ejercicios resueltos de mecanica de fluidos

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Mec´ anica de Fluidos - 2007 Problemas resueltos Cinem´ atica 1. Se tiene el siguiente campo de velocidades: v x = x x 2 + y 2 , v y = y x 2 + y 2 , v z =0 a ) Encuentre las l´ ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ ıneas de humo. b ) Encuentre una expresi´ on para el campo Lagrangiano de velocidades (tome como referencia el tiempo t = 0). Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de la forma: C (x, y, z )= C 0 e - x 2 +y 2 σ 2 y se sabe que el contaminante es un is´ otopo radiactivo que decae seg´ un la ley: C = C i e -t/λ , c ) ¿Cu´ al ser´ a la concentraci´ on de contaminante que medir´ ıa un sensor ubi- cado en el punto (σ, 0, 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentraci´ on que medir´ ıa el mismo sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0. Respuesta: a ) Como se trata de un campo estacionario, las l´ ıneas de corriente, las tra- yectorias y las l´ ıneas de humo ser´ an coincidentes. La velocidad en todo punto es paralela al vector posici´ on (proyectado sobre el plano x - y), de manera que toda part´ ıcula del fluido se mueve siempre alej´ andose del eje z , describiendo rectas radiales. Para obtener una expresi´ on formal de la ecuaci´ on de estas l´ ıneas se puede partir de la ecuaci´ on de las l´ ıneas de corriente: dx ds = v x = x x 2 + y 2 , dy ds = v y = y x 2 + y 2 , dz ds = v z =0 eliminando el par´ ametro s e integrando desde un punto en particular (x 0 ,y 0 ,z 0 ) se tiene: dy dx = y x , y y 0 dy y = x x 0 dx x , log y y 0 = log x x 0 y y 0 = x x 0 ,z = z 0 b ) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades (V ) evaluado en (x, t) debe ser igual al campo Euleriano (v) evaluado en (Φ(x, t),t), donde Φ(x, t) es la posici´ on, a tiempo t, de la part´ ıcula que en cierto tiempo

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Mecnica de Fluidos - 2007 a Problemas resueltos Cinemtica a1. Se tiene el siguiente campo de velocidades: vx = x2 x , + y2 vy = x2 y , + y2 vz = 0

a) Encuentre las l neas de corriente, las trayectorias y las l neas de humo. b) Encuentre una expresin para el campo Lagrangiano de velocidades (tome o como referencia el tiempo t = 0). Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de la forma: C(x, y, z) = C0 ex2 +y 2 2

y se sabe que el contaminante es un istopo radiactivo que decae segn la ley: o u t/ C = Ci e , c) Cul ser la concentracin de contaminante que medir un sensor ubia a o a cado en el punto (, 0, 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentracin que medir el mismo o a sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0. Respuesta: a) Como se trata de un campo estacionario, las l neas de corriente, las trayectorias y las l neas de humo sern coincidentes. La velocidad en todo a punto es paralela al vector posicin (proyectado sobre el plano x y), de o manera que toda part cula del uido se mueve siempre alejndose del eje a z, describiendo rectas radiales. Para obtener una expresin formal de la ecuacin de estas l o o neas se puede partir de la ecuacin de las l o neas de corriente: x dx = vx = 2 , ds x + y2 dy y = vy = 2 , ds x + y2 dz = vz = 0 ds

eliminando el parmetro s e integrando desde un punto en particular a (x0 , y0 , z0 ) se tiene: y dy = , dx xy y0

dy = y

x x0

dx y x y x , log = log = , z = z0 x y0 x0 y0 x0

b) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades (V ) evaluado en (x, t) debe ser igual al campo Euleriano (v) evaluado en ((x, t), t), donde (x, t) es la posicin, a tiempo t, de la part o cula que en cierto tiempo

de referencia estaba en la posicin x. Adems, el campo Lagrangiano de o a velocidades se puede obtener de la funcin (x, t), tomando su derivada o parcial respecto del tiempo: V (x, t) = v((x, t), t) = (x, t) t

para nuestro caso particular, todas las l neas son radiales y equivalentes, en el sentido en que la velocidad cambia slo con el radio, podemos o simplicar el clculo restringindonos al eje x: a e (x, t) 1 = V (x, t) = v((x, t), t) = t de donde, considerando que al tiempo de referencia t = 0, la part cula se encuentra en 0 = (x, 0) = x: t

wdw =0 0

dt 2 2 = 2t 0 x2 + 2t

(x, t) = derivando:

1 x2 + 2t Si quisiramos generalizar este resultado -obtenido para una part e cula en el eje x- a todo el espacio, x debe ser interpretado como el radio, y V como la velocidad radial: y x , Vy = 2 , Vz = 0 Vx = 2 2 x2 + y 2 + 2t 2 x2 + y 2 + 2t x +y x +y V (x, t) = c) Sustituendo en la expresin de C(x, y, z), a t = 0: o C(, 0, 0) = C0 e2 / 2

=

C0 e

d ) La ley de decaimiento radiactivo es vlida para cada punto material, de a manera que derivando la expresin C = Ci et/ se obtiene la derivada o material de la concentracin del contaminante. La tasa de variacin medio o da por el sensor jo al espacio representa la derivada parcial con respecto al tiempo del campo Euleriano de concentraciones. Usando la expresin o de la derivada material: DC =v Dt C+ C t

se conocen la derivada material, el campo de velocidades, y el gradiente del campo euleriano en el instante t = 0. Despejando C : t C DC = v t Dt 2 C= Ci t/ 1 C e x

donde Ci es la concentracin inicial de contaminante en el punto en cueso tin (Ci = C0 /e): ox2 +y 2 2x C C0 0 1 C0 1 2 C0 2 1 = e + C0 e 2 2 = + C0 e1 = ( 2 ) t e e e

2. Si la intensidad de iluminacin de una part o cula uida en (x, y, z) al tiempo t est dada por: a e3t I=A 2 x + y2 + z2 y el campo de velocidades del uido est dado por: a vx = B(y + 2z) vy = B(y + 3z) vz = B(2x + 3y + 2z)

donde A y B son constantes conocidas, determine la velocidad de variacin de o la iluminacin experimentada al tiempo t por la part o cula uida que est en a el punto (1, 2, -2) al tiempo t. Respuesta: Lo que se pide es exactamente el concepto de Derivada material, en este caso de la iluminacin recibida por una part o cula uida. Dados el campo Euleriano de iluminacin y el campo de velocidades con que se mueve el uido, o la expresin de la derivada material es: o I DI = + (v Dt t Siendo las derivadas parciales: I e3t = 3A 2 , t x + y2 + z2 I e3t = 2yA 2 , y (x + y 2 + z 2 )2 La expresin nal resulta: o e3t 2B DI = A 2 3+ 2 yx + 4zx + y 2 + 6zy + 2z 2 2 + z2 2 + z2 Dt x +y x +y Evaluando en el punto (1, 2, 2) resulta: DI e3t =A (4B 3) Dt 9 I e3t = 2xA 2 x (x + y 2 + z 2 )2 I e3t = 2zA 2 z (x + y 2 + z 2 )2 )I

3. Sean las componentes del campo de velocidades de un uido: vx = x 1+t vy = 3 2y 1+t vz = 3z 1+t

Calcule las trayectorias. Respuesta: Si (x, t) es la trayectoria seguida por una part cula uida que en un cierto tiempo de referencia estaba en x, el campo de velocidades Euleriano dato se puede expresar como: v((x, t), t) = V (x, t) = (x, t) = t

donde V (x, t) es el campo Lagrangiano de velocidades. Escribiendo en componentes: x 2y 3z , , x , y , z = 1+t 1+t 1+t Dado que la ecuacin diferencial: o entonces:du dt

=

au 1+t

tiene como solucin a: u = u0 (1+t)a , o

x = A(1 + t) y = B(1 + t)2 z = C(1 + t)3 Aplicando la condicin inicial: (x, 0) = x resulta la expresin nal para o o las trayectorias, donde t es el parmetro y (x, y, z) la posicin inicial de la a o part cula: x = x(1 + t) = y(1 + t)2 y z = z(1 + t)3 4. En las proximidades de un punto de remanso (o punto de estancamiento) bidimensional, la velocidad est dada por: a x y u = U0 , v = U0 , w = 0 L L a) Calcular el vector aceleracin y vericar que es puramente radial. o b) Hallar las l neas de corriente, las trayectorias y las l neas de humo, dibujarlas esquemticamente. a c) En particular dibuje la trayectoria de la part cula que a t = 0 estaba en el punto (0, 2L, 0), la l nea de corriente que, a tiempo L/U0 , pasa por el punto (2L, L, 0) y la l nea de humo del punto (2L, 0, 0), en en instante t = L/U0 . Respuesta: a) Para calcular la aceleracin a partir del campo euleriano de velocidades, o se calcula la derivada material de la velocidad: v Dv = + (v Dt t 4 )v

ax = ay az

u u u U0 u +u +v +w =0+u +0+0 t x y z L U0 v v v v = +u +v +w =0+0+v +0 t x y z L w w w w +u +v +w =0 = t x y z ax =2 U0 x, L2

ay =2 U0 L2

2 U0 y, L2

az = 0

Siendo la aceleracin un mltiplo o u

del vector posicin. o

b) Como se trata de un campo estacionario, las l neas de corriente, las trayectorias, y las l neas de humo sern coincidentes. Calculemos las l a neas de corriente: dx dy = , u v L dx L dy = , U0 x U0 y ln x = ln y + c, x= k y

Entonces las l neas de corriente tienen la fork ma: y = x , como se indica en la gura.

c) La trayectoria de la part cula que a t = 0 estaba en el punto (0, 2L, 0) es la semirrecta: (x = 0, y > 0). La l nea de corriente que, a tiempo L/U0 , 2 nea de humo del pasa por el punto (2L, L, 0) es la curva: (y = 2L ). Y la l x punto (2L, 0, 0), en en instante t = L/U0 es la semirrecta (x > 0, y = 0)

5

Hidrosttica a1. La gura muestra un cilindro invertido cerrado hermticamente por un pistn e o 2 con una supercie de 0,1m y un peso de 500kg que se desliza sin friccin. El o peso y el volumen del cilindro pueden ser despreciados. Inicialmente, el cilindro y el pistn son sostenidos por la barra en el aire a una presin de 1kg/cm2 y la o o longitud l = 2m cuando el pistn est en estado de equilibrio. Luego el cilindro o a y el pistn son introducidos en el l o quido hasta una posicin en la que no hay o traccin ni compresin en la barra. En dicha posicin h/l = 2. Asumiendo que o o o el gas en el cilindro permanece a una temperatura constante y que su peso es despreciable: a) Calcular la tensin inicial en la barra o en kgf . b) Calcular la presin nal en el cilindro o 2 en kgf /cm . c) Calcular el peso espec co del l quido (relativo al agua). d ) Determinar si la posicin nal es de o equilibrio estable, inestable o neutro. Respuesta a) Si consideramos despreciable el peso del aire, la tensin inicial de la bao rra es igual al peso del pistn: 500kgf . Si deseamos tener en cuenta la o densidad nita del aire, se puede calcular la masa de aire contenida en el interior del cilindro utilizando la aproximacin de gas ideal: P V = nRT . o La presin interna debe ser tal que su diferencia con la presin atmosfrio o e ca multiplicada por el rea del piston se iguale al peso del mismo: a (Patm Pi )A = 500kgf , de donde: Pi = 1kgf /cm2 500kgf = 0,5kgf /cm2 0,1m2 . Calculamos el nmero de moles de aire: u n= Pi V 50009,8kgm 0,1m2 1,97m = 4,25mol = Nm RT m 2 s2 8,314 molK 273,15KGua sin friccin Aire Barra sin peso Lquido l 3 cm

h

y tomando la masa molecular del aire en 28,9g/mol, llegamos a 122,8g de aire en el interior del cilindro. A la misma temperatura, pero a presin o atmosfrica, habr una cierta cantidad de aire ocupando el espacio del e a cilindro con el pistn: o n= Patm V 100009,8kgm 0,1m2 2m = = 8,63mol Nm RT m 2 s2 8,314 molK 273,15K

En gramos: 8,63mol28,9g/mol = 249,4g. La tensin de la barra ser igual o a al peso del pistn ms el peso del aire en el interior del cilndro, menos el o a empuje del aire desplazado: m T = (500 + 0,123 0,249)kgf = 499,87kg9,8 2 = 4899N s 6

Como se ve, despreciar el peso del aire conduce a un error menor al 0,03 %. b) Siguiendo con la aproximacin de gas ideal y considerando que la tempeo ratura no cambiar, el producto P V se mantiene: a Pf = Pi Vi kgf A 1,97m 96530P a m = 0,5 2 = Vf cm A (l 0,03m) l 0,03m (1)

donde l es la longitud indicada en la gura, en el estado de equilibrio. Adems sabemos que en equilibrio, la diferencia de presiones entre las a caras del pistn es igual a su peso: o Ph Pf = 500kgf = 49000P a 0,1m2 (2)

y que las presiones en la cara inferior del pistn y en la cara superior del o cilindro pueden calcularse como: Ph = Patm + gh Pf = Patm + g(h l) y nalmente que en la condicin de equilibrio: o h = 2l (5) (3) (4)

Estamos en condiciones de calcular, usando las ecuaciones 1 a 5, las 5 incgnitas: l, Pf , Ph , y h. Reemplazando (3) en (2) eliminamos Ph : o Patm + gh Pf = 49000P a Despejando g de (4), reemplazando en (6) y operando se llega a: Pf Patm = hl 49000P a l (7) (6)

reemplazando h por lo indicado en (5): Pf = Patm + 49000P a = 147000P a = 1,5 c) De la ecuacin (1) se puede despejar l: o l = 0,03m + de (6) y (5): =kg m 98000 s2 m2 49000P a + Pf Patm kg = 7278 3 = m g2l 9,8 s2 2 0,687m m

kgf cm2

96530P a m = 0,687m 147000P a

O sea, un peso espec co de 7,3. 7

d ) Dado que el unico grado de libertad es la posicin vertical del cilindro, o analizaremos la estabilidad ante una perturbacin en la posicin de equio o librio: h l. Si se sumerge el sistema un poco ms all de la posicin de a a o equilibrio, la presin en su interior aumentar, y, aplicando la ecuacin de o a o estado del gas en su interior, su volumen decrecer. Este menor volumen a har que el empuje ejercido por el uido sobre el sistema cilindro-pistn se a o haga menor, y el sistema tender a bajar an ms por efecto del peso que a u a no cambi. Por lo tanto el equilibrio del sistema es inestable. (Tambin o e se puede plantear la hiptesis opuesta: una menor profundidad conduce o a menor presin en el interior del cilindro, que conduce a mayor volumen o y por lo tanto mayor empuje que supera al peso del sistema y tiende a hacer otar an ms al dispositivo) u a

2. Un manmetro de tres uidos como el que se muestra en la gura se utiliza o para medir diferencias de presin (P1 P2 ) muy pequeas. Sabiendo que se o n utiliza la misma cantidad de l quido en ambos reservorios obtenga:P1 P2 b A 1 2 c h x

a) La ecuacin que relaciona la diferencia de alo tura h medida en las ramas con la diferencia de presin P1 P2 como funcin de las deno o sidades de los uidos utilizados (1 , 2 , 3 ) y las reas de los reservorios y las ramas (A y a a respectivamente). b) Cmo elegir estos parmetros para auo a a mentar la sensibilidad del instrumento?

a

P f

d

3

Respuesta: a) Dadas las distancias b, c, d marcadas en la gura, la presin Pf se puede o calcular de dos maneras, integrando g en cada una de las ramas: Pf = P1 +1 g(b+x)+2 g(c+h)+3 gd = P2 +1 gb+2 g(x+c)+3 g(h+d) Simplicando, se eliminan b, c, d: P1 P2 = (2 1 ) gx + (3 2 ) gh Usando adems que, por continuidad: Ax = ah se obtiene: a P1 P2 = (2 1 ) 8 a + (3 2 ) gh A

b) La sensibilidad ser mayor cuanto menor sea la expresin: a o (2 1 ) a + (3 2 ) A

Suponiendo que no se puede cambiar la densidad 1 del l quido donde queremos medir la diferencia de presin, se puede hacer m o nima la relacin o de reas a/A y la diferencia de densidades 3 2 entre los l a quidos del manmetro. oP1 P2

A

b

12ca

x

h

3Pf

d

3. Considere la compuerta en forma de L que se muestra en la gura. Dicha compuerta tiene un ancho H (B-C) y puede rotar libremente (sin friccin) o alrededor de un eje (perpendicular a la hoja) que pasa por el punto B.Aire A Eje h g B H C

Despreciando el peso de la puerta, Cul es el valor de la altura h a para el cual la compuerta se abre automticamente? a

Respuesta: Planteamos equilibrio de momentos con respecto al punto de giro de la compuerta. Las fuerzas actuantes son las de presin actuando en la o parte horizontal de la compuerta (Fv porque acta en direccin vertical) y la u o integral de la presin actuando en la parte vertical, que llamaremos Fh . La o l nea de accin de Fv estar centrada en la parte horizontal de la compuerta, o a con un brazo de palanca H/2, porque en esa seccin la presin es uniforme. o o Para hallar la l nea de accin de Fh podemos integrar el momento producido o 9

por las presiones, o podemos recurrir a la frmula para calcular el centro de o I presiones: xcp = g sincg xx , donde es el ngulo de inclinacin, en este caso a o Ap . A es el rea de la supercie, en nuestro caso h (suponiendo profundidad a 2 unitaria). pcg es la presin en el centro geomtrico de la supercie, en este caso o e pcg = patm + g h . El momento de inercia de un segmento es 2 Resultando: 3 g h 12 xcp = h patm + g h 2h 2

h 2

x2 dx =

h3 . 12

El brazo de palanca de Fh ser h xcp . Las magnitudes de Fh y Fv se calculan a 2 como el producto de la presin en los centros geomtricos de las supercies o e respectivas por sus reas: a Fv = (patm + gh) H, Fh = patm + g h h 2

Slo resta tener en cuenta las fuerzas de presin en el exterior de la compuerta, o o que estar dada por la presin atmosfrica (aproximadamente constante): a o e M = Fv H H h h Fh xcp + patm h patm H = 0 2 2 2 2

Reemplazando y operando: ... h= 3H

Observacin: Ntese que si bien algunos valores intermedios (por ejemplo la o o ubicacin del centro de presiones) dependen de la presin atmosfrica, el resulo o e tado nal no. Esto es porque sumar una constante a la presin -a ambos lados o de la compuerta- no altera el equilibrio de fuerzas. Teniendo esto en cuenta se podr haber considerado patm = 0 para simplicar los clculos. a a

10

Ecuaciones diferenciales1. Dos uidos inmiscibles e incompresibles de propiedades 1 , 1 y 2 , 2 respectivamente, circulan debido a un gradiente de presin dz en un estrecho canal o dp horizontal de ancho B (en la direccin y) como se indica en la gura. Los o caudales de cada uido se ajustan de forma tal que B1 = B2 = B/2.Q2

y z

B2

2 1

B

B1

Q1

Suponiendo ujo laminar completamente desarrollado calcular: a) La distribucin de velocidades Vz (y) en ese sistema y esquematice. o b) Determine la relacin precisa entre el gradiente de presin y caudal total. o o Respuesta: a) Dada la simetr del problema, proponemos un perl de velocidades dado a por: (8) V = (0, 0, Vz ) adems, teniendo en cuenta que buscamos la solucin estacionaria, todas a o las derivadas parciales con respecto al tiempo sern cero. Plantendo la a conservacin de masa para un uido incompresible obtenemos: o Vz Vx Vy Vz + + = =0 V = x y z z (9)

De aqu obtenemos que Vz ser slo funcin de la coordenada y. a o o Planteamos ahora la ecuacin de conservacin de momento en la direccin o o o z (Ecuacin de Navier-Stokes para uido Newtoniano incompresible): o dVz P 2 Vz 2 Vz 2 Vz + = fz + + + dt z x2 y 2 z 2 (10)

donde fz son las fuerzas por unidad de volumen en la direccin z, que o en este caso son nulas. Utilizando el perl de velocidades 8 y teniendo en cuenta lo dicho hasta ahora, la ecuacin 10 se reduce a o P 2 Vz = 2 z y (11)

debido a que la viscosidad toma valores diferentes para cada uido, dividimos la regin en dos partes de forma tal que o 11

P = z

V 1 y2z2V 2 y2z

2

B y 0 2 (12) 0yB 2

Al plantear la ecuacin de conservacin de momento en la direccin x e o o o y obtenemos respectivamente: P = 0, x P = g y (13)

de esta manera, integrando las ecuaciones 12 obtenemos una expresin o para el perl de velocidades dado por: 1 P 2 21 z y 1 P 2 y 22 z

+ b1 y + c 1 + b2 y + c 2

B y 0 2 (14) 0yB 2

Vz (y) =

donde b1 , b2 , c1 , c2 son constantes que debemos determinar a partir de las condiciones de borde. Las condiciones de borde del problema son: 1) La condicin de no deslizamiento en las paredes i.e. o Vz B 2 = 0, Vz B 2 =0 (15)

2) Continuidad de la velocidad en y = 0 3) Continuidad de la tensin en y = 0, es decir, Vz es continuo en o y y = 0. De la segunda condicin obtenemos c1 = c2 = C. De la ultima condicin o o obtenemos: 1 b 1 = 2 b 2 Si llamamos =1 2

yD= D 2

1 P 1 z

las ecuaciones 15 se transforman en + b1 B +C =0 2 (16)

B 2

2

D B 2 B + b1 + C = 0 2 2 2 Multipicando 16 por y sumndola a 17 obtenemos a C= DB 2 +1 4

(17)

Asi mismo, multipicando 16 por y restndole 17 obtenemos a b1 = C1 1 DB = B +1 4 12

De esta manera reemplazando en las ecuaciones 14 los valores de las constantes obtenemos para el perl de velocidades: D 2 D 2

y2 2

1 B y +1 2

B2 +1 2 1 B2 +1 2

B y 0 2 (18) 0 yB 2

Vz (y) =

y

1 B y +1 2

O, en variables originales: 1 p 21 z 1 p 22 z

y2 y 2

1 2 B y 1 +2 2 1 2 B y 2 +1 2

1 B 2 1 +2 2 2 B 2 1 +2 2

B y 0 2 (19) 0 yB 2

Vz (y) =

En la siguiente gura se muestra esquemticamente el perl de velocidaa des para el caso 2 < 1y z

2 < 1

B

1En cada seccin el perl es parablico y en la interface las pendientes o o guardan una relacin igual a . o b) Para calcular el caudal total debemos integrar el campo de velocidades entre las placas: HD 20 B 2

y2 B 2

0

1B B2 y dy+ +1 2 +1 2 1B 1 B2 y2 y dy +1 2 +1 2

(20)

Donde H representa el ancho del canal en la direccin x. Realizando la o integral obtenemos para la expresin del caudal: o HDB 3 + 1 3 ( 1)2 3 Q= + + 12 4 8 +1 +1 O, en variables originales: Q= HB 3 p 12 z 1 1 + 2 3 1 + 8 1 2 2 1 + 2 (22) (21)

donde quda expll cita la simetr entre 1 y 2 . Ntese que si las viscoa o sidades de los dos uidos son iguales ( = 1) el caudal se reduce al caudal para un solo uido entre dos placas: Q= 13 HB 3 1 P 12 z

Adems, si, por ejemplo 1 tiende a un valor muy grande, el primer a 1 trmino del parntesis tiende a 82 , mientras que el segundo trmino se e e e hace despreciable. El caudal resultante tiende al que se obtendr con el a uido de viscosidad menor, circulando en un canal de la mitad de tamao. n

14

Aplicaciones de la Ecuacin de Bernoulli o1. Considerar el ujo incompresible, bidimensional, estacionario y sin friccin o cerca de la garganta del pasaje de un Venturi. El ujo es irrotacional y los efectos gravitacionales son despreciables. La constante de Bernoulli del ujo es p0 (medida como una presin). Cerca de la garganta el contorno de la pared o es un arco circular de radio a. Como una aproximacin, se acuerda en suponer o que en el plano de la garganta 1-3 la curvatura de las l neas de corriente var a 1 1 linealmente desde a en el punto 1 hasta 0 en el punto 2 (y a en el punto 3). Se desea analizar la distribucin de velocidades en los alrededores de la o garganta. a) Es la velocidad del uido mayor en el punto 1 o en el punto 2? b) Es la velocidad del uido mayor en el punto 2 o en el punto 4?3

c) Hacer un esquema cualitativo de la distribucin de presiones (l o neas de presin conso tante). d ) Calcular la distribucin de presiones en el o p0 p2 plano de la garganta. Verique que p0 p1 = e , donde p1 y p2 son las presiones esttia cas en los puntos 1 y 2, respectivamente. e) Cmo calcular el perl de velocidades? o a Respuesta:b a

2b

2 1

4

a

a) Dadas las aproximaciones del enunciado (ujo incompresible, estacionario, irrotacional y sin friccin, con efectos gravitacionales despreciables), o se puede aplicar la ecuacin de Bernoulli en todo punto del ujo, y por eso o tiene sentido hablar de la constante de Bernoulli del ujo. Entre el punto 1 y el 2 podemos utilizar las ecuaciones en coordenadas naturales, en particular en la direccin transversal al ujo: o v2 p = n R Esta ecuacin, segn la convencin utilizada para denir el versor n, nos o u o indica que la presin debe aumentar alejndose del centro de curvatura o a de la l nea. En particular la presin en el punto 2 ser mayor que en el o a punto 1. Como se cumple Bernoulli en todo el espacio (p + 1 v 2 = cte), 2 la velocidad en 2 ser menor que en 1. a b) Por conservacin de la masa, dado que la densidad es constante, se cono serva el caudal volumtrico. Puesto que el rea de paso es m e a nima en la garganta, all la velocidad ser mxima, entonces v2 > v4 . a a 15

c) Por el resultado del item a, la presin sobre corte vertical en la garganta o deber mostrar un mximo de la presin en el punto medio, y m a a o nimos en los puntos 1 y 3. Por el resultado de b, un corte horizontal por el centro de la garganta deber mostrar un m a nimo de presiones en el punto central (considerando que la velocidad es mxima, y aplicando Bernoulli). Por lo a tanto, el punto central es un punto de ensilladura de la funcin presin. o o En la gura se muestran las l neas de nivel del mdulo de velocidad, obtenidas mediano te la resolucin numrica del ujo en la geoo e metr dada. Estas l a neas de mdulo de veloo cidad constante se corresponden (aplicando la ecuacin de Bernoulli) con l o neas de presin constante. Ntese sin embargo que el eso o paciamiento de las l neas se corresponde con diferencias del mdulo de la velocidad y no o diferencias de presin. o d ) Para calcular la distribucin de presiones en la l o nea central se puede integrar la ecuacin de arriba, teniendo en cuenta la variacin del radio o o de curvatura de las l neas de corriente. Tomando el origen de coordenadas en el punto central, y llamando x a la coordenada vertical, la curvatura x 1 o puede expresarse como: R = ab , y utilizando la ecuacin de Bernoulli: 1 2 p0 = p + 2 v , la ecuacin en la direccin transversal al ujo queda: o o p p x 2 x 2(p0 p) = = v = n x ab ab (p0 p) 2(p0 p) = x x ab p d(p p) 2 x 0 = x dx p0 p ab b p1 x2 b2 p0 p 1 x 2 b2 , ln(p0 p)|p1 = = e ab p ab p0 p1 Evaluando en x = 0:p0 p2 p0 p1

= e a

b

e) Una vez calculada la presin, la velocidad se deduce de la ecuacin de o o 2 Bernoulli: v = (p0 p).

16

Vol menes de control u1. Un jet de un l quido de densidad , caudal volumtrico Q y velocidad V incide e sobre una placa de largo L y masa M que esta sostenida en uno de sus extremos por un pivote que le permite rotar libremente como lo muestra la gura. Si el jet se ubica una distancia H por debajo del pivote calcular:Pivote0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000

H

L

V Q

a) El ngulo que formar la placa con la horizontal en el estado estaa a cionario en funcin de estos parmetros. Considerar los efectos viscosos o a despreciables. b) Cmo cambia este resultado si se tiene en cuenta el efecto de la viscosidad o del uido? Respuesta: a) Si realizamos conservacin de momento angular respecto del pivote veo mos que los dos jet de salida no poseen momento angular debido a que poseen una direccin radial respecto del pivote. De esta manera el moo mento entrante del jet deber ser compensado por el torque ejercido por a la gravedad sobre la placa resultando: QV H = De aqu obtenemos nalmente = arc cos 2QV H M gL M g L cos() 2

b) En el anlisis anterior slo fue necesario hacer suposiciones sobre la visa o cosidad del uido, slo es necesario que se cumpla la aproximacin de que o o los jet de salida son radiales respecto del pivote. De esta manera, el resultado anterior no depende de la viscosidad del l quido (ni de la rugosidad de la placa por ejemplo)mientras esta condicin se siga cumpliendo. o 2. El esquema muestra un dispositivo que posee dos paletas con una curvatura suave que termina con un ngulo . Las paletas estn montadas sobre una a a cinta que se mueve a velocidad constante U . Adems, las paletas reciben un a chorro de agua proveniente de una tobera ja a una velocidad V . 17

a) Calcule la fuerza que realiza la paleta sobre la cinta en funcin de la o velocidad U . b) Calcule para qu valor de U el trabajo realizado contra esta fuerza es e mximo a

Tobera V

U

Respuesta: a) Planteamos inicialmente el problema utilizando un sistema de referencia jo a la paleta y en este sistema de referencia proponemos un volumen de control jo como lo muestra la siguiente gura:

2

V-U 1 VC

De esta manera la velocidad de ingreso al volumen de control (VC) es V U . Suponiendo los esfuerzos viscosos despreciables en la paleta podemos plantear Bernoulli entre los puntos 1 y 2 indicados en la gura. De esta forma obtenemos: 1 2 1 V1 + gz1 + P1 = V22 + gz2 + P2 2 2 Debido a que ambos puntos se encuentran a presin atmosfrica y deso e 2 preciando los efectos gravitatorios (i.e. g(z2 z1 ) h1 , de otra manera en lugar de disipar energ mecnica a a se estar absorbiendo, contradiciendo el segundo principio de la termoa dinmica. a Puede adems verse (operando a partir de la expresin del punto a)) que a o la condicin h2 > h1 es equivalente a pedir que el nmero de Froude en o u la entrada sea mayor que 1: h2 > h1 h2 >1 h1 1 1 2 11 gh1

4. Un chorro de agua uye verticalmente desde la salida de una canilla cuyo oricio de salida es circular y de radio R. El oricio de salida se encuentra a una altura H medido desde el nivel del suelo. El agua a la salida del oricio tiene velocidad U y el perl es plano.

a) Encuentre una expresin para la variacin o o del radio del chorro en funcin de la altura. o b) Calcule la fuerza que ejerce el chorro de agua sobre el piso, si el caudal es de 5 litros por minuto, R vale 1/4 de pulgada y H = 50cm. c) Graque en forma cualitativa la presin en o el piso en funcin de la distancia al centro o del chorro. Explicite los valores extremos de la presin. oR

H

Respuesta: a) Considerando despreciables los efectos viscosos (el perl inicial es plano, la viscosidad del aire es muy pequea y por lo tanto la tensin de corte no n o es signicativa), podemos aplicar la ecuacin de Bernoulli entre el punto o de salida y una posicin genrica, a una distancia z de la canilla: o e 1 1 2 U + p0 = u(z)2 + p(z) + g(z) 2 2 Donde se ha hecho la aproximacin de que la curvatura de las l o neas de corriente es despreciable, y por lo tanto la presin no depende del radio, o 22

siendo slo funcin de la altura. Considerando adems que la presin en o o a o la supercie del es la presin atmosfrica (constante), la expresin para o e o la velocidad en funcin de la altura se reduce a: o u(z) = U 2 + 2gz

Por conservacin de la masa, el caudal (velocidad por rea) a cualquier o a altura es el mismo: Q = u(z)A(z) = u(z)r(z)2 = U R2 Eliminando u(z) se obtiene: 1 2gz 4 U R2 r= 2 =R 1+ 2 U U + 2gz b) Al llegar a una distancia H de la canilla, el l quido se mover a una a 2 2 velocidad u(H) = U + 2gH, y el rea del chorro ser: A(z) = U R . a a u(H) Tomando el volumen de control de la gura y calculando el balance de momento en la direccin vero tical (y), se tiene que: 0=SC

uy (u n)dS + F = 0

donde F es la fuerza ejercida por el piso sobre el chorro para frenarlo. De la integral slo queda la parte de la supercie superior por donde ingreo sa el uido (el ujo de momento que escapa por los costados consideramos que no tiene componente vertical). En esa parte: uy = u(H), u n = u(H): F = u(H) A(H) = U + 2gH Usando: = 1000kg/m3 R = 1/4 = 0,00635m Q 5 103 m3 /60s U = = = 0,658m/s R2 0,006352 m2 H = 0,5m Se obtiene: u(H) = 3,2m/s A(H) = 26,05 106 m2 F = 1000kg/m3 3,22 m2 /s2 26,05 106 m2 = 0,267N = 27,2g c) Las part culas que descienden por el eje de simetr se van frenando a asintticamente. Nunca llegan al piso, porque la velocidad tiende a cero. o 232 2

R2 U = R2 U U 2 + 2gH 2 + 2gH U

Se tiene en la interseccin del eje de simetr con el piso un punto de o a estancamiento. All la presin ser mxima, e igual a: o a a 1 1 p0 = patm + u(H)2 = patm + U 2 + gH 2 2 Sucientemente lejos de este punto, la presin tender a ser nuevamente o a la presin atmosfrica, como se muestra en la gura. o e

p(r,H) p0

p atm

r5. Un bloque rectangular de masa M , con caras verticales, rueda sobre una supercie horizontal entre dos chorros opuestos, como se muestra en la Figura. En t = 0, el bloque se pone en movimiento a una velocidad U0 . Subsecuentemente se mueve sin friccin, paralelo a los ejes del chorro, con velocidad U (t). o Desprecie la masa de cualquier l quido que se adhiera al bloque, comparada con M . Obtenga expresiones generales para la aceleracin a(t) y la velocidad o U (t) del bloque. Justique la eleccin del sistema de referencia y del recinto o de integracin. o V U(t) A A M V

Respuesta: Consideremos un volumen de control no deformable que encierra al bloque y se mueve junto con l, tal como se muestra en la Figura que sigue. e

V1 =VU

M

V2 =V+U

24

El sistema de referencia elegido est jo al volumen de control, por lo que se a trata de un sistema de referencia no inercial ya que el bloque se est frenando, a movindose con velocidad variable U (t) y aceleracin a(t) respecto a un sistema e o de referencia inercial. Despreciando los efectos viscosos podemos aplicar Bernoulli a lo largo de una l nea de corriente en los chorros que inciden sobre el bloque para obtener: V1in = V1out = V U Y, del mismo modo: V2in = V2out = V + U Planteando conservacin de la cantidad de movimiento en la direccin x en o o el VC elegido y teniendo en cuenta que en nuestro sistema de referencia la velocidad de los chorros de salida no tiene componente horizontal, resulta: M a(t) dU M dt dU M dt dU M dt dU dt = m1 (V U ) + m2 (V + U ) = A(V U )2 + A(V + U )2 = A [(V U )2 + (V + U )2 ] = 4AV U = 4AV M U

La solucin de esta ecuacin, recordando que U (t = 0) = U0 , viene dada por: o o U (t) = U0 e( De donde se sigue que: a(t) = dU dt 4AV 4AV U0 e( M )t a(t) = M4AV M

)t

25

1.

Anlisis dimensional a

1. Considere una serie de pasajes geomtricamente similares de seccin circular e o como se muestra en la gura. Un cambio en cualquier dimensin de longitud o produce cambios proporcionales en todas las dems longitudes. aV1 D2 D1

En el caso I, un uido de baja viscosidad uye a travs de un pasaje de mae nera tal que las tensiones viscosas sobre cualquier part cula son despreciables comparadas con las tensiones de inercia. Son considerados pasajes de diferente tamao, todos con el mismo uido incompresible entrando al conducto con la n misma velocidad V1 . Para el caso I (uido no viscoso) cuando D1 aumenta, indicar qu ocurre con las siguientes magnitudes (aumenta, permanece igual, e disminuye): a) V2 b) El caudal volumtrico. e c) El valor dep1 p2 2 V1

d ) El valor de p1 p2 e) El caudal msico por unidad de seccin transversal en la seccin 2. a o o Respuesta: a) Puesto que el uido es incompresible, su densidad es constante. Por conservacin de la masa, y considerando estado estacionario, el caudal eno 2 2 trante debe ser igual al caudal saliente: V1 D1 = V2 D2 , de donde 4 4 V2 = D1 V1 . Si la relacin de dimetros permanece constante y V1 tamo a D2 bin, entonces V2 no cambiar. e a2 b) El caudal volumtrico es: Q = V1 D1 , con V1 constante, un aumento de e 4 D1 lleva a un aumento en Q.

c) Dado el dimetro D1 de entrada, la geometr del pasaje queda completaa a mente denida. Sabiendo adems las caracter a sticas del uido (densidad , viscosidad ) y la velocidad de entrada V1 , debe ser posible calcular la ca de presin p1 p2 . Esto se puede expresar como: debe existir una da o relacin funcional g(D1 , , , V1 , p1 p2 ) = 0. Si adems las tensiones viso a cosas son despreciables, la viscosidad no inuye en el resultado, podemos escribir g (D1 , , V1 , p1 p2 ) = 0 Utilizando el Teorema de Buckingham para simplicar, se puede obtener un unico nmero adimensional, por u p1 p2 ejemplo: V 2 que debe ser constante.1

26

d ) Si adems V1 permanece constante, el valor de p1 p2 permanecer consa a tante. e) El caudal msico por unidad de seccin transversal en la seccin 2 se a o o puede escribir como: V2 A2 m = = V2 A2 A2 Ya vimos que V2 se manten constante, y tambin, entonces a e mantendr constante. am A2

se

En el caso II, un uido de alta viscosidad uye a travs del pasaje tan lene tamente que las tensiones de inercia sobre cualquier part cula de uido son despreciables comparadas con las tensiones viscosas. Son considerados pasajes de diferentes tamaos, todos con el mismo uido incompresible entrando al n conducto con la misma velocidad V1 . Para el caso II (uido altamente viscoso) cuando D1 aumenta, indicar qu ocurre con las siguientes magnitudes e (aumenta, permanece igual, disminuye): a) V2 b) El caudal msico. a c) El valor dep1 p2 2 V1

d ) El valor de p1 p2 e) El valor de (p1 p2 )D1 f ) El Re en la seccin 2. o g) la tensin de corte en la pared, a medio camino entre la seccin 1 y la 2 o o h) la fuerza total ejercida por el uido sobre las paredes en la direccin del o ujo. Respuesta: a) V2 , por las mismas consideraciones que en el caso anterior, permanecer constante. a b) El caudal msico m es el caudal volumtrico Q multiplicado por la densia e dad, que permanece constante. Por lo tanto m se comportar de la misma a forma que Q, es decir: aumentar, por las mismas consideraciones que en a el caso I. c) Repitiendo el razonamiento del caso anterior, obtenemos la expresin o g(D1 , , , V1 , p1 p2 ) = 0. Pero ahora, en lugar de despreciar el efecto de la viscosidad, lo que sucede es que el trmino de las fuerzas de inercia e en las ecuaciones de Navier-Stokes se hace despreciable frente al resto, y es la densidad la que no tendr inuencia en el resultado. Se puede a plantear entonces que existe una relacin que permite obtener p1 p2 a o partir slo de D1 , y V1 : g (D1 , , V1 , p1 p2 ) = 0. Usando nuevamente o 27

el teorema de Buckingham, aparece un slo nmero adimensional que o u debe ser una constante, por ejemplo: (p1 p2 )D1 = cte. V1 p1 p2 = cte. 2 V1 D1 V1 De donde resulta que al mantener constantes , y V1 , un aumento en 1 p D1 produce una disminucin de pV 2 2 . o1

operando:

d ) Operando sobre la frmula anterior se obtiene que tambin el valor de o e p1 p2 disminuye al aumentar D1 y mantener constantes , y V1 . e) En cambio el producto (p1 p2 )D1 se puede expresar como: (p1 p2 )D1 = cte. V1 y permanece constante. f ) El Re en la seccin 2 es: o V2 D2 Lo unico que var en la expresin es D2 que aumenta proporcionalmente a o con D1 . Re2 = g) La tensin de corte en la pared, en cualquier punto, podr ser obteo a nida a partir de los datos del problema, es decir, habr una relacin: a o g(D1 , , , V1 , ) = 0. Despreciando el efecto de la densidad y aplicando anlisis dimensional aparece el nmero: a u D1 = cte. V1 (Observacin: la tensin tiene las mismas unidades que la ca de preo o da V1 sin, entonces podemos usar la fraccin D1 para medirla). Por lo tanto, o o al aumentar D1 y mantener y V1 , la tensin de corte en cualquier punto o va a disminuir. h) Llamemos F a la fuerza total ejercida por el uido sobre las paredes en la direccin del ujo. Esta fuerza tambin deber poder obtenerse a partir o e a de D1 , y V1 . El nmero adimensional que aparece es: u F = cte. V1 D1 Entonces, si y V1 permanecen constantes, F aumenta proporcionalmente con D1 . 2. Se pretende estudiar un sistema formado por un canal abierto que posee un pilote vertical apoyado en el fondo del canal como lo indica la gura. Para esto se decide realizar un experimento de laboratorio utilizando una escala 1:10. 28

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 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Respuesta:

a) En este caso aparecen seis parmetros que denen nuestro problema, a a saber: , , g, V , h y D. Utilizando anlisis dimensional para estos a parmetros resultan tres nmeros adimensionales que pueden elegirse de a u la siguiente manera:

a) Si se desea respetar la semejanza dimensional del problema, indique las condiciones que se deben cumplir para la eleccin de los parmetros utilio a zados en el experimento. En este caso: Cmo relacionar una frecuencia o a caracter stica medida en el experimento con la que aparecer en el sistea ma real?

b) Debido a que la relacin D es muy grande en el canal real, resulta muy o h dif respetar esta condicin en el experimento. En particular, en el caso cil o h real D = 30, mientras que en el experimento esta relacin se tom igual o o a 20. Si se desea obtener una estimacin de la fuerza de arrastre ejercida o sobre el pilote en el caso real, qu parmetros eligir y cmo utilizar e a a o a los datos obtenidos en el experimento para realizar esta estimacin? o

Teniendo en cuenta que, 10Dm = Dp , y utilizando el resultado anterior para la velocidad del modelo, obtenemos:

Teniendo en cuenta que g es la misma en ambos casos y que 10hm = hp , resulta Vp = 10Vm . Para conservar el nmero de Reynolds: u

Estos nmeros deber respetarse en el experimento. El tercero de ellos u an se mantiene puesto que se trata de un modelo a escala. La igualdad de Fr impone: Vm Vp = Frm = Frp = ghm ghp

Re =

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

V D

Rem =

V

Vm Dm Vp Dp = Rep = m p

29V Fr = 3 p = 10 2 m

D

h

gh

g

Form =

D h

(la relacin / deber ser unas 30 veces menor en el modelo que en el o a caso real). Para obtener el valor de una frecuencia caracter stica en el caso real a partir de la frecuencia medida en el modelo, se deben igualar las frecuencias adimensionales. Utilicemos como escala de frecuencias la relacin V /D: o F = Fm Dm Fp Dp Fm Dm Vp = Fp = Fm = Vm Vp Dp Vm 10

b) Podemos suponer que en la fuerza de arrastre sobre el pilote inuyen dos efectos: el arrastre por presin y friccin debido a la corriente en que o o est inmerso, y el efecto de la supercie libre. Este ultimo efecto se supone a que estar restringido a una zona de tamao proporcional al dimetro a n a del pilote. Por otra parte, el primero ser proporcional a la dimensin a o h, de modo que cuando h D el efecto de la supercie se vuelve poco signicativo. En estas condiciones, cuando el efecto predominante es el arrastre de la corriente, el nmero adimensional a conservar es el Re: u Re = Vp Dp Vm Dm = p m

Y la escala de fuerzas apropiada en este caso es: F = V 2 Dhf (Re) Suponiendo que se mantiene la escala 1:10 en el dimetro, tenemos las a relaciones: Dp hp 20 Dm = , hm = 10 10 30 y suponiendo que usamos el mismo l quido, para conservar el Re debemos hacer: Vm = Dp Vp /Dm = 10Vp La fuerza en el pilote real puede obtenerse de la medida en el modelo utilizando la relacin: oFp 2 Vp Dp hp

=

Fm 2 Vm Dm hm

FP =

Vp 2 Dp hp F Vm Dm hm m

= 0,01 10 15Fm = 1,5Fm

3. Se pretende estudiar el funcionamiento de una vlvula de retencin ubicada a o al nal de una tuber que se encuentra completamente sumergida (como se a muestra en la gura). Para esto se decide realizar un experimento de laboratorio utilizando una escala 1:10. 30

liq liq

0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0000 00000000000000000000 000 0000 00000000000000000000 000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000

D

Q

metalPivote

Clapeta

a) Si se desea respetar la semejanza dimensional del problema completo, indique que condiciones se deben cumplir para la eleccin de las variables utilizadas o en el experimento. En este caso: Cmo o relacionar un tiempo de cerrado de la a vlvula medido en el experimento con el a que aparecer en el sistema real? a

b) En este punto slo estamos interesados en averiguar el caudal de succin o o para el cual la clapeta comienza a cerrarse, es decir, el caudal para el cual la clapeta se encuentra completamiente abierta pero la fuerza sobre el soporte que sostiene la clapeta es cero. En este caso, para conservar la semejanza dimensional en el modelo la cantidad de numeros adimensionales a ser conservados disminuye y por lo tanto puede utilizarse el mismo uido que en el prototipo. Explique porqu esto es cierto, e indique como e se relaciona el caudal medido en el modelo para este punto con el caudal que se obtendr en el prototipo. a Considerar las supercies de la tubera y de la clapeta como perfec tamente lisas en todos los casos. Respuesta a) Los parmetros del problema completo son: Liq , Liq , D, Q, M etal y g. a Haciendo uso del anlisis dimensional encontramos que podemos formar a tres grupos adimensionales. Una forma posible de agrupar estos parmea tros en tres nmeros adimensionales es como sigue: uLiq M etal Q2 D5 g Q Liq D Liq

La conservacin del primer numero adimensional requiere utilizar una o relacin de densidades entre el metal de la tuberia y el l o quido que sea la misma en el modelo y en el prototipo. A partir del segundo nmero adimensional y teniendo en cuenta que u Dm = Dp , obtenemos la siguiente relacin para los caudales (utilizando o 10 un mismo valor de g): Qp Qm = 5 10 2 Por ultimo, autilizando el tercer nmero adimensional y las condiciones u para Dm y Qm obtenemos para = : m = 31 p 10 23

Por lo tanto debemos utilizar un uido que posea una viscosidad cinemtia ca unas 31 veces menor que el utilizado en el prototipo. Para relacionar un tiempo medido en el modelo con el esperado en el prototipo usamos el hecho de que si mantenemos la semejanza dinmia ca y geomtrica, los tiempos adimensionalizados sern iguales. Podemos e a adimensionalizar el tiempo con Q y D de la siguiente manera: Tm Qm Tp Qp = 3 3 Dm Dp Utilizando las relacionesQm Qp

y

Dm Dp

que obtubimos antes, resulta:

Tp = Tm 10 b) Si slo estamos interesados en el caudal para el cual la la clapeta comienza o a levantarse, vemos que la dinmica de la clapeta no es importante (se a encuentra siempre en reposo) y por lo tanto la densidad del material con el cual est construida no es un parmetro independiente. En este caso la a a densidad de la clapeta y la gravedad no sern parmetros independientes. a a El parmetro importante aqui ser el peso de la clapeta que se puede a a calcular a partir de (metal Liquido )g = g. De esta manera los nmeros adimensionales se reducen a dos que pueden u elegirse de la siguiente manera:Q2 Liq D5 g Q Liq D Liq

Utilizando el segundo nmero adimensional y conservando el mismo l u quido en el modelo y en el prototipo, obtenemos: Qm = Qp 10

Usando el primer nmero adimensional (utilizando el mismo uido) obu tenemos: Q2 Q2 m = 5 p 5 Dm m g Dp p g Y utilizando las condiciones ahalladas para Q y la relacin de escala para o D obtenemos: 5 m = p 10 2 De esta manera se puede encontrar una semejanza dinmica sin cambiar a de uido pero autilizando una diferencia de densidades diferentes. Por ultimo, el caudal medido en el modelo para esta condicin ser diez o a veces menor que el que se obtendr en el prototipo. a 4. El torque de una turbina de ujo axial es una funcin de la densidad del o uido , el dimetro del rotor D, la velocidad angular de rotacin y el caudal a o 32

volumtrico Q (en el rgimen de trabajo usual la viscosidad del uido no tiene e e una inuencia signicativa). En un experimento con una turbina de dimetro D = 0,5m en agua a kg ( = 1000 m3 ), con una velocidad de rotacin = 100 rpm constante, se o midi el torque en el eje en funcin o o del caudal Q, resultando el grco a de la gura. [Nm] 10

5

Q [m 3/s] 0.5 1.0 1.5 2.0

a) En base a los resultados del experimento, escriba una expresin para o calcular el torque en funcin de los parmetros relevantes del problema. o a b) Calcular cul ser el torque en una turbina geomtricamente semejante a a e a la del experimento, en agua, si el d ametro del rotor es 1m, y el caudal 3 es de 3 m cuando la velocidad angular es de 30 rpm. s c) Manteniendo el caudal, la velocidad angular y el tamao de la turbina, n cmo cambia la diferencia de presiones entre la entrada y la salida, al o variar la densidad del uido circulante? Respuesta: a) Dada la expresin dimensional: f (, , D, , Q), planteamos la matriz dio mensional: M L T 1 2 -2 D 1 0 -3 1 0 0 0 0 -1 Q 0 3 -1

Eligiendo las columnas de , D y , que son linealmente independientes y segn el teorema de Buckingham, vamos a poder escribir dos nmeros u u adimensionales. Nos conviene que en uno de ellos aparezca y en el otro Q. Escribindolos como: 1 = a Db c y 2 = Qd De f , los valores de e a, b, c, d, e, f que hacen adimensionales a 1 y 2 son: a = 1, b = 5, c = 2, d = 0, e = 3 y f = 1, y los nmeros son: u 1 = Q , 2 = 3 5 2 D D

En el grco se observa que la relacin entre y Q se puede escribir a o Kg -aproximadamente- como: = 5 m s Q. Entonces la funcin adimensional o que relaciona 1 y 2 debe ser tambin lineal: e 1 = O sea: =k Q = k2 = 3 5 2 D D D5 2 Q = kD2 Q D3 33

Kg Pero: kD2 = 5 m s , despejando k y reemplazando los valores de , D y del experimento, se obtiene:

k=5

Kg m3 1 60s = 0,0019 2 m2 100 2 m s 1000Kg 0,5 = 0,0019D2 Q

Con la velocidad angular en radianes por unidad de tiempo. b) Reemplazando valores en la frmula anterior: o3 Kg 2 30 2 m = 0,0019 1000 3 (1m) 3 = 18N m m 60s s

c) Para obtener un nmero adimensional que involucre una diferencia de u presiones, se puede plantear: 3 = pa Db c . Operando, se obtiene: 3 = p , y este nmero adimensional ser funcin de 2 , mantenindose , u a o e 2 D2 D y Q, se mantiene 2 , tambin 3 , y entonces la diferencia de presiones e es lineal con .

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