 6 Tambin PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Tz 4i1 ,r, r'.r Tt pt) [cAP. I (17) y Mdulo volumtrico E : kp (en kel^') (18) donde k es la relacin de calores especficos a presin constante y a volumen constante. Se le llama tam- bin exponente adiabtico. La Tabla I(A) d,el Apndice da algunos valores tpicos de R y k.Para muchos gases, el producto de R por el peso molecular es aproximadamente 848. PERTURBACIONES EN LA PRESION Cualquier perturbacin en la presin de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas de presin se mueven a una velocidad igual a la de propagacin del sonido a travs del fluido. La veloci- dad de propagacin o celeridad, en m/seg, viene dada por c : /E/p U9) donde E viene medido en kgfmz. Para los gases, la velocidad de sonido es 6 = y1q/p = 1gilt (20) Problemas resueltos f . Calcular el peso especfico w, elvolumen especfico u" y la densid ad, p del metano a 38" C y 8,50 kg/cm2 de presin absoluta. Solucin: De la Tabla 1(,a) del Apndice, R : 53. Peso especfic o * : +: #:,% : 5,16 kglm3 RT 53(273 + 38) volumen especfico ,": :: * : 0,194 m3/kg Densidad o:*:5:r=1 :o,szl urM/m3' c 9,81 * 2. Si 6 m3 de un aceite pesan 5080 kg, calcular su peso especfico ru, densidad p y densidad relativa. Solucin: Peso especfico, : 5080 $ : 88 kg/m3 Densidad p:w :-t1? ut/-',:86,5 urM/m3 g y. l m/seg- Densidad relativa : *u" : tot : o.ro, D^o 1000
  16. 16. cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 3. A 32" C y 2,10 kgf cm2, el volumen especfico u" de cierto gas es 0,71 mt/kg. Determinar la constan- te del gas R y su densidad p. Solucin: Como ru : P, R: P :Pu"- (2'10 x loa)(o'7l) RT wT T 273+32 -hi q'r Densidad ,:!:W I I c c :'oJl " 9"81 : o'1436 urM/m3 * . (n) Determinar la variacin de volumen de 1 m3 de agua a27" C al aumentar la presin en2Lkglcm2 . () A partir de los siguientes datos experimentales determinar el mdulo de elasticidad volum- trico del agua: a 35 kglcm2 el volumen era de 30 dm3 y a 250 kglcrn2 de 29,70 dm3. Solucin: (a De la Tabla 1(C) del Apndice, E a 27" C es de 22,90 x 103 kglcm2. Mediante la frmula (12), ,Jr: -'dP'- -1 x 21 x loa: -9.15 x ro-a m3 E 22,9 x 101 (b) La definicin asociada con la frmula (12) indica que las variaciones correspondienfes en la presin y volumen son las que deben considerarse en la frmula. De aqui, un aumento en la presin se corresponde con una disminucin de volumen. dn'E-L - --;--- - aulL) (250-35)x104 (29,70- 30)x 103/30x I0r : 21,50 x 107 kg/m'? x 5. Un cilindro contiene 356 dm3 de aire a 49' C y una presin absoluta de 2,80 kglcmz . Se comprime * el aire hasta 70 dm3. (c) Suponiendo condiciones isotrmicas, cul es la presin en el nuevo volu- men y cul el mdulo de elasticidad volumtrico? () Al suponer condiciones adiabticas, cul es la presin final, la temperatura final y el mdulo de elasticidad volumtrico? Solucin: (a) Para condiciones isotrmicas, pJ)t : pzDz De aqu, 2,80 x 104 x 0,356 : pi104 x 0,070 El mdulo volumtrico E : p' : 14,20 kglcm2. ! pz : 14,20 kglcm2 (ab) (b) Para condiciones adiabticas, pru: pzu. I la Tabla 1(,a) del Apndice da k:1,40. De aqu, 2,80 x 104(0,356)1'40 : pt x 104(0,070)1'40 y p;:27,22 kglcm2 (ab). La temperatura final se obtiene a partir de la ecuacin (17): T?: P',u-r>,*, _:, ^ : 12J4 o,nu,r.nu, T2: 616" K : 343. c Tt pz 2'73 + 49 ' 2,80 ' El mdulo volumtrico E: kp': 1,40 x 27,22:38.10 kglcm2. 6. De las International Critical Tables,la viscosidad del agua a20" C es 0,01008 poises. Calcular (a)la viscosidad absoluta en kg seg/mt. () Si la densidad relativa a20" C es 0,998, calcular el valor de la viscosidad cinemtica en m2/seg. Solucin: Elpoiseestmedidoendinasseg/cm2. Como l kg:9,81 x lOsdinasy 1m: l00cm,obtenemos ks ses 9.81 x 105 dinas see l--: ; i -:9E.1 porses
  17. 17. (o) I en (b) v en kg seg/m2 : 0,01008/98,1 : 10,28 x 10-s PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1 .-.., - : 1,01 x 10-s 10- 3 m2/seg. 15,5" C en viscosidad cinemtica v en m2/seg. SOLIDO RICIDO IDEAL SOLIDO REAL ) tt p pC 10,28 x 10-s x 9,81 ru- 5E : p wlq w 0,998 x 10007. Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya viscosidad absoluta es de 15,14 poises y su den- sidad relativa 0,964 dando el resultado en m2/seg. Solucin: Procediendo como en el Problema 6, 15,14 x 9,81 ' : is,trii: t'57 x Convertir una viscosidad de 510 segundos Saybolt a Solucin: Cuando para la determinacin se ha utilizado un viscosmetro universal Saybolt, parala conversin se utili- za uno de los dos grupos de frmulas siguientes: (a) para I < 100, r en poises : (0,00226t - l,95lt) x densidad relativa para t > 100, r en poises : (0,00220t - l,35lt) x densidad relativa (b) para / < 100, v en stokes -- (0,00226t - l,95lt) para / > 100, v en stokes : (0,00220t - l,35lt) donde / mide los segundos Saybolt. Para convertir stokes (cm2/seg) en m2/seg solo es necesario dividir por 10a. Mediante el segundo grupo () de frmulas, ya que / > 100, v: (0,00220 x 510 - l:]l " fO--' 5t0' : l,ll94 x 10-a m2fseg. 8. 9. Estudiar las caractersticas de velocidad de de- formacin bajo esfuerzo cortante, que se repre- sentan para diversos tipos de fluidos en la Figu- fa I-2. Solucin: (a) Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdo con la ley t : p(dvldy), o bien que la tensin cor- tante es proporcional al gradiente de velocidades o velocidad de deformacin tangencial. Por tanto, para estos fluidos, la grfica de la tensin cortante en funcin del gradiente de velocidades es una lnea recta que pasa por el origen. La pendiente de esta recta determina la viscosidad. (b) En un fluido la resistencia a la deforma- cin cortante o tangencial es nula, de aqu que su grfica coincida con el eje de abscisas. Aunque los fluidos ideales no existen, en ciertos anlisis est justificada y es til la hiptesis de fluido ideal. (c) Para un slido rgido no hay deformacin bajo ningn estado de carga, y la grfica coincide con el eje y de ordenadas. Los slidos reales sufren siempre alguna deformacin y, dentro del lmite de proporcio- nalidad (ley de Hooke), la grfica es una lnea recta casi vertical. (d) Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tensin cortante no es proporcional a la veloci- dad de deformacin tangencial, excepto quiz a tensiones cortantes muy pequeas. La deformacin de estos fluidos pudiera clasificarse como plstica. (") Los materiales plsticos pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y a partir de un cierto valor de aqul se deforman con una velocidad proporcional a la tensin cortante. t I .2 -a ' FLUIDO IDEAL Gradiente de velocidades 4I + dy Fig. l-2 ..,.99{,99P *. Y.'ft " .Ctg (Y
  18. 18. cAP. rl PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Con referencia ala Fig. 1-3, el fluido tiene una viscosidad absoluta de 4,88 x 10-3 kg seg/m2 y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de velocidades y el mdulo de la tensin cortante en el contorno y en los pun- tos situados a 25 mm, 50 mm y 75 mm del contorno, suponiendo (a) una distribucin de velocidades lineal y () una distribucin de velocidades parablica. La parbola en el di- bujo tiene su vrtice en A. El origen est en ,8. Solucin: (a) Para la hiptesis de distribucin lineal, la re- lacin entre la velocidad y la distancia y es V : 15y. De aqui dV : 15 dy, y el gradiente de velocidades es dVldy : lJ. Para Y:0, V:0, dvldY: 15 seg-t Y t: t(dVldy):4,88 x 10 3 x 15:7,32 x l0-2 k'lm2 Anlogamente, para los otros valores de y, tambin se obtiene r :7,32 x l0-2 kglm2. (b) La ecuacin de la parbola debe satisfacer la condicin de que la velocidad sea cero en el contorno -8. La ecuacin de la parbolaes V:1,125 - 200(0,075 - y)2.Luego dvldy:400(0,075 - y)y la tabulacin de los resultados conduce a lo sieuiente: yx103 V dVldy 4,88 x lO-3(dVldy 0 25 50 75 0 0,625 1,000 |,125 JI,, 20 10 0 0,1464 kslm2 0,0976 kglm2 0,M88 kglm'z 0 Se observar que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el eje de las tuberas en conduccin forzada, como se ver ms adelante) la tensin cortante es cero. Las unidades del gradiente de velocidades son seg-t y el producto p(:dvldy): (kg seg/m'z)(seg-1. : kg/m2, dimensiones correctas de la tensin cortante r.11. Un cilindro de 12 cm de radio gira concntricamente en el interior de un cilindro fijo de 12,6 cm de radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determinar la viscosidad del lquido que llena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 9,0 cm kg para mantener una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Solucin: (a) El par se transmite al cilindro exterior a travs de la capa de fluido. Como el espaciado entre los cilindros es pequeo, los clculos pueden realizarse sin integracin. Velocidad tangencial del cilindro interior : ra : (0,12 m)(2n radlseg) : 0,755 m/seg. En el pequeo espacio entre los cilindros puede suponerse lineal el gradiente de velocidades y utilizar el radio medio. As, dvldy:0J551Q,120 - 0,126):125,8 (m/seg)/m o seg-1. Par aplicado : par resistente 0,09 : r(rea)(brazo) : r(Zn x 0,123 x 0,30)(0,123) y De aqu, t: [email protected]) : 3,151125,7 : 0,02500 kg seg/m2. 10. Fig. 1-3 vi t:3,l5kglm2.
  19. 19. t0 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. I (b) En un mtodo matemtico ms exacto se utiliza el clculo como sisue: Como antes, 0,09: t(2nr x 0,30)r, de donde t:0,04'76112. Ahora bien, {:::9!+' donde las variables son la velocidad V y el radio r. La velocidad es'dy p pr" cero en el radio mayor e igual a 0,755 m/seg en el radio menor. Ordenando la expresin anterior y sustituyendo -dr por dy (el signo menos indica que r disminuye cuando y aumenta), se obtiene [''" o' :0'0476 [o'"o -o' tr,* l"l Jt.tzo 7 Y . 0,0476 f l1o.t:o v. _v :_t_l' ex | | | | r Jo,tzo Fig. 1-4 Por tanto, (0,755 - o) : o'ootu(-l - ^!l de donde p : 0,02500 kg seg/m2. t '0,120 0,126' 12. Demostrar que la presin en un punto es la misma en todas las direcciones. Solucin: Considrese un pequeo prisma triangular de lquido en reposo, bajo la accin del fluido que lo rodea. Los valores me- dios de la presin sobre las tres superficies son pl, pz ! pt. En la dieccin z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan en- tre ellas. Sumando las fuerzas en las direcciones n e y se obtiene EX:0, Pr-Pt sen0:0 o pr(dy dz) - pt(ds dz) sen 0 : 0 IY:0, Pr-Prcos0-dW:0 o pr(dx dz) - pr(ds dz) cos 0 - u(+ dx dy dz) : 0 Deducir la expresin (pz - pt) : w(hz - hr). Solucin: Considrese una porcin de liquido AB (Fig. 1-5) como un cuerpo libre de seccin recta transversal dA que se mantiene en equilibrio bajo la accin de su propio peso y la accin de las otras partculas de liquido sobre el cuerpo AB. En A la fuerza que acta es p, dA (la presin en kg/m2 por e rea en m2); en B es prdA. El peso del cuerpo libre lB es W : ttD : wL dA. Las otras fuerzas que actan sobre el cuerpo libre AB son normales a sus lados, de las que se muestran solo unas pocas en la figura. Al establecer 2X : 0, dichas fuerzas normales no es necesario considerarlas en la ecuacin. Por con- slgurente, pzdA-ptdA-wLdAsen Como Z sen 0 : h, - h,,, la ecuacin anterior se reduce a (p, Como dy: ds sen 0 y dx: ds cos 0, las ecuaciones se reducen a las siguientes: ptdydz - ptdydz:0 o pz:pz y pldxdz - pzdxdz - w(ldxdydz):0 o pt - pz - w(|dy):0 Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un ptnto, dy tiende a cero en el lmite, y la presin media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda defirida la presin en un punto. Por tanto, al poner dy : O en Ia ecuacin (2) se obtiene pt : pt y de aqui pr : pz: pt. (1) (2) 13. -lrt x 0/, Fig. r-5 0:0 - Pt) : w(h.t - ht)'
  20. 20. cAP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 11 * 14. Determinar la presin en kgf cmz sobre una supercie sumergida a 6 m de profundidad en una masa de agua. Solucin: Utilizando el valor medio de 1000 kg/m3 para tD, wh 1000 x 6 e : lo" : o'60 kglcm2 (man) * fS. Determinar la presin en kg/cm2 a una profundidad de 9 m en un aceite de densidad relativa de 0,750. Solucin: , wh (0.750 x 1000)9 e : 1F : o'675 kglcm2 (man) * 16. Encontrar la presin absoluta en kg/cm2 en el Problema 14 si la lectura baromtrica es de 75,6 cm de mercurio (densidad relativa 13,57). Solucin: Presin absoluta : presin atmosfrica * presin debida a los 6 m de agua (13.57 x 1000X0.756) 1000 x 6 * r:ft| : r.628 kg/cm, (ab) *17. A qu profundidad de un aceite, de densidad ' 2,80 kglcm2? A cul si el lquido es agua? Solucin: , p 2.80x104 n--:- :37.30m. w^. 0.750 x 1000 relativa 0,750, se producir una presin de , p 2,80x104 n^r: i.: =jl]r* : 28,00 m + 18. (a) Convertir una altura de presin de 5 m de agua en altura de aceite, de densidad relativa 0,750. (b) Convertir una altura de presin de 60 cm de mercurio en altura de aceite, de densidad rela- tiva 0,750. Solucin: (.'66 h s /" lal /t" : .,'ffu""i,. : a-rt : F ^ 19. Preparar un grfico de forma que puedan compararse fcilmente las pre- siones manomtricas (man) y absolutas (ab) con las limitaciones que se harn notar. Solucin: Sea I un punto, Fig. 1-6, a una presin absoluta de 3,85 kglcm2. La presin mano:' mtrica depender de la presin atmosfrica reinante. Si tal presin es la atmosfrica nor- mal al nivel del mar (1,033 kg/cm'z), la pre- sin manomtrica en A set 3.850 - 1.033 : 2,817 kg/cm2. La lectura baromtrica ms corriente equivale a una presin de 1,014 kglcm2, con lo que la presin manomtrica obtenida sera 3,850 - 1,0t4 : 2,836kglcm2 lmanl. bt h--: hu, - 13'57 x o'60 = ,0.r, -den. rel. aceite 0.750 IPRESIONES." Or'".tl- 2 836 man -0 544 man 0.561 man rl-+ o.t o6 Cero abtoluto ('aco total ) 385abP atms reinante = I.014 | 031 ab Fie. l-6 f cero bs ,/ -1.033 man o t, - 1.014 man
  21. 21. t2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1 Sea .B un punto a una presin absoluta de 0,47 kglcm2. Este valor viene representado grficamente por de- bajo de la presin atmosfrica normal 1,033 kg/cm2 y la presin manomtrica para B ser 0,470 - 1,033 : -0,563 kglcm2 (man). Si la presin atmosfrica reinante es de 1,014 kglcm2,la presin manomtrica para este valor ser 0,470 - 1,014 : -0J4 kglcm2 (man). Sea C un punto a una presin absoluta igual a cero. Esta condicin es equivalente a una presin manom- trica negativa de - 1,033 kglcm2 y a una presin manomtrica, representativa del valor ms corrien- te, de -1,014 kg/cm2. Las conclusiones que se pueden sacar son importantes. Las presiones manomtricas negativas no pueden exceder de un lmite terico de la presin manomtrica reinante o del valor normal de -1,033 kglcm2. Las pre- siones absolutas no pueden tomar valores negativos. *ZO. Con referencia a la Fig. 1-7, las reas del pistn.4 y del cilindro .B son, respectivamente, de 40 y 4000 cm2 y .B pesa 4000 kg. Los depsitos y las conducciones de conexin estn llenos de aceite de densidad relativa 0,750. Cul es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se des- precia el peso de A? Solucin: Se determina primero la presin que acta so- bre L Como Xt ! Xn estn al mismo nivel en la mis- ma masa de liouido. se tiene presin en X" en kglcm' : presin bajo A * presin debida a los 5 m de aceite : Fig. r-7 presin en X^ en kglcm2 peso de -B rea de B Sustituyendo, wh 4000 ke ' 104 4000 cm2 kglcm2 : 1,0 kglcm2 po : 0,625 kglcm2 Fuerza p : presin uniforme x rea : 0,625 kglcn2 x 40 cm2 : 25,0 kg. *Zt. Determinar la presin manomtrica en A enkgfcm2 debida a la columna de mercurio (den. rel. 13.57) en el manmetro en U mostrado en la Fisura 1-8. Solucin: .B y C estn al mismo nivel y en el mismo lquido, el mercurio; por tanto, podemos igualar las presiones en B y C en kgfm2 (man). Presin en B: presin en C pt * wh (para el agua) : po + wh (para el mercurio) p,{ + 1000(3,60 - 3,00) : 0 + (13,57 x 1000)(3,80 - 3,00) Al despejar, po: 10.256kelm'y p): 10.2561104 : l,0256kglcm2 (man). Otro procedimiento de resolucin consiste en emplear las al- turas de presin en metros de agua, lo que conduce por lo general a menos operaciones aritmticas, como se ve a continuacin: Altura de presin en -B : altura de presin en C p,tlw -l 0,60 m de agua : 0,80 x 13,57 m de agua Al despejar p,clw : 10,256 m de agua y pi: (1000 x 10,256)1104 : _3,80 m _3,60 rn Fig. l-8 1,0256 kglcm2 (man), como antes.
  22. 22. CAP * 22. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 13 Aceite de densidad relativa 0,750 est fluyendo a travs de la boquilla mostrada en la Fig. 1-9 y desequilibra la columna de mercurio del manmetro en U. Determinar el valor de si la presin en ,4 es de 1,40 kglcm2. Solucin: Presin en 8: presin en C o,alutilizarcomounidadkg/cm2, o; * #(aceite) : p; + *4 (-...u.io) ,,oo * (o't5o " 1000X0,82s + ) (13,57 x 1000)fr 104 h: l,l4 m Ofro mtodo: Al utilizar ahora como unidad la altura de presin en m de agua, Altura de presin en .B : altura de presin en C 104 !H# - (0,825 - h)o,7so: t3,s7h y h: l,l4 m, como antes 3,00 m Lquido I Fig.1-9 Fig. 1-10 X 23. Para una presin manomtrica en A de -0,11 kgfcm2, encontrar la densidad relativa (Dr) del lquido manomtrico .B de la Figura 1-!0. 3,15 m Presin "" 9: presin en D P'a-wn:oo -0,11 x 104 + (1,60 x 1000)0,45 : po: -380 kglm2 Solucin: o, en kg/m2, Ahora bien, po: pn: -380 kglm2, ya que el peso de los 0,68 m de aire pueden despreciarse sin error apreciable. Adems pt : pp: 0 en kg/m2 (man). Por tanto, presin en G : presin en E - presin de (3,38 - 3,00) m del lquido manomtrico pe : pn - (Dr x 1000X3,38 - 3,00) -380 : 0 - (Dr x 1000)0,38 y Dr : 1,00
  23. 23. 14 PRoPIEDADES DE LoS FLUIDoS * Zl. Para una lectura manomtrica en A de -0,18 kgfcm2, determinar (c) la elevacin en las ramas abiertas de los piezmetros -8, F y G y () la lec- tura del manmetro en U de mercurio de la Fi- gura 1-11. Solucin: (a) Como el peso especfico del aire (aproximada- mente 1,28 kg/mt) es muy pequeo comparado con el de los lquidos, la presin en la elevacin de 15 m puede considerarse igual a -0,18 kglcm2 sin introducir error aoreciable en los clculos. Para la columna E: Supuesta la elevacin de Z, como la mos- trada, se tiene en kg/m2 (man) Por tanto, [cAP. 1 Pr: Pt Ps*wh:0 o bien -0,18 x 104 + (0,700 x 1000) : 0 y h:2,57 m. De aqu, la elevacin de Z ser 15,00 - 2,57 : 12,43 m. Fig. l-ll Para la columna F: Presin en El. 12 m : presin en El. 15 m * presin del lquido de Dr 0,700 : -0,18 + (0,700x1000X15-12) : 0,03 kglcm2 104 que debe ser igual a la presin en M. Por tanto, la altura de presin en M serqrffiq : 0.30 m de aglua, y la columna -F ascender 0,30 m por encima de M o bien la elevacin en N es igual a 12,30 m. Para la columna G: Presin en El. 8 : presin en El. 12 m + presin de 4 m de agua o bien, po:0.03. f%# :0.43 kstcmz que debe ser igual a la presin en R. Por tanto, la altura de presin en R ser *i## : 2,69 m del lquido y la columna G ascender 2,69 m sobre R o hasta una elevacin de 10,69 m en Q. (b) Para el manmetro de tubo en U, al utilizar como unidades metros de agua, altura de presin en D: altura de presin en C. 13,57h1: altura de presin en El. de 12 m * altura de presin de 8 m de agua r3,s7h:0,30+8,00 de donde ht : 0,61 m.
  24. 24. cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS k ZS. Un manmetro diferencial est unido a dos secciones rectas A y B de una tubera horizon':al por la que circula agua. La lectura en el manmetro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel ms cer- cano a A elms bajo. Calcular la diferencia de presiones entre Ay B enkglcm2. Vase la Figura 1-12. Solucin: Nota'. Un croquis o dibujo ayrtdaa esclarecer el anlisis de todos los problemas y a reducir las equivoca- ciones. Aun un simple diagrama de una lnea puede servir. Altura de presin en C: altura de presin en D o, al utilizar como unidad el m de agua, p,tlw- t:lpolw -(t + 0,60)] + 13,57(0,60) De aqu, p,s,lw - palw: diferencia en alturas de presin :0,60(13,57 - 1): 7,54 m de agua y p^ - ph: 0,54 x 1000)/104 : 0,754 kslcm2. Si (pi - p")furra negativa, la interpretacin correcta del signo sera que la presin en I era 0,754kglcm2 mayor que la presin en l. Los manmetros J.iferenciales deben ser purgados del aire de todos los tubos antes de tomar lecturas. 4,50 m 3,60 m 3,00 m Fig. l-12 X 26. Se quiere medir la prdida de carga a travs del dispositivo X mediante un manmetro diferencial cuyo lquido manomtrico tiene una densidad relativa de 0,750. El lquido que circula tiene una densidad relativa de 1,50. Hallar la cada en altura de presin entre A y B a partir de la lectura ma- nomtrica en el aceite, mostrada en la Figura l-I3. Solucin: Presin en C en kglm2 : presin en D en kg/m2 p" - (1,50 x 1000)0,60 - (0,750 x 1000)0,90 : p.c - (1,50 x 1000)3,30 De aqui,po - pn : 3375 kglm2 y la diferencia en alturas de presin :34: : , =="", -.= : 2,25 mde ]quido. ru 1.50 x 1000 Otro mtodo: Al utilizar como unidad el m de lquido (Dr : 1,50), 15 altura de presin en C: altura de presin en D D- nzs910;10:pn__11o!" - 0.60 - -= r.r0 w De aqu, p,tlw - pnlw : diferencia en alturas de presin : 2,25 m de lquido, como antes.
  25. 25. 16 27. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. 1 y,B contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kglcmz. Cul es manmetro diferencial de mercurio, mostrado en la Figura 1-I4? Altura de presin en C : altura de presin en D 2.80 x lOa 1.40 x lOa ff -t x-r h - y + 13.57h (en m de agua) Los recipientes I la lectura en el Solucin: Ordenando,(104/1000X2,80-1,40)lxry:(13,57-l)h.Alsustituirx+y:2,00mydespejarseob- tiene:7,2'7m. El lector habr observado que empleando como unidades el kg/m2 o el kg/cm2 se hacen ms operacrones aritmticas, pero como la probabilidad de cometer errores de concepto es menor se recomienda el uso de tales unidades en lugar de las alturas de presin. 3.00 m Fig. l-14 Fis. l-15 28. La altura de presin al nivel A-A es de 0,09 m de agua y los pesos especficos del gas y del aire son, respectivamente,0,560 y I,260 kg/mt. Determinar la lectura en el manlnetro de agua de tubo en [J, que mide la presin del gas al nivel -8, segn se muestra en la Figura 1-15. Solucin: Se supone que tanto el peso especfico del aire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de dife- rencia en elevacin. Como los pesos especficos del gas y del aire son del mismo orden de magnitud, debe tener- se en cuenta el cambio en la presin atmosfrica con la altitud. Se utilizarn presiones absolutas. (absoluta) p. : (absoluta) p Gg/m') (atmosfrica) p + 1000h : (absoluta) p; - 0,560 x 90 (A) Se calcula ahora la presin absoluta en A et funcin de la presin atmosfrica en E, obteniendo primero la presin atmosfrica en -F y hego pn. (absoluta)pr: [(atmos.) p"+ 1,260(h + 90 - 0,09)] + 0,09 x 1000 (lkelm2) Sustituyendo este valor en (A), eliminando p6 y despreciando los trminos muy pequeos, se obtiene 1000 : 90(1,260 - 0,560) + 0,09(1000) y h: 0,153 m de agua
  26. 26. cAP. ll PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 29. Cul es la presin en el ocano a una profundidad de 1500 m, suponiendo (a) que el agua salada es incompresible y () el agua del mar es compresible y tiene un peso especfico en la superficie de 1025 kglm3? E : 2l:000 kglcm2 (constanre). Solucin: (a) Presin p : wh: 1025 x 1500 : 15,375 x 10s kg/m2 (man). (b) Como la masa no vara al comprimirla ni su peso, dW : 0; de aqu dW:d(wu):wdu+udw:O o dulu:-dwlw (A) De las ecuaciones (10) y (12), dp: -wdh Y dulu: -dplE. Sustituyendo en (A), l7 dplE : dwlw Integrando, p : E lo&' w 1- C. En la superficie, p : po, p:Elog"tD*po-Elog"wo (B) E log" wo y Poniendo dp: -*dh en (B), #:4! o dh: h: Elw + Ct w:oi de aqu, C:P"- (p-p,):Elog"(wlw") Edw - 1 ' Integrando, 1032,6 kglml (c) (D) (A) (r) En la superficie, h:0, w : ro; entonces, Ct: -Elw., h : (Elw - Elw") y, por tanto, woE (1025X21.000 x 104) ":*"n+r:(l025x-|500)+(2l.000'10n): recordando que /z es positiva hacia arriba y dando E en kglm2 p : (2r.000 x 104) lo& (1032,611025): 15,4'76 x 10s kg/m2 (man) 30. Calcular la presin baromtrica en kgfcm2 a una altitud de 1200 m si la presin al nivel del mar es de 1,033 kglcm2. Supnganse condiciones isotrmicas a 21" C. Solucin: El peso especfico del aire dp: Integrando (A),1og" p: -0,000116h + C, donde C es la constante de integracin. ParacalcularC:cuandoh:0,p:l,033xl}akglm2(ab).Deaqu,C:log"(1,033x104) log" p: -0,000116 + log" (1,033 x 104) o 0,000116h: lop," (1,033 x 104/p) Pasando (B) a logaritmos decimales 2,3026 los (1,033 x roalfl :0,0001/6(1200), log (1,033 x lalp):0,06045, 1,033 x lalp: antilog 0,06045 :1,14935 1.033 x lOa de la cual p : ffi: 9.0 x 103 kg/'m2 : 0.90 kg7cm2. 31. Deducir la expresin general que da la relacin entre la presin y la elevacin, cuando las condi- ciones son isotrmicas, mediante dp : -w dh. Solucin: Para condiciones isotrmicas, la ecuaci" +: f+ ," transforma "n P- -- b o * - *oLlDr wolo lD wo Po por tanto. d = -dp = -2t ,4?. Intesrando. f^ an = -!t f' 42 v , ,: o",.*'n- ho = --(log"p- togep"l = t *;ltog"po- togeu = ;lo9" p En realidad, la temperatura de la atmsfera disminuye con la altitud. De aqu, que una solucin exacta re- quiera el conocimiento de las variaciones de la temperatura con la altitud para utilizar la ley de los gases nlwT : constante. a2l"Cesr': P 29,3(273 + 2D' Por tanto' de la ecuacin (10)' -.. ),- P ,,. o o, : _0,000116 dh- w an : 2ieg4rdn p
  27. 27. l8 32. Desarrollar una expresin que rela- cione la presin manomtrica p que reina en el interior de una gota de lqui- do y la tensin superficial o. Solucin: La tensin superfrcial que acta sobre la superficie de una gota de lquido da lugar a que la presin en el interior de la gota sea superior a la presin exterior. La Fig. 1-16 muestra las fuerzas que producen el equilibrio en la direccin X de media gota de dimetro d. Las ftezas o dL se deben a la tensin superficial que acta sobre el permetro y las fuerzas dP, son las componentes en la direccin X de las fuer- zas p dA (vase Captulo 2). Por tanto, de 2X :0. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS +- dP, - dP. [cAP. 1 dP, odL odL odL odL 33. 34. Fig. l-16 le fuerzas hacia la derecha : suma de fuerzas hacia la izquierda oldL:!dP, tensin superficial x permetro : presin x proyeccin del rea o(nd) : p(:nd2l4) o p : 4old en kg/m2 (man). Las unidades de la tensin superficial son kg/m. Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presin. Una pequea gota de agua a 27" C est en contacto con el aire y tiene un dimetro de 0,50 mm. Si la presin en el interior de la gota es 5,80 x t0-3 kglcmz mayor que la atmosfrica, cul es el valor de la tensin superficial? solucin: o: lpd: +(58) kgfm2 x (0,5 x 10-3) m:0,029 kg/m Calcular la altura aproximada a la que ascender un lquido que moja el vidrio en un tubo capilar en contacto con la atmsfera. Solucin: La elevacin en un tubo de dimetro pequeo puede calcularse aproximadamente considerando como cuer- po libre la masa de lquido ABCD qlue se muestra en la Figura 1-17. Como EI debe ser igual a cero, se obtiene componentes verticales de las fuerzas debidas a la tensin superficial - peso del volumen ABCD hacia abajo * fuerza de la presin sobre l.B hacia arriba - fierza de la presin sobre CD hacia abajo : 0. + (o ! dL) sen d - w(nd2l4 x h) + p(rea AB) - p(rea CD):0 Se ve que las presiones en los niveles lB y CD son iguales ambas a la atmosfrica. Por tan- to, los dos ltimos trminos del primer miem- bro se anulan entre s y, como o I dL : o(nd), se obtiene en metros Para un mojado total, como ocurre con el agua en contacto con vidrio muy limpio, el n- gulo c es prcticamente 90". No puede garanti- zarse una mayor aproximacin. En los trabajos experimentales, para etar errores de consideracin debidos a la capilari- dad deben utilizarse tubos de dimetro de apro- ximadamente l0 mm o mayores. sdLo d.L , 4osena n: *
  28. 28. cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 35. Calcular la altura a la que ascender en un tubo capilar, de 3,00 mm de dimetro, aguia a 21" C. Solucin: De la Tabla I(C), o : 0,00740 kg/m. Suponiendo un ngulo c : 90', supuesto el tubo limpio, t9 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 4. 45. . 4o 4 x 0.00740 ke/m h: ,: ffi:0,00ee m:9,90 mm. Problemas propuestos Si la densidad de un lquido es de 85 UTM/m3, determinar su peso especfico y su densidad relativa. Sol. 834 kg/m3, 0,834 Comprobar los valores de la densidad y del peso especfico del aire a 30'C dados en la Tabla l(,8). Comprobar los valores de los pesos especflcos del anhdrido carbnico y del nitrgeno dados en la Tabla 1(l). A qu presin tendr el aire un peso especfico de 1,910 kg/m3 si la temperatura es de 50' C? Sol. 1,80 kg/cm'z (ab) Dos metros cbicos de aire, inicialmente a la presin atmosfrica, se comprimen hasta ocupar 0,500 m3. para una compresin isotrmica, cul es la presin final? Sol. 4,132 kglcm2 (ab En el problema precedente, cul ser la presin final si no hay prdidas de calor durante la compresin? Sol. 7,20 kglcm2 (ab) Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg seg/m2 si en poises es igual a 0,0158. Sol. 1,61 x 10-a kg seg/m2 Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, cul es la viscosidad en el sistema kg-m-seg? Sol. 5,210 kg seg/m2 Qu valores tienen las viscosidades absoluta y cinemtica en el sistema tcnico de unidades (kg-m-seg) de un aceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 seg y una densidad relativa de 0,932? Sol. 315 x 10-s y 33,3 x 10-6 Dos superficies planas de grandes dimensiones estn separadas 25 mm y el espacio entre ellas est lleno con un lquido cuya viscosidad absoluta es 0,10 kg s9g/m2. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, qu fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dm2 de rea a la velocidad constante de 32 cmlseg si la placa dista 8 mm de una de las superficies? Soi. 2,35 kg 46. El depsito de la Fig. 1-18 contiene un aceite de densidad relativa 0.75C. Determinar la lectura del manmetro A en kglcm2. Sol. -8,71 x 10-2 kg/cm2 (man) Un depsito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0,750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presin manomtrica en el fondo del depsito es de 3,00 kglcm2, cul ser la lectura manomtrica en la parte superior del depsito? Sot. 1,860 kg/cm, (man) Con referencia a la Fig. 1-19, el punto I est 53 cm por debajo de la superficie libre del lquido, de densidad re- lativa 1,25, en el recipiente. Cul es la presin manomtrica en I si el mercurio asciende 34,30 cm en el tubo? So/. -0,40 kglcm2 (man) 23 cm T 13,57 47. 48. Fig. l-18 Fig. l-19
  29. 29. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1 t49. Con referencia a la Fig. 1-20 y despreciando el rozamiento entre el pistn I y el cilindro que contiene el gas, determinar la presin manomtrica en ,B en cm de agua. Supnga- se que el gas y el aire tienen pesos especficos constantes e iguales, respectivamente, a 0,560 y 1,200 kg/m3. So/. 60.60 cm de asua 50. Los recipientes A y B, que contienen aceite y glicerina de densidades relativas 0,780 y 1,250, respectivamente, estn conectados me- diante un manmetro dilerencial. El mercu- rio del manmetro est a una elevacin de 50 cm en el lado de A y a una elevacin de 35 cm en el lado de.B. Si la cota de la super- ficie libre de la glicerina en el depsito B es de 6,40 m, a qu cota est la superficie libre del aceite en el recipiente ,4? Sol. Cota 7.60 m 51. Un depsito A, a una elevacin de 2,50 m, contiene agua a una presin de 1,05 kglcm2. Otro depsito B, a wa elevacin de 3,70 m, contiene un lquido a una presin de 0,70 kglcmz. Si la lectura de un manmetro diferencial es de 30 cm de mercurio, estando la parte ms baja en el lado de A y a una cota de 30 cm, determinar la densidad relativa del lquido contenido en B. Sol. 0,525 52. El aire del recipiente de la izquierda de la Fig. 1-21 est a una presin de -23 cm de mercurio. Determinar la cota del lquido manomtrico en la parte derecha, en l. So/. Elevacin 26.30 m 53. Los compartimientos B y C de la Fig. 1-22 estn cerrados y lle- nos de aire. La lectura baromtrica es 1,020 kg/cm2. Cuando los manmetros A y D marcan las lecturas indicadas, qu valor ten- dr x en el manmetro .E de mercurio? Sol. 1,80 m X 54. El cilindro y el tubo mostrados en la Fig. 1-23 contienen aceite de densidad relativa 0,902. Para una lectura manomtrica de 2,20 kglcm2, cul es el peso total del pistn y la placa W? Sol. 60.100 kg 0,20 kg/cm'z Fig. 20 3m Aire Aire Acelte Dr 0,80 i 5m _A 33,5 m l_ 25 cm t- I Y -I_ I A rre FiE.l-22 Fig. l-23
  30. 30. 2lrl PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Con referencia a la Fig. l-24, qu presin manomtrica de I har que la glicerina suba hasta el nivel B? Los pesos especficos del aceite y glicerina son 832 y 1250 kglm3, respectivamente. Sol. 0,35 kg/cm2 Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidrulico. Si en el pistn actria una presin de 12 kg/cm2 y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0,810, qu di- metro se requiere? So/. 32,60 cm Si el peso especfico de la glicerina es 1260 kg/m3, qu presin de succin se requerir para elevar la glicerina 22 cm en un tubo de 12,50 mm de dimetro? Sol. -277 kglm2 Cul es el valor de la presin interior en una gota de lluvia de 1,50 mm de dimetro si la temperatura es de 21. C? Sol. 19,70 kglm2 (man) Fig. l-24
  31. 31. Fuerzas hidrostticas sobre las superficies Capitulo 2 INTRODUCCION El ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder disear satisfac- toriamente las estructuras que los contienen. En este captulo se evaluarn las tres caractersticas de las fuerzas hidrostticas, a saber: mdulo, direccin y sentido. Adems se determinar tambin la locali- zacin de la fuerza. FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANA La fuerza P ejercida por un lquido sobre un rea plana I es igual al producto del peso especfico ru del lquido por la profundidad h,ndel centro de gravedad de la superficie y por el rea de la misma. La ecuacin es 't P : D h"nA , kg:kg/mtxmxm2 Se observa que el producto del peso especfico ru por la profundidad del centro de gravedad de la super- ficie es igual a la presin en el centro de gravedad del rea. La lnea de accin de la fuerza pasa por el centro de presin, que se localiza mediante la frmula I I";, lU,t' : A - U,s '. llco ^ donde do es el momento de inercia del rea respecto de un eje que pasa por su centro de gravedad. Las distanciai y se miden a lo largo del plano y a partir de un eje determinado por la interseccin del plano que contiene la superficie y de la superficie libre del lquido. La componente horizontal de la fuerza hidrosttica sobre una superficie cualquiera (plana o irre- gular) es igual a la fuerza normal sobre la proyeccin vertical de la superficie.La componente pasa por el centro de presin de la proyeccin vertical. La componente uertical de la fuerza hidrosttica sobre cualquier superficie (plana o irregular) es igual al peso del lquido situado sobre el rea, real o imaginario.Laftterza pasa por el centro de grave- dad del volumen. TENSION CIRCUNFERENCIAL O TANGENCIAL siendo las unidades La tensin circunferencial o tangencial a presin interna. Para cilindros de pared (kg/cm2) se origina en las paredes de un cilindro sometido delgada (t < 0,ld), presin p' (kg/cm2) x radio r (cm) I ? espesor / (cm) (1) z) Tensin o (kglcm2 : 22
  32. 32. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 23 TENSION LONGITUDINAL EN CILINDROS DE PARED DELGADA La tensin longitudinal (kg/cm2) en un cilindro de pared delgada cerrado por los extremos es igual a la mitad de la tensin circunferencial. Problemas resueltos 1. Desarrollar (a) la ecuacin que da la fuerza hidrosttica que acta sobre un fuea plana y () locali- zat la fuerza. Solucin: (a) La traza l8 representa un rea plana cualquiera sobre la que actrla un fluido y que forma el ngulo 0 con la horizontal,tomo se muestra en la Fig.2-1. Se considera un rea elemental de forma quertodas sus par- tculas estiin situadas a la misma distancia ft por debajo de la superficie libre del lquido. En la figura viene representada por la banda con rayado inclinado, y la presin sobre esta rea es uniforme. Por tanto, la fuer- za que acta sobre esta ea dA es igual al producto de la presin p por el rea dA o bien dp : pd.A = wtclA Sumando todas las fuerzas elementales y considerando que i -- y sen 0, P = (ruhdA = (utesene)dA JJ : (z.sen e) (udA - (utssno)y",A J donde r y 0 son constantes y, por esitica, I y dA -- l"l. Como h"n : y"s sen 0, P : u;h"sA (r) ela,q"Ub Fig.2-l @' 1'* & clc ' u +.-- o L
  33. 33. 24 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 (2 Se observa que la posicin del centro de presin est siempre por'debajo del centro de gravedad de la , superficie o bien (y", - !"g) es siempre positivo ya que 1"n es esencialmente positivo. 2. Situar lateralmente la posicin del centro de presin. Referirse a la Figura 2-1. Solucin: Si bien, en general, no se requiere conocer la posicin lateral del centro de presin, en algunas ocasiones es necesaria dicha informacin. Utilizando el dibujo del problema precedente, el rea elemental dA est ahora for- mada por (dx dy) de forma que para los momentos puede tomarse la distancia x convenientemente. Tomando momentos respecto de un eje IrIr, pt:"p = f Ue"l Al utilizar los valores obtenidos en el Problema I anterror, (b) Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos como en esttica. El eje OX se escoge como la intersec- cin del plano que contiene la superficie con la superficie libre del agua. Todas las distancias y se miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por l"p, que mide la distancia al centro de presin. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto del eje OX: al momento de la fuerza resultante, se obtiene f taf '' !t) = P w !J'P I Pero dP : wh dA : {r(/ sen Q)dA y P : (w sen O)y"oA. De aqu, (,u sen a) ( u' dA = (r' sen 0)(lJ"! AllJ.p t- Como J y2 dA es el momento de inercia del rea plana respecto del e1e OX, I. , u.,, A"cA En forma ms conveniente, a partir del teorema de Steiner, I.T ll"qA (u.th,oA)t", -= .f [email protected]* d.y)t: = -f u,h(dx dy)x (uL sen e)(u",A)/.r = (ru sen a) .f [email protected] clg) ya que lr : / sen 0. La integral representa el producto de inercia del rea plana respecto de los ejes X e I selec- cionados, representado por 1,u. Por tanto, (3) u.) I,I !,1, u A /IA ^ cq !'l "s ^ St uno u oTro de los ejes centroidales fuera un eje de simetra del rea plana, I*, sera nulo y la posicin lateral del ientro de presin estara sobre el eje I que pasa a travs del centro de gravedad (no se muestra en la figura). Obsrvese que el producto de inercia respecto de un sistema de ejes que pasan por el centro de gravedad, (1,r)"r, puede ser positivo o negativo, de forma que la posicin lateral del centro de presin puede caer a uno u oto lado del eje centroidal 7.
  34. 34. CAP. 2] FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 25 V . Determinar la fteruaresultante P debida a la accin del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m x 2 m que se muestra en la Figura 2-2. Solucirfur: P: wh"eA: (1000 kg/m') x (1,20 + 1,00) m x (l x'2) m':4400 kg Esta fuerza acta sobre el centro de presin. que est a undistanciay"odeleje Ory es igual a v,,: I:o. + v", -- ^tgII^ + 2.20 :2.352 m de o,JcP l,oA '"n 2,20(1 x 2) -'-- . Determinar la fuerza resultante debida a la accin del agua sobre el rea rectangular CD de 1,20 m x 1,80 m mostrada en la Fig. 2-2. C es un vrtice del tringulo. Solucin: q6'2+ PcD : 1000(l + !,x 0J07 x 1,8)(i x r,2 x t,g : y.0l ue - Esta fuerza acta a una distancia y.o del eje O2,estando medida esta ditancia sobre el plano al que perte- nece ef rea CD. ,",: -_,- _1_',',1'l''1',! - + -$l : 0.07 + 2.61:2.68 m der e1e o, (1,8s10,707)G x 1,2 x 1,8) 0,707 1,2 m Fis.2-2 Fig.2-3 .l S. El agua alcanza el nivel .E en la tubera unida al depsito ABCD que se muestra en la Fig. 2-3. Des- preciando el peso del depsito y de la tubera de elevacin, (a) determinar y situar la fuerza resul- tante que acta sobre el rea AB de 2,40'm de anchura, (b) la fuerza total sobre el fondo del depsi- to y (c) comperar el peso total del agua con la resultante obtenida en () y explicar la diferencia. Solucin: (a) La profundidad del centro de gravedad del rea,4.B, respecto de la superficie libre del agua en d es de 4,50 m. Por tanto, P : whA : 1000(3,60 + 0,90X1,80 x 2,40 : 19.440 kg, que acta a la distancia 2,4(r,83)112 v"e: 4,si;A + 4.s : 4.56 m de o La presin en el fondo 8C es uniforme; por consiguiente, la fterza P : pA : (wh)A: 1000(5,40X6 x 2,40:77.760 kc El peso total del agua es W:1000(6 x 1,8 x 2,4 + 3,6 x 0,10) :26.280 ke. (b) (c)
  35. 35. 26 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 El cuerpo libre constituido por la parte inferior del depsito (cortado por un plano horizontal justamente encima del nivel BC) pondr de manifiesto una fuerza, dirigida hacia abajo, sobre el rea BC de77.760 kg, fuerza vertical de traccin sobre las paredes del depsito y fterza de reaccin sobre el plano soporte. La reaccin ha de ser igual al peso total del agua, es dectr,26.280 kg. La traccin en las paredes del depsito es producida por la fuerza vertical, dirigida hacia arriba, que acta sobre Ia parte superior AD del depsito, que es igual Poo: (wh)A: 1000(3,6X14,4 - 0,1): 51.480 kg hacia arriba Se ha aclarado as una aparente paradoja, pues para el cuerpo libre considerado, la suma de las fuerzas ver- ticales es igual a cero, es decir, con lo que se satisface la condicin 77.760 - 26.280 - 51.480 : 0 de equilibrio. -T 1,80 m J l. 6. La compuerfa AB de la Fig. 2-4(a) tiene 1,20 m de anchura y est articulada en A. La lecfura ma- nomtrica en G es -0,15 kglcm2 y el aceite que ocupa el depsito de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750. Qu fuerza horizontal debe aplicarse en -B para que la compuerta AB se manten- ga en equilibrio? Fig.2-4(o) Fig.2-4(b) Solucin: Deben calcularse el valor de las fuerzas debidas a la accin de los lquidos y su posicin. Para el lado derecho, x 1,2) : 1460 kg hacia la izquierda 0,9 : 1,20 m de A Se observa que la presin que acta sobre la parte derecha de la compuerta AB rectangular vara linealmen- te desde una presin manomtrica nula hasta el valor que corresponde a los 1,80 m de aceite Qt : wh es una ecua- cin lineal). El diagrama de cargas ABC pone de manifiesto este hecho. Solo para el caso de reas rectangulares, el centro de gravedad de este diagrama de cargas coincide con el centro de presin. El centro de gravedad est localizado a (213)(1,8) : 1,2 m de l, como ya se ha obtenido. Para el lado izquierdo, es necesario convertir la presin negativa, debida al aire, en su equivalente en me- tros de agua. h: 0,15 x 104 kg/m2 - 1,50 m 1000 kg/m3 Esta altura de presin negativa es equivalente a un descenso del nivel del agua de 1,50 m. Es til y conve- niente el empleo de una superficie de agua imaginaria (IWS: Imaginary Water Surface) 1,50 m por debajo de ta superficie real y resolver el problema por aplicacin directa de las ecuaciones fundamentales. As, P"e : 1000(2,1 + 0,9X1,8 x 1,2):6480 kg, que acta hacia la derecha sobre el centro de Paraelrearectangularsumergida,!"p:#f:#+3:3,0gmdeoobienelcentrodepresinesta (3,09 - 2,r0) : 0,99 m de A. En la Fig. 2-4(b) se muestra el diagrama del cuerpo libre de la compuerta AB con las fuerzas actuantes. La suma de momentos respecto de I debe ser igual a cero. Tomando como positivo el giro de las agujas del reloj, A y acta en P^" : wh"nA : (0,750 x 1000)(0,9)(1,8 r,2(1,83l12 rcP 0.9(1,2 x 1,8) Agua / + 1460 x 1,2 + 1,8F - 6480 x 0,99 : 0 F:2590 kg hacia la izquierda
  36. 36. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES ) 7. El depsito de la Fig. 2-5 contiene aceite y agua. Encontrar la ' fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1,20 m de anchura. Solucin: La fuerza total sobre ABC es igual a (P,n" * P"r). Hay que en- contrar cada una de las fuerzas, situar su posicin y, aplicando el prin- cipio de los momentos, hallar la posicin de la fuerza total resultante sobre la pared ABC. (a) P,{u : (0,800 x 1000X1,5X3 x 1,2) : 4320 kg, que acta en el punto (2/3X3) mde A, o sea,2 m por debajo. Puede obtenerse este mismo aplicando la frmula conocida, como sigue: r,2Q3)l12 !"0: ffifr + 1,5 : o,s + 1,5 -- 2,oo m de A (b) El agua acta sobre la cara BC y la accin del lquido superior puede tenerse en cuenta por la altura o profundidad de agua equivalente. Se emplea en este segundo clculo la superficie de agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambio de los 3 m de aceite en los 0,800 x 3 :2,40 m de agua. Por tanto, 27 IW ISo.m _T 2,4 m -l- Pc : 1000(2,4 + 0;9)(1,8 x 1,2) :7128 kg, que acta r,2(r,83)112 Y"o:ffi)+3'3:,3'38 m de o o bien Fis.2-5 en el centro de presin 0,6 + 3,38 : 3,98 m de ,4 La fuerza resultante total : 4320 + 7128 : 11.448 kg, que acta en el centro de presin que corresponde alrea total. El momento de esta resultante : la suma de los momentos de las dos fuerzas parciales anteriores. Tomando momentos respecto de ,4, Y,p: 3,23 m de A11.448 Y,e:4320 x2+7128 x3,98 e Pueden emplearse para estos clculos otros mtodos, pero el presentado aqu reduce los errores tanto en el planteamiento como en los clculos * g. En la Fig. 2-6la compuerta ABC est articulada en .B y tiene I,2 m de longitud. Despreciando el peso de la compuerta, determinar el momento no equilibrado debido a la accin del agua sobre la compuerta. Solucin: Po: 1000(1,25X2,88 x 1,2):4325kg, que acta a l(2'88) : 1,92 m de A. Psc: 1000(2,5)(l x 1,2):3000 kg, que acta sobre el centro de gravedad de BC, ya que la presin es uniforme sobre.BC. Toman- de momentos respecto de B (positivo el sentido de giro de las agujas de un reloj), Momento no equilibrado : +4325 x 0,96 - 3000 x 0,50 : +2650 m kg (sentido de las agujas del reloi) 9. Determinar la fuerza resultante debida a la accin del agua sobre la en la Fig. 2-7(a) y situar el centro de presin en las direcciones x e Solucin: Se considra la superficie dividida en un tringulo y un rectngulo. La fterza total que acta es igual a la suma de la fuerza P, que acta sobre el rectngulo ms la P, que acta sobre el tringulo. (a Pr : 1000(1,2)(2,4 x 1,2) : 3456 kg, que act'6a a 3Q,4): 1,60 m por debajo de la superficie XX' P, : 1000(3Xj x 1,8 x I,2) : 3240kg, que acta & t"o : r,2(r,83)p6 + 3 : 3,06 m por debajo de XX. momentos respecto de XX, 3(]x1,2x1,8) La fuerza resultante P :3456 + 3240 : 6696 kg. Tomando Fig.2-6 superflcie vertical mostrada t, t 3m I Aceite Pr 0,80 - 6696 Y"" : 3456(1,6) + 3240(3,06) e Y"o : 2,31 m por debajo de XX
  37. 37. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 () Paralocalizar el centro de presin en Ia direccin X (cosa necesaria raras veces) se utiliza el principio de los momentos, despus de conocer xt y xz para el rec- tngulo y el tringulo. respectivamente. Para el rectngulo, el centro de presin de cada banda elemental horizontal de rea dA est a 0,6 m del eje YY; por tanto, el centro de presin del rea to- tal del rectngulo est tambin a 0,6 m de dicho eje. Para el tringulo, cad,a rea elemental dA ttene su propio centro de presin en el centro de la banda; por consiguiente, la mediana contiene a to- dos estos centros de presin, y el cen- tro de presin del tringulo completo puede calcularse ahora. Con referencia a la Fig. 2-1(b), por tringulos seme- jantes, xrl0,6 : 1,1411,8, de la cual rz : 0,38 m de fll. Tomando mo- mentos. Fis.2-7(a) Fig.2-7() 6696 X"e: 3456(0,) + 3240(0,38) Y X,p:0,494 m del eje lI Puede utilizarse otro mtodo para situar el centro de presin. En lugar de dividir el rea en dos partes, se calcula la posicin del centro de gravedad del rea total. Mediante el teorema de Steiner, se determina el mo- mento de inercia y el producto de inercia del rea total respecto de los ejes paralelos por el crcntro de gravodad. Entonces se calculan los valores de l"oy x.o mediante las frmulas (2)V @), Problemas I y 2. Generalmente, este otro mtodo no tiene ninguna ventaja en particular y entraa ms operaciones. 10. La compuerta AB de 1,80 m de dimetro de la Fig. 2-8 puede girar alrededor del eje horizontal C, situado 10 cm por deba- jo del centro de gravedad. Hasta qu altura ft puede ascender el agua sin que se produzca un momento no equilibrado res- pecto de C, del sentido de las agujas de un reloj? Solucin: Cuando el centro de presin coincida con el eje C no actuar so- bre la compuerta ningn momento no equilibrado. Calculando la dis- tancia del centro de oesin. 0,6 - 0,6 ,"l r "^ lJtt' . gt'l U"tA d'/64 = - + 11.,, y"uQd'zl4) ftt,84164 : 0,10 m (dado)De aqu, !"p - !,g (h + 0,9)(rr,8214) de donde h: 1.125 m por encima de A. Fig.2-E 11. Con referencia a la Fig.2-9, cul es la anchura mnima b dela base de la presa de gravedad de una altura de 30 m al suponer que la presin hidroslitica ascensional en la base de la presa vara uniformemente desde la altura de presin total en el borde de aguas afflba hasta el valor cero en el borde de aguas abajo, y suponiendo adems un empuje P, debido a una capa de hielo de 18.600 kg por metro lineal de presa y que acta en la parte superior? Para este estudio se supone que las fuer- zas resultantes de la reaccin cortan a la base a un tercio de la base del borde de aguas abajo (en O) y que el peso especfico del material de la presa es 2,50w (ru es el peso especfico del agua). Solucin: En la figura aparecen las componentes I/y V dela reaccin de la cimentacin sobre la presa, que pasan a travs de O. Se considera una longitud de un metro de Dresa y se calculan todas las fuerzas en funcin de ru y . como sisue:
  38. 38. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 29 Pa: w(15)(30 x l) : 450w kg Pv : rea del diagrama de carga : j(30w)(b x 1) : rwb ks Wt:2,50w(6 x 30 x 1) : 450ru kg wz:2,50w1i x 30(-6)l x I : 37,5w(b - 6) ke : Q75wb - 225w) kg P : 18.600 kg, supuestos para el empuje del hielo Para determinar el valor de , en el equilibrio, se toman momen- tos respecto del eje O de estas fuerzas. Considerando como positivos los momentos que producen giros en el sentido de las agujas de un reloj, +sorutf) + swt(r_ +sowQt- 3) - (37,[email protected]) -fl * tt.uoo{ro): o Simplificando y haciendo operaciones, b2 +lb-734,4:0 y b:22,5 m de anchura. * tZ. Determinar y situar las componentes de la fuerza debida a la accin del agua sobre la compuerta de sector AB de la Fig. 2-10 por metro de longitud de compuerta. Solucin: Pn : fierza sobre la proyeccin vertical de CB : w h,nAro : 1000(1X2 x 1):2000 kg, que acta a (213)(2): 1,33 m de C Pn : peso del agua sobre el rea AB: 1000(n2214 x 1) : 3140 kg que pasa por el centro de gravedad del volumen de lquido. El centro de gravedad del cuadrante de un crculo est situado a una distancta de 413 x rf n de cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto, x"p : 413 x 2ln : 0,85 m a la izquierda del radio 8C Nota'. Cada una de las fuerzas elementales dP acta normal a la curva AB y, por tanto, su lnea de accin pasa por el eje C. Lafuerza resultante tambin pasar por C.Para confirmar esta proposicin, se toman mo- mentos respecto de C, como sigue, LMc: -2000 x 1,33 + 3140 x 0,85 : 0 (luego se satisface) Eje de giro Fig.2-r0 Fig. 2-t 1 *ff. El cilindro de la Fig. 2-lI, de 2 m de dimetro, pesa 2500 kg y tiene una longitud de 1,50 m. Determinar las reaceiones en I y B despreciando el rozamiento. Solucin: (a) La reaccin en I es debida a la componente horizontal de la fuerza que el lquido ejerce sobre el cilindro o bien P'' : (0,800 x 1000)(1)(2 x 1,5) : 2400 kg Aceite D Dr 0,800 I dirigida hacia la derecha. Por tanto, la reaccin en,4 es igual a 2400k9 dirigida hacia la izquierda.
  39. 39. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 () La reaccin en -B es igual a la suma algebraica del peso del cilindro y la componente vertical neta de la fuerza debida a la accin del lquido. La accin del lquido sobre la superficie curvada CDB se compone de la fuerza sobre la parte CD, dirigida hacia abajo, y la fuerza sobre DB, dirigida hacia arriba. La com- ponente vertical neta es la suma algebraica de estas dos fuerzas. Hacia arriba P', : peso de lquido (real o imaginario) sobre D.B : 0,800 x 1000 x 1,5(rea del sector DOB + rea del cuadrado DOCEI Hacia abajo Py : 0,800 x 1000 x 1,5(rea rayada DEC) Se observa que el cuadrado DOCE mer'os el rea DEC es igual al cuadrante del crculo DOC,y la com- ponente vertical neta ser (neta) Pn : 0,800 x 1000 x l,5(sectores DOB + DOC hacia ariba : 0,800 x 1000 x 1,5$nl2: 1894 kg hacia arriba Finalmente, E l: 0, 2500 - 1894 - B :0 y B :606 kg hacia arriba En este problema particular la componente hacia ariba (empuje) es igual al peso del lquido despla- zado a la izquierda del plano vertical COB. S'14. Con referenciaalaFig.2-12, determinar las fuerzas horizontal y vertical, debidas a la accin del agua sobre el cilindro de 1,8 m de dimetro, por metro de longitud del mismo. 30 1,272 m F --l-Solucin: (a) (Neta) P" : fteza sobre CDA - fuerza sobre lB. Mediante las proyecciones verticales de CDA y de AB, I r,2 m I PE (CDA) : 1000(1,2 + 0,768)(1,536 x 1) 3023 kg hacia la derecha PH(AB): looo(1,2 + l,4M)(0,264 x l) :687 kg hacia la izquierda (Neta) P,r : 3023 - 687 : 2336 hacia la derecha. (b) (Neta) Py : fuerza hacia arriba sobre DAB -fuerza hacia abajo sobre DC : peso del (volumen DABFED -volumen DCGED. Fis.2-12 El rea rayada (volumen) esLl contenida en cada uno de los volmenes anteriores, estando las fuerzas dirigidas en sentidos contrarios. Por tanto, se equilibran y (neta) P, : peso del volumen DABFGCD Dividiendo este volumen en formas geomtricas convenientes, (neta) Pn : peso de (rectngulo GFJC + tringulo CJB + semicrculo CDAB : 1000(1,2 x 1,272 + | x 1,272 x 1,272 + +n0,9,)$) : 1000(1,5264 + 0,809 + 1,2717): 3600 kg hacia arriba Si se deseara situar esta componente vertical de la resultante, debera aplicarse el principio de los momentos. Cada una de las partes de la resultante de 3600 kg acta a travs del centro de gravedad del.volumen que la ori- gina. Por esttica se determinan los centros de gravedad y puede escribirse la ecuacin de momentos (vanse los Problemas 7 y 9 anteriores) __){:'ii('" I i rQl
  40. 40. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES XfS. En la Fig. 2-l3,wcilindro de 2,4 m de dimetro cierra un agujero rectangular en un depsito de 0,9 m. Con qu fuerza queda presionado el cilindro contra el fondo del depsito por la accin de los 2,7 m de profundidad de agua? Solucin: (Neta) Pn : fuerza hacia abajo sobre CDE - fuerza hacia arriba sobre CA y BE :1000x 0,9[(2,1 x2,4-lnl,22)-2(2,1 x0,162+$n1,22 |x0,6 x 1,038)] : 2500 - 810 : l90 kg hacia abajo Fig.2.13 Fig.2-14 * te . En la Fig. 2-14, el cilindro de 2,4 m de dimetro pesa 250 kg y reposa sobre el fondo de un dep- sito de 1 m de longitud. Se vierten agua y aceite en la parte izquierda y derecha del dep- sito hasta unas profundidades de 0,6 y 1,2 m, respectivamente. Hallar los mdulos de las com- ponentes horizontal y vertical de la fuerza quE mantiene al cilindro justamente en contacto con el depsito en ,8. Solucin: (Neta) P" : componente sobre AB hacia la izquierda - componente sobre CB hacia la derecha :0,750 x 1000 x 0,6(1,2 x 1) - 1000 x 0,3(0,6 x 1):360 kg hacia la izquierda (Neta) Pn : componente hacia arriba sobre AB + componente hacia arriba sobre C.B : peso del cuadrante de aceite * peso de (sector - tringulo) de agua : 0,750 x 1000 x I x Lnnl,22 + 1000 x t(fur1,22 - * x o,oJt,os) : 1290 kg hacia arriba Las componentes para mantener el cilindro en su sitio sern 360 kg hacia la derecha y 1040 kg hacia abajo 17. El estribo semicnico ABE, que se muestra en la Fig. 2-15, se utiliza para soportar la torre semicilndrica ABCD. Calcular las componen- tes horizontal y vertical debidas alafierza que produce la accin del agua sobre el estribo ,4.8,8. Solucin: Ps : fiierza sobre la proyeccin vertical del semicono :1000(1,5+lXlx3x2) :7500 kg hacia la derecha Pn : peso del volumen de agua sobre la superficie curvada (imaginaria) : 1000(volumen del semicono + volumen del semicilindro) : looo(+ x 3nl2l3 + L2nl2 x 1,5) :3925 ks hacia arriba 31 'rl2.7 ll Fig.2-15
  41. 41. 32 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 18. Una tubera de acero de 120 cm de dimetro y 6 mm de espesor transporta aceite de densidad re- lativa 0,822 bajo una carga de 120 m de aceite. Calcular (a) la tensin en el acero y () el espesor del acero que se necesita para transportar el aceite bajo una presin de 18 kg/cm2 si la tensin de trabajo admisible en el acero es de 13 kglmmz. Solucin: o (tensin en kg/cm2) : p' (presin en kg/cm2) x r (radio en cm) t (espesor en cm) (0,822 x 1000 x 120)/104 x 60 -- 986 kglcm2 (b) o : p'rlt, 1300 : 18 x 601t, : 0,83 cm. la) 0.6 19. Una gran tina de almacenamiento, de madera, tiene 6 m de dimetro exterior y est llena con 7,20 m de salmue- ra, de densidad relativa 1,06. Las duelas de madera estn zunchadas con bandas planas de acero de 5 cm de anchura por 6 mm de espesor, y la tensin de trabajo admisible es de 11 kg/mm2. Cul debe ser el espaciado entre las bandas cercanas al fondo de la tina si se desprecian las tensiones iniciales? Referirse a la Fieura 2-16. Solucin: La fuerza P representa Ia suma de las componentes hori- zontales de las fuerzas elementales dP sobre la longitud y de la tina y las fuerzas Irepresentan la fuerza de traccin total sopor- tadas por la banda centrada sobre la misma longitud y. Como la suma de fuerzas en la direccin X debe ser igual a cero, 2T (kg) -P(kg) :0obien 2(rea del De aqu, +p 6m acero x tensin en el acero) : p' x proyeccin sobre Zy del semicilindro 2(5 x 0,6)1100: (1,06 x 1000 x 7,21104)(600 x y) | : 14,40 cm de espaciado entre bandas Fig.2-16 ---T TA 20. 21. Problemas propuestos Encontrar para la compuerta AB (Fig.2-17) de 2,50 m de longitud la fuerza de compresin sobre eljabalcn CD ejercida por la presin del agua (8, C y D son puntos articulados). Sol. 7160 kg Una compuerta vertical rectangular AB de 3,6 m de altura y 1,5 m de anchura puede girar alrededor de un eje situado 15 cm por debajo del centro de grave- dad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6 m. eu fuerza horizontal .F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el equi- librio? So/. 1490 kg Determinar el valor de z (Fig. 2-18) de forma que la fiierza total sobre la ba- rra BD no sobrepase los 8000 kg al suponer que la longitud en direccin per- pendicular al dibujo es de 1,20 m y que la barra BD esf articulada en ambos extremos. Sol. 1,84 m ,,, Fig.2-U
  42. 42. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES Un aceite de densidad relativa 0,800 acta sobre un rea triangular vertical cuyo vrtice est en la superficie libre del aceite. El tringulo tiene una altura de 2,70 m y una base de 3,60 m. Una superficie rectangular vertical de 2,40 m de altura est unida a la base de 3,60 m del trin- gulo y sobre ella acta agua. Encontrar el mdulo y posi- cin de la fuerza resultante sobre la superficie total. Sol. 36.029 kg a 3,57 m de profundidad En la Fig. 2-19 la compuerfa AB tiene su eje de giro en B y su anchura es de 1,20 m. Qu fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, ser necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2000 kg? Sol. 5200 kg Un depsito tiene 6 m de longitud y la seccin recta mos- trada en la Fig. 2-20. El agua llega al nivel AE. Determi- nar (a) la fuerza total que acta sobre el lado BC y (b) el mdulo y la posicin de la fuerza total sobre el extremo ABCDE. Sol. 86.400 kg, 42.336 kg a 3,33 m de profundidad 3,6 m 33 23. ) 24. * 2s. Fig.2-18 t__J_ Bt 4 2,4m tl Fig.2-19 Fig.2-20 Fis.2-21 V 26. En la Fig. 2-2lla compuerta semicilndrica de 1,2 m de dimetro tiene una longitud de I m. Si el coeficiente de rozamiento entre la compuerta y sus guas es 0,100, determinar lafterza P requerida para elevar la compuerta si su peso es de 500 kg Sol. 187 kg 27. Un depsito de paredes laterales verticales contiene 1 m de mercurio y 5,5 m de agua. Encontrar la fuerza que acta sobre una porcin cuadrada de una de las paredes laterales, de 50 cm por 50 cm de rea, la mitad de la cual est bajo la superficie de mercurio. Los lados del cuadrado estn situados verticales y horizontales respec- trvamente. So/. 1572 kg a 5,52 m de profundidad ?A. Un tringulo issceles, de base 6 m y altura 8 m, est sumergido vertical- mente en un aceite de densidad relativa 0,800, con su eje de simetra hori zontal. Si la altura de aceite sobre el eje horizontal es de 4,3 m, determinar la luerza total sobre una de las caras del tringulo y localizat verticalmente el centro de presin. Sol. 82.560 kg, 4,65 m 29. A qu profundidad se debe sumergir verticalmente en agua un cuadrado, de 4 m de lado, con dos lados horizontales, para que el centro de presin est situado 25 cm por debajo del centro de gravedad? Qu valor tendr la fuer- za Lotal sobre una cara del cuadrado? Sol. 3,33 m (lado superior), 85.330 kg 30. En la Fig. 2-22 e ctl'lndro de 2 m de dimetro y 2 m de longitud est some- tido a la accin del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa 0,800 por su lado derecho. Determinar (a) la fterza normal en B si el cilindro pesa 6000 kg y () la fuerza horizontal debida al aceite y al agua si el nivel de aceite desciende 0,50 m. So/. 350 kg, 6200 kg hacia la derecha Fig.2-22
  43. 43. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2 F lt. En la Fig. 2-23, para una longitud de 4 m de Ia compuerta, determinar el momento no compensado respecto al eje de giro O, debido al agua, cuando sta alcanza el nivel l. Sol. 18.000 mkg en el sentido de las agujas de un reloj 32. El depsito, cuya seccin recta se muestra en la Fig. 2-24, tiene 2 m de longitud y est lleno de agua a presin. Determinar las componentes dela fuerza requerida para mantener el cilindro en su posicin, despreciando el 34 peso del mismo. sot. (+6-fu hacia bajo, 750 kg hacia la izquierda V | - o,l5 kg/cm2 (man) 33. 34. 35. Fig.2-23 Fig.2-24 Fig.2-25 Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la presin del agua sobre la compuerta del tipo Tainter mostrada en la Figura 2-25. So/. 4500 kg y 1630 kg Determinar la fuerza vertical que acta sobre la bveda semicilndrica mostrada en la Fig. 2-26 cuando la pre- sin manomtrica leda en I es de 0,60 kglcmz. La bveda tiene 2 m de longitud. Sot. 12.600kg Si la bveda del Problema 34 es ahora hemisfrica y del mismo dimetro, cul es el valor de la fuerza vertical sobre la misma? So/. 050 ke 36. 37. Fig.2-26 Con referencia a la Fig. 2-27, determinar (a)la fuerza ejer- cida por el agua sobre la placa del fodo AB de la tubera de 60 cm de dimetro y (b)la fuerza total sobre el plano C. Sol. 1410 kg, 21.200 kg El cilindro mostrado en la Fig. 2-28 tiene 3 m de longitud. Si se supone que en I el ajuste no deja pasar el agua y que el cilindro no puede girar, qu peso debe de tener el ci- lindro para impedir su movimiento hacia arriba? So/. 5490 kg Una tubera de duelas de madera, de 1 m de dimetro in- terior, est zunchada con aros planos constituidos por bandas de acero de 10 cm de anchura y 18 mm de espesor. Para una tensin de trabajo admisible en el acero de 12 kg/mm2 y una presin en el interior de la tubera de 12 kglcm2, determinar el espaciado entre aros. Sol. 36 cm Fig.2-27 2r tt : 0,150 0,15 kg/cm2 (man) 38. Fig.2-28
  44. 44. cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 39. En el muro de retencin del agua del mar mostrado en la Fig. 2-29, qlu momento respecto de A, por metro-de longitud del muro, se origina por