lsningsforslag til utvalgte oppgaver i til utvalgte oppgaver i kalkulus yvind ryan 10. november...

Download Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i   til utvalgte oppgaver i Kalkulus yvind Ryan 10. november 2014. Innhold Kapittel 1 3

Post on 18-Apr-2018

233 views

Category:

Documents

8 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus

    yvind Ryan

    10. november 2014

  • Innhold

    Kapittel 1 3Seksjon 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Seksjon 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Seksjon 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Seksjon 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Kapittel 2 9Seksjon 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Seksjon 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Seksjon 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Seksjon 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    Kapittel 3 13Seksjon 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Seksjon 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Seksjon 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Seksjon 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Seksjon 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    Kapittel 4 21Seksjon 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Seksjon 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Seksjon 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    Kapittel 5 32Seksjon 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Seksjon 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Seksjon 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Seksjon 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    Kapittel 6 37Seksjon 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Seksjon 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Seksjon 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Seksjon 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Seksjon 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1

  • Kapittel 7 46Seksjon 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Seksjon 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Seksjon 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Seksjon 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    Kapittel 8 52Seksjon 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Seksjon 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Seksjon 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Seksjon 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Seksjon 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    Kapittel 9 59Seksjon 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Seksjon 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Seksjon 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Seksjon 9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    Kapittel 10 70Seksjon 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Seksjon 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Seksjon 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Seksjon 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Seksjon 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Seksjon 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    Kapittel 11 84Seksjon 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Seksjon 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    Kapittel 12 88Seksjon 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Seksjon 12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Seksjon 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Seksjon 12.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Seksjon 12.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Seksjon 12.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Seksjon 12.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Seksjon 12.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    2

  • Kapittel 1

    Seksjon 1.1

    Oppgave 1.1.13La alderen p de tre barna vre x, y, og z, i avtagende rekkeflge. Den frsteopplysningen sier at xyz = 36. Dette gir flgende muligheter for (x, y, z):

    (36, 1, 1), (18, 2, 1), (12, 3, 1), (9, 4, 1), (9, 2, 2), (6, 6, 1), (6, 3, 2), og (4, 3, 3).

    Den andre opplysningen vi bruker er at x+y+z =husnummeret. For talltriplenevi listet opp over er x+ y + z henholdsvis

    38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, og 10.

    Siden venninnen fremdeles ikke vet hvor gamle barna er er enste mulighet atsummen er 13, siden dette er eneste mulighet som har to mulige verdier for(x, y, z), nemlig (9, 2, 2) og (6, 6, 1). Siden det bare er den eldtse som ikek harlagt seg enda s er den siste muligheten utelukket, slik at barna er 9, 2, og 2 rgamle.

    Seksjon 1.2

    Oppgave 1.2.5Vi skal bevise pstanden

    Pn : n5 n er delelig med 5.

    P1 er opplagt sann (15 1 = 0). Anta vi har vist Pk for k = 1, . . . , n, og la ossbruke dette til vise Pn+1, det vil si at (n + 1)5 (n + 1) ogs er delelig med5. Vi har at

    (n+ 1)5 (n+ 1) = n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n+ 1 n 1= n5 n+ 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n).

    Siden n5 n er delelig med 5, og siden 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n) opplagt er deleligmed 5, s flger det da at (n+ 1)5 (n+ 1) ogs er delelig med 5, slik at Pn+1ogs er sann.

    3

  • Oppgave 1.2.6n(n2 + 5) er opplagt delelig med 6 for n = 1 (vi fr da 6). Anta vi har vist atk(k2 + 5) er delelig med 6 for k = 1, . . . , n, og la oss bruke dette til vise at(n+ 1)((n+ 1)2 + 5) ogs er delelig med 6. Vi har at

    (n+ 1)((n+ 1)2 + 5) = (n+ 1)(n2 + 2n+ 6) = n(n2 + 2n+ 6) + n2 + 2n+ 6

    = n(n2 + 5) + n(2n+ 1) + n2 + 2n+ 6

    = n(n2 + 5) + 3n2 + 3n+ 6 = n(n2 + 5) + 3n(n+ 1) + 6.

    Det siste uttrykket er en sum av tre tall som alle er delelig med 6. 3n(n + 1)er delelig med 6, siden en av n og n + 1 er delelig med 2. Dermed er ogs(n+ 1)((n+ 1)2 + 5) delelig med 6.

    Oppgave 1.2.7Vi lar Pn vre pstanden at 2n+2 + 32n+1 er delelig med 7. For n = 1 er dettetallet 21+2 + 321+1 = 8 + 27 = 35, som opplagt er delelig med 7. Anta at vi harvist at Pn er sann. Vi skal vise at Pn+1 er sann, det vil si at 2(n+1)+2+32(n+1)+1er delelig med 7. Vi har at

    2(n+1)+2 + 32(n+1)+1 = 2n+3 + 32n+3

    = 2 2n+2 + 9 32n+1

    = 2 2n+2 + 2 32n+1 2 32n+1 + 9 32n+1

    = 2(2n+2 + 32n+1) + 7 32n+1.

    Siden vi antar at Pn er sann s vil 2(2n+2 + 32n+1) vre delelig med 7. Videreer ogs det andre leddet, 7 32n+1, delelig med 7. Men da vil ogs 2(n+1)+2 +32(n+1)+1 vre delelig med 7, og vi har vist at Pn+1 er sann.

    Trickset vi gjorde over var legge til og trekke fra 2 32n+1. Det er dettesom gjr at vi kan bruke indkusjonsantagelsen og trekke ut to ledd, der beggeer delelig med 7.

    Oppgave 1.2.8Vi skal vise at, for alle naturlige tall n,

    1 +12

    +13

    + + 1n> 2(n+ 1 1).

    For n = 1 sier dette ar 1 > 2(

    21) 0.82, slik at hypotesen holder for n = 1.Anta s at vi har vist hypotesen for k = 1, . . . , n. Vi skal vise at den ogs holderfor n+ 1, det vil si at

    1 +12

    +13

    + + 1n+ 1

    > 2(

    (n+ 1) + 1 1) = 2n+ 2 2.

    4

  • Vi har at

    1 +12

    +13

    + + 1n+ 1

    =

    (1 +

    12

    +13

    + + 1n

    )+

    1n+ 1

    > 2(n+ 1 1) + 1

    n+ 1= 2n+ 1 2 + 1

    n+ 1.

    Induksjonshypotesen er sann ogs for n+ 1 hvis vi klarer vise at

    2n+ 1 2 + 1

    n+ 1> 2n+ 2 2.

    Dette er det samme som at 2n+ 1 + 1

    n+1> 2n+ 2. Kvadrerer vi begge

    sider fr vi at 4(n+ 1) + 4 + 1n+1 > 4(n+ 2), som er det samme som at1

    n+1 > 0,som jo er riktig.

    Oppgave 1.2.9a)

    Siden det str n tall i telleren og n tall i nevneren kan vi skrive

    1 3 5 (2n 1)1 2 3 n

    =1

    1

    3

    2

    5

    3 2n 1

    n 2 2 2 2 = 2n.

    b)

    For 0 < t < 1 er begge sidene i ulikheten

    1 t 1 t2 positive. Det er derfornok vise at ulikheten holder nr vi kvadrerer begge sider:

    1 t 1 t+ t2

    4

    men dette er det samme som at t2

    4 0, som opplagt holder.

    c)

    Vi har at

    1 3 5 (2n 1)2 4 6 2n

    =1

    2

    3

    4

    5

    6 2n 1

    2n=

    1

    2

    (1 1

    4

    )(1 1

    6

    ) (

    1 12n

    )=

    1

    2

    (1 1/2

    2

    )(1 1/3

    2

    ) (

    1 1/n2

    ) 1

    2

    1 1

    2

    1 1

    3

    1 1n

    =1

    2

    1

    2

    2

    3 n 1n

    =1

    2

    1

    n=

    1

    2n,

    der vi har brukt ulikheten fra b) p alle n ledd bortsett fra det frste, og der vihar forkortet alle ledd bortsett fra

    n i den siste overgangen.

    5

  • Oppgave 1.2.10a)

    Vi fr at

    1 + 3 = 4

    1 + 3 + 5 = 9

    1 + 3 + 5 + 7 = 16

    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

    Vi ser fra dette at vi kan danne hypotesen Pn at summen av de n frste odde-tallene er n2.

    b)

    At P1 er riktig ser vi fra a). Det nte oddetallet er 2n 1. Anta at Pn er sann,det vil si at 1 + 3 + . . .+ (2n 1) = n2. Vi har da at summen an de n+ 1 frsteoddetallene er

    1 + 3 + . . .+ (2n+ 1) = (1 + 3 + . .

Recommended

View more >